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1、第三讲 双曲线1双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的_等于常数2a(2a_|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线(习惯上称为第一定义)这两个定点叫做双曲线的_，两焦点间的距离叫做双曲线的_(2)另一种定义方式：平面内动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(e1)的轨迹叫做双曲线定点F叫做双曲线的一个焦点，定直线l叫做双曲线的一条准线，常数e叫做双曲线的_(3)实轴和_相等的双曲线叫做等轴双曲线离心率e是双曲线为等轴双曲线的充要条件，且等轴双曲线两条渐近线互相垂直一般可设其方程为x2y2(0)2双曲线的标准方程及几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上(1)图形(2
2、)标准方程1(a0，b0)(3)范围|x|a|y|a(4)中心原点O(0，0)(5)顶点A1(a，0)，A2(a，0)(6)对称轴x轴，y轴(7)焦点F1(0，c)，F2(0，c)(8)焦距2c2(9)离心率(10)准线xy(11)渐近线方程yx【答案】1(1)绝对值焦点焦距(2)离心率(3)虚轴2(2)1(a0，b0)(5)A1(0，a)，A2(0，a)(7)F1(c，0)，F2(c，0)(9)e(e1)(11)yx【基础自测】1设双曲线1(a0)的渐近线方程为3x2y0，则a的值为()A4 B3 C2 D1解：由双曲线方程可知渐近线方程为yx，又a0，可知a2.故选C.2已知0，则双曲线C
3、1：1与C2：1的()A实轴长相等 B虚轴长相等C焦距相等 D离心率相等 3已知双曲线C：1的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为()A. 1 B. 1C. 1 D. 1解：根据已知可得半焦距c5，点P(2，1)在双曲线的一条渐近线方程yx上，a2b.根据c2a2b2，有254b2b2，得b25，a220，所求C的方程为1.故选A.4双曲线1的离心率为_解：依题意知a216，b29，c2a2b225，c5.该双曲线的离心率为e.故填.5已知曲线方程1，若方程表示双曲线，则的取值范围是_解：方程1表示双曲线，(2)(1)0，解得2或1.故填2或1.【典例】类型一双曲线的定义及标
4、准方程例一求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)经过点(5，2)，焦点为(，0)；(2)实半轴长为2，且与双曲线1有公共焦点解：(1)焦点坐标为(，0)，焦点在x轴上，可设双曲线方程为1(a0，b0)双曲线过点(5，2)， (2)由双曲线1得其焦点坐标为F1(-2，0)和F2(2，0)，由题意知，可设所求双曲线方程为1(a0，b0)易知a2，c2，b2c2a28.所求双曲线方程为1.【评析】(1)求双曲线的标准方程一般用待定系数法；(2)当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax2By21(AB0)，这样可以简化运算变式求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)对
5、称轴为坐标轴，经过点P(3，2)，Q(6，7)；(2)与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2)解：(1)依题意知，所求双曲线方程为标准方程，但不知焦点在哪个轴上，故可设双曲线方程为Ax2By21(AB0)，所求双曲线经过P(3，2)，Q(6，7)，解得A，B.故所求双曲线方程为1.(2)解法一：设双曲线方程为1，易求c2，双曲线过点(3，2)，1，得a2.类型二双曲线的离心率例二(1)设双曲线1(ba0)的半焦距为c，直线l经过(a，0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为_解：直线l的方程为1，即bxayab0.由原点到直线l的距离dc，得3c416a2b216a2
6、(c2a2)，即3c416c2a216a40，有3e416e2160，解之得e24或e2.ba0，b2a2，即c2a2a2，e22.e24，e2.故填2.(2)已知双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A，B两点，若4，则C的离心率为_解：设双曲线C：1的右准线为l，过A，B分别作AMl于M，BNl于N，作BDAM于点D，由直线AB的斜率为知直线AB的倾斜角为60，BAD60，|AD|AB|.又|AM|BN|AD|(|)|AB|(|)又4，3|，得e.故填.(亦可联立直线与双曲线的方程求解，但计算较繁)【评析】(1)要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找
7、好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a，c的齐次式，进而求解(2)要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征2c的运用，对于变式2(2)，还可利用双曲线的另一种定义(见人教A版教材选修21P59例5)e4a，xPa，得10，b0)的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为()A. B. C. D2解：渐近线方程为yx，一个焦点的坐标为(c，0)，由点到直线的距离公式得db2a，ca，离心率e.故选C.5已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解：圆C的方程可化为(
8、x3)2y24，则圆心C(3，0)，半径r2，c3.又双曲线的渐近线方程为yx，即bxay0，两条渐近线均和圆C相切，2，即3b2c6，b2，a2c2b25.所求双曲线方程为1.故选A.6设F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右两焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，) B(1，)C(1，1) D(1，1)解：由方程组 得A，B，|AF1|.易知|F1F2|2c. 7若双曲线1的离心率为，则其渐近线方程为_解：在双曲线1中，离心率e，可得，故所求双曲线的渐近线方程是yx.故填yx.8已知F为双曲线C：1的左
9、焦点，P，Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ上，则PQF的周长为_解：由题意知a3，b4，c5，点A(5，0)为双曲线C的右焦点又2a6，2a6，4b16，PQF的周长l(6)(6)212321244.故填44.9已知斜率为1的直线l与双曲线C：1(a0，b0)相交于B，D两点，且BD的中点为M(1，3)，求C的离心率解：易求得直线l的方程为yx2，代入C的方程，并化简，得(b2a2)x24a2x4a2a2b20.设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由M(1，3)为BD的中点知1，1，有b23a2.c2a.C的离心率e2.10已知双曲线y2
10、1的左、右顶点分别为A1，A2，点P(x1，y1)，Q(x1，y1)是双曲线上不同的两个动点求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程即x1，y1，则x0，|x|.而点P(x1，y1)在双曲线y21上，y1.将代入上式，整理得所求轨迹E的方程为y21，x0且x.11在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2y21.(1)设F是C的左焦点，M是C右支上一点若2，求M点的坐标；(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积解：(1)双曲线C：y21，左焦点F.设M(x，y)，则y2.由M是双曲线C右支上一点，知x，x2，得x，此时y.M点的坐标为.(2)易知左顶点
11、A，渐近线方程为yx.过点A与渐近线yx平行的直线方程为y，即yx1.解方程组得所求平行四边形的面积S.12 设A是双曲线1右支上一点，F为右焦点，连结AF交双曲线的右支于B点，作直线BC垂直定直线l：x，垂足为C，求证：直线AC恒过定点易知直线AC的斜率为k，故直线AC的方程为yy2k，即yk.又(y2).因此，直线AC的方程为yk，故直线AC恒过定点.证法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知F(5，0)，C.如图，过点A作AD垂直于l，D为垂足过点F作直线PQx轴，交AD，BC于P，Q，易知APFBQF ，则，易知kAB，.直线AC的斜率为k，故直线AC的方程为yy2k，即yk.将代入，经计算，.因此，直线AC的方程为yk，故直线AC恒过定点(验证可知当直线AB的斜率不存在时也满足)