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1、20202021学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二) 数 学 2021. 05注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答字写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1若aR，则“a2”是“复数z2ai的模为2”(i为虚数单位)的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A
2、【考点】复数的运算、逻辑用语中条件的判断【解析】由题意可知，当a2时，z22i，其模为2，则充分条件满足；当|z|2，则2，解得a2，所以“a2”是“复数z2ai的模为2”的充分不必要条件，故答案选A.2若集合Ax|y，By|y2x，则ABA(，2 B2，) C(0，2 D0，2【答案】C【考点】集合的运算【解析】由题意可知，A(，2，B(0，)，则AB(0，2，故答案选C.3从标有1，2，3，4，5，6的6张卡片中，不放回地随机抽取两次，每次抽取一张“在第一次抽到标号是4的条件下，第二次抽到的标号是奇数”的概率为A B C D【答案】A【考点】随机事件的条件概率求解【解析】由题意可知，在第一
3、次抽到标号是4的条件下，第二次抽时只剩下5张卡片，且奇数有3张，则设第二次抽到的标号是奇数为事件A，所以P(A)，故答案选A.4已知椭圆E：)的右焦点为F2，左顶点为A1，若E上的点P满足轴，则E的离心率为A B C D【答案】C【考点】圆锥曲线中椭圆的离心率求解【解析】由题意，|PF2|，|A1F2|ac，且sinPA1F2，所以tanPA1F2，即，化简为4b23a23ac，又由b2a2c2，可得4c23aca20，解得e，即E的离心率为，故答案选C.5已知asin1，bcos1，则下列不等式正确的是A BC D【答案】D【考点】三角函数、指对数比较大小【解析】由题意可知，因为1(，)，所
4、以asin1(，1)，bcos1(0，)，所以可得0ba1，则baaaab1，logablogaa1，即baablogab，故答案选D.6已知3sin()sin()，则cos2A B C D 【答案】B【考点】三角恒等变换【解析】法一：由题意可知，由3sin()sin()，可化简得，sin2cos，两边平方得3sin24cos2，结合sin2cos21，可得cos2，所以cos22cos21，故答案选B.法二：由题意可知，由3sin()sin()，可化简得sin2cos，由cos0，解得tan，所以cos2cos2sin2，故答案选B.7我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，
5、它由四个全等的直角三角形和一个正方形所构成(如图)，后人称其为“赵爽弦图”在直角三角形CGD中，已知GC4，GD3，在线段EF上任取一点P，线段BC上任取一点Q，则最大值为DA25 B27 C29 DGFCHEAB(第7题图)【答案】C【考点】新情景问题下的文化题：平面向量的数量积最值问题【解析】法一：由题意可知，在直角三角形CGD中，GC4，GD3，则CD5，所以()()25202525|5()|253|253|253|4|25|25|25429，故答案选C.yDDxGFCPGFCPHEAHEAQQBB法二：由题意可建系，以点F为坐标原点，分别以GC、BF所在的直线为x、y轴建立平面直角坐标
6、系，如图所示：则F(0，0)，C(3，0)，A(4，1)，B(0，4)，可设P(0，m)(1m0)，因为点Q在BC上，所以可设Q(x，y)，由n(0n1)，可得Q(3n，4n4)，所以(4，m1)(3n4，4n3)12n16(m1)(4n3)12n164n316n1329，故答案选C.8已知函数f(x)x21若存在m(1，4)使得不等式f(4ma)f(m23m)2成立，则实数a的取值范围是A(，7) B(，7 C(，8) D(，8【答案】C【考点】函数的性质综合应用：解决成立问题【解析】法一：由题意可知，f(x)x21x2(1)1x21，所以f(x)x21，则f(x)f(x)x21x212，所
7、以f(x)关于点(0，1)对称，且当x(0，)时，可得到f(x)为单调递增，所以f(x)在R上为单调递增，由f(4ma)f(m23m)2，可得f(4ma)2f(m23m)f(m23m)，则4mam23m，即am3在m(1，4)上成立，所以a(m3)max，由对勾函数的单调性可知，g(m)m3在(1，2)上单调递减，在(2，4)上单调递增，且g(4)8g(1)8，所以a8，则实数a的取值范围是(，8)，故答案选C.法二：由题意可知，f(x)x21x2(1)1x21，可设h(x)x2，则h(x)x2h(x)，所以h(x)为奇函数，且h(x)为R上的单调递增函数，则由f(4ma)f(m23m)2，可
8、得g(4ma)1g(m23m)12，即g(4ma)g(m23m)g(m23m)，所以4mam23m，即am3在m(1，4)上成立，所以a(m3)max，由对勾函数的单调性可知，g(m)m3在(1，2)上单调递减，在(2，4)上单调递增，且g(4)8g(1)8，所以a8，则实数a的取值范围是(，8)，故答案选C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9某中学为了研究高三年级学生的身高和性别的相关性问题，从高三年级800名学生中随机抽取200名学生测量身高，测量数据的列联表如下：单位：人性别身高合计低
9、于170cm不低于170cm女801696男2084104合计100100200下列说法正确的有A从列联表可以判断该样本是由分层抽样而得B从列联表可以看出该中学高三学生身高最高的是男生C有99.9%的把握认为该中学高三学生的身高与性别有关联D若该样本中男生身高h(单位：cm)服从正态分布N(175，25)，则该样本中身高在区间(175，180内的男生超过30人附1：2(其中nabcd)临界值表：P(2x0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001x02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附2：若XN(，2)，则随机变量X取值落在区间(，
10、)上的概率约为68.3%【答案】CD【考点】信息数据的处理、独立性检验、正态分布的应用【解析】由题意可知，对于选项A，从数据上比例不一致，则非分层抽样，所以选项A错误；对于选项B，从列联表可以看出身高处于低于170cm和不低于170cm的人数，但看不出身高最高的是男生还是女生，所以选项B错误；对于选项C，220.51210.828，则有99.9%的把握认为该中学高三学生的身高与性别有关联，所以选项C正确；对于选项D，由正态分布N(175，25)可知，身高在区间(175，180内的男生为P(，)10468.3%10435.530，即超过30人，所以选项D正确；综上，答案选CD.10在数学发展史上
11、，曾经定义过下列两种函数：1cos称为角的正矢，记作ver sin；1sin称为角的余矢，记作cover sin则Aver sinB函数f()ver sincover sin的最大值为C存在一个，使得函数f()ver sincover sin的值为D将函数f()cover sin的图象向左平移个单位后，可得到函数g()ver sin的图象【答案】BD【考点】新情景问题下的三角函数的图像与性质综合应用【解析】由题意可知，对于选项A，ver sin1cos1cos(336)1cos1，所以选项A错误；对于选项B，f()ver sincover sin(1cos)(1sin)sincos(sinco
12、s)1，令sincost，(t，)，则sincos，则yf()t1t2t(t，)，则可得t时取到最大值，所以选项B正确；对于选项C，f()ver sincover sin1cos(1sin)sincossin()，所以选项C错误；对于选项D，f()cover sin1sin，g()ver sin1cos，函数f()cover sin的图象向左平移个单位后可得1sin()1cos，即为函数g()，所以选项D正确；综上，答案选BD.11已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，点M为侧棱CC1上的动点，AM平面下列说法正确的有A异面直线AM与B1C可能垂直B直线BC与平面不可
13、能垂直CAB与平面所成角的正弦值的范围为(0，D若M且CMMC1，则平面截正四棱柱所得截面多边形的周长为【答案】ABD【考点】立体几何的综合应用：位置关系、线面角、截面问题等【解析】由题意，对于选项A，由点M为侧棱CC1上的动点，可知若点M为点C1时，此时B1CBC1，即B1CBM，而BM为AM在平面BCC1B1的射影，则AMB1C，所以选项A正确；对于选项B，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AM与BC不平行，而AM平面，所以直线BC与平面不可能垂直，所以选项B正确；对于选项C，由AM平面，则AB与平面所成角的正弦值即为AB与AM所成角的余弦值cosBAM，则cosBAM，所以选项C错误
14、；对于选项D，连结MB1，MD1，可得AMMB1，AMMD1，则平面MB1D1即为平面，所以平面截正四棱柱所得截面多边形为ABCDA1B1C1D1MB1D1，其周长为3B1D1，所以选项D正确；综上，答案选ABD.M12已知函数f(x)的定义域为R，且在R上可导，其导函数记为f(x)下列命题正确的有A若函数f(x)是奇函数，则f(x)是偶函数B若函数f(x)是偶函数，则f(x)是奇函数C若函数f(x)是周期函数，则f(x)也是周期函数D若函数f(x)是周期函数，则f(x)也是周期函数【答案】AC【考点】函数与导数的性质综合应用【解析】法一：由题意，对于选项A，若函数f(x)是奇函数，则f(x)
15、f(x)，所以f(x)f(x)，f(x)f(x)，即f(x)f(x)，所以f(x)是偶函数，所以选项A正确；对于选项B，可设f(x)x1，则f(x)1，满足f(x)是偶函数，但f(x)x1不是奇函数，所以选项B错误；对于选项C，若函数f(x)是周期函数，则可设f(xT)f(x)，所以f(xT)f(x)，即f(x)也是周期函数，所以选项C正确；对于选项D，可设f(x)x1，则f(x)1，满足f(x)是周期函数，而f(x)不是周期函数，所以选项D错误；综上，答案选AC.法二：由题意，对于选项A，若函数f(x)是奇函数，则f(x)f(x)，所以f(x)f(x)，则f(x)是偶函数，所以选项A正确；对
16、于选项B，若函数f(x)是偶函数，则f(x)f(x)，所以f(x)f(x)，则f(x)f(x)，所以f(x)C1f(x)C2，即f(x)f(x)C2C1，由于C2C1不一定为0，则f(x)不一定为奇函数，所以选项B错误；对于选项C，若函数f(x)是周期函数，则可设f(xT)f(x)，所以f(xT)f(x)，即f(x)也是周期函数，所以选项C正确；对于选项D，若函数f(x)是周期函数，则有f(xT)f(x)，则f(xT)C1f(x)C2，由于C2与C1不一定，所以f(x)不一定为周期函数，所以选项D错误；综上，答案选AC.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分请将答案填写在答题卡相应的位
17、置上13已知抛物线的焦点为F，点A(0，2)若线段FA的中点B在抛物线上，则p的值为 【答案】【考点】抛物线的几何性质应用【解析】由题意可知，F(，0)，则B(，1)，由点B在抛物线上，可得122p，解得p22，p.14已知等差数列的首项为a，公差为b(其中a，bN*)，且，写出一个满足条件的数列的通项公式： 【答案】an2n1或an3n1(形如ankn(k2)(为不小于3的正整数)【考点】等比数列的通项公式求解【解析】由题意可知，ana(n1)b，由，可化为ababa2b，则有ab(ab)0，ab(a2b)0，即(a1)(b1)1，(a2)(b1)2，且a，bN*，则解得a3，b2，或a2，
18、b3；当a3，b2时，an2n1可满足题意.15已知平面向量a，b，c满足|b|c|1，|bc|，2abac1，则b与c的夹角为 ；|a|等于 (第一空2分，第二空3分)【答案】120，【考点】平面向量的数量积运算【解析】由|b|c|1，|bc|，可知|bc|2|b|22bc|c|212|b|c|cos13，解得cos，所以120；法一：可设b(1，0)，c(m，n)，则|bc|，又|c|1，则解得m，n2，设a(x，y)，则由2abac1，可得2x1，xny1，则ny，即y，所以|a|.法二：可设a，b，c，由2abac10，可设AOB，则AOC，所以ab|cos|cos，ac|cos()|
19、cos()1，则2，化简得2，解得cos，所以|a|.OBCA法三：由题意可设(1)，设a，b，c，由2abac1，可得21，1，即，1，联立解得，所以，所以|a|.法四：由题意可设a，b，c，由2abac1，可得21，1，则由数量积的几何意义可得，AD垂直平分OB，ACOC，所以|a|2R.ODCBA法五：因为2abac1，所以21，1，则由数量积的几何意义可得，点A为OB的垂直平分线与OC的垂线的交点，可得到A、C、O、D四点共圆，所以由正弦定理可得，OA2R.ODCBA16一个组合体由上下两部分组成，上部是一个半球，下部是一个圆柱，半球的底面与圆柱的上底面重合若该组合体的体积为定值V，则
20、当圆柱底面半径r 时，该组合体的表面积最小【答案】【考点】几何体的表面积的最值问题【解析】法一：可设半球的半径为r，圆柱的高为h，则Vr2hr3，解得rhr2，则组合体的表面积S2r22rhr23r22(r2)2r2，令f(r)2r2，f(r)r，令f(r)0，解得r，所以f(r)在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，所以当r时，S最小.法二：可设半球的半径为r，圆柱的高为h，则Vr2hr3，解得rhr2，则组合体的表面积S2r22rhr23r22(r2)r23，当且仅当r2，即r时取等号，则r时，组合体的表面积最小.三、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
21、17(本小题满分10分)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且abacosBbcosA(1)求证：ab；(2)若c4，cosC，求ABC的面积【考点】解三角形中正余弦定理的应用【解析】(1)因为abacosBbcosA，由余弦定理， 2分即， 4分因为abc，所以ab 5分(2)若c4，cosC，因为，则，得20， 8分又因为0C，所以，于是 10分18(本小题满分12分)在nan1(n1)ann2n，3Sn(n2)an，这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答下列题目设首项为2的数列an的前n项和为Sn，前n项积为Tn，且 (1)求数列an的通项公式；(2)设bn(1)na
22、n，求数列bn的前n项和【考点】数列求通项公式与求和【解析】选：因为nan1(n1)ann2n，得1， 2分所以数列是等差数列，首项为2，公差为1， 4分则2(n1)1n1，所以an =n(n+1) 6分选：因为3Sn(n2)an，当n2时，则，即， 2分所以，所以ana1n(n1) 4分当n1时，a12也满足，所以ann(n1) 6分选：因为，即an， 2分所以，即，所以数列是常数列， 4分所以1，即ann(n1) 6分(2)因为bn(1)nan，当n为偶数时，b1(n1)n372n1 9分当n为奇数时，b1b2bn(121)(222)(n1)2(n1)n2n所以b1b2bn 12分19(本
23、小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是边长为2的等边三角形，平面ABC平面AA1B1B，A1AA1B，A1AB60，O为AB的中点，M为A1C1的中点(1)求证：OM平面BB1C1C；(2)求二面角C1BA1C的正弦值【考点】立体几何中的位置关系证明、二面角求解【解析】(1)证明：取B1C1中点E，连接BE，A1MC1M，MEA1B1，ME/A1B1， 三棱柱ABCA1B1C1，O为AB的中点，OBA1B1，OB/A1B1，OBME，OB/ ME，四边形OMEB为平行四边形，OM /BE 3分OM平面BB1C1C，BE平面BB1C1C，OM平面BB1C1C 5分(2)CA
24、CB，AOOB，COAB，平面ABC平面AA1B1B，平面ABC平面AA1B1BAB，CO 平面CAB，CO平面AA1B1B， 7分A1AA1B，A1AB60，AA1B为等边三角形，AOOB，OA1AB，OA，OA1，OC两两垂直，以，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，A(1，0，0)，A1(0，0)，B(1，0，0)，C(0，0，)，C1(1，)(1，0，)，(1，0)设平面A1BC的一个法向量为(x1，y1，z1)，取x1，得y11，z11平面A1BC的一个法向量为(，1，1)， 9分(1，0)，(0，)设平面A1BC1的一个法向量为(x2，y2，z2)，取y21，得x2，z
25、21平面A1BC1的一个法向量为(，1，1)， 11分cos，sin，即二面角C1BA1C的正弦值为 12分20(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知动点M到定点F(2，0)的距离与到定直线l：的距离之比为定值(1)求动点M的轨迹E的方程；(2)过点F作互相垂直的两条直线l1，l2，其中l1交动点M的轨迹E于M，N两点，l2交圆D：于P，Q两点，点R是线段PQ的中点，求RMN面积的最小值【考点】动点的轨迹方程、圆锥曲线中双曲线与直线的位置关系：求面积的最值【解析】(1)设M(x，y)，由题意得： ， 2分即，化简得E： 4分(2)若l1的斜率不存在，则MN，R(4，0)，所以RMN
26、面积为 5分若l1的斜率存在，且不为0，设为k1，则l1：yk1(x2)，代入E：中并化简得：(13k12)x212k12x12k1230，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则MN|x1x2|， 7分l2：y(x2)，即xk1y20，所以FR，且3，得k123， 9分所以RMN面积为S， 10分令3k121t(8，)，则S22，所以S的最小值为2，即RMN面积的最小值为2 12分21 (本小题满分12分)某中学的一个高二学生社团打算在开学初组织部分同学打扫校园该社团通知高二同学自愿报名，由于报名的人数多达50人，于是该社团采用了在报名同学中用抽签的方式来确定打扫校园的人员名单，抽签方式如下
27、：将50名同学编号，通过计算机从这50个编号中随机抽取30个编号，然后再次通过计算机从这50个编号中随机抽取30个编号，两次都被抽取到的同学打扫校园(1)设该校高二年级报名打扫校园的甲同学的编号被抽取到的次数为Y，求Y的数学期望；(2)设两次都被抽取到的人数为变量X，则X的可能取值是哪些？其中X取到哪一个值的可能性最大？请说明理由【考点】随机变量的概率与期望、利用单调性求最值【解析】(1)因为甲同学在第一次被抽到的概率是， 1分第二次被抽到的概率也是，且两次相互独立，所以YB(2，)， 3分所以E(Y)2 4分(2)设两次都被抽取到的人数为变量X，则10X30(XN*)， 6分则P(Xn)，
28、8分令f(n)，所以，若(30n)2(n1)(n9)90952n0，则n17， 11分所以当n17时，f(n1)f(n)；当n18时，f(n1)f(n)，所以当n18时，f(n)最大，即P(X18)最大，所以参加打扫图书馆的人数最有可能是18人 12分22(本小题满分12分)已知函数(e为自然对数的底数)(1)若函数g(x)xf(x)在(0，)上为增函数，求实数a的取值范围；(2)证明：对任意实数a，函数h(x)f(x)lnx有且只有一个零点【考点】函数与导数：利用函数的单调性求参数取值范围、证明零点个数问题【解析】(1)因为函数g(x)在(0，)上单调递增，所以g(x)10在(0，)上恒成立
29、， 1分所以a(1x)ex在(0，)上恒成立，当x1时，aR，当x1时，a在(0，)上恒成立，令t(x)，则t(x)，x(1，2)2(2，)t(x)0t(x)增极大值减则t(x)maxt(2)e2，所以ae2当0x1时，a在(0，)上恒成立，且t(x)在(0，1)上单调递增，所以a1，所以e2a1 4分(2)首先证明当x0时，exx1x证明：设p(x)exx1，则p(x)ex1，令p(x)0，得x0，当x0时，p(x)0，p(x)单调递减；当x0时，p(x)0，p(x)单调递增所以p(x)minp(0)0，所以p(x)exx10，所以exx1x 6分当a0时，结论显然成立； 7分当a0时，令h(x)，(i)当0x1时，恒成立，(ii)当x1时，h(x)0，所以h(x)在区间(1，)上单调递减，且h(1)0，h(ea)a所以ea0，即h(ea)0，所以h(x)在(1，ea)上只有一个零点，所以h(x)在(0，)上只有一个零点 9分当a0时，(i)当x1时，恒成立，(ii)当0x1时，h(x)0，所以h(x)在(1，)上单调递减，且h(1)0，h(ea)a0，所以h(x)在(ea，1)上只有一个零点， 11分所以h(x)在(0，)上有且只有一个零点 12分高三数学 第17页(共17页)