《2023年合肥工业大学大一上学期高数期末考试题上课讲义.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年合肥工业大学大一上学期高数期末考试题上课讲义.pdf（7页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 合 肥 工 业 大 学 大 一 上 学 期 高 数 期 末 考 试 题 _ _ 高数期末考试 一、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）1.xxx sin20)3 1(lim.2.,)(cos的一个原函数 是 已知 x fxx xxxx f dcos)(则.3.lim(cos cos cos)2 2 22 1nnn n n n.4.21212211 arcsindxxx x.二、单项选择题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)5.）时（，则当，设 1 3 3)(11)(3 x x xxxx.（A）()()x x 与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）()(
2、)x x 与是等价无穷小；（C）()x 是比()x 高阶的无穷小；（D）()x 是比()x 高阶的无穷小.6.)(0),sin(cos)(处 有 则 在 设 x x x x x f.（A）(0)2 f（B）(0)1 f（C）(0)0 f（D）()f x不可导.7.若()()()02xF x t x f t dt，其中()f x在区间上(1,1)二阶可导且()0 f x，则（）.（A）函数()F x必在 0 x 处取得极大值；（B）函数()F x必在 0 x 处取得极小值；（C）函数()F x在 0 x 处没有极值，但点(0,(0)F为曲线()y F x 的拐点；（D）函数()F x在 0 x
3、处没有极值，点(0,(0)F也不是曲线()y F x 的拐点。8.)()(,)(2)()(10 x f dt t f x x f x f 则 是连续函数，且 设 小是比高阶的无穷小是比则在处有设可导不若其中则函数必在处取得极大值函数必在处取得极小值函数在处没有极值 有小题每小题分共分由方程确定求以及设函数求求设设函数并讨论在连续为常数求且处的连续性求微分方程满足的解 倍与该点纵坐标之和求此曲线方程五解答题本大题分过坐标原点作曲线的切线该切线与曲线及轴围成平面图形求的面_ _（A）22x（B）222x（C）1 x（D）2 x.9.三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分）10
4、.设函数()y y x由方程sin()1x ye xy 确定，求()y x以及(0)y.11.d)1(177xx xx求 12.求，设 1 3 2)(1 0 20)(dx x fx x xx xex fx 13.设函数)(x f连续，10()()g x f xt dt，且0()limxf xAx，A为常数.求()g x并讨论()g x在 0 x 处的连续性.14.求微分方程2 ln xy y x x 满足 1(1)9y的解.四、解答题（本大题 10 分）15.已知上半平面内一曲线)0()(x x y y，过点(,)0 1，且曲线上任一点M x y(,)0 0处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y
5、轴、直线x x 0所围成面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题 10 分）16.过坐标原点作曲线x y ln 的切线，该切线与曲线x y ln 及x 轴围成平面图形 D.(1)求 D的面积 A；(2)求 D绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 8 分）17.设函数)(x f在 0,1上连续且单调递减，证明对任意的,0 1 q，10 0()()qf x d x q f x dx.小是比高阶的无穷小是比则在处有设可导不若其中则函数必在处取得极大值函数必在处取得极小值函数在处没有极值 有小题每小题分共分由方程确定求以及
6、设函数求求设设函数并讨论在连续为常数求且处的连续性求微分方程满足的解 倍与该点纵坐标之和求此曲线方程五解答题本大题分过坐标原点作曲线的切线该切线与曲线及轴围成平面图形求的面_ _ 18.设函数)(x f在,0上连续，且0)(0 x d x f，0 cos)(0dx x x f.证明：在,0内至少存在两个不同的点2 1,，使.0)()(2 1 f f（提示：设xdx x f x F0)()(）解答 一、单项选择题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16分)1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）5.6e.6.cxx2)cos(21.7.
7、2.8.3.三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分）9.解：方程两边求导(1)cos()()0 x ye y xy xy y cos()()cos()x yx ye y xyy xe x xy 0,0 x y，(0)1 y 10.解：7 67 u x x dx du 1(1)1 1 2()7(1)7 1udu duu u u u 原式 1(ln|2ln|1|)7u u c 7 71 2ln|ln|1|7 7x x C 11.解：1 0 123 3 0()2xf x dx xe dx x x dx 0 123 0()1(1)xxd e x dx 0 0232cos(1 si
8、n)x xxe e d x 令 32 14e 12.解：由(0)0 f，知(0)0 g。小是比高阶的无穷小是比则在处有设可导不若其中则函数必在处取得极大值函数必在处取得极小值函数在处没有极值 有小题每小题分共分由方程确定求以及设函数求求设设函数并讨论在连续为常数求且处的连续性求微分方程满足的解 倍与该点纵坐标之和求此曲线方程五解答题本大题分过坐标原点作曲线的切线该切线与曲线及轴围成平面图形求的面_ _ 100()()()xxt uf u dug x f xt dtx(0)x 02()()()(0)xxf x f u dug x xx 020 0()()A(0)lim lim2 2xx xf u
9、 duf xgx x 020 0()()lim()lim2 2xx xxf x f u duA Ag x Ax，()g x在 0 x 处连续。13.解：2lndyy xdx x 2 2(ln)dx dxx x y e e xdx C 21 1ln3 9x x x Cx 1(1),09y C，1 1ln3 9y x x x 四、解答题（本大题 10 分）14.解：由已知且02 dxy y x y，将此方程关于x求导得y y y 2 特征方程：0 22 r r 解出特征根：.2,12 1 r r 其通解为 x xe C e C y22 1 代入初始条件y y()()0 0 1，得 31,322 1
10、 C C 故所求曲线方程为：x xe e y23132 五、解答题（本大题 10 分）15.解：（1）根据题意，先设切点为)ln,(0 0 x x，切线方程：)(1ln000 x xxx y 由于切线过原点，解出e x 0，从而切线方程为：xey1 小是比高阶的无穷小是比则在处有设可导不若其中则函数必在处取得极大值函数必在处取得极小值函数在处没有极值 有小题每小题分共分由方程确定求以及设函数求求设设函数并讨论在连续为常数求且处的连续性求微分方程满足的解 倍与该点纵坐标之和求此曲线方程五解答题本大题分过坐标原点作曲线的切线该切线与曲线及轴围成平面图形求的面_ _ 则平面图形面积 10121)(e
11、 dy ey e Ay（2）三角形绕直线x=e一周所得圆锥体体积记为V1，则2131e V 曲线x y ln 与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e一周所得旋转体体积为V2 1022)(dy e e Vy D绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积)3 12 5(622 1 e e V V V 六、证明题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 12 分）16.证明：10 0()()qf x d x q f x dx 10 0()()()q qqf x d x q f x d x f x dx 10(1)()()qqq f x d x q f x dx 1 2 1 20,1()()1 2(1
12、)()(1)()0q q f fq q f q q f 故有：10 0()()qf x d x q f x dx 证毕。17.证：构造辅助函数：x dt t f x Fx0,)()(0。其满足在,0 上连续，在),0(上可导。)()(x f x F，且0)()0(F F 由题设，有 0 000)(sin cos)()(cos cos)(0|dx x F x x x F x xdF xdx x f，有00 sin)(xdx x F，由积分中值定理，存在),0(，使0 sin)(F即0)(F 综上可知),0(,0)()()0(F F F.在区间,0 上分别应用罗尔定理，知存在 小是比高阶的无穷小是
13、比则在处有设可导不若其中则函数必在处取得极大值函数必在处取得极小值函数在处没有极值 有小题每小题分共分由方程确定求以及设函数求求设设函数并讨论在连续为常数求且处的连续性求微分方程满足的解 倍与该点纵坐标之和求此曲线方程五解答题本大题分过坐标原点作曲线的切线该切线与曲线及轴围成平面图形求的面_ _),0(1 和),(2，使0)(1 F及0)(2 F，即0)()(2 1 f f.小是比高阶的无穷小是比则在处有设可导不若其中则函数必在处取得极大值函数必在处取得极小值函数在处没有极值 有小题每小题分共分由方程确定求以及设函数求求设设函数并讨论在连续为常数求且处的连续性求微分方程满足的解 倍与该点纵坐标之和求此曲线方程五解答题本大题分过坐标原点作曲线的切线该切线与曲线及轴围成平面图形求的面