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1、第 1 页最新高考复习数学公式及知识点汇总一、函数、导数1、函数的单调性(1) 设2121,xxbaxx 、那么,)(0)()(21baxfxfxf在上是增函数；,)(0)()(21baxfxfxf在上是减函数 . (2) 设函数)(xfy在某个区间内可导，若0)(xf，则)(xf为增函数；若0)(xf，则)(xf为减函数 . 2、函数的奇偶性对于定义域内任意的x，都有)()(xfxf，则)(xf是偶函数；对于定义域内任意的x，都有)()(xfxf，则)(xf是奇函数 . 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称 . 若奇函数在原点处有意义则有0)0(f . 3、导数：（1）函数)
2、(xfy在点0 x处的导数的几何意义函数)(xfy在点0 x处的导数是曲线)(xfy在)(,(00 xfxP处的切线的斜率)(0 xf，相应的切线方程是)(000 xxxfyy. （2）几种常见函数的导数C0；1)(nnnxx；xxcos)(sin；xxsin)(cos；aaaxxln)(；xxee)(；axxaln1)(log；xx1)(ln（3）导数的运算法则()uvuv. ()uvuvuv. 2( )(0)uu vuvvvv. (4) 会用导数求单调区间、极值、最值求函数yfx的极值的方法是：解方程0fx当00fx时： 如果在0 x附近的左侧0fx，右侧0fx，那么0fx是极大值； 如果
3、在0 x附近的左侧0fx，右侧0fx，那么0fx是极小值r()=( )=r( )()r( )第 2 页4、分数指数幂(1)mnmnaa（0,am nN，且1n）. (2)11mnmnmnaaa（0,am nN，且1n）. 5根式的性质（1）()nnaa. （2）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a. 6有理指数幂的运算性质(1) (0, ,)rsrsaaaar sQ. (2) ()(0, ,)rsrsaaar sQ. (3)()(0,0,)rrraba b abrQ. 注： 若 a 0，p 是一个无理数，则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理
4、数指数幂都适用. 7. 对数：指数式与对数式的互化式logbaNbaN(0,1,0)aaN. (1) 负数和零没有对数；(2)1的对数是0，即01loga(a 0, 且a1) ；(3) 底的对数是1，即1log aa(a0, 且a1) ；对数的换底公式logloglogmamNNa (0a, 且1a,0m, 且1m,0N). 推论loglogmnaanbbm(0a, 且1a,0m n, 且1m,1n,0N). abbalog1log (a 0, 且b0). 对数的四则运算法则若 a0， a1，M 0，N0，则(1)log ()loglogaaaMNMN; L-第 3 页(2) logloglo
5、gaaaMMNN; (3)loglog()naaMnM nR. (4)NnNanalog1log12. 常见的函数图象k0y=kx+boyxa0y=ax2+bx+coyx-1-212y=x+1xoyx0a11y=axoyx0a11y=logaxoyx二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量8、同角三角函数的基本关系式22sincos1，tan=cossin. 9、正弦、余弦的诱导公式k的正弦、余弦，等于的同名函数，前面加上把看成锐角时该函数的符号；2k的正弦、余弦，等于的余名函数，前面加上把看成锐角时该函数的符号。10、和角与差角公式sin()sincoscossin; cos()cosco
6、ssinsin; tantantan()1tantan. 22sin()sin()sinsin( 平方正弦公式 ); 22cos()cos()cossin. sincosab=22sin()ab( 辅助角所在象限由点( , )a b的象限决定 ,tanba ).11、二倍角公式sin 2sincos. 2222cos2cossin2cos112sin. 22 tantan21tan. c0e9=0+enotaan:Ji十土aotaPctaotpp+paototpa土Pap+aP=+Paaap-p+paaaCp=-9+9ot+aaaotaaa-otaaaaa第 4 页公式变形：;22cos1si
7、n,2cos1sin2;22cos1cos,2cos1cos2222212、三角函数的周期函数sin()yx， xR及函数cos()yx，xR(A, ,为常数，且 A0)的周期2|T；函数tan()yx，,2xkkZ(A, ,为常数，且A0) 的周期|T. 三角函数的图像：-11y=sinx-223 /2 /2-3 /2- /2oyx-11y=cosx-223 /2 /2-3 /2- /2oyx13、 函数sin()yx的周期、最值、单调区间、图象变换14、辅助角公式)sin(cossin22xbaxbxay其中abtan15. 正弦定理：2sinsinsinabcRABC（R为ABC外接圆的
8、半径）. 2sin,2sin,2sinaRA bRB cRC:sin:sin:sina b cABC16. 余弦定理2222cosabcbcA; 2222cosbcacaB; 2222coscababC. 17. 面积定理（1）111222abcSahbhch（abchhh、分别表示a、b、c 边上的高） . （2）111sinsinsin222SabCbcAcaB. 18、三角形内角和定理在 ABC中，有()ABCCAB222CAB222()CAB. 19、a与b的数量积 ( 或内积 )cos|baba20、平面向量的坐标运算a.aOfOfa+cp+屮竽JI+4+tpCO+tp=VAB-S-
9、=J tJI3-5-0第 5 页(1) 设 A11(,)x y，B22(,)xy, 则2121(,)ABOBOAxx yy. (2) 设a=11(,)x y,b=22(,)xy，则ba=2121yyxx. (3) 设a=),(yx，则22yxa21、两向量的夹角公式设a=11(,)x y,b=22(,)xy，且0b，则121222221122cos| |x xy ya babxyxy(a=11(,)x y,b=22(,)xy). 22、向量的平行与垂直设a=11(,)x y,b=22(,)xy，且b0ba/ab12210 x yx y. )0(aba0ba12120 x xy y. * 平面向
10、量的坐标运算(1) 设a=11(,)x y,b=22(,)xy，则a+b=1212(,)xxyy. (2) 设a=11(,)x y,b=22(,)xy，则a-b=1212(,)xxyy. (3) 设 A11(,)xy，B22(,)xy, 则2121(,)ABOBOAxx yy. (4) 设a=( ,),x yR，则a=(,)xy. (5) 设a=11(,)xy,b=22(,)xy，则ab=1212()x xy y. 三、数列23、数列的通项公式与前n 项的和的关系11,1,2nnnsnassn( 数列na的前 n 项的和为12nnsaaa). 24、等差数列)()() 1(1Nndmnadna
11、amn；若qpnm，则qpnmaaaa),(*Nqpnm）数列),(是常数bban是公差为d的等差数列0=V半=K丰XXXXXkX第 6 页等差数列连续k项的和仍为等差数列，即kkkkkSSSSS232,，仍为等差数列，公差kd。25、等差数列其前n 项和公式为1()2nnn aas1(1)2n nnad. 26、等比数列1*11()nnnaaa qqnNq；Nnmqaamnmn,若kpnm，则有kpnmaaaa等比数列连续k项的和仍为等比数列，即kkkkkSSSSS232,，仍为等比数列，公比kq。27、等比数列前n 项的和公式为11(1),11,1nnaqqsqnaq或11,11,1nna
12、a qqqsna q. 四、不等式28、常用不等式：（ 1）,a bR222abab(当且仅当ab 时取“ =”号 ) （ 2）,a bR2abab( 当且仅当ab 时取“ =”号 ) （ 3）),(2222Rbaabbaba（ 4）含有绝对值的不等式当 a 0 时，有22xaxaaxa. 22xaxaxa或 x1 时 ,( )( )( )( )fxg xaaf xg x; ( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x. 当 0a二-II第 7 页（ 2）斜截式ykxb(b 为直线l在 y 轴上的截距 ). （ 3）两点式112121yyxxyy
13、xx(12yy)(111(,)P x y、222(,)P xy (12xx). (4) 截距式1xyab(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、)（ 5）一般式0AxByC( 其中 A、B不同时为0). 30、两条直线的平行和垂直若111:lyk xb，222:lyk xb121212|,llkkbb; 12121llk k. 31、平面两点间的距离公式,A Bd222121()()xxyy(A11(,)x y，B22(,)xy). 32、点到直线的距离0022|AxByCdAB ( 点00(,)P xy, 直线l：0AxByC). 33、 圆的三种方程（1）圆的标准方程222()()xayb
14、r. （2）圆的一般方程220 xyDxEyF(224DEF0). （3）圆的参数方程cossinxarybr. * 点与圆的位置关系：点00(,)P xy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种若2200()()daxby，则dr点P在圆外 ;dr点P在圆上 ;dr点P在圆内 . 34、直线与圆的位置关系直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种: 0相离rd; 0相切rd; 0相交rd. 弦长 =222dr00A第 8 页其中22BACBbAad. 35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质( 一 ) 椭圆及其标准方程1.椭圆的定义：椭圆的定义中，平面
15、内动点与两定点1F、2F的距离的和大于|1F2F| 这个条件不可忽视 . 若这个距离之和小于|1F2F| ，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F2F| ，则动点的轨迹是线段1F2F. 2. 椭圆的标准方程：12222byax（ab0） ，12222bxay（ab 0）. 3. 椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x项的分母大于2y项的分母， 则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上 . ( 二 ) 椭圆的简单几何性质1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为12222byax（ab0）. 范围： -a xa，-bxb，所以椭圆位于直线x=a和 y=b所围成的矩形里.
16、对称性：分别关于 x 轴、 y 轴成轴对称，关于原点中心对称. 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 顶点：有四个1A（ -a ，0） 、2A（a，0）1B（0，-b ） 、2B（ 0，b）. 线段1A2A、1B2B分别叫做椭圆的长轴和短轴. 它们的长分别等于2a 和 2b，a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点. 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ace叫做椭圆的离心率. 它的值表示椭圆的扁平程度.0 e1.e越接近于1 时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0 时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义 定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定
17、直线的距离的比是常数ace（e1时，这个动点的轨迹是椭圆. 准线：根据椭圆的对称性，12222byax（ab0）的准线有两条，它们的方程为cax2. 对于椭圆12222bxay（ab0）的准线方程，只要把x 换成 y 就可以了，即cay2. 3. 椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径. 设1F（-c ，0） ，2F（c，0）分别为椭圆12222byax（ab0）的左、右两焦点，M （x， y）是椭圆=土第 9 页上任一点，则两条焦半径长分别为exaMF1，exaMF2. 椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便. 椭圆的四个主要元素a、b、c、e 中有2a=
18、2b+2c、ace两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件 . 4. 椭圆的的内外部（1）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab. （2）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab. 6. 椭圆的切线方程(1) 椭圆22221(0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab. （2）过椭圆22221(0)xyabab外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00221x xy yab. （3）椭圆22221(0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是2222
19、2A aB bc( 三) 双曲线及其标准方程1. 双曲线的定义：平面内与两个定点1F、2F的距离的差的绝对值等于常数2a（小于 |1F2F| ）的动点M的轨迹叫做双曲线. 在这个定义中，要注意条件2a |1F2F| ，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解. 若 2a=|1F2F| ，则动点的轨迹是两条射线；若2a|1F2F| ，则无轨迹 . 若1MF2MF时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF2MF时，轨迹为双曲线的另一支 . 而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”. 2.双曲线的标准方程：12222byax和12222bxay（a0，b0）. 这里
20、222acb，其中|1F2F|=2c. 要注意这里的a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. 3. 双曲线的标准方程判别方法是：如果2x项的系数是正数， 则焦点在x 轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在y 轴上 . 对于双曲线，a 不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. (四) 双曲线的简单几何性质十i*+=第 10 页1. 双曲线12222byax的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率ace 1，离心率 e 越大，双曲线的开口越大. 2. 双曲线12222byax的渐近线方程为xaby或表示为02222byax. 若已知双曲线的渐近线方程是xnm
21、y，即0nymx，那么双曲线的方程具有以下形式：kynxm2222，其中 k 是一个不为零的常数 . 3. 双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1 的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线. 对于双曲线12222byax，它的焦点坐标是（-c ， 0）和（ c，0） ，与它们对应的准线方程分别是cax2和cax2. 双曲线22221(0,0)xyabab的焦半径公式21| () |aPFe xc，22| () |aPFexc. 4. 双曲线的内外部(1) 点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的内部2200221xyab. (2) 点00
22、(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的外部2200221xyab. 5. 双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220 xyabxaby. (2) 若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax. (3) 若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在x 轴上，0，焦点在 y 轴上） . 6. 双曲线的切线方程(1) 双曲线22221(0,0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab. （2）过双曲线22221(0,0)xyabab外一点00(,)P
23、xy所引两条切线的切点弦方程是00221x xy yab. =土一=土 一=-=-一gg*-=i=r k=乂xX第 11页（3）双曲线22221(0,0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222A aB bc. ( 五) 抛物线的标准方程和几何性质1抛物线的定义：平面内到一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F 叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线。需强调的是，点F 不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线。2抛物线的方程有四种类型：pxy22、pxy22、pyx22、pyx22. 对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴
24、是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x 轴或 y 轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x 轴或 y 轴的负方向。3抛物线的几何性质，以标准方程pxy22为例（1）范围： x0；（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；（3）顶点： O（0，0） ，注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；（4）离心率： e=1，由于 e 是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p 决定的；（5）准线方程2px；（6）焦半径公式：抛物线上一点P （x1，y1） ，F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（ p0） ：221122112:;2:222
25、:;2:22ppypxPFxypxPFxppxpyPFyxpyPFy（7） 焦点弦长公式： 对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px（pO）的焦点F 的弦为 AB ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，AB的倾斜角为，则有|AB|=x1+x2+p 以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。（8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x2+bx+c=0，当 a0 时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线
26、相交，但只有一个公共点。4. 抛物线pxy22上的动点可设为P),2(2ypy或或)2,2(2ptptP P(,)x y，其中22ypx. 5. 抛物线的内外部(1) 点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的内部22(0)ypx p. I2p|AB卜ana第 12 页点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的外部22(0)ypx p. (2) 点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的内部22(0)ypx p. 点00(,)P xy在抛物线22(0)ypx p的外部22(0)ypx p. (3) 点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的内部22(0)xpy
27、p. 点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的外部22(0)xpy p. (4) 点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的内部22(0)xpy p. 点00(,)P xy在抛物线22(0)xpy p的外部22(0)xpy p. 7. 抛物线的切线方程(1) 抛物线pxy22上一点00(,)P xy处的切线方程是00()y yp xx. （2）过抛物线pxy22外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00()y yp x x. （3）抛物线22(0)ypx p与直线0AxByC相切的条件是22pBAC. ( 六 ) 若直线bkxyl :与圆锥曲线相交与A、B两点，)
28、,(),2211yxByxA（则弦长221221)()(yyxxAB221221)()(bkxbkxxx2121xxk2122124)(1xxxxk同理： |AB|=122121224)(|11yyyyyyk六、立体几何39、平行与垂直关系的论证 1. 线线、线面、面面平行关系的转化：gg*i*-=I=4第 13 页线线线面面面公理 4(a/b,b/cac/ /) 线面平行判定/,/abab面面平行判定1ababa/,/面面平行性质ababAab,/,/线面平行性质aabab/面面平行性质1/aa面面平行性质/A b a a b 40. 线线、线面、面面垂直关系的转化：线线线面面面三垂线定理、
29、逆定理PAAOPOaa OAa POa POaAO,为在内射影则线面垂直判定1面面垂直判定a babOla l bl,aa线面垂直定义lal a面面垂直性质，推论2baaba,aa面面垂直定义ll，且二面角成直二面角七、概率统计49、平均数、方差、标准差的计算平均数 :nxxxxn21方差 :)()()(1222212xxxxxxnsnp门7=pfly=jcalcan=47rprjnaA7pcajacPrk lPsean=7丄a1alP_Lalot丄:JalPcaaHp=e P丄ja np丄Yu丄Yla二 丄vPrp=AklanpPIaa-ct_Lp第 14 页标准差 :)()()(12222
30、1xxxxxxnsn50、回归直线方程yabx，其中1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybxxxnxaybx. 51、独立性检验)()()()(22dbcadcbabdacnK52、古典概型的计算（必须要用列举法、列表法、树状图的方法把所有基本事件表示出来，不重复、不遗漏）八、复数53、复数的概念：biabiai-, 12的共轭复数为.54、复数zabi的模|z=|abi=22ab. 55、复数的相等：,abicdiac bd. （, , ,a b c dR）56、复数zabi的模（或绝对值）|z=|abi=22ab. 57、复数的四则运算法则(1)()()()()
31、abicdiacbd i; (2)()()()()abicdiacbd i; (3)()()()()abicdiacbdbcad i; (4)2222()()(0)acbdbcadabicdii cdicdcd. 58、复数的乘法的运算律对于任何123,z zzC，有交换律 :1221zzzz. 结合律 :123123()()zzzzzz. 分配律 :1231213()zzzzzzz . 九、参数方程、极坐标化成直角坐标zZ(-Xs(ze、，+第 15 页原 命 题若 p则 q否 命 题若 p 则 q逆 命 题若 q则 p逆 否 命 题若 q 则 p互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互55、yxsincos)0(tan222xxyyx十、命题、充要条件充要条件（记p表示条件，q表示结论）（1）充分条件：若pq，则p是q充分条件 . （2）必要条件：若qp，则p是q必要条件 . （3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件 . 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 12. 真值表非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假pp0=Lp9=0=-