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1、题型专题(九)基本初等函数、函数与方程师说考点1指数与对数式的8个运算公式(1)amanamn，(2)(am)namn，(3)(ab)mambm.其中，a0，b0.(4)loga(MN)logaMlogaN，(5)logalogaMlogaN，(6)logaMnnlogaM，(7)alogaNN，(8)logaN.其中，a0且a1，b0且b1，M0，N0.2指数函数与对数函数的图象和性质指数函数yax(a0，a1)与对数函数ylogax(a0，a1)的图象和性质，分0a1两种情况：当a1时，两函数在定义域内都为增函数，当0a1时，两函数在定义域内都为减函数典例(1)(2016全国丙卷)已知a2
2、，b4，c25，则()Abac Babc Cbca Dcab解析选A因为a2，b42，由函数y2x在R上为增函数知，ba；又因为a24，c255，由函数yx在(0，)上为增函数知，ac.综上得ba1时，函数f(x)xa(x0)单调递增，函数g(x)logax单调递增，且过点(1，0)，由幂函数的图象性质可知C错；当0a0且a1)的图象恒过的点是()A(0，0) B(0，1)C(2，0) D(2，1)解析：选C令x20，x2，得f(2)a010，所以yax21(a0，a1)的图象恒过点(2，0)，选项C正确2(2016广州模拟)设alog37，b21.1，c0.83.1，则()Abac Bacb
3、Ccba Dcab解析：选D1log33alog37212，c0.83.10.801，所以cab.3(2016浙江高考)已知ab1，若logablogba，abba，则a_，b_解析：logablogbalogab，logab2或.ab1，logablogaa1，logab，ab2.abba，(b2)bbb2，即b2bbb2，2bb2，b2，a4.答案：42典例(2016四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg 1
4、.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)A2018年 B2019年C2020年 D2021年解析选B建立不等式求解设2015年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元由130(112%)n200，得1.12n，两边取常用对数，得n，n4，从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键 (1)一般程序：(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答 演练冲关1某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有某型号电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑
5、12台现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台已知从甲地运往A、B两地每台电脑的运费分别是40元和30元，从乙地运往A、B两地每台电脑的运费分别是80元和50元若总运费不超过1 000元，则调运方案的种数为()A1 B2 C3 D4解析：选C设甲地调运x台电脑至B地，则剩下(6x)台电脑调运至A地；乙地应调运(8x)台电脑至B地，运往A地12(8x)(x4)台电脑(0x6，xN)则总运费y30x40(6x)50(8x)80(x4)20x960，y20x960(xN，0x6)若y1 000，则20x9601 000，得x2.又0x6，xN，x0，1，2，
6、即有3种调运方案2某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件该产品需另投入的成本为G(x)(单位：万元)，当年产量不足80千件时，G(x)x210x；当年产量不小于80千件时，G(x)51x1 450.已知每件产品的售价为0.05万元通过市场分析，该工厂生产的产品能全部售完，则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是()A1 150万元 B1 000万元C950万元 D900万元解析：选B每件产品的售价为0.05万元，x千件产品的销售额为0.051 000x50x万元当0x80时，年利润L(x)50xx210x250x240x250(x60)2950，当x60时，L(x)取得最大
7、值，且最大值为L(60)950万元；当x80时，L(x)50x51x1 4502501 2001 20021 2002001 000，当且仅当x，即x100时，L(x)取得最大值1 000万元由于9501 000，当产量为100千件时，该工厂在这一产品的生产中所获年利润最大，最大年利润为1 000万元故选B.函数的零点与其他知识的交汇1确定函数零点的常用方法(1)解方程法；(2)利用零点存在性定理；(3)数形结合，利用两个函数图象的交点求解2有关函数的零点问题已成为近年高考命题的一个热点而函数的零点与函数性质、不等式、方程根的交汇成为高考的命题方向典例(1)(2016郑州模拟)已知函数f(x)
8、cos x，则f(x)在0，2上的零点个数为()A1 B2 C3 D4解析选C作出g(x)与h(x)cos x的图象，可以看到其在0，2上的交点个数为3，所以函数f(x)在0，2上的零点个数为3，故选C.(2)(2016山东高考)已知函数f(x)其中m0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_解析作出f(x)的图象如图所示当xm时，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程f(x)b有三个不同的根，则4mm2m，即m23m0.又m0，解得m3.答案(3，)利用函数零点求参数值(范围)的3种方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解(2)分离参数后转化为求
9、函数的值域(最值)问题求解(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解 演练冲关1函数f(x)log3xx2必有一个零点的区间是()A. B.C. D.解析：选A因为f(x)log3xx2，所以flog32220，即ff0，所以函数f(x)log3xx2在上必有一个零点2函数f(x)2xa的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A(1，3) B(1，2)C(0，3) D(0，2)解析：选C因为f(x)在(1，2)内单调递增，依题意有f(1)f(2)0，所以(a)(3a)0，所以0a3，应选C.3(2016郑州质检)已知定义在R上的奇函数yf(x)的图象关于直线
10、x1对称，当0x1时，f(x)logx，则方程f(x)10在(0，6)内的所有根之和为()A8 B10 C12 D16解析：选C奇函数f(x)的图象关于直线x1对称，f(x)f(2x)f(x)，即f(x)f(x2)f(x4)，f(x)是周期函数，其周期T4.当0x1时，f(x)logx，故f(x)在(0，6)上的函数图象如图所示由图可知方程f(x)10在(0，6)内的根共有4个，其和为x1x2x3x421012，故选C.A级常考点落实练1函数y的定义域为()A. B.C(1，) D.(1，)解析：选A要使函数有意义需满足解得x1.2(2016广西质检)若xlog521，则函数f(x)4x2x1
11、3的最小值为()A4 B3 C1 D0解析：选Axlog521，2x.则f(x)4x2x13(2x)222x3(2x1)24，当2x1时，f(x)取得最小值4.3函数f(x)exx2(e为自然对数的底数)的零点个数为()A0 B1 C2 D3解析：选B函数f(x)exx2在R上是增函数，且f(0)10，f(0)f(1)0，且a1)的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是() A BCD解析：选B由函数ylogax(a0，且a1)的图象可知，a3，所以y3x，y(x)3x3及ylog3(x)均为减函数，只有yx3是增函数，选B.7若函数f(x)mlog2x(x1)存在零点，则实数m的取值范围是
12、()A(，0 B0，)C(，0) D(0，)解析：选Amlog2x(x1)存在零点，则m的范围即为函数ylog2x(x1)的值域，m0.8国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p0.25)%，则该公司的年收入是()A560万元 B420万元C350万元 D320万元解析：选D设该公司的年收入为x万元(x280)，则有(p0.25)%，解得x320.故该公司的年收入为320万元9(2016全国乙卷)若ab0，0c1，则()Alogaclogbc BlogcalogcbCacbc Dcacb解析：选B法一：因为
13、0c1，所以ylogcx在(0，)上单调递减，又0ba，所以logcalogcb，故选B.法二：取a4，b2，c，则log4log2，排除A；422，排除C；，排除D.故选B.B级易错点清零练1(2016全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y10lg x的定义域和值域相同的是()Ayx Bylg xCy2x Dy解析：选D函数y10lg x的定义域与值域均为(0，)函数yx的定义域与值域均为(，)函数ylg x的定义域为(0，)，值域为(，)函数y2x的定义域为(，)，值域为(0，)函数y的定义域与值域均为(0，)故选D.2(2016广州五校联考)设alog3，b，c2，则()Aab
14、c BcbaCcab Dbac解析：选Aalog3log21，0b201，ab0，f(2)3log2220，f(4)log240，且a1)的值域为y|00，且a1)的值域为y|0y1，则0a2的解集为()A(2，4) B(4，2)(1，2)C(1，2)(，) D(，)解析：选C令2ex12(x2)，解得1x2(x2)，解得x，故选C.7(2016北京模拟)已知函数f(x)ax，其中a0，且a1，如果以P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2)为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)f(x2)等于()A1 Ba C2 Da2解析：选A以P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2)为端点的线段的中
15、点在y轴上，x1x20，又f(x)ax，f(x1)f(x2)ax1ax2ax1x2a01，故选A.8(2016石家庄一模)已知函数yf(x)的图象关于直线x0对称，当x(0，)时，f(x)log2x，若af(3)，bf，cf(2)，则a，b，c的大小关系是()Aabc BbacCcab Dacb解析：选D由函数yf(x)的图象关于x0对称，得yf(x)是偶函数当x(0，)时，f(x)log2x单调递增，又af(3)f(3)，所以acb，选项D正确9(2016山西四校联考)已知函数f(x)满足：定义域为R；xR，都有f(x2)f(x)；当x1，1时，f(x)|x|1.则方程f(x)log2|x|
16、在区间3，5内解的个数是()A5 B6C7 D8解析：选A画出y1f(x)，y2log2|x|的图象如图所示，由图象可得所求解的个数为5.10(2016兰州模拟)已知命题：函数y2x(1x1)的值域是；为了得到函数ysin的图象，只需把函数ysin 2x图象上的所有点向右平移个单位长度；当n0或n1时，幂函数yxn的图象都是一条直线；已知函数f(x)|log2x|，若ab，且f(a)f(b)，则ab1.其中正确的命题是()A BC D解析：选B：由f(x)2x在R上单调递增可知正确；：应向右平移个单位长度，故错误；：当n0时，yxn的图象应为直线y1去掉点(0，1)，故错误；：ab，log2a
17、log2b，log2alog2b0，log2(ab)0，ab1，故正确正确的命题为，故选B.11(2016海口调研)若关于x的方程|x4x3|ax在R上存在4个不同的实根，则实数a的取值范围为()A. B.C. D.解析：选A依题意，注意到x0是方程|x4x3|ax的一个根当x0时，a|x3x2|，记f(x)x3x2，则有f(x)3x22x，易知f(x)x3x2在区间上单调递减，在区间(，0)，上单调递增又f(1)0，因此g(x)的图象如图所示，由题意得直线ya与函数yg(x)的图象有3个不同的交点时，a，选A.12(2016江西两市联考)对于函数f(x)和g(x)，设x|f(x)0，x|g(
18、x)0，若存在，使得|1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”若函数f(x)ex1x2与g(x)x2axa3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是()A2，4 B.C. D2，3解析：选D函数f(x)ex1x2的零点为x1，设g(x)x2axa3的零点为b，若函数f(x)ex1x2与g(x)x2axa3互为“零点相邻函数”，则|1b|1，0b2.由于g(x)x2axa3必经过点(1，4)，要使其零点在区间0，2上，则即解得2a3.二、填空题13lg2lg 2_.解析：lg2lg 2lg 5lg 22lg 22(lg 5lg 2)2121.答案：114已知函数f(x)mx2(2m)xn
19、(m0)，当1x1时，|f(x)|1恒成立，则f_.解析：由题意得：|f(0)|1|n|11n1；|f(1)|1|2n|13n1，因此n1，f(0)1，f(1)1.由f(x)的图象可知：要满足题意，则图象的对称轴为直线x0，2m0，m2，f(x)2x21，f.答案：15(2015四川高考)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是_小时解析：由已知条件，得192eb，bln 192.又48e22kbe22kln 19219
20、2e22k192(e11k)2，e11k.设该食品在33 的保鲜时间是t小时，则te33kln 192192e33k192(e11k)319224.答案：2416已知函数f(x)与g(x)a(x1)的图象在(1，1上有2个交点，若方程x5a的解为正整数，则满足条件的实数a的个数为_解析：在同一坐标系中作出函数f(x)与g(x)的图象，如图，结合图象可知，实数a的取值范围是.由x5a，可得x25ax10，设h(x)x25ax1，当x1时，由h(1)15a10可得a0，不满足题意；当x2时，由h(2)410a10可得a，满足题意；当x3时，由h(3)915a10可得a，不满足题意又函数yx在(0，)上单调递增，故满足条件的实数a的个数为1.答案：1