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1、2023耳中老裁号总象引一龄济体例（新江专用，专鉴.1 5二法善毅的成用易稼合冏题（褂漆）复习目标二次函数的应用与综合问题基础梳理热身练习深度讲练考点一、二次函数与拱桥问题考点二、二次函数与喷水投球问题考点三、二次函数与销售问题考点四、二次函数与图形问题考点五、二次函数与几何压轴：线段问题考点六、二次函数与几何压轴：面积问题考点七、二次函数与几何压轴：三角形存在性问题考点八、二次函数与几何压轴：四边形存在性问题考点九、二次函数与几何压轴：相似问题1.掌握用二次函数模型解决实际问题2.会解决二次函数与几何综合压轴问题一、单选题1.（2022浙江杭州统考中考真题）已知二次函数y=/+ax+b（a,
2、b为常数）.命题：该函数的图像经过点（1,0）；命题：该函数的图像经过点（3,0）；命题：该函数的图像与x轴的交点位于y轴的两侧；命题：该函数的图像的对称轴为直线x=l.如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（）A.命题 B.命题 C.命题【答案】AD.命题【分析】根据对称轴为直线 =-|=1，确定a的值，根据图像经过点（3,0）,判断方程的另一个根为x=-l,位于y轴的两侧，从而作出判断即可.【详解】假设抛物线的对称轴为直线X=1,则X=一=1,解得4=-2,回函数的图像经过点（3,0）,团 3。+6+9=0,解得b=-3,故抛物线的解析式为y=/-2%-3,令y=0，得/-2
3、x 3=0,解得 Xi=-l,x2=3,故抛物线与x 轴的交点为（-1,0）和（3,0）,函数的图像与x 轴的交点位于y 轴的两侧；故命题，（3）,都是正确，命题错误，故选A.【点睛】本题考查了待定系数法确定解析式，抛物线与x 轴的交点，对称轴，熟练掌握待定系数法，抛物线与x 轴的交点问题是解题的关键.2.（2020浙江台州统考中考真题）如图1,小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度v（单位：m/s）与运动时间t（单位：s）的函数图象如图2,则该小球的运动路程y（单位：m）与运动时间t（单位：bA./B.s）之间的函数图象大致是（）t C.D.【答案
4、】C【分析】由图2知小球速度先是逐渐增大，后来逐渐减小，则随着时间的增加，小球刚开始路程增加较快，后来增加较慢，由此得出正处答案.【详解】由图2知小球速度不断变化，因此判定小球运动速度v 与运动时间t 之间的函数关系是(,%1=f cLi t i (k i二 0)；Q(Q 为前半程时间，2 2 为后半程时间)，(y2=k 2t 2+bk2 0)团前半程路程函数表达式为：%=k t 2,后半程路程为力=V2t2=k 2t 2 2 +A?，团的 0,k20,即前半段图像开口向上，后半段开口向下团 C项图像满足此关系式，故答案为：C.【点睛】此题考查根据函数式判断函数图像的大致位置.3.(2 0 2
5、 2 浙江杭州杭州市十三中教育集团(总校)校联考模拟预测)已知函数力和力是关于x的函数，点(m,n)在函数y i 的图象上，点(p,q)在函数力的图象上，规定：当九=q 时，有m +p=0,那么称函数月和丫 2 具有性质O 则下列函数具有性质O 的 是()A.%=久 2 2 4 和=x 1 B.x2 4-2%-1 和九=-xC.y1=x2 2%和丫 2 =-x 4-1 D.yt=x2 2x 1 和y 2 =x【答案】C【分析】将点(m,九)代入函数为，点(p,q)代入函数、2，根据当 =q 时，有?n+p=0,可得一元二次方程，利用=/-4QC判断方程是否有解，即可求解.【详解】解：将点(m,
6、九)代入为=%2-2 可得：n=m2-2 m将点(p,q)代入丫2 =%-1 可得：9 =P -1团 n=qm2 2m =p 1团 m +p=0团 p=m0 m2 2m =-m 1,B f J/n2 m +1 =00 A=(-1)2 -4x1x1=-3 0团方程无解，故A选项不符合题意将点(科九)代入月=-%2+2%1 可得：n=m2+2m 1将点(p,q)代入力=不可得：q =-p团 n=qa-m2+2 z n 1 =-p由 n+p=00 p=m0 m2+2 m 1 =m,即m2 m +1 =00 A=(-1)2 -4X 1X 1=-3 0团方程有解，故 C选项不符合题意将点(m,几)代入y
7、 i=-x2-2 x -1 可得：n=-m2-2 m -1将点(p,q)代 入=%可得：q =p团 n=q0 m2 2m 1=p团 m +p=0团 p=m团 一 nr?-2m 1 =-m,B P m2+m +1 =00 A=l2-4X 1X 1=-3 0团方程无解，故 D选项不符合题意故选C.【点睛】本题属于新定义类问题，根据给出定义构造方程，利用根的判别式判断方程是否有解，从而达到解决问题的目的.4.(2 0 2 1 浙江湖州模拟预测)如图，已知在平面直角坐标系x Q y 中，抛物线C/：y=aJx2(/工 0)与抛物线。2：尸。2胃+故(3。)的交点P在第三象限，过点P作 x 轴的平行线，
8、与物线C/,C 2 分别交于点M，B.1C.n【答案】B【分析】令ai M=a2x2+bx,求得尸的横坐标，然后根据两抛物线的对称轴求得尸M=-二 ,PN=22 b(-)=-由也=?,得到小耳一=与 整理即可得到%-l=n-2 即可求得=2 a 2。1一。2 a2 ai-a2 P N n-n a2 a20.2。1一0 2-1.【详解】解：令。4=。2胃+15,解得 X/=0，X2=一,al-a2加的横坐标为一L,四 一。2团抛物线G：y=atx2(4 W 0)的对称轴为y轴，抛物线C?：y =a2x2 4-b x(组工。)的对称轴为直线工=团内尸八M _=-2-b-n KT r /b b 、b
9、 2b,PN=2 (-)-Q.Q,2 2 t i?a】一a?a?Q i-a 2樱=2,P N n2b0.2 Q-2 a 2 1 2Q-Q 2 a?Cli O-2烂-1=-2,02*-1,a2故选：B.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得P的横坐标，表示出PM、PN是解题的关键.二、填空题5.（2022浙江衢州衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）校联考二模）为了在体育中考中取得更好的成绩，小豪积极训练，体育老师对小豪投掷实心球的录像进行技术分析，如图，发现实心球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=-卷 0-4）2+2,由此可知小豪
10、此次投掷的成绩是 m.【答案】9【分析】当y=0时代入解析式y=-卷（x 4）2+2,求出x 的值就可以求出结论.【详解】解：由题意得当y=0,-捻（%4尸 +2=0,化简得：（x 4）2 =25,解得：Xi=9,x2=-1（舍去），故答案为：9.【点睛】本题考查/二次函数的应用，一元二次方程的解法的运用，解题的关键是由二次函数的解析式建立方程求解.6.（2022浙江金华校联考三模）一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1 所示，其左右轮廓线4D,BC为同一抛物线的一部分，AB,CD都与水平地面平行，当杯子装满水后4B=4cm,CD=8 cm,液体高度12cm,将杯子绕C倾斜倒出部分液体，当倾斜角
11、4ABE=45。时停止转动，如图2 所示，此时液面宽度BE-c m,液面BE到点C所在水平地面的距离是 cm.【分析】建立以抛物线对称轴为y 轴，以。为 X轴的平面直角坐标系，作西5斤45。，交抛物线于E,交x轴于尸点，过 8 作BM_LCD于 M 点.分别求出抛物线、直线3 E 的解析式，以及E 点坐标，利用长度公式及勾股定理，勾股逆定理即可得出答案.【详解】解：依题意建立如图平面直角坐标系，作的8代45。，交抛物线于E,交x 轴于尸点，过 6 作BM 1 CD 于 M 点、,依题意得:A(-2,12),8(2,12),。(-4,0)(4,0),M(2,0),BM=12,设抛物线的解析式为：
12、y=ax2 bx+c把 4、B、C 点坐标代入y=Q/+加；+。得：4Q+2b+c=1204a-2b+c=1216a+4b+c=0a=-10 h=0c=16团 y =-x2+16团 乙 ABE=45。,4力 BM=90,团 4 尸 8M=45,目 乙 BMF=90,团 NFBM=乙 BFM=45BM=FM=12,BF=1220M(2,O)团 F(-10,0),设直线6厂的解析式为：y=kx-bb1把 8、A/点坐标代入y=/cr+瓦得：2k+瓦=121-10k+匕 1=0k=1质瓦=10团 y=%+10y=-x2+161 y=x+10EIE(-3,7)08(2,12),0(4,0),E1BE=
13、J(2 +3尸+(12-7。=5V2,CE=7(4+3)2 4-(0-7)2=7V2,E)EF=BF BE=12V2-5A/2=772,13c(4,0),下(一 10,0),a CF=14又团(7V2)2+(7V2)2=142ElfF2+2 =CF23 E C =90,EIC到点8 E 的距离为：CE=7yf2,故图2 中液面BE到点C所在水平地面的距离是7夜，故答案为：5V2,7V2【点睛】本题考查了二次函数与实际问题的应用，计算量较大，需要学生熟练掌握二次函数与一次函数交点问题，以及利用勾股逆定理来判别直角三角形.7.(2021浙江统考中考真题)已知在平面直角坐标系xOy中，点4 的坐标为
14、(3,4),M是抛物线、=ax?+bx+2(a 羊0)对称轴上的一个动点.小明经探究发现：当3的值确定时，抛物线的对称轴上能使AAOM为直角三角形的点M的个数也随之确定.若抛物线y=ax2+bx+2(a*0)的对称轴上存在3 个不同的点M,使A A O M为直角三角形，贝修的值是.a【答案】2或一8【分析】分乙4。=9 0。，4(M M=9 0。和4 0 M A=9 0。确定点M的运动范围，结合抛物线的对称轴与，l2,0P共有三个不同的交点，确定对称轴的位置即可得出结论.【详解】解：由题意得：O(0,0),A(3,4)此L 4 0 M为直角三角形，则有：当4 A o M=9 0。时，0A 1
15、OM回点M在与0/垂直的直线2 1上 运 动(不 含 点O)；如图，当N(M M=90。时，0a l A M,1 3点M在与。4垂直的直线上运动(不含点/)；当 N O M A=90。时，0 M l 4M,1 3点M在与。4为直径的圆上运动，圆心为点P,团点尸为O/的中点，胪(|,2)团半径 r=-AO=-V 32+42=-2 2 2团抛物线y =a x2+b x +2(a H 0)的对称轴与x轴垂直由题意得，抛物线的对称轴与5G，OP共有三个不同的交点,团抛物线的对称轴为。P的两条切线，而点P到切线，3，的距离d =r =|，又P（|，2）13直线片的解析式为：x=|-|=-1；直线的解析式
16、为：%=|+|=4；0-2-a=-1 或 4肥=2或-8a故答案为：2 或-8【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有圆的切线的判定，直角三角形的判定，综合性较强，有一定难度.运用数形结合、分类讨论是解题的关键.8.（2021浙江台州统考中考真题）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度人（单位：m）与小球的运动时间，（单位：s）之间的关系式是/?=可一4.9巴 现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为V 经过时间。落回地面，运动过程中小球的最大高度为幻（如图 1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为V 2,经过时间落回地面，运动过程中
17、小球的最大高度为岳（如图 2）.若 力=22,则：t 2=.图2【答案】V2【分析】根据函数图像分别求出两个函数解析式，表示出力=言，九 1=僚，G=言，电=学，结合用=2112,即可求解.【详解】解：由题意得，图 1 中的函数图像解析式为：力=丫-4.9巴 令人=0,=痣或t=0（舍去）,4.94=4X；：4.9)也219.622图 2 中的函数解析式为：=四一4.9巴t 2=言或2=0（舍去），九 2=江丽=%0A/=2/?2,畔获=2焉二 即：V 尸 叵2或%=-&V2（舍去）,如 3 言：焉=a故答案是：V2.【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的图像和性质，二次函数的
18、顶点坐标公式，是解题的关键.三、解答题9.（2022浙江宁波统考中考真题）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（2 S x S 8,且x为整数）构成-一 种函数关系.每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克.求y关于x的函数表达式.每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？【答案】y=-0.5x+5（2 Wx W 8,且x为整数）每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克【分析】（1）由每平方米种植的株数每增
19、加1株，单株产量减少0.5千克，即可得求得解析式；（2）设每平方米小番茄产量为加千克，由产量=每平方米种植株数x单株产量即可列函数关系式，由二次函数性质可得答案.【详解】（1）解：国每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，=4-0.5（x-2）=-0.5x+5（2 x EF=0.5m；求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；求下边缘抛物线与久轴的正半轴交点B的坐标；要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围；(2)若EF=1 m.要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出力的最小值.【答案】y=；(x 2)2+2,6m；(2,0)；(3)
20、2 d 273-1O【分析】(1)根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C 点求出8 点坐标；要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过厂点，下边缘抛物线O B 0,团x=2+2V3.当x 0时，y随着久的增大而减小，团当2W XW 6时，要使y 0.5,则x 2 +2V3.回当0 x 0.5,团当0W XW 6时，要使 y 2 0.5,PI0O x 2 +2V3.fflDF=3,灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，团d的最大值为(2+2V3)-3 =2 7 3-1.再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是。8 d,
21、Eld的最小值为2.综上所述，d的取值范围是2 d+h +0.5.团上边缘抛物线过出水口(0,h)团y =4Q+h +0.5 =h,解得a =o田上边缘抛物线解析式为y =-*(x -27+八+0.5国对称轴为直线=2,回点(0,%)的对称点的坐标为(4,h).团 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4 m得到的，团下边缘抛物线解析式为y =-(x +2)2 +%+0.5.当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D,F恰好分别在两条抛物线上,0 E=3回设点D(m,0),E(m +3,0),尸(m +3,+3 2 +九 +0.5),0D在下边缘抛物线上，0-i(?n +2)2+/i +
22、0.5 =0E F=1(3-(n t +3 2)2 +/i +0.5 =1E l (T n +3 -2)2 +h+0.5 (m +2/+h +0.5 j 1,解得m=2.5,代入一式?n +2)2+h +0.5 =0,得h=最所以h的最小值为学【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键.11.(2022浙江湖州统考中考真题)如图1,已 知 在 平 面 直 角 坐 标 系 中，四边形O/8C是边长为3的正方形，其中顶点4 C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线丫 =-/+必+，经过4。两点，与x轴交于另一个点。.(
23、1)求 点 N，B,C的坐标；求6,c的值.(2)若点尸是边8 c上的一个动点，连结4 P,过点尸作MEL4P,交y轴于点例(如图2所示).当点尸在8C上运动时，点 也 随 之 运 动.设 BP=m,C M=n,试用含机的代数式表示，并求出 的最大值.【答案】(1)4 3,0),8(3,3),C(0,3)；，二;(2)n=|-|)(0m3)；g【分析】(1)根据坐标与图形的性质即可求解；利用待定系数法求解即可；(2)证明即ZUBRBQAPCW,根据相似三角形的性质得到关于加的二次函数，利用二次函数的性质即可求解.【详解】(1)解：团正方形。18c的边长为3,团 点 4 B,C的坐标分别为4(3
24、,0),5(3,3),C(0,3)；把 点4(3,0),C(0,3)的坐标分别代入尸-+法+,得-9+：,。=0,解得(2)解：由题意，得风4P团PA/C,0B=0PCA/=9O,R t ABP R fP CM,偿=，即二_ =二P C CM 3-m n2整理，得7 i =即葭=：(7 n I)4.2 (o m 0)个单位得到抛物线员.若抛物线灯的顶点关于坐标原点。的对称点在抛物线人上，求小的值.把抛物线L 向右平移(n0)个单位得到抛物线人.已知点P(8-t,s),(2 -4,)都在抛物线人上，若当t6时，都有sr,求的取值范围.【答案】(l)y =(x +I)2-4(2)7 7 1 =4(
25、3)n 3【分析】(1)根据待定系数法即可求解.(2)根据平移的性质即可求解.(3)根据平移的性质对称轴为直线x =n-l,a =1 0,开口向上，进而得到点尸在点。的左侧，分两种情况讨论：当尸，。同在对称轴左侧时，当 P,。在对称轴异侧时，当 P,。同在对称轴右侧时即可求解.【详解】(1)解：将4(1,0)代入得：0 =(l +l)2a-4,解得：a =1,团抛物线k的函数表达式：y =(x +1)2-4.(2)回将抛物线L 向上平移m个单位得到抛物线6，团抛物线与的函数表达式：y =(x +I)?-4 +m.团顶点(-1,-4 +6)，团它关于O的对称点为(1,4 -m),将(1,4-m)
26、代入抛物线L 得：4-m=0,的n=4.(3)把G 向右平移个单位，得L3：y=(%+1-n)2-4,对称轴为直线x=n-l,a=1 0,开口 向上，回点P(8 t,s),Q(t-4fr),由t 6 得：8-t 2 t 4,即7 1 t 3,团 6,团 n 3,当尸，。在对称轴异侧时，团 s r,团 九 1 (8 t)C 4 (n 1),解得：n 3,当尸，。同在对称轴右侧时，都有s 3.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象平移变换，熟练掌握待定系数法及平移的性质结，巧妙运用分类讨论思想是解题的关键.1.二次函数的应用(1)利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会
27、遇到求最大利润，最大销量等问题.解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x 的取值范围.(2)几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论.(3)构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题.2.二次函数综合题(1)二次函数图象与其他函数图象相结
28、合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项.(2)二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件.(3)二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型.关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及
29、函数的取值范围要使实际问题有意义.考点一、二次备极易拱耕冏感例 7(2 0 2 2 秋浙江丽水九年级校联考期中)我们在学习了 浙教版数学九年级上册P 1 7 探究活动，已知：如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为1 2 m 时，桥洞顶部离水面4 m 已知桥洞的拱形是抛物线，现以水平方向A B 为x 轴，若小明同学以C 为顶点求出了函数表达式是丫 =-/;若小红同学以4 为 顶 点 求 出 了 函 数 表 达 式 是.在(1)条件下，求出该抛物线在水面4 B 中 的 倒 影 所 在 抛 物 线 函 数 表 达 式 为.一艘宽为4 米，高出水面3 米的货船，能否从桥下通过？探究二：若已知桥洞的拱形是圆
30、的一部分，当水面宽为1 2 m 时，桥洞顶部离水面4m,该圆半径为【答案】y =-4 x-6)2 +4(2)y =1(x-6)2-4货船能顺利通过此桥洞，理由见详解(4)y m【分析】探究一：(1)根据题目中所示坐标系设出对应的函数解析式，再用待定系数法求出函数解析式即可;(2)根据倒影与拱桥关于x轴对称，求出倒影的解析式即可；(3)把x=4代入解析式求出y 即可；探究二：(4)设拱形所在圆的半径为R m,根据已知条件和垂径定理以及勾股定理求出R即可.【详解】(1)解：根据题意设抛物线的解析式为y=a(x-6产+4,把4(0,0)代入解析式得：36a+4=0,解得：a=-团函数表达式为y=(x
31、-6)2+41故答案为：y=1(x 6)2+4.(2)解：图物线在水面4B中的倒影与抛物线关于x轴对称，团倒影所在抛物线函数表达式为y=i(x-6)2-4,故答案为：y=i(x -6)2 4.(3)解：当 芯=(1 2-8)=4时，y=-lx(4-6)2+4=3,田货船能顺利通过此桥洞.(4)解：如图所示，设。B=R m,则。D=(R-4)m,由垂径定理得4。=BD=6,在Rt A中，SOD2+BD2=OB2,0(/?-4)2+62=R2,m n 52 13团 R ,8 2故答案为：-m.【点睛】本题考查二次函数的应用和垂径定理，当桥洞的拱形是抛物线关键是根据坐标系列出相应的函数解析式，当桥洞
32、的拱形是圆弧时，关键是设出圆的半径根据垂径定理和勾股定理列出方程.【变式训练】1.（2022秋浙江宁波九年级校联考期中）一座桥如图，桥下水面宽度4B是20米，高CD是4米.要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米.如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系.求抛物线的解析式；要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？（2）如图2,若把桥看做是圆的一部分.求圆的半径；要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？【答案】y=-郎 +410米14.5米 W 7米【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；令y=3,求出x 的值，即可求解.（2）构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解
33、即可;令。G =l,再利用勾股定理求出G F,即可求解.【详解】（1）设抛物线解析式为：y=a/+c,回桥下水面宽度48是20米，高CD是4米，EL4（-10,0）,（10,0）,时100a+c=0,I c=4解得：卜一 一五，国抛物线解析式为：y=-x2+4,要使高为3米的船通过，0 y =3,则3 x2+4,解得：x =5,I 3 E F =1 0 米，团宽度须不超过1 0 米；图2 BW2=BC2+CW2,0 rz=(r -4)2+1 02,解得：r=1 4.5.1 2 圆的半径为1 4.5；令。G =1,在 Rt A W G F 中，由题可知，WF=1 4.5,WG=1 4.5-1 =
34、1 3.5,根据勾股定理知：。/2 =卬 2 一 WG2,即G 产=1 4.52-1 3.52=2 8.所以 G F =2 V 7,此时宽度E F =4 夕 米，1 2 其宽度须不超过4 夕米.【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，以及垂径定理，勾股定理，利用图象上的点得出解析式是解决问题关键.2.(2 0 2 2 秋浙江温州九年级统考期中)如何确定隧道中警示灯带的安装方案？素材1CA O B 2022年 10月，温州市府东路过江通道工程正式开工，建成后将成为温州瓯江第一条超大直径江底行车隧道.隧道顶部横截面可视为抛物线，如 图 1,隧道底部宽4B为1 0 m,高 O
35、C 为5m.卜素材2货车司机长时间在隧道内行车容易疲劳驾驶，为了安全，拟在隧道顶部安装上下长度为20cm的警示灯带，沿抛物线安装.（如图2）.为了实效，相邻两条灯带的水平间距均为0.8m（灯带宽度可忽略）；普通货车的高度大约为2.5m（载货后高度），货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于5 0 cm.灯带安装好后成轴对称分布./爸道顶7灯 带 20cm/1 安全距离货车图2问题解决任务1确定隧道形状在图1 中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式.任务2探究安装范围在你建立的坐标系中，在安全的前提下，确定灯带安装点的横、纵坐标的取值范围.任务3拟定设计方案求出同一个横截面下，最多能安装几条灯
36、带，并根据你所建立的坐标系，求出最右边一条灯带安装点的横坐标.【答案】任 务 L y=-1 x2;任务2：-3 x -1.8；任务3：最多挂8 条灯带，最右边一条灯带的横坐标为2.8.【分析】任 务 1：以抛物线的定点为原点建立平面直角坐标系，利用待定系数法可得抛物线的函数表达式；任务2：根据普通货车的高度大约为2.5 m,货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于5 0 cm,货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于5 0 cm,计算悬挂点的纵坐标的最小值是3.2m；任务3：画出数轴，利用数形结合解答.【详解】解：【任 务 1】以拱顶为原点，建立如图1 所示的直角坐标系，则顶点为(0,0),且过点8(
37、5,-5),设抛物线的解析式为：y=a/,把点8(5,-5)代入得：25a=-5,10a=-囱抛物线的函数表达式为：y=-g/；任务2团普通货车的高度大约为2.5 m,灯带底部距离货车顶部不小于O 5 m,灯带长0.2m,团当安装点的纵坐标y -5 +2.5+0.5+0.2=-1.8,即安装点的纵坐标的最小值是一 1.8m,当y=-1.8时，一打2 =_1.8,0 x=3,团安装点的横坐标的取值范围是：-3 W x W 3；【任务3】如图2,-21 1.8-2.0-1.2-0.4 0.4 1.2 2.0 2.8 x1 I 111 I I II、-3 0 3团若顶点一侧悬挂5 条灯带时，0.4+
38、0.8 x(5-1)3,若顶点一侧悬挂4 条灯带时，0.4+0.8 x(4-1)2（舍去）.答：消防员移动的距离力B的长为2-鱼米.【点睛】本题考查了点的坐标的运用，待定系数法求二次函数的解析式的运用，抛物线的平移的性质的运用，解答时将实际问题转化为数学问题求出函数的解析式是关键.【变式训练】1.（2022秋浙江温州九年级校联考阶段练习）如图，抛物线力B,4 c是某喷水器喷出的水抽象而成，抛物线4B由抛物线4 c 向左平移得到，把汽车横截面抽象为矩形O E F G,其中DE=g米，DG=2米，。4=八米，抛物线AC表达式为y=a（x-2）2 +/i+|,且点/,B,D,G,C 均在坐标轴上.若
39、h=求抛物线AC表达式.（2）在 条 件（1）下，要使喷水器喷出的水能洒到整个汽车，记。长为“米，求”的取值范围.若八=1,喷水器喷出的水能否洒到整个汽车？请说明理由.【答案】（l）y=+j（0 x 2+2V3）6 3 3（2）-2 +2V3 d 2能，理由见详解【分析】（1）先求得/点的坐标为（0,九），将点/坐标代入4 c解析式即可解答；（2）根据车高g米，可得点4 的纵坐标是右即把y=（代入AC解析式，就可以计算出点/对称点坐标，从而得到抛物线4 c 向左平移了 4 个单位度，再计算B 点坐标，又因为DG=2,即可解答；（3）方 法 同（1）计算出解析式、点 8、C 坐标，同理把y=（入
40、AC解析式，得到点G 横坐标的最大值，根据。G=2,可以计算出点。横坐标的最大值，再代入解析式，计算出此时纵坐标，比车高值大，即可解答.【详解】(1)团。4=fi,创点的坐标为(0,h),将4(0,九)代入y=a(x-2尸+九+1,得：a(0 2)2+九 +|=九，解得：a=-i,6团 九=3国抛物线4C表达式：y=-(x-2)2+2=-x24-x+-,6 6 3 3当y=0时，即一：(4 2y+2=0,解得：x=2 2V3,回根据点C 在 x 轴的正半轴，可得。(2+2 6,0),则此时自变量x 的取值范围为：0WXW2+2V5,即抛物线4C表达式：y=x2+|x +,(0 x 2+2V3)
41、；6 3 3A(2)0DE=FG=OA=3西、E、尸的纵坐标均为京1 3令；-浮+!+(解得：%!=0,x2=4,团刚好可以撒到整个汽车，图当F点在抛物线4c上，丽点坐标为(4,0点Z 的坐标是(0,3，团根据点尸、点力的坐标，结合图象可知抛物线4B是由抛物线4 c向左平移4 米得到的,团抛物线4c表达式：y=-i(x-2)2+2,E)抛 物 线 表 达 式 为：y=-i(x +2)2+2,把产0 代入y=-1(%+2/+2中,6得：-；(X+2)2+2=0,6解得Xi=-2 +2百，x2=-2 -2/(舍去)，W B=-2 +2V3,由(1)得把y=g代入丫=一(。-2)2+2中，得：xx=
42、0(舍去)，x2=4,根据喷出的水要可以撒到整个汽车，可知：0GW 4,O D N O B,DG=2,W D=0G-DG 2,0OB d O D,即-2+2%d 2.5,所以守门员不能成功防守.当h=1.8 ni且守门员刚好到达足球正下方时，此时速度最小.所以把人=1.8 代入解析式得：1.8 =（s-1 5）2+54 5解得：s=2 7 或 s=3 （不合题意舍去）所以足球飞行时间t =卷=g s,守I 1 员跑动距离为8 （2 0 +8 2 7）=7 （z w）,所以守门员速度为f m/s.9【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解题意，明确函数图象
43、上点的横坐标与纵坐标的含义是解本题的关键.3.（2 0 2 2 浙江九年级专题练习）如图1,灌溉车沿着平行于绿化带底部边线/的方向行驶，为绿化带浇水.喷水口H离地竖直高度为九（单位：m）.如图2,可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形D E F G,其水平宽度O E =3m,竖直高度为E F的长.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点4 离喷水口的水平距离为2 m,高出喷水口0.5 m,灌溉车到，的距离O D 为d （单位：m）.求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程。C；求下边缘抛物线与x 轴的正半轴
44、交点B 的坐标；要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d 的取值范围；若E F =lm.要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出力 的最小值.【答案】（1）y =-?（x-2）2 +2,6 m：（2,0）；（3）2 d 2V3-l嘴【分析】（1）根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由。点求出B点坐标;要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过尸点，下边缘抛物线O B 0,团 尢=2 +2 V 3.当x0时，y 随着工 的增大而减小，团当2 4%W 6 时，要使y N 0.5,则x 2 +2 V 3.团当0
45、Wx 0.5,囱当0 4x06时，要使y 2 0.5,则0 4 x 4 2 +2 百.回 CE =3,灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，团 d 的最大值为(2 +2 V 3)-3 =2 7 3-1.再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是。8 d,E l d 的最小值为2.综上所述，d 的取值范围是2 d 解得 zn=2.5,代入一“m+2 y+h+0.5=0 得九=空8 32所以无的最小值为景【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键.考JL三、二米备猿与布售问题例3（2021秋浙江湖州九年级统考期末）疫
46、情防控期间网络订餐实施 零接触 配送，德清县某快餐店配送某种套餐，每份套餐的成本价为30元.该快餐店店主结合订单数据发现，日销售量y（份）是每份套餐售价x（元）的一次函数，其中x,y 的四组对应值如下表：每份套餐售价X（元）35404550日销售量y（份）350300250200另外，该快餐店每日固定支出费用为1800元（不含套餐成本）注：日净收入=日销售量x（每份套餐售价-每份套餐成本价）-每日固定支出求日销售量y 关于每份套餐的售价x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）若日净收入为的（元），求出与x 的函数关系式；当每份套餐的售价定为多少元时，日净收入最大，最大日净收入是多
47、少？【答案】y=-10 x+700（2）w=-10 x2+lOOOx-22800每份套餐售价定为50元时，日净收入最大，最大日净收入为2200元【分析】（1）根据题意设函数解析式为y=kx+b,再将（35,350）,（40,300）分别代入即可求解；（2）根据题意得W=y（%-30）-1800并将其化简即可；（3）将二次函数解析式化成顶点式并根据其性质求解即可.【详解】（1）根据题意得设y=kx+b,将（35,350）,（40,300）分别代入得 滥 梵 二 骁解 得 忆 温Sy=-10 x+700；（2）根据题意得，W=y（x-30）-1800=（-10 x+700）（x-30）-1800=
48、-10 x2+1000%-22800；（3）W=-10 x2+lOOOx-22800=-1 0-50）2+2200团每份套餐售价定为50元时，日净收入最大，最大日净收入为2200元.【点睛】本题考查了二次函数的应用，理解题意是解决本题的关键.【变式训练】1.（2022秋浙江宁波九年级校联考期中）某超市经销一种销售成本为每件60元的商品，据市场调查发现，如果按每件70元销售，一周能售出500件，若销售单价每涨1元，每周销售就减少10件，设销售价为每件x元（x 7 0）,一周的销售量为y件.当销售价为每件80元时，一周能销售多少件；答：件；（2）写出y与x的函数关系式；设一周的销售利润为w，当销售
49、价定为多少元时，周销售利润W达到了最大值，最大值是多少元？在超市对该种商品投入不超过18000元的情况下，使得一周销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？【答案】400；(2)y=-lO x +1200(70 x 120)；当销售价定为90元时，周销售利润w达到了最大值，最大值是9000元;(4)销售单价应定为80元.【分析】(D每件80元时，则涨了 10元，所以每周销售就减少100件，然后用500件减去100件即可；(2)用销售价为每件x元，则每周销售就减少1 0(x-70)件，然后用500减去减少的件数得到y与x的函数关系式；(3)用每件得的利润乘以销售量得到w=(x-60)(-10
50、 x+1200),然后根据二次函数的性质解决问题；(4)先根据总成本确定x 的范围，然后解方程一 10(x-90)2+9000=8000即可.【详解】(1)解：500-10 x(8 0-70)=400(件)；故答案为：400；(2)解：y=500-10(x-70)=-10 x+1200(70 x 120)(3)解：w=(x-60)y=(x-60)(-10 x+1200)=-10 x2+1800%-72000=-1 0(x-9 0)2+9000,v a=-10 0,.当x=90时，w有最大值，最大值为9000元；答：当销售价定为90元时，周销售利润w达到了最大值，最大值是9000元；(4)解：6