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1、经 济 数 学 基 础 1.在 切 线 斜 率 为 的 积 分 曲 线 族 中,通 过 点(1,4)的 曲 线 为(A.y=V+3).2.若(2 x+Z)d r=2,则 A=(A.1).J 03.下 列 等 式 不 成 立 的 是 一 D.In x d x=d()XX4.若 j/(x)d r=-e+c,则 尸(x)=_ 匹 义 域 是|C.(-o o,0 15.下 列 各 函 数 对 中，。D./(x)=s i n2 x+c o s?工，g(x)=l，中 的 两 个 函 数 相 等.16.设/(X)=L+l,则“/(%)=XX.A.+1.1+九 1 7.下 列 函 数 中 为 奇 函 数 的
2、是(，C.y 二 X 1=I n-。)X+11 8.下 列 函 数 中，(c.y=ln(x l)不 是 基 本 5.J A d(e-X)=B.X-T+r+c 01 16.若|/(x)e vd x=-e+c,则/(x)=7.若 是/(%)的 一 个 原 函 数，则 下 列 等 式 成 立 的 B.1 f(x)d x=F(x)F(a)J ari ev-e x j8.下 列 定 积 分 中 积 分 值 为。的 是 A 一-dx二 2r+o o 19.下 列 无 穷 积 分 中 收 敛 的 是 c.1 d r1 0.设 R(q)=1 0 0-4 g,若 销 售 量 由 1 0 单 位 减 少 到 5
3、单 位，则 收 入 R 的 改 变 量 是 初 一 3 50 I11.下 列 微 分 方 程 中,D.y s i n x-y e*=y l n x是 线 性 微 分 方 程.12.微 分 方 程(y)2+y(y)3+孙 4=0 的 阶 是 国 xlg(x+l)1 3.函 数 y=的 定 义 域 是 D.X 1 且 若/(X)=XCOSX,则 26.若 函 数/()=X,则 尸(X)二 X11 4.若 函 数 f(X)的 定 义 域 是 0,1,则 函 数/(2 与 的 定 27x。0初 等 函 数.1 9.下 列 结 论 中，(，C.奇 函 数 的 图 形 关 于 坐 标 原 点 对 称。)是
4、 对 的 的.+2%20.当 X 0 时，下 列 变 量 中 B.-是 无 穷 大 X量.J Q-21.已 知/(X)=-1,当 AX 0 时,/*(%)为 t a n x无 穷 小 量.s i n x 八“、-，x w O2 2.函 数/(1)=彳 x 在 x=0处 连 续，贝 1 1攵=k,x=0心 1 I1,x 0._.2 3.函 数/(X)=，在 X=0 处|B.右 连 I1,X 024.曲 线 y=在 点(0,1)处 的 切 线 斜 率 为|A.-L25.曲 线 y=s i n x 在 点(0,0)处 的 切 线 方 程 为|A.y=|0.f(x)-|D.-2sinx-xcosx28
5、.下 列 函 数 在 指 定 区 间(-00,+8)上 单 调 增 长 的 是(B.e*).29.下 列 结 论 对 的 的 有 A.4 是/(X)的 极 值 点，且 f(xo)存 在,则 必 有 尸(xo)=030.设 需 求 量 q 对 价 格 P 的 函 数 为/()=3 2yp,则 需 求 弹 性 为 Ep=31.设 A 为 3 x 2 矩 阵,8为 2 x 3 矩 阵,则 下 列 运 算 中(A.AB)可 以 进 行.32.设 A,8 为 同 阶 可 逆 矩 阵，则 下 列 等 式 成 立 的 是 B.40.设 线 性 方 程 组 A X=b 的 增 广 矩 阵 通 过 初 等 行
6、变 换 化 为-13 1 2 6 0-1 3 1 4，则 此 线 性 方 程 组 的 一 般 解 中 0 0 0 2-10 0 0 0 0 _自 由 未 知 量 的 个 数 为 A口 X.4-=141.线 性 方 程 组 解 的 情 况 是(A.无 x1+x2=0解).1 2 24 2.若 线 性 方 程 组 的 增 广 矩 阵 为 A=,则 当 2 1 0斗.1|时 线 性 方 程 组 无 解.(AB)T=BTAT43.线 性 方 程 组 A X=0 只 有 零 解，则 33.设 A,8 为 同 阶 可 逆 方 阵，则 下 列 说 法 对 的 的 是 A X=。(。工 0)(B.也 许 无
7、解).D.(ABY=B-A44.设 线 性 方 程 组 AX口 中，若 r(A,6=4,r(A)=3,34.设 A,8 均 为 阶 方 阵，在 下 列 情 况 下 能 推 出 A 是 单 位 矩 阵 的 是 I D.A”=/目 5.设 A 是 可 逆 矩 阵，且 A+A B=/,则 A=(c.I+B).36.设 A=(l 2).5=(-1 3),/是 单 位 矩 阵，则 T 一 2 31ATB-Z=D.-2 537.设 下 面 矩 阵 4,B,C能 进 行 乘 法 运 算.那 么(B.AB=AC,A 可 逆，则 B=C)成 立.38.设 A 是“阶 可 逆 矩 阵，k 是 不 为 0 的 常
8、数，则(kA)-=(c-kA-).1 2 0-3-39.设 4=0 0-1 3,则 r(A)=2 4-1-3则 该 线 性 方 程 组(B.无 解).1 5.设 线 性 方 程 组 A X=b 有 唯 一 解，则 相 应 的 齐 次 方 程 组 A X=O c.只 有 零 解 二、填 空 题 1.dfe-rdx=e-dr.2.函 数/(x)=sin 2x 的 原 函 数 是 1-CO S22 x+c(c是 任 意 常 数 3.若 J/(x)dx=(x+l)2+c,则/(x)=2(%+1)4 若 J/(幻 口=/(X)+C,则 je-V(e_A)dr=|-7 p+ld re)5.j(ln(x+l
9、)dx=o6.-7dx=0Ll*2+1)2r+8 I7.无 穷 积 分-7 d Y是 收 敛 的.(判 别 其 敛 散 J。(X+1)2性)8.设 边 际 收 入 函 数 为 H(g)=2+3 且 H(0)=0,则 平 均 收 入 函 数 为 9.(/)3+e 2 y=0 是 叵 阶 微 分 方 程.s in x-1 9.已 知 f(x)=1-：-，当 X-0 时,/(X)为 无 穷 X小 量.2-1-X W 120.已 知/(X)=x，若/(%)在 a x=1(一 8,+00)内 连 续，则。=日 21.函 数/(幻=一 的 间 断 点 是 以=0.1-e-,2 X1 0.微 分 方 程 y
10、=x 的 通 解 是 y=+c22.函 数/(X)=-的 连 续 区 间 是(x+l)(x-2)x+2,1 1.函 数/(%)=9x _ 1,-5 x 0的 定 义 域 0 x 22),(2,+8)是-5,22 3曲 线 y=4 在 点(1,1)处 的 切 线 斜 率 是|y=0.524.函 数 y=x 2+I 的 单 调 增 长 区 间 为(0,+8).12.函 数 f(x)=ln(x 4-5)-/-的 定 义 域(-5,V 2-x13.若 函 数/(x+1)=X?+2%一 5,则/。)二 3 一 6 9 11 4.设 函 数 l,x(x)=一,则 X3/(2)=.-410+10-x,1 5
11、.设/(X)=-，则 函 数 的 图 形 关 于 通 25.已 知/(九)=In 2x,则(2)=fi.1 6.函 数 y=3(x-l)2的 驻 点 是 P2 7.需 求 量 对 价 格 的 函 数 为 q(p)=1 0 0 x e 2,则 需 求 弹 性 为 E,=-E 0 2|20 228.已 知 需 求 函 数 为 4=亍 一 p,其 中 p 为 价 格,则 需 求 29两 个 矩 阵 A,B 既 可 相 加 又 可 相 乘 的 充 足 必 要 条 件 是 A对 称.16.已 知 生 产 某 种 产 品 的 成 本 函 数 为 C(9)=8 0+24,则 当 产 量。=5 0时，该 产
12、品 的 平 均 成 本 为 3.6.1 7.已 知 某 商 品 的 需 求 函 数 为。=180-4 p,其 中 为 该 商 品 的 价 格，则 该 商 品 的 收 入 函 数 E(G=4 5 q-0.2 5。1 8.x+sin xlim-=-0-与 旦 是 同 阶 矩 阵 L r 2 1r-3 0 03 0.计 算 矩 阵 乘 积 1 2,0=4I 1 T3 1.若 矩 阵 A=1 2,B=2 3 l,则 A,-2 3-fB=-4-6 2X34.设 A 为 m X”矩 阵，8 为 s x r 矩 阵，若 A 3与 切 都 可进 行 运 算，则 加，s,，有 关 系 式 机=r,=s135.设
13、 A=a20 20 3.当 a=0 时,A 是 对 称 3-11才-002 0 14 2-10 0 001J+1则 当 口 一 水 用 方 程 组 A X=有 无 穷 多 解.矩 阵.4 5.若 线 性 方 程 组 AX=Z?3NO）有 唯 一 解，则 3 6.当 叵 三 二 哥 时，矩 阵 A=可 逆.1 aA X=0 只 有（）解.37.设 A,B 为 两 个 已 知 矩 阵,FL/3 可 逆，则 方 程 A+B X=X 的 解 A3 8.设 A 为 阶 可 逆 矩 阵，则 r（4）=回-2-1 23 9.若 矩 阵 4=4 0 2,则 V）0-3 34 0.若 r(4 b)=4,r(A)
14、=3,则 线 性 方 程 组 AX b无 解%,-=04 1.若 线 性 方 程 组/八 有 非 零 解，则=芭 4-AX2=0日 三、计 算 题 1._.1sin J 2%d XJ Xgsin1J/心=-sin d()=cos4-cJ X X X4 gc2dx2j2d(Vx)=-j2+c盯 xsinxd%域 j xsin xdx=-xcosx+j cosxdx=-xcosx+sinx+c42.设 齐 次 线 性 方 程 组 AmxwX xl=0,且 秩（4）=J(x+l)lnxdxr,则 其 一 般 解 中 的 自 由 未 知 量 的 个 数 等 于-g（其 中 83，彳 4 是 自 由 未
15、 知 量）x2=2X44 3.齐 次 线 性 方 程 组 A X=0 的 系 数 矩 阵 为-1-1 2 3-A=0 1 0-2 则 此 方 程 组 的 一 般 解 为 _0 0 0 0 _44.线 性 方 程 组 A X=匕 的 增 广 矩 阵 I 化 成 阶 梯 形 矩 j(x+l)lnx(ir%+l)21nJ f S/2 2J x1/2 c X二 一(x+2x)lnx-x+c2 4|5.e(l+e)2dxJ 0解 r I n3 er(14-er)dx=f In 3(14-eA)o-d(l+ev)=阵 后 为 如 四:y 回.净解 y=e，吟 卜/+1)J 苫 dr+cJ=lnAd(24)
16、=2lnx|-J 2V1 媪、叼(厂+l)edr+c2Ve14 2 3_ I X X _ X X c-f；Adr=2-4lT+T+C HT+I+xF 1 c 7由 X D=+-+-=-,得 c=l 所 以，4 2 1 4=2,x/e-I*-j=A x=4-2,/cJ 1 X 丫 3 i特 解 为 y-1 4 2 xB1Xyjl+In=drx.=d(l+Inx)V1+ln x2jl+lnx=2(V3-1)n|8.|2xcos2jxix g7 C7t I 2 乃，2 xcos2Mr=xsin 2x-2 sinlMr=Jo 2|0 2 Jo7tcos2x 2-4 0 2国 J。ln(x+l)dx 1
17、ln(x+l)dx=xln(x+l)|=e-l-P(1)drJ。x+l=e-l-x-ln(x+l)|Q-1=lne=1画 求 微 分 方 程 V+2=/+1满 足 初 始 条 件 X7y(l)=W的 特 解.10由 于 P(x)=,e(X)=X2+loX同.求 微 分 方 程 V+-=o 满 足 初 始 条 件 yX-i)=V 3 的 特 解,g 将 方 程 分 离 变 量:声=等 式 两 端 积 分 得 e-V=e+c2 3将 初 始 条 件 X-1)=7 3 代 入,得 1 e-3=1 e _3+c,c-1 e_32 3 6所 以，特 解 为：3e，2=2e3-v+e-3网.求 微 分 方
18、 程 V-2=lnx满 足 R,=1 的 特 解.g:方 程 两 端 乘 以 得 Xyr y=In xx x2 x即。(3=2X X两 边 求 积 分，得=j=jin xd(ln x)=+c用 公 式xln2 x通 解 为：y=-+cx=e-v(2xev-2j edx+c)=ex(2xex-2ex+c由=1,得 c=l 所 以，满 足 初 始 条 件，lx=lr In r的 特 解 为：=划 尸+回 求 微 分 方 程 ytanx=yin y 的 通 解.前 将 原 方 程 分 离 变 量 一 驾=cotxck)山=(2x 2+ce-x)叵 求 微 分 方 程 冲,+y=xsin x 的 通
19、解.觑:由 于 P(x)=,，Q(x)=sinx,由 通 解 公 式 得 X-f-dx-J-dry=e x(I sinxe x dx+c)=e-lnA(j sin xenxdx+c)两 端 积 分 得 Inlny=1 n(7 s i nx通 解 为 y=e。叵 求 微 分 方 程 冲-y=匚 的 通 解.In xg 将 原 方 程 化 为:y4 y=匚，它 是 一 阶 x Inx线 性 微 分 方 程，P(X)=-L,Q(X)=Jx In x用 公 式 y=6 4 Q(x)edr+c dx 广 1 dx=。八-e J*dx+cJ In x同.二 一(一 xcosx+sin 九+c)x.%2 3
20、x+2lim-%T 2%2-4B.3x+2(x 2)(尢 一 1)lim-=lim-=12 x2-4 x-2(%-2)(x+2).x-1lim-12(x+2)4=x-dx+cJ xnx=x(ln In x+c)因.求 微 分 方 程 V=2x-y 的 通 解.解|在 微 分 方 程 y=2x-y中,P(x)=l,Q(x)=2x由 通 解 公 式 y=eJ d(f 2xe*dx+c)=e-(|，2Aevdx+c)x-1(x-l)(x-2)(77+1)=limX-1(x 2)(+1)国 理 sin2xVx+T-1 sin2xlim-7=z。J x+l-1=limX T O2B(Vx+1+1)sin
21、 2x(Jx+1 l)(Jx+1+1)=lim(Vx+T4-l)lim=2x2=4A-0 Xf 0Xr11.广 一 4x+32 oJhm-313 sin(x-3)y=(52cosxy=52coSA-1n 5Qcosx)=-2sinx52cosx In 5解 v 4x+3.(x 3)(x-1)lim-=lim-z3 sin(x-3)-3 sin(x-3)所 以 lim I*lim(x-1)=2sin(x-3)r-37 T 2 C O S=-2sin 5 2 In 5=-2 In 52回 谓 B2 6.已 知 y 二 划 In?无，求 dy.tan(x-l)tan(x-l)解 lim.=lim-I
22、 x+%-2 i(%+2)(x-1)2-解 由 于 yr=-()n x)3(In x1.tan(x-l)1 1 1lim-lim-=-x 1=i x+2 zi x-1 3 32-=(Inx)33x_ 2 _3x Vlnx解.厘 也 3)(X-1)(2X-3)6 所 以 dy=d x3x Vin x(1 一 2X)5(3/+X+2)、lim-)8(x 1)(2X-3)6(-2)5(3+-+4)1 1 md 1)x-(1 3 IAX X(-2)5 x3 3-2 2|27.|设 y=esinA+cos5 x,求 dy.解 由 于 V=esinx(sinx)+5cos4 x(cosx)I因-1._已,
23、知 y=2”v-C-O-S-X，求 r,.y(，/x、).x解：|yx)COSX、,c 一 c(2X-)z=2ln2-x-xsinx-cosx2X2vln2+xsinx+cosx=es,nxcosx-5cos4 xsinx所 以 dy=(esin v cosx-5cos4 xsinx)dr叵 可 设 y=tanx3+2”,求 dy.前 由 于 y=二(x3)，+2Tln2(x)COS X|2 4 1 已 知 f(x)=2*sinx+ln JT,求 f x).鼠 ff(x)=2r In 2-sin x+2 cosx+-x因.已 知 y=52。力 求 y”)；解 由 于 3x所 以 dy=(-2r
24、 in 2)dxcos;r129可 已 知 y=cos 2X sin，,求 yr(x)解 y(x)二 一 sin 2 2”丫 一 cosx2(x2)，=-2X sin 2v In 2-2xcosx2叵 二 已 知 y=In?x+e,求 y(x).g：/(x)=3 In2 x(ln x+e-5(-5%),31n 0 _ _5x=-5ex宜 国.由 方 程 yln(l+x)+e”=62拟 定 是 8的 隐 函 数，求 y(x).g 在 方 程 等 号 两 边 对 X 求 导，得 yln(l+x)+(e)=(e2)，ey=-l-xey当=()时，y=l所 以 孚=r=e(X=O 1-Oxe1|3 3
25、.|由 方 程 cos(x+y)+e=%拟 定 是 的 隐 函 数，求 dy.g 在 方 程 等 号 两 边 对 x 求 导，得 cos(x+y)+(e)=(x)yf ln(l+x)H-b e*(y+xy)=01+x-sin(x+y)l+y+e、/=1ln(l+x)+xeV=-L ye”1+x故 丫,=y+(1+x)ye 孙 一 一(l+x)ln(l+x)+xe回 由 方 程 siny+xev=0 拟 定 y 是 x 的 隐 函 数,求 V(x).g 对 方 程 两 边 同 时 求 导，得 ycosy+e，+xeyyf=0(cosy+xe、)y=-ev回 设 函 数 y=y(x)由 方 程 y
26、=1+xe)拟 定，求 dy心 一 蚓:方 程 两 边 对 X 求 导，得 y=ev+Ae-Vyev-sin(x+y)y=l+sin(x+y)l+sin(x+y)ey-sin(x+y)曲(21-解-12 00-2=00.14-sin(x+y),dy=-dxev-sin(x+y)1 0 2 2 r殳 矩 阵 A=-1 2 4,B=-1 3,求 3 1 1J 0 3川)3.由 于 2/=0 01 r 1 0 2T1 0-1 2 40 3 1 1o oi ri-i 3*1 r i i-32 0-0 2 1=0 0-10 2_|_2 4 1J|_-2-4 1所（2/-A）B1-5 0-30-1110-
27、20-41-1000010-110-141-701010-210-2010-41772-13211 0 21-2 035 设 矩 阵 42 1 2-6 1B=0 1 0,c=2 20 0 2-4 2计 算 0-1 0 0-1 30-1 0-2 70 0 1 0 10 0-1 30 1 0 2-70 0 1 0 1120-1+C.一 2 1 2-1 1。：+C=0 1 0 0-20 0 2 2 0-6 r-6 0-6 r4-2 2=0-2+2 2-4 2 4 0-4 2o r=2 00 2圈 由 于(A/)=-13-6-3一 国.设 矩 阵 A=-4-2-1,求 川 2 1 12-13-6-4-
28、22 1-3 1 0 0-1 0 1 01 0 0 1I000 2-1 1 0 1 0 0 2-1 11 2 1 0 0 0 1 0 4-2 10-2 3-2 1 0 0-2 3-2 11 1-0 02 14 1 0 7-1 0 1 21 0 0 11 0 0 2-1 10 1 0 4-20 0 1-3/2 1-1/22-1 1所 以 4-2 1-3/2 1-1/2100 1%1-2-%.1 0-2网 设 矩 阵 A=,B=1-2 06 31 24 1所 以(B/)r叵 解 矩 阵 方 程-23计 算(AB)B由 于 A 6E 由 于-21%-2-玄.-34X21 0 1 1 1 113 4
29、0 1 3 4 0 10-26 311-2 0-2-11 244 11 1 1 1 1 0 4 3(A B 1)0 1-3-2 0 1-3-2-2 1 0-2 1 0即-2-3 4 34-1 0 1 0 1 23 4-3-2所 以,X=4 3-1 2一 1-211-22O1-3-2 2解 矩 阵 方 程 X1 23 5解 1-12 0由 于 1 1这 设 矩 阵 A=0-22 01 2-3=,计 算(BA)t.B13即 25000101-10-5 231-12-1-52 120解 由 于 夕 A3 5 3-1(B A-5-3 1 O-4 2 0 1-5-34 212 0所 以 2X-8-101
30、-1 12 03423 5-1-1 1 14 2 0 1叵 设 线 性 方 程 组+*3=2为+2X2 一 有 二 02xj+九 2 一%=b讨 论 当 a,b 为 什 么 值 时,方 程 组 无 解，有 唯 一 解,T1 1-10-2 4-15有 无 穷 多 解.解 由 于 1 0 1 2 1 0 1 21 2-1 0 0 2-2-22 1-a b 0 1-a2 h-41 0 1 2 0 1-1-10 0-a-b-3所 以 当 a=1且 人。3时,方 程 组 无 解；当 a，1时，方 程 组 有 唯 一 解；当 a=-l且 匕=3 时，方 程 组 有 无 穷 多 解.X）+2工 3=-143
31、.设 线 性 方 程 组-玉+-3/=2,求 其 2x-x2+5X3=0系 数 矩 阵 和 增 广 矩 阵 的 秩,并 判 断 其 解 的 情 况.E 由 于 1A=-120 2-1 11-3 2-0-1 5-3J Q-12-1-1 11-1011 0 2-1-0 1-1 10 0 0 0所 以 一 般 解 为 x,1=-2x,+x.3 4（其 中 七,.X2=七 X4X4是 自 由 未 知 量）|4 5.|求 下 列 线 性 方 程 组 的 一 般 解:2X 5%2+=-3 0-9 4-9-2 14-6 12 0 18-8 181X=-120 2-1 1 0 2-11-3 2 f 0 1-1
32、 1-1 5 0 0-1 1 21 0-1/9 1f 0 1-4/9 10 0 0 01 0 2-0 1-10 0 0-113xi=3 七+1所 以 一 般 解 为（其 中 必 是 自 由 所 以 r(A)=2,r(彳)=3.未 知 量）又 由 于（彳），所 以 方 程 组 无 解.4 4 求 下 列 线 性 方 程 组 的 一 般 解：项+2X3-X4=0-%1+x2-3七+2X4=02x1 x2+5X3-3X4-0X-3叫+2%3=叵 设 齐 次 线 性 方 程 组 1 2玉-5+3当=03 尤-8 九 2+%犬 3=。问 九 取 何 值 时 方 程 组 有 非 零 解,并 求 一 般 解
33、.g 由 于 系 数 矩 阵 g 由 于 系 数 矩 阵 A1-3 2 1-3 22-5 3-0 1-13-8 A 0 1 2-61-1A-0 10 06-3 1-3 3 00 0 2-31 0-1f 0 1-10 0 2-5所 以 当 入=5 时;方 程 组 有 非 零 解.且 一 般 解 为（其 中 心 是 自 由 未 知 量 1/2=%3回 当/取 何 值 时，线 性 方 程 组 X1+%2+&=1 2玉+工 2-4当=4 有 解？并 求 一 般 解.-x+5X3=1g 由 于 增 广 矩 阵 问 A 取 何 值 时，方 程 组 A X=b 有 解?当 方 程 组 有 解 时，求 方 程
34、 组 A X=人 的 一 般 解.底 当；1=3时,*A）=r（）=2,方 程 组 有 解.时 1N f 00-1 6-3 11-30 0当 2=31 03 0-0 10 0 0 03 0-3 30 0100%.=1-3x,一 般 解 为 4，其 中.，Zx2=3X3-3X4为 自 由 未 知 量.IA=2-11 11-40 5ii ri%f 01J|_01-111 1-6 A-26 21 0-5-1 0 1 6 20 0 0 2四、应 用 题 口 投 产 某 产 品 的 固 定 成 本 为 36（万 元），且 边 际 成 本 为 C（x）=2x+40（万 元/百 台）.试 求 产 量 由 4
35、 百 台 增 至 6 百 台 时 总 成 本 的 增 量，及 产 量 为 所 以 当 a=0 时，线 性 方 程 组 有 无 穷 多 解,且 一 般 解 为：由 未 知 量）。4 8.|已 知 线 性 方 程 组 AX=b 的 增 广 矩 阵 经 初 等 行 变 换 化 为 多 少 时，可 使 平 均 成 本 达 成 最 低.1 F S 当 产 量 由 4 百 台 增 至 6 百 台 时，总 成 本 的 增 量 为 C=J：(2x+40)dx(x2+40 x)=1 0 0(万 元)4又 _ C(x)dx+Co _/+36X X=X+4 0+X令 弧=1-2=0,解 得 x=6.xx=6 是 惟
36、 一 的 驻 点，而 该 问 题 的 确 存 在 使 平 均 成 本 达 成 最 小 的 值.所 以 产 量 为 6 百 台 时 可 使 平 均 成 本 达 成 最 小.团 已 知 某 产 品 的 边 际 成 本 C(x)=2(元/件)，固 定 成 本 为 0,边 际 收 益 R(x)=12 0.0 2 x,问 产 量 为 多 少 时 利 润 最 大？在 最 大 利 润 产 量 的 基 础 上 再 生 产 50件，利 润 将 会 发 生 什 么 变 化？g 由 于 边 际 利 润 Lr(x)=R(x)Cf(x)=12-O.OZx-2=10-0.02 x令 1/(尢)=0,得 x=5 0 0 x
37、 二 5 00是 惟 一 驻 点,而 该 问 题 的 确 存 在 最 大 值.所 以，当 产 量 为 50 0件 时，利 润 最 大.当 产 量 由 50 0 件 增 长 至 5 5 0 件 时，利 润 改 变 量 为 550 o|550AL=100(10 _0.02x)dx=(lOx-O.Olx?儿 00=500-525=-25(元)即 利 润 将 减 少 2 5 元.生 产 某 产 品 的 边 际 成 本 为 C(x)=8 x(万 元/百 台)，边 际 收 入 为 R(*)=1 0 02%(万 元/百 台)，其 中 x 为 产 量，问 产 量 为 多 少 时,利 润 最 大？从 利 润 最
38、 大 时 的 产 量 再 生 产 2 百 台,利 润 有 什 么 变 化？解|L(x)=R(%)-Cz(x)=(1 0 0-lx)-8 x=1 0 0-10 x 又 x=10是(x)的 唯 一 驻 点，该 问 题 的 确 存 在 最 大 值，故 x=10是 L(x)的 最 大 值 点，即 当 产 量 为 1 0(百 台)时，利 润 最 大.又 L=J：(l 00-1 Ox)dx=(100 尤-5/).=20即 从 利 润 最 大 时 的 产 量 再 生 产 2 百 台，利 润 将 减 少 2 0 万 元 团 已 知 某 产 品 的 边 际 成 本 为 C(x)=4x-3(万 元/百 台)，x
39、为 产 量(百 台)，固 定 成 本 为 18(万 元)，求 最 低 平 均 成 本.凰:由 于 总 成 本 函 数 为 C(x)=J(4x-3)dx=2x-3x+c当 x=0 时，C(0)=18,得 c=18即 C(x)2.x 3x+18又 平 均 成 本 函 数 为“/、C(x).18A(x)=2x-3+x x1 Q令 4*)=2 与=0,解 得 x=3(百 台)x该 题 的 确 存 在 使 平 均 成 本 最 低 的 产 量.所 以 当 X=3 时，平 均 成 本 最 低.最 底 平 均 成 本 为 1 QA(3)=2x3-3+=9(万 元/百 3台)国 设 生 产 某 产 品 的 总
40、成 本 函 数 为 C(x)=3+x(万 元)，其 中 x 为 产 量，单 位：百 吨.销 售*百 吨 时 的 边 际 收 入 为 R(x)=15-2x(万 元/百 吨)，求：令 Z/(x)=O,得 x=10(百 台)(1)利 润 最 大 时 的 产 量;蚯(1)由 于 边 际 成 本 为 C(x)=l,边 际 利 润 L(x)=R(x)-C(x)=14-2x令 Z/(x)=O,得 x=7由 该 题 实 际 意 义 可 知,x=7 为 利 润 函 数 乙 的 极 大 值 点，也 是 最 大 值 点.因 此，当 产 量 为 7 百 吨 时 利 润 最 大.(2)在 利 润 最 大 时 的 产 量
41、 的 基 础 上 再 生 产 1 百 吨，利 润 会 发 生 什 么 变 化？当 产 量 由 7 百 吨 增 长 至 8 百 吨 时，利 润 改 变 量 为 AL=J；(14-2x)dx=(14尤 一%2)|：=1 12-6 4-98+49=-1(万 元)即 利 润 将 减 少 1万 元.建 设 生 产 某 种 产 品 x 个 单 位 时 的 成 本 函 数 为：C(x)=100+0.25Y+6x(万 元)，求：(1)当 x=1()时 的 总 成 本、平 均 成 本 和 边 际 成 本 阿(1)由 于 总 成 本、平 均 成 本 和 边 际 成 本 分 别 为:C(x)=100+0.25x2+
42、6%C(x)=+0.25x+6,XCr(x)=0.5x+6所 以,C(10)=100+0.25 xio2+6x10=185C(10)=+0.25x10+6=18.5,10C(10)=0.5x10+6=11令 c(x)=一 一+0.25=0,得 x=20 x(x=-20 舍 去)由 于 x=2 0 是 其 在 定 义 域 内 唯 一 驻 点，且 该 问 题 的 确 存 在 最 小 值，所 以 当 x=2 0 时，平 均 成 本 最 小.叵 H某 厂 生 产 一 批 产 品，其 固 定 成 本 为 2 023元,每 生 产 一 吨 产 品 的 成 本 为 6 0 元，对 这 种 产 品 的 市 场
43、 需 求 规 律 为 夕=1000-10p(q 为 需 求 量，为 价 格).试 求：(1)成 本 函 数，收 入 函 数；魁(1)成 本 函 数 C(4)=60 q+2023.由 于=1000-10/?,即=i o o/q，所 以 收 入 函 数 R(q)=p X q=(ioo4 q)4=i0q、4上(2)产 量 为 多 少 吨 时 利 润 最 大？由 于 利 润 函 数 L(q)=R(q)-C(q)=1 2,100-(60+202 3)1 2=4 0“-q-2“10”0 23且 Z/(q)=(40q 历 q?2 02 3)=40-0.2q令 Z/(q)=0,即 40-0.2q=0,得 夕=
44、200,它 是 乙(“)在 其 定 义 域 内 的 唯 一 驻 点.所 以，q=2 0 0 是 利 润 函 数 L(q)的 最 大 值 点，即 当 产 量 为 2 0 0 吨 时 利 润 最 大.(2)当 产 量 x 为 多 少 时，平 均 成 本 最 小?回 设 某 工 厂 生 产 某 产 品 的 固 定 成 本 为 5 0000元，每生 产 一 个 单 位 产 品，成 本 增 长 10 0 元.又 已 知 需 求 函 数 4=20004，其 中 p 为 价 格 为 产 量，这 种 产 品 在 市 场 上 是 畅 销 的，试 求：（1）价 格 为 多 少 时 利 润 最 大？解（1）C（p）
45、=5 0000+100 Q=出 唯 一 驻 点 q=250.由 于 利 润 函 数 存 在 着 最 大 值，所 以 当 产 量 为 2 5 0 件 时 可 使 利 润 达 成 最 大，（2）最 大 利 润 是 多 少？最 大 利 润 为 50000+100(2023-4/7)=250000-4 0 Op L(250)=10 x 250-20-0.02 x 2502=2500-20-1250=1R(p)=pq p(2023-4 p)=（元）2 023p-4P 2利 润 函 数 L(p)=R)C(p)=2 40 0 p-4P 2-2 500 0 0,且 令 r(p)=2 4 00-8p=0回 某
46、厂 天 天 生 产 某 种 产 品 q 件 的 成 本 函 数 为 C（q）=0.5/+36q+9800（元）.为 使 平 均 成 本 最 低,天 天 产 量 应 为 多 少？此 时,每 件 产 品 平 均 成 本 为 多 少？得 P=3 0 0,该 问 题 的 确 存 在 最 大 值.所 以，当 价 格 为 p=3 0 0 元 时，利 润 最 大.（2）最 大 利 润 是 多 少？最 大 利 润 福 一 士 工 人、C(q)9800解 由 十 C(q)-0.5(7+36+-q q(9 o)7 7/、八“9800C=(0.5q+36+-)=q(300)=2400 x 300-4 x 3002-
47、250000=110000.5-?q-(元)9800,令 C(q)=0,HP 0.5-=0,得 名=1 4回 某 厂 生 产 某 种 产 品 q件 时 的 总 成 本 函 数 为 C(g)I=2 0+4 q+0.01 2（元），单 位 销 售 价 格 为。0,%=-14 0(舍 去).=1 4-0.0 1 g（冠 件）,试 求：（1）产 量 为 多 少 时 可 使 利 润 达 成 最 大？解（1）由 已 知 R=qP=4（14-O.Olq）=14q-0.01q2利 润 函 数/=140是 在 其 定 义 域 内 的 唯 一 驻 点，且 该 问 题 的 确 存 在 最 小 值.所 以 0=1 4
48、 0 是 平 均 成 本 函 数 亍）的 最 小 值 点，即 为 使 平 均 成 本 最 低，天 天 产 量 应 为 14（）件.此 时 的 平 均 成 本 为 L=R-C=4q-Q.0q2-20-4-O.Ol2=10-20-0.022-9800 八 C(140)=0.5xl40+36+-=l 76(元/件)则 Z/=10 0.04g,令 Z/=10-0.04q=0,解 区 已 知 某 厂 生 产“件 产 品 的 成 本 为C)=250+20g+(y(万 元).问：要 使 平 均 成 本 最 少，应 生 产 多 少 件 产 品？解(1)由 于 C(q)=2=q250-十 20+q10E、250
49、 q 250 1q 1()q 1()令 不)=0,即 一 粤+-1=0,得 名=q-1050,q2=5 0(舍 去)，%=50是 心(幻 在 其 定 义 域 内 的 唯 一 驻 点.所 以，名=50 是 心)的 最 小 值 点，即 要 使 平 均 成 本 最 少,应 生 产 5 0 件 产 品.五、证 明 题 瓜 试 证:设 A乃，A 8 均 为 A 阶 对 称 矩 阵，则 A8=BA.由 于=A,Br=B,(AB)=A B所 以 AB=(AB)=8巾=BA圆 试 证：设 A 是 阶 矩 阵，若 4=0,则(Z-A)-1=I+A+A1.|由 于(7-A)(Z+A+A2)I+A+A2-A-A2-
50、A3=I-A3=I所 以(/A)T=/+A+A2国 已 知 矩 阵 4=；(3+/),且 4 2=儿 试 证 证 由 于 A?=(8+1)2=(炉+2B+/),且 4 4A?=A,即 1,1-(B2+2B+I)=-(B+I),4 2得=I,所 以 8 是 可 逆 矩 阵，且 5 一 1=3同 设 阶 矩 阵 A 满 足 A2=1,44T=1,证 明 A是 对 称 矩 阵.证 由 于 A=A/=AAAT=/AT=AT所 以 A 是 对 称 矩 阵.设 A,B均 为 n 阶 对 称 矩 阵，则 A8+B4也 是 对 称 矩 阵.画 由 于 AT=A=3,且(AB+BA)r=(AB)，+(BA)，=