江苏省高考十年数学试题分类解析汇编专题2:函数与导数.pdf

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1、2003年-2012年 江 苏 省 高 考 数 学 试 题 分 类 解 析 汇 编 专 题 2:函 数 与 导 数 一、选 择 填 空 题 2 V-1,A:1,则%的 取 值 范 围 是【】x2,x 0A.(-1,1)B.(-1,+)C.(8,2)U(0,+)D.(8,1)U(1,+oo)【答 案】D【考 点】分 段 函 数 已 知 函 数 值 求 自 变 量 的 范 围 问 题,指 数 不 等 式 的 解 法。【分 析】将 变 量 不 按 分 段 函 数 的 范 围 分 成 两 种 情 形,在 此 条 件 下 分 别 进 行 求 解,最 后 将 满 足 的 条 件 进 行 合 并:当 440

2、 时,2-v-l 1,则 与 0 时,则/1,故 小 的 取 值 范 围 是(一 8,1)U(1,+8)。故 选 D。r 12.(江 苏 2003年 5 分)函 数 y=ln,x 6(1,+00)的 反 函 数 为【】x-le-1 ex+A.y=-,xe(0,+oo)B.y=-,xe(0,+oo)e+1 e-1e 1c.y=-,xe(-oo,0)e+e+l,、D.y=,xe(-oo,0)e-1【答 案】B.,【考 点】反 函 数。指 数 式 与 对 数 式 的 互 化,求 函 数 的 值 域。Y-4-1【分 析】将 y=ln告,看 做 方 程 解 出 x,然 后 根 据 原 函 数 的 定 义

3、 域 xe(1,+8)求 出 原 函 数 的 值 域,即 为 反 函 数 的 定 义 域:Y 4-1/+1由 已 知 y=ln,解 x 得 x=x-l e-1Y 4-1 2 Y 4-1又 当 x(1,+8)时,-=1H-1,/.y=In-0 oX-1 X 1 X 1Y 1 _ 1 _ 1二 函 数 y=ln-,/(l,+oo)的 反 函 数 为;y=,xe(0,+oo)o故 选 B。x-l e-13.(江 苏 2003 年 5 分)设“0,/(x)=a x2+b x+c,曲 线 y=/(x)在 点 尸(%,/(%)处 切 rr线 的 倾 斜 角 的 取 值 范 围 为 0,-,则 尸 到 曲

4、线 y=/(x)对 称 轴 距 离 的 取 值 范 围 为【】4【答 案】B【考 点】导 数 的 几 何 意 义,直 线 的 图 象 特 征 与 倾 斜 角、斜 率 的 关 系,点 到 直 线 的 距 离。【分 析】由 导 数 的 儿 何 意 义,得 到 的 范 围,再 求 出 其 到 对 称 轴 的 范 围:TT.过 P(x0,/(%)的 切 线 的 倾 斜 角 的 取 值 范 围 是 0,-,二/(%)=2ax()+b e 0,l o.h 1-b x()w-,-2a 2ab又:点 P 到 曲 线 y=f(x)对 称 轴 x=的 距 离 d=x.2a.bd=%+五 w0,;2a故 选 B o

5、4.(江 苏 2004年 5 分)若 函 数 y=logfl(x+b)(a 0,a*1)的 图 象 过 两 点(一 5 0)和(0,1),则(A)a=2,h=2(B)a=/2,b=2(C)a=2,h=1(D)6 F=2,b=*/2【答 案】A o【考 点】对 数 函 数 的 单 调 性 与 特 殊 点。【分 析】将 两 点 代 入 即 可 得 到 答 案::函 数 y=logq(x+/?)(a 0,a*1)的 图 象 过 两 点(1,0)和(0,1),loga(1+)=0,l o g(0+/?)=lo/.a=2,b=2O 故 选 A。5.(江 苏 2004年 5分)函 数/(x)=尢 3 一

6、3x+l 在 闭 区 间-3,0上 的 最 大 值、最 小 值 分 别 是【】(A)l,-1(B)l,-1 7(C)3,-1 7(D)9,一 19【答 案】C o【考 点】函 数 的 最 值 及 其 几 何 意 义。【分 析】用 导 研 究 函 数 x)=x3-3x+l在 闭 区 间 L 3,0 上 的 单 调 性,利 用 单 调 性 求 函 数 的 最 值:/fx)=3x2 3=0,x=l,且 在 3,1)上 广 0,在(-1,0 上/(x)y-3=2v=1-x=log2(y-3)=x=1-log,(y-3)=log.2y-32y=2 i+3(x e R)的 反 函 数 为:y=log,。故

7、 选 A。x-37.(江 苏 2005年 4 分)曲 线=3+彳+1在 点(1,3)处 的 切 线 方 程 是【答 案】4 x-y-l=0。【考 点】导 数 的 儿 何 意 义。【分 析】由 题 意 得 y=3/+i,.)z=4。即 曲 线 y=/+x+l 在 点(1,3)处 切 线 的 斜 率 幺=4,所 以 切 线 方 程 为:),-3=4(x-l),即 4 x-),-l=0。8.(江 苏 2005 年 4 分)若 3=0.6 1 8,4 心,女+1),仅 e Z).则=【答 案】-1。【考 点】指 数 函 数 的 单 调 性 与 特 殊 点。【分 析】先 判 断 出 0.618所 在 的

8、 范 围,必 须 与 3 有 关 系,再 根 据 y=3、在 定 义 域 上 是 增 函 数,得 出 a 所 在 的 区 间,即 能 求 出 k 的 值:1 0.618l,且 函 数 y=3在 定 义 域 上 是 增 函 数,/.3a=0.618,1 a 0,则=9.(江 苏 2005年 4 分)已 知 兄 匕 为 常 数,若/(x)=r+4 1+3,/(以+。)=/+101+24,则 5。一 6 二。【答 案】2。【考 点】复 合 函 数 解 析 式 的 运 用,待 定 系 数 法。【分 析】由/(x)=1 2+4x+3,f(ax+b)=x2+10 x4-24得:(ax+by+4(ax+b)

9、+3=x2+10+24,即:ax2+(2Q/?+4Q)X+(/?2+4+3)=/+10JC+24。a2=1比 较 系 数 得:4a=10,解 得=1或 卜=7。b=3 b=-l+4b+3=24二 求 得:5a-b-2 o10.(江 苏 2007年 5 分)设 函 数/a)定 义 在 实 数 集 上,它 的 图 像 关 于 直 线 X=1对 称,且 当 X 2 1时,f(x)=3x-l,则 有【考 点】指 数 函 数 的 单 调 性 与 特 殊 点,函 数 图 象 的 对 称 性。【分 析】由 函 数/(x)定 义 在 实 数 集 上,它 的 图 像 关 于 直 线 x=l对 称,且 当 时,/

10、(x)=3-l为 单 调 增 函 数,由 对 称 性 知 当 x l 时,/(x)是 单 调 减 函 数,其 图 象 的 特 征 是 自 变 量 离 1 的 距 离 越 远,其 函 数 值 越 大。211.(江 苏 2007年 5 分)设/(x)=lg(+a)是 奇 函 数,则 使/(x)0 的 x 的 取 值 范 围 是【】1-%A.(-1,0)B.(0,1)C.(-oo,0)D.(8,0)U【答 案】Ao【考 点】奇 函 数 的 性 质,对 数 函 数 的 单 调 性。2【分 析】,*f(-V)=lg(-卜 a)是 奇 函 数,/(0)=0 得。=1。1-x 0.由/(x)=l g l 0

11、 得 X 解 得 一 1 0。故 选 A。l-x 1+X 1-0,对 于 任 意 实 数 X都 有 7(X)2 0,则 湍 的 最 小 值 为【】A.3 B.C.2 D.一 2 2【答 案】C o【考 点】导 数 的 运 算【分 析】先 求 导 尸(x)=2ax+b,由 尸(0)0可 得 6 0,因 为 对 于 任 意 实 数 x 都 有/(x)2 0,所 以 结 合 二 次 函 数 的 图 象 可 得 a 0 且 后-4 b 4 0,从 而 从 4 4 a c,.“汽;又 因 为 2=丝 包=生+1,利 用 均 值 不 等 式 即 可 求 解:/(0)b b竺+12汉 正+1=陇 之+1=2

12、,即 的 最 小 值 为 2。故 选 C。b b V b2/(0)1 3.(江 苏 2007年 5 分)已 知 函 数/(x)=f 12x+8在 区 间-3,3 上 的 最 大 值 与 最 小 值 分 别 为 M,团,则 M-m.【答 案】32。【考 点】利 用 导 数 求 闭 区 间 上 函 数 的 最 值。【分 析】先 对 函 数“X)求 导:/(=3-1 2=3(-4),令 导 函 数 等 于 0 求 出:x=-2 或 x=2。然 后 根 据 导 函 数 的 正 负 判 断 函 数/(x)的 单 调 性,列 出 在 区 间-3,3 上/(X)的 单 调 性、导 函 数 尸(x)的 正 负

13、 的 表 格,从 而 可 确 定 最 值 得 到 答 案:可 知 M=24,m=8,:.M-/n=32,.V-3(-3,2)一、(-2,2)2(23)3/(X)+0一 0+怨)17/极 值 24 极 值 一 S-114.(江 苏 2008年 5 分)设 直 线 y=+b 是 曲 线 y=In x(x 0)的 一 条 切 线,则 实 数 b 的 值 是【答 案】ln2-l。【考 点】利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程。【分 析】要 求 实 数 的 大 小,只 须 求 出 切 线 方 程 即 可,故 先 利 用 导 数 求 出 在 切 点 处 的 导 函 数 值,再 结 合

14、 导 数 的 几 何 意 义 即 可 求 出 切 线 的 斜 率,最 后 求 出 切 线 方 程 与 已 知 直 线 方 程 对 照 即 可:山 y=In x(x 0)求 导 得=。令,=,得=2,.,.切 点 坐 标 为(2,ln2)。x x 2将(2,In2)代 入 直 线 方 程,得 ln2=l+n%=ln2 l。15.(江 苏 2008年 5 分)设 函 数/(x)=ax33x+l(xeR),若 对 于 任 意 的 x e 1,1都 有/(x)2 0 成 立,则 实 数 a 的 值 为【答 案】4。【考 点】利 用 导 数 求 闭 区 间 上 函 数 的 最 值。【分 析】这 类 不

15、等 式 在 某 个 区 间 上 恒 成 立 的 问 题,可 转 化 为 求 函 数 最 值 的 问 题,本 题 要 分 三 类:x=0,x 0,x 一?设 g(x)=/x3,则 g(x)=4)在 区 间 1,1 上 单 调 递 减,因 此 g b%=g;、若 x 0 可 化 为 61:-r,X JTg(x)在 区 间-1,0)上 单 调 递 增,因 此 g(x)m“=g(-1)=4,从 而 0 4 4。综 上 所 述,a=4。16.(江 苏 2009年 5 分)函 数 x)=d-15Y-33X+6 的 单 调 减 区 间 为.【答 案】(-1,11)-【考 点】利 用 导 数 判 断 函 数

16、的 单 调 性。【分 析】要 求 函 数 的 单 调 减 区 间 可 先 求 出 尸(x),并 令 其 小 于 零 得 到 关 于 x 的 不 等 式 求 出 解 集 即 可:尸(x)=3x2-30 x 33=3(x 1 l)(x+1),.由(x-1 l)(x+1)/(),则 加、n 的 大 小 关 系 为.【答 案】m/()得:z V/?。19.(江 苏 2010年 5 分)设 函 数/(x)=x(e 2x)的 x 的 1,x0范 围 是【答 案】X G(1,/2 1)O【考 点】分 段 函 数 的 单 调 性。【分 析】分 段 讨 论:当 X-1 时,1-X2 0,2 x/(2 X)无 解

17、。当-”x 0 时,1-/2 0,2A-/(2 外 得,(1%2)2+1 1,解 得 x w 1。;此 时 x 的 范 围 是(-1,0)当 0 4 x 4 1 时,1-1 2 0,2 x 0,则/(I/)=(1 x 2 y+l,f(2x)=(2 x)2+l。二 由 1-X2)/(2 X)得,(1-/)2+1(2 x+1,解 得 o x l 时,1一/0,贝 U/(I/)=1,/(2 X)=(2X)2+1.由/(l-x2)/(2 x)W l(2x)2+l,无 解。综 上 所 述,满 足 不 等 式 f(l-f)2尤)的 x 的 范 围 是 2 1.(江 苏 2010年 5分)将 边 长 为 1

18、m正 三 角 形 薄 片,沿 条 平 行 于 底 边 的 直 线 剪 成 两 块,其 中 一 块 是 梯 形 但 嚅 黑 小 则,的 最 小 值 是 一【答 案】32733【考 点】求 闭 区 间 上 函 数 的 最 值。【分 析】设 剪 成 的 小 正 三 角 形 的 边 长 为 x 则(3 7)2 4(3 7)2而 T h(0 JV1)令 3 x=t,t e(2,3),-e(,)t 3 2则S_ J _ t2 _ 4 1 4_ 出-尸+6/-8 y/3 V3 q(1 3丫 1f t U 8j 8.当 1=3 时,-8 1-3 丫+!有 最 大 值,其 倒 数 有 最 小 值。t 8 U 8

19、j 8.当 1=3,即 时,s 的 最 小 值 是 必 叵。t 8 3 3本 题 还 可 以 对 函 数 S 进 行 求 导,令 导 函 数 等 于 0 求 出 X 的 值,根 据 导 函 数 的 正 负 判 断 函 数 的 单 调 性 进 而 确 定 最 小 值。22.(江 苏 2011年 5 分)函 数 八)=1。4(2%+1)的 单 调 增 区 间 是 答 案。【考 点】对 数 函 数 图 象 和 性 质。【分 析】由 2x+l 0,得 x;,所 以 函 数 的 单 调 增 区 间 是 1g,+8)。2x+a x 23.(江 苏 2011年 5 分)已 知 实 数 a H 0,函 数/(

20、x)=1则 a 的 值 为【答 案】-士 3。4【考 点】函 数 的 概 念,函 数 和 方 程 的 关 系,含 参 数 的 分 类 讨 论。【分 析】根 据 题 意 对 a 分 类:3当 a 0 时,l+al,l-al,2(1-a)+a=-(1+a)-2a,解 之 得 a=,2不 合 舍 去;3当。0 时,l+al,2(1+a)+a=-(1-a)-2a,解 之 得 a=。414.(江 苏 2011年 5 分)在 平 面 直 角 坐 标 系 X。),中,已 知 点 P 是 函 数/()=优(0)的 图 象 上 的 动 点,该 图 象 在 P 处 的 切 线/交 y 轴 于 点 M,过 点 P

21、作/的 垂 线 交 y 轴 于 点 N,设 线 段 M N 的 中 点 的 纵 坐 标 为 t,贝 卜 的 最 大 值 是【答 案】g(e+eT)。【考 点】指 数 运 算,函 数 的 导 数 的 求 法 及 导 数 的 几 何 意 义,导 数 用 于 求 函 数 的 最 值。【分 析】设 P点 坐 标 为(m,en)(m 0),由/(x)=得,/的 方 程 为 y-e=e(x?),令 x=0得,y=en-me过 点 P的/的 垂 线 方 程 为 y-e=-0-(一 根),令 x=0得,y=e+mem.:.t=-(em-me+em+”加)。2对 函 数 求 导,得 f=L(e*+e)(l-x)

22、,2t在(0,1)上 单 调 增,在(1,+00)单 调 减,当 机=1时,函 数 的 最 大 值 为 215.(2012年 江 苏 省 5分)函 数/(幻=J1-2 log。X 的 定 义 域 为 上【答 案】(0,V6o【考 点】函 数 的 定 义 域,二 次 根 式 和 对 数 函 数 有 意 义 的 条 件,解 对 数 不 等 式。【解 析】根 据 二 次 根 式 和 对 数 函 数 有 意 义 的 条 件,得 x01=0n-l-2 1 o g6x 0 x 0 _=0 x A/6 Ox 62=R16.(2012年 江 苏 省 5 分)已 知 函 数=+仇 q,b e R)的 值 域 为

23、 0,+o o),若 关 于 x的 不 等 式 f(x)c的 解 集 为(?,m+6),则 实 数 c 的 值 为.【答 案】9。【考 点】函 数 的 值 域,不 等 式 的 解 集。2【解 析】由 值 域 为 0,+00),当 f+a x+b=o时 有 丫=/一 4。=0,即。=幺,4/2,2 a(。丫.j(x)=x+ax+b=x+ax+=1 x 4-I。/(X)=x+3 c W W-4c x+Vc,-yc-X V c-OI 2)2 2 2;不 等 式/0)c 的 解 集 为(ni,m+6),/.-与-与=2&=6,解 得c=9 o二、解 答 题 1.(江 苏 2003年 12分)已 知 a

24、 0,“为 正 整 数(I)设 y=(x a),证 明 y=(x a)”(H)设(+l)力()【答 案】证 明:(I)(x a)=Z f(a)。,A=0二 y=zic(-a)-*/T=力-公/=(x-)”T。*=0 2=0(II)对 函 数/(x)=x(x a)n 求 导 数:f(x)=xT-x(x-a)T,所 以,-a)-.xa0,fn(x)0.xa/(x)=x-(x-a)是 于 郝 J增 函.因 此 na,(n+0-(n+1-a)n-(n-a)f/(n+1)=(+l)(n+1)(n+1-a)(+1)(1(-a)(n+1)(-n(n-a)-1)=(+V)f(n)。即 对 任 意 na,fn+

25、l(n+l)(n+V)fn(n)【考 点】导 数 的 运 算,不 等 式 的 证 明。【分 析】(I)利 用 复 合 函 数 的 求 导 法 则,先 求 出 外 函 数 与 内 函 数 的 导 数,再 求 它 们 的 乘 积。(II)先 利 用 复 合 函 数 的 求 导 法 则 求 出 函 数 的 导 函 数,再 求 x 用 x+1代 替 求 出 导 函 数 值,易 比 较 出 两 者 的 大 小。2.(江 苏 2005 年 12 分)已 知 a e R,函 数/(x)=x?I x-a I 当 a=2 时,求 使/(x)=x 成 立 的 x 的 集 合;(4分)求 函 数 y=/(幻 在 区

26、 间 1,2上 的 最 小 值(10分)【答 案】解:(1)由 题 意,f(x)=x2x-2当 x 2 时,山/(x)=x“2-x)=x,解 得 x=()或 x=l;当 x 2 时,由/(无)=尤 2(*-2)=x,解 得=1+行 综 上,所 求 解 集 为 0,1,1+收。(2)设 此 最 小 值 为 当 a 41时,在 区 间 口,2,/(x)=x3-ax2,/(x)=3x2-2ax=3x(x-ga)0,x e(1,2),/(x)是 区 间 1,2 上 的 增 函 数,所 以 加=/(I)=l a。当 l0,由/(a)=0 知,m=f(a)=0 o 当 a 2 时,在 区 间 1,2,/(

27、x)=ax2-x3,V/(x)=2ax-3x2=3x(-|a-x)若 a 2 3,在 区 间(1,2)上,/(x)0,则/(x)是 区 间 口,2 上 的 增 函 数,m=/(I)=6?1 o2若 2 a 3,则 1 一。2,32 2当 1 工 0,则/(x)是 区 间 1,上 的 增 函 数,2 2当 耳。工 20寸,fx)Q,则/(x)是 区 间 2 上 的 减 函 数,当 2 a 3时,m=/(I)=-1 或 m=/(2)=4(-2)。7当 2 a W Ebj,4(a-2)a-1,故 根=/(2)=4(a-2)。7当 3 时,4(a-2)。一 1,故 巾=/(1)=。一 1。-a a0

28、a2综 上 所 述,所 求 函 数 的 最 小 值 7=,4(-2)72a 一 一 3【考 点】函 数 与 导 数 综 合 运 用,分 段 函 数 的 解 析 式 求 法。【分 析】(1)把 a=2 代 入 函 数 解 析 式,根 据 绝 对 值 的 符 号 分 为 两 种 情 况,即 x 2 和 x 2 分 别 求 解 对 应 方 程 得 根,再 把 所 有 的 根 用 列 举 法 表 示 出 来。(2)根 据 区 间 1,2 和 绝 对 值 内 的 式 子 进 行 分 类 讨 论,即 a W I、l=2 1(8+2X-X2)a A 7 r 1-i A 7,帐 篷 的 体 积 为 V(X)=

29、H H(8+2X-/)-(X-1)+1=(16+1 2 x-x3),2 13 2求 导 数,得 丫 3=且(1 2-3-).2令 V,(x)=0解 得 x=-2(不 合 题 意,舍 去),x=2当 lx 0,V(x)为 增 函 数;当 2cx4 时,V(x)0,V(x)为 减 函 数。.当 x=2时,V(x)最 大。答:当 0。1为 2m时,帐 篷 的 体 积 最 大。【考 点】组 合 几 何 体 的 面 积、体 积 问 题,利 用 导 数 求 闭 区 间 上 函 数 的 最 值。【分 析】设 出 顶 点 0 到 底 面 中 心 01的 距 离,再 求 底 面 边 长 和 底 面 面 积,求

30、出 体 积 表 达 式,利 用 导 数 求 出 高 为 何 时 体 积 取 得 最 大 值。4.(江 苏 2006年 16分)设 a 为 实 数,设 函 数/(x)=a jl-/+J l+x+J l-x 的 最 大 值 为 g(a)。(I)设 f=+求 f 的 取 值 范 围,并 把/(x)表 示 为 f 的 函 数(4 分)(II)求 g(a)(6 分)(III)试 求 满 足 g(a)=g()的 所 有 实 数(6分)a【答 案】解:(I)对 于/=+要 使 有 r意 义,必 须 1+x N O 且 1一 工 2 0,即 1W x W 1。,=2+211-x2 G 2,4,20。的 取 值

31、 范 围 是 夜,2。由-=2+2jl/得 加 一 寸=,产 一 1,2.?(f)=a1万 广 1)+/=5。厂+,w 2,2 o(II)由 题 意 知 g(a)为 函 数 2的 最 大 值,注 意 到 直 线 f=-l 是 抛 物 线 m(t=-at2+t-a 的 对 称 轴,分 以 下 几 种 情 况 讨 论:a 2(1)当。0 时,函 数 y=z(f),r日 夜,2的 图 象 是 开 口 向 上 的 抛 物 线 的 一 段,由 r=-:0 知 加。)在 啦,2.上 单 调 递 增,g(a)=加(2)=。+2。(2)当=0 时,m(/)=/,t e V2,2,g(a)=;?(2)=2)(3

32、)当。0 时,函 数 y=?(7),re也,2的 图 象 是 开 口 向 下 的 抛 物 线 的 一 段,1 万 若 1=-一 0,0,即。4 一 J 则 g(a)=m(0)=夜;a 2若 1=一,(及,2,即 一 正 a 则 g(a)=/%(-)=a;a 2 2 a 2a若 t=-G(2,+oo),即-a 0 则 g(a)=加(2)=a+2a 2+2V2 1 v-交 I 2)(HI)情 形 1:当 a一 1,此 时 g(a)=啦,g(L)=,+2。由 2+=0a 2 a a a解 得 与。-2矛 盾。2情 形 2:当 2 W。时,/2与 a-2矛 盾。a 2情 形 3:当 时,y/2,此 时

33、 g(a)=g()。所 2 a 2 a以 一 0 4。4 一 变。2情 形 4:当 v a W 时 2 4-V2,此 时 g(a)=a-,g(-)=V 2。2 2 a 2a a由 一 一=A/2 C I=-,与 一 矛 盾。2a 2 2 2情 形 5:当 一,。0 时,-2,此 时 g()=a+2,g(-)=y/2o 由。+2=血 2 a a解 得。=拒-2,与。0 时,-0,此 时 g(a)=o+2,g(L)=+2。由+2=,+2a a a a解 得。=1,山。0 得=1。综 上 所 述,满 足 g(a)=g(-)的 所 有 实 数。为-行 4“4-变 或 a=1。a 2【考 点】函 数 最

34、 值 的 应 用【分 析】(|)由/=+右 7 先 求 定 义 域,再 求 值 域。由 7=工 r-1 转 化。2(II)求 g(a)的 最 大 值,即 求 函 数)=产+f-a,f e 夜,2J的 最 大 值.严 格 按 照 二 次 函 数 求 最 值 的 方 法 进 行。(川)要 求 满 足 g(a)=g(3 的 所 有 实 数。,则 必 须 应 用 g(a)的 解 析 式,它 是 分 段 函 a数,必 须 分 情 况 选 择 解 析 式 进 行 求 解。5.(江 苏 2007年 16分)已 知 a1,c,d是 不 全 为 0 的 实 数,函 数/(x)=Zu2+cx+d,g(x)=ax3

35、+bx2+cx+d,方 程/(x)=0 有 实 根,且/(x)=0 的 实 数 根 都 是 g(/(x)=0的 根,反 之,g(/(x)=0 的 实 数 根 都 是/(x)=0 的 根,(1)求 d 的 值;(3分)(2)若 a=0,求 c 的 取 值 范 围;(6分)(3)若 a=l,/(l)=0,求 C 的 取 值 范 围。(7分)【答 案】解:(1)设 X。是/(x)=o 的 根,那 么)=0,则 是 g(f 0)=0的 根,则 g/(x()=o,即 g(o)=o,:,d=0.(2)a=0,f(x)=bx+ex,(x)=bx2+ex,则 g(/(x)=/(x)W(x)+c=(bx1+(-

36、+加 x+c)=0 的 根 也 是/(x)=x 仅 x+c)=0 的 根。(a)当 6=0,exO 时,此 时 x)=0 的 根 为 0,而 g(/(x)=O 的 根 也 是 0,;c w 0。(b)当 c=0 时,/(x)=0 的 根 为 0,而 g(/(x)=O的 根 也 是 0。(c)当 人 工 0,c#0 时,x)=0 的 根 为 0 和 J 而/(x)+c=O 的 根 不 可 能 为。和,b.(x)+c=O必 无 实 数 根,/.=(*)2-4b2c 0,由 b#0 解 得 0c4。.二 综 上 所 述,当。=0 时,c w O;当 bwO 时,0 W c 0,16 40 c-3(b

37、)当(:()时,t=-ex2+ex=-c f x-+0恒 成 立。cf+c=ff 2+c-,h(t.=/?(),即 2)4 v 7mi U J5o二,即 函 数 I 2;4 4=/一 cr+c 在 1,/?(。0恒 成 立。乂(/)=/一 C f+C=,一)+C?,/.=(|)0,即 2 2C-0,而 C 0,.c-0,I.c 不 n J 能 小 于 0。4 4(c)c=0,则 8=0,这 时 x)=0 的 根 为 一 切 实 数,而 g/(x)=0,:.c=0,符 合 要 求。综 上 所 述,0 4 c 四。3【考 点】函 数 与 方 程 的 综 合 运 用。【分 析】(1)不 妨 设 公

38、为 方 程 的 一 个 根,即/(%)=0,则 由 题 设 得 g/(%)=0,从 而 由 g(O)=d 求 解。(2)由(1)知 f(x)=bx2+ex,g(x)=bx2+ex.所 以 有 g(/(x)=/(x)W(x)+c=(bx2+cx)(b2x2+bcx+c)=0,而 方 程 x)=x(bx+c)=0。最 后 按 方 程 的 类 型,分(i)b=Q,c H 0,(ii)bwO,c=0,(i i i)C H O 讨 论。(3)由。=1,/(1)=0 得 b+c=O,将 函 数 的 系 数 都 用 c,表 示,分 c 0,c 人 袅)(1)求 f(x)=J;(x)对 所 有 实 数 x成

39、立 的 充 分 必 要 条 件(用 表 示);(2)设 是 两 个 实 数,满 足。力,且 Ppp?e(a,b).若/3)=/3),求 证:函 数/(x)在 区 间 口 力 上 的 单 调 增 区 间 的 长 度 之 和 为:子(闭 区 间 的 长 度 定 义 为-7)【答 案】解:(1)由/(X)的 定 义 可 知,/(X)=/(X)(对 所 有 实 数 X)等 价 于/(x)f2(x)(对 所 有 实 数 x)这 又 等 价 于 31fl 2 3上 山,即 3户 印 卡 川 3啕 2=2 对 所 有 实 数 x均 成 立.(*)由 于 x-p-x-p2(x-pt)-(x-p2)=pt-p2

40、(x e R)的 最 大 值 为|P P21,故(*)等 价 于 3L闯 W 2,即|8-2归 我 32,这 就 是 所 求 的 充 分 必 要 条 件。(2)分 两 种 情 形 讨 论:(i)当 E-pzK/ogsZ时,由(1)知/(x)=/(x)(对 所 有 实 数 xea,们)则 由/(a)=f(b)及 a p 3P,X,x pt函 数/(x)在 区 间 国,们 上 的 单 调 增 区 间 的 长 度 为/,一 空 2=j(参 见 示 意 图 1)2 2(ii)E-02|/空 32 时,不 妨 设 P1 Qg3 2,于 是 当 x W p 时,有 工(x)=3展,3 力(幻,从 而 x)

41、=x);当 xZp2时,有 3幅 2 3 f=力(彳)从 而/(%)=f2(x);当 Pi x P2 时,力(%)=3-,及(x)=2 3P厂,由 方 程 3=2 3门 解 得 力(x)与 力。)图 象 交 点 的 横 坐 标 为 Xo=,2+glog32(1)显 然 pt x0=p2-i(p2-pl)-log3 2p2,这 表 明/在 P1与 2之 间。由 易 知/()=工(X),/?!X x0力(x),x0 x p2图 2综 上 可 知,在 区 间 a,回 上,f(x)=f1.(x),a x x(.(参 见 示 意 图 2)人(x),xQ x b故 由 函 数 工(x)及 人(制 的 单

42、调 性 可 知,“X)在 区 间 他,切 上 的 单 调 增 区 间 的 长 度 之 和 为(X。一 PJ+S-P 2),由 于/(a)=/S),即 3 i=2-32,得 Pi+P2=+b+log3 2(2)故 由、得(%-亿)+(6一。2)=人-gP1+P2-1Og32=。综 合(i)(ii)可 知,/(x)在 区 间 a,加 上 的 单 调 增 区 间 的 长 度 和 为 了。【考 点】指 数 函 数 综 合 题。【分 析】(1)根 据 题 意,先 证 充 分 性:由/(x)的 定 义 可 知,/(x)=f(x)对 所 有 实 数 成 立,等 价 于 八(x)力(x)对 所 有 实 数 x

43、 成 立,等 价 于 3k5 2 31fl,即 3 2 司 十 一 囚 332=2 对 所 有 实 数 x 均 成 立,分 析 容 易 得 证。再 证 必 要 性:3 A 0 H A 闻 3 嗨 2=2 对 所 有 实 数%均 成 立 等 价 于 3加 闻 2,即|-/?2|32=(2)分 两 种 情 形 讨 论(i)当 E-%|4/。832时,由 中 值 定 理 及 函 数 的 单 调 性 得 到 函 数/(x)在 区 间 a,回 上 的 单 调 增 区 间 的 长 度;(ii)|历-必|/。832时,a,。是 两 个 实 数,满 足 a b,且 P,p2G(。,与,根 据 图 象 和 函

44、数 的 单 调 性 得 到 函 数/(x)在 区 间 口,村 上 的 单 调 增 区 间 的 长 度。7.(江 苏 2009年 1 6分)设 a 为 实 数,函 数/(幻=2炉+(彳-讣-司.1)若/()21,求 a 的 取 值 范 围;2)求/(x)的 最 小 值;3)设 函 数(x)=/(x),XG(a,+oo),直 谈 写 学(不 需 给 出 演 算 步 骤)不 等 式/?(x)21的 解 集.【答 案】解 若 八 0)21,则-alaRl当 al,:.a 0 时,-/2 1 无 解。的 取 值 范 围 为 a 4-1。当 xNa 时,f(x)=3x2-2ax+a2,f(x)min=当

45、xWa 时,f(x)=x2+2ax-a2,/(x)min=/(a)=22(a0)学 苧 0)/(a)=2a2(a1得 3-2ax+a-l0,.,.=4/一 12面-1)=12-8/当 a W 或 a 2 半 时,A0,xe(a,+oo);当-逅(),得:(,一 伫 年 纪)(*_ 年 迈!注 0。因 此,讨 论 得:2 2 3 3x a当 a e(?,乎)时,解 集 为(a,+8);、1/V6 5/2 反 刀 在、i/a J3-2a.irc i+,3-26r当 a(-,一 光-)时,解 集 为(%5-U 彳-,+8);当 时,解 集 为 竺 与 也,+8)。8.(江 苏 2010年 16分)设

46、“X)是 定 义 在 区 间(1,+oo)上 的 函 数,其 导 函 数 为 了(X)。如 果 存 在 实 数。和 函 数 人(X),其 中 h(x)对 任 意 的 xe(l,+oo)都 有(X)0,使 得 fx)=h(x)(x2-a x+1),则 称 函 数/(X)具 有 性 质 P(a)。b+2(1)设 函 数/(x)=lnx+-(x 1),其 中 人 为 实 数。JC+1 求 证:函 数/(x)具 有 性 质 P(b);(ii)求 函 数/(x)的 单 调 区 间。(2)已 知 函 数 g(x)具 有 性 质 P(2)。给 定 百,2 e(L+o0),X1%,设 加 为 实 数,a=mx

47、+(1 m)x2,/?=(1-m)xt+mx2,且 若|g(a)-g()|1时-,/?(x)=二 0恒 成 立,函 数/,(%)具 有 性 质 P S)。M x+1)(ii)设 夕(幻=工 2-bx+l,当 K 2 时,对 于 x l,(p(x)=x2-bx+lx2-2x+l=(x-i)20:./(X)0,故 此 时/(X)在 区 间(1,+8)上 递 增;当 6 2 时,以 X)图 像 开 口 向 上,对 称 轴 x=g l,方 程 e(x)=0 的 两 根 为:1+“2-4 b 2 4 K+“2 4 人 物 _ 4 2 小,、-,-,而-1,-=-,e(0,1)2 2 2 2 西 工 当

48、x e-4)时,(p(x)0,/(x)2 时,/(x)在 炉 工 上 递 减;/(X)在、+-4 收 上 递 增。2 2(2)由 题 意,得:g x)=h(x)(x2-2x+1)=h(x)(x-1)2,又,2(X)对 任 意 的 X G(l,+8)都 有/?(%)0,对 任 意 的 X G(l,+8)都 有 g(X)0,g(X)在(1,+8)上 递 增。又 a+=x?,a-0=(2加 一 1)(%Z),当 m,m 1 时,a 0:a xx x2 或 公 若 a 气 6,则/(a)/(%)/(r2)g(Q-g&):不 合 题 意。xx a jB X29即 再 mxx+(1 一 羽(1第)网+加/

49、解 得 1,当 加 时,)=,0=|g(a)-g(X)|,2且 以 一、=网(4-4),_ 4=一 网(匕 一/),r同-1理 T有 工 1 o&n心,即%0,.O 加 一 1,%再+(1一 米)与 电 2综 上 所 述,所 求 加 的 取 值 范 围 是(0,Do【考 点】利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性。【分 析】(1)先 求 出 函 数/(幻 的 导 函 数/*),然 后 将 其 配 凑 成 八 1)=加 了),一 法+1)这 种 形 式,再 说 明 利 切 对 任 意 的 x(1,+8)都 有 必 必 0,即 可 证 明 函 数/(x)具 有 性 质 产;(i i)设 一

50、(尢)=%2-bx+1,分 W 2 和。2 两 种 情 况 讨 论:根 据(i)令 夕)=/一 法+1,讨 论 对 称 轴 与 2 的 大 小,当。4 2 时,对 于 X 1,(p(x)0,所 以 广(幻 0,可 得/(X)在b区 间(1,+8)上 单 调 性,当 b 2 时,叭 X)图 象 开 口 向 上,对 称 轴 x=-l,可 求 出 方 程 以 X)=0的 两 根,判 定 两 根 的 范 围,从 而 确 定 e(x)的 符 号,得 到 了(X)的 符 号,求 出 单 调 区 间。(2)对 g(x)求 导,由 已 知 条 件,应 用 不 等 式 的 性 质 求 解。9.(江 苏 2011

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