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1、高二第二学期期末练习卷高二第二学期期末练习卷第第卷卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。要求的。1已知集合|e1xNx=，若集合M满足NMM=，则M可能是（）A0,1,2,3 B2|9x x=C|3x x DR2已知43i2iz=，则z=（）A5B5 C2 5 D103.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数:设xR，用 x表示不超过x的最大整数，则 yx=称为高斯函数，也称取整函
2、数，例如:1.32 3.43=，已知11()313xf x=+，则函数()yf x=的值域为（）A.0B.10，C.01，D.101，4已知向量a，b的夹角为 60，且1aab=，则（）A21ab=B21ab=C,60a ab=D,60b ab=5半径为 2m 的水轮如图所示，水轮的圆心O距离水面3m.已知水轮按逆时针方向每分钟转 4 圈，水轮上的点P到水面的距离y(单位：m）与时间x(单位：s）满足关系式sin3yAxk=+.从点P离开水面开始计时，则点P到达最高点所需最短时间为（）A854s B254s C354s D10 s 6已知ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若()(
3、)3abc bcabc+=，且sin2sincosABC=，那么ABC是（）A直角三角形 B等边三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形 7若存在正实数 y，使得54yxxyxy=+，则实数 x 的最大值为（）A15B54C1 D4 8.若函数()2exf xaxb=+，则下列说法正确的是（）A.若1b ，则对于任意0a 函数()()ff x都有 2 个零点B.若1b 函数()()ff x都有 4个零点C.若1b 使得函数()()ff x有 2 个零点D.若1b=，则存在00a 使得函数()()ff x有 2 个零点二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分
4、，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。9已知21nxx+的展开式中二项式系数之和为 1024，则下列说法正确的（）A展开式中奇数项的二项式系数和为 256 B展开式的各项系数之和为 1024 C展开式中常数项为 45 D展开式中含15x项的系数为 45 10下列说法正确的是（）A在一个 22 列联表中，计算得到2的值，则2的值越接近 1，可以判断两个变量相关的把握性越大 B随机变量()2,N，若函数()()2f xP x
5、x=+为偶函数，则1=C若回归直线方程为1.22yx=+，则样本点的中心不可能为(5,7)D若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.91和 0.89，则甲组数据的线性相关性更强 11.我们知道，函数yf x=（）的图象关系坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 yf x=（）为奇函数.有同学发现可以将其推广为:函数yf x=（）的图象关于点P ab（，）成中心对称图形的充要条件是函数yf xab=+（）为奇函数.现在已知，函数 322f xxmxnx=+（）的图像关于点2 0（，）对称，则（）A 20f=（）B.13f=（）C.对任意xR，有220fxfx+=（）（）D.存在非零实数0 x，使()
6、()00220fxfx+=12.若正四棱柱1111ABCDABC D的底面棱长为 4，侧棱长为 3，在.浙江省宁波市奉化区九校联考2022-2023学年高二下学期期末模拟练习数学试题且M为棱1AA的靠近点A的三等分点，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，且满足MP与底面ABCD的所成角4，则下列结论正确的是（）A.点P所在区域面积为4B.四面体11PACD的体积取值范围为6 8，C.有且仅有一个点P使得1MPPCD.线段1PC长度最小值为17第第卷卷 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13.已知函数()2log,032,0
7、xx xf xx=，则12ff=_.14 某城市休闲公园管理人员拟对一块圆环区域进行改造封闭式种植鲜花，该圆环区域被等分为 5 个部分，每个部分从红、黄、紫三种颜色的鲜花中选取一种进行栽植要求相邻区域不能用同种颜色的鲜花，总的栽植方案有_种 15三个元件,a b c独立正常工作的概率分别是1 1 2,3 2 3，把它们随意接入如图所示电路的三个接线盒123,T T T中（一盒接一个元件），各种连接方法中，此电路正常工作的最大概率是_.16.已知向量ab，满足236abc=，若以向量ab，为基底，将向量c表示成cab=+（，为实数），都有1+，则a b 的最小值为_ 四、解答题：本题共四、解答题
8、：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17 已知函数sin 2sin66f xxx=+（）.（1）若3sin65x+=，求f x（）的值;（2）若在锐角ABC中，角ABC，所对边分别为abc，已知22f Aa=（），求 ABC的周长的取值范围.18（12 分）某校 20 名学生的数学成绩(1,2,20)ix i=和知识竞赛成绩(1,2,20)iy i=如下表：学生编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩ix100 99 96 93 90 88 85 83 80 77 知识竞赛成绩iy 29
9、0 160 220 200 65 70 90 100 60 270 学生编号i 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 数学成绩ix75 74 72 70 68 66 60 50 39 35 知识竞赛成绩iy 45 35 40 50 25 30 20 15 10 5 计算可得数学成绩的平均值是75x=，知识竞赛成绩的平均值是90y=，并且()20216464iixx=，()2021149450iiyy=，()()20121650iiixxyy=(1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）(2)设*NN，变量x和变量y的一组样本数据为(),|1,2
10、,iix yiN=，其中(1,2,)ix iN=两两不相同，(1,2,)iy iN=两两不相同记ix在,2|1,nxnN=中的排名是第iR位，iy在,2|1,nynN=中的排名是第iS位，1,2,iN=定义变量x和变量y的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量x的排名和变量y的排名的样本相关系数（i）记iiidRS=，1,2,iN=证明：()221611NiidN N=（ii）用（i）的公式求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”（精确到0.01）(3)比较（1）和（2）（ii）的计算结果，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势的注：参考公式与参考数据()()()()12
11、211niiinniiiixxyyrxxyy=；21(1)(21)6nkn nnk=+=；6464 14945031000 19（12 分）某商场拟在周年店庆进行促销活动，对一次性消费超过 200 元的顾客，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子，若向上点数不超过 4 点，获得 1分，否则获得 2 分，进行若干轮游戏，若累计得分为 9 分，则游戏结束，可得到 200 元礼券，若累计得分为 10 分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行 9 轮游戏.(1)当进行完 3 轮游戏时，总分为X，求X的分布列和数学期望；(2)若累计得分为i的概率为()1,2,
12、9ip i=，初始分数为 0 分，记01p=（i）证明：数列()11,2,9iippi=是等比数列；（ii）求活动参与者得到纪念品的概率.20.如图，在三棱柱:111ABCABC中，2ABACABAC=，点D为线段BC中点，侧面11BCC B为矩形.（1）证明:平面1A AD 平面11BCC B;（2）若123A AB=，二面角1ABCA的正切值为12，求1CC与平面1ABC所成角的正弦值.21.如图，在四棱锥EABCD中，四边形 ABCD是菱形，且3BAD=，2ABEAED=，F是线段 AD的中点.(1)求证：平面EBC 平面 EFB；(2)若6EB=，求二面角DEBF的正弦值.22 已知函
13、数22()01xaf xax=，（1）当1a=时，求()f x在区间4 8，上的值域;（2）函数()g xx xa=，若对任意04 8x，存在124 8xx，且12xx，使得()()()120g xg xf x=，求a的范围.高二第二学期期末练习卷参考答案高二第二学期期末练习卷参考答案选择题CABC BBAB 多选题9.BCD；10.BCD；11.ACD；12.AB12 题解析：A选项，当1MAAP=时，MP与与底面ABCD的所成角4=，故点P所在区域为以 A为圆心，1为半径的圆在正方形ABCD内部部分（包含边界弧长），即圆的14，面积为211 144=，A 正确；如图，当点 P 位于AE上时
14、，此时点 P到平面11ACD的距离最大，最大距离为341255AH=，此时四面体11PACD的体积为11111124583325A CDSAH=，当 P 与点 F 重合时，此时点 P 到平面11ACD的距离最小，最小距离为FK，因为BFKBAH，所以34FKAH=，所以最小体积为3864=，故四面体11PACD的体积取值范围为6 8，B正确；C选项，不妨点 P与点 F重合，此时2221134PCFBBCCC=+=，由余弦定理得：222111123436cos022234MFC FC MMFCMF C F+=，则12MFC=同理可得：12MEC=，故多于一个点P使得1MPPC，C 错误；D选项，
15、当 PC 取最小值时，线段1PC长度最小，由三角形两边之和大于第三边可知：当 A，P，C三点共线时，PC 取得最小值，即min4 21PC=，则()221min4 213428 2PC=+=，D 错误填空题 13.1；14.30；15.49；16.44 10解答题 17.（1）解：()sin 2sin66f xxx=+，cos 2sin36xx=+，22sinsin166xx=+，因为3sin65x+=，所以()2338215525f x=+=；（2）()22sinsin1266fAAA=+=，22sinsin3066AA+=，解得sin16A+=或3sin62A+=（舍去），则62A+=，解
16、得3A=，所以外接圆的直径为4 32sin3aRA=，所以三角形的周长为()22sinsinlRBC=+，222sinsin3RBB=+22 3 sin6RB=+24sin6B=+，因为三角形是锐角三角形，所以0202BC，即022032BB，解得62B，则5366B+，1sin126B+，所以(4,6l.18.【详解】（1）由题意，这组学生数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数为()()()()20120202211iiiiiiixxyyrxxyy=21650216500.70310006464 14950=（2）（i）证明：因为 iR和 iS都是 1，2，N的一个排列，所以 11(1)2NN
17、iiiiN NRS=+=，2211(1)(21)6NNiiiiN NNRS=+=，从而 iR和 iS的平均数都是12NRS+=因此，()22222111112NNNNNiiiiiiiiiRRRRRRRNR=+=2(1)(21)(1)64N NNN N+=(1)(1)12N NN+=，同理可得()21(1)(1)12NiiN NNSS=+=，由于21Niid=()()()2211NNiiiiiiRSRRSS=()()22112NNiiiiRRSS=+()()1NiiiRRSS=()()1(1)(1)2212NiiiN NNRRSS=+=，所以()()()()()2211222111(1)(1)1
18、61221(1)(1)112NNiiiNiiiNNiiiiiN NNRRSSddN NNN NRRSS=+=+；（ii）由题目数据，可写出iR与iS的值如下：同学编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩排名iR1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 知识竞赛成绩排名iS1 5 3 4 9 8 7 6 10 2 同学编号i 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 数学成绩排名iR11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 知识竞赛成绩排名iS 12 14 13 11 16 15 17 18 19 20 所以20N=，并且222222219
19、04 13 22 31 41 8114Niid=+=因此这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的斯皮尔曼相关系数是()2611140.9120 201=（3）答案：斯皮尔曼相关系数对于异常值不太敏感，如果数据中有明显的异常值，那么用斯皮尔曼相关系数比用样本相关系数更能刻画某种线性关系；答案：斯皮尔曼相关系数刻画的是样本数据排名的样本相关系数，与具体的数值无关，只与排名有关如果一组数据有异常值，但排名依然符合一定的线性关系，则可以采用斯皮尔曼相关系数刻画线性关系19.（1）解：由题意得每轮游戏获得 1 分的概率为23，获得 2 分的概率为13所以随机变量X可能取值为 3，4，5，6，可得()32833
20、27P X=，()2131244339P XC=()2231225339P XC=，()3116327P X=所以X的分布列：X3 4 5 6 P8274929127所以期望()842134564279927E X=+=.（2）解：（）证明：1i=，即累计得分为 1 分，是第 1 次掷骰子，向上点数不超过 4 点的概率123p=则1013pp=，累计得i分为分的情况有两种：()22ii=+，即前一轮累计得2i 分，又掷骰子点数超过 4 点得 2 分，其概率为213ip，()11ii=+，即前一轮累计得1i 分，又掷骰子点数没超过 4 点得 1 分，其概率为123ip，所以()21122,3,9
21、33iiipppi=+=，所以()()11212,3,93iiiippppi=，所以数列()11,2,9iippi=是首项为13，公比为13的等比数列.（）因为数列1iipp是首项为13，公比为13的等比数列，所以113iiipp=，所以1013pp=，22113pp=，113iiipp=，各式相加，得：011143iipp=，所以()3111,2,9443iipi=+=所以活动参与者得到纪念品的概率为891081131111133443443pp=+=+.20（1）证明：因为2ABACABAC=，点D为线段BC中点，所以ADBC，又侧面11BCC B为矩形，所以1BBBC，所以1AABC.又
22、1AAADA=，所以BC 平面1AAD，因为BC 平面11BCC B，所以平面1AAD 平面11BCC B；（2）解：由（1）得BC 平面1AAD，所以1BCAD，又BCAD，所以1ADA就是二面角1ABCA的平面角，所以11tan2ADA=，则1152 5sin,cos55ADAADA=，设1A Ax=，在1A AB中，123A AB=，2AB=，所以21222+422 cos+2+43xxxxAB=，在1ADB中，212221+2+42+2+2ADABBDxxxx=，所以在1A AD中，2221111cos2ADADA AADAAD AD+=，即()222222 5522+2+2+2+2x
23、xxxx+=，化简得23440 xx=，解得2x=（23x=舍去），所以12A A=，以点 D为坐标原点，,DA DB Dz分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示，过1A作1AH 底面ABC，因为12AA=，2212412ABxx=+=，则12 3AB=，221110ADABBD=，则1115sin102,25AHADADAAH=，则()1(2 2,0,2),(2,0,0),(0,2,0),0,2,0AABC，则1(2 2,2,2),(0,2 2,0)ABBC=，设平面1ABC的法向量为(,)mx y z=，由12 2220m ABxyz=+=，2 2m BC=，则0y=，令1x=
24、，则2z=，即(1,0,2)m=，11(2,0,2)CCAA=，设1CC与平面1ABC所成的角为，则111210sincos,1052CC mCC mCCm=，所以1CC与平面1ABC所成角的正弦值为1010.21.【解析】（1）因为EAED=，F 是线段 AD 的中点，所以EFAD，在ABD中，因为ABAD=，3BAD=，所以ABD为等边三角形，所以BFAD，因为=BFEFF，BF平面 EFB，EF 平面 EFB，所以AD 平面 EFB，因为四边形 ABCD 是菱形，所以BCAD，则BC平面 EFB，又BC平面 EBC，所以平面EBC 平面 EFB.（2）在RtAEF中，因为2EA=，1AF
25、=，所以3EF=，同理可得3BF=，又6EB=，所以222EBBFEF=+，所以EFFB，结合（1）可知 FE，FA，FB 两两垂直，故以点 F 为坐标原点，分别以 FE，FA，FB 所在直线为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz，则()0,0,0F，()0,1,0D，()0,1,0A，()0,0,3B，()3,0,0E，所以()3 1 0DE,=，()0 13DB,=，由（1）得AD 平面 EFB，故可取平面 EFB 的一个法向量为()0 1 0mFA,=，设平面 EBD 的法向量为(),nx y z=，则00n DEn DB=，所以3030 xyyz+=+=，取3x=，则(
26、)3,3,3n=，所以315cos5393 1m nm,nm n=+，设二面角DEBF的平面角为，则15cos5=，所以210sin1 cos5=，所以二面角DEBF的正弦值为105.22（1）解：当1a=时，22(1)(1)11()1111xxxf xxxxx+=+，在区间4 8，上任意取两个值12,x x，令12xx，则12121212121211()()11()11(1)(1)xxf xf xxxxxxxxx=+=+，因为1212,4,8,x xxx，所以12()()f xf x=，在区间4 8，上任意取两个值,mnxx，令mnxx，则(21)()1212()()11()11(1)(1)
27、mnmnmnmnmnmnaxxaaf xf xxxxxxxxx=+=+，当04a，当4a 时，210a，故()()mnf xf x，则函数()f x在区间4 8，上单调递增，则162642(4),(8)37aaff=，当48a时，函数22,4(),8axxxag xxax ax=，故函数()g x在区间4,a上单调递减，在区间(,8a上单调递增，则(4)416,()0,(8)648gag aga=，故6424167(4)(8)642(8)(8)6487()(4)16203aagfagfag afa，解得8864159a；当8a=时，2()8g xxx=,在区间4 8，上单调递减，不满足题意；当816a，4,8x时，2()g xaxx=，对称轴为2ax=，且482a，解得3247a，与816a矛盾，故不满足题意；当16a 时，2()g xaxx=，在区间4 8，上单调递增，不满足题意.综上，a的范围为88 64,159.