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1、离散数学集合论部分期末复习辅导一、单项选择题1 .若集合4=，a,1,2 ,则下列表述对的的是（）.A.a,aeA B.1,2史 A C.a o4 D.0eA解 由 于 a e/,所以 a 口42.若集合A=1,2,3=1,2,1,2,则下列表述对的的是（）.A.A uB,且 AeB B.BuA,且力3C.AuB,且A MDM”,且 Ac B解 由于 l,2eB,A=,2所以A u 3,且AeB3.若集合/=2,a,a,4 ,则下列表述对的的是（）.A.a,a eAB.0GAC.2eAD.a GA解由于awA,所以 a cX4.若集合A=a,a ,则下列表述对的的是（）.A.acAB.)o4C
2、.a,a&AD.0eA解 由 于 ae A,所以 a q4注：若请你判断是否存在两个集合A,B,使ZuB,且 AwB同时成立，怎么做?答：存在。如2 题中的集合A、B。或 设 4=a,8=a,a。注意:以上题型是重点，大家一定要掌握，还要灵活运用，譬如，将集合中的元素作一些调整，大家也应当会做.例如，下题是202 3 年 1月份考试试卷的第1题：若集合A=a,l,则下列表述对的的是（）.A.1 eA B.1 cAC.aeA D.0eA解 由 于 1 是集合A 的一个元素，所以leA5.设集合A=a,则A 的事集为().A.a B.a,aC.0,a D.0,a解A=a 的所有子集为0 元子集，即
3、空集：0；1元子集，即单元集:。.所以 P(A)=0,a6.设集合/=1,a ，则 P(A)=().A.1 ,a B.0,1,0C.0,1,a,l,a D.1,1,解 4=1,a的所有子集为0元子集，即空集：0;1元子集，即单元集:1,a；2元子集：1 ,a.所以 P(Z)=0,1,a,l,a .注意：*若集合A 有一个或有三个元素，那么P(/)怎么写呢？例如,2023年 1 月份考试题的第6 题：设集合A=a ,那么集合A 的 基 集 是 0,a _.若A 是“元集，则累集尸(“)有2 个元素.当=8或10时，4的募集的元素有多少个？(应当是2 56或 1 0 24个)7.若集合A 的元素个
4、数为1 0,则其募集的元素个数为().A.1 0 2 4 B.1 0 C.lOO D.1解 HI=1 0,所以|P(A)|=2=1024以下为2023年 1月份考试题的第1题：若集合A 的元素个数为1 0，则其幕集的元素个数为().A.10B.100C.1024D.18.设/、8 是两个任意集合，ftj A-B=0 0（）.A.A=B B.AaB C.AB D.B=0解 设 x e/,则由于/-3=0,所以xeA-6,从而xeB,故A q反9.设集合4=1,2,3,4 ,/?是A 上的二元关系，其关系矩阵为-1 0 0 T1 0 0 0MR=0 0 0 11 0 0 0则 R 的关系表达式是（
5、）.A.,B.,C.,D.,1 0 .集合/=1,2,3,4,5,6,7,8 上的关系/?=b+y=1 0 且 x,ye A ,则 R 的性质 为（）.A.自反的 B.对称的C.传递且对称的 D.反自反且传递的解 R=,易见，若 V 则守，/,所以H是对称的.答 B另，由于IGA,但 任 R,所以R 不是自反的。由于5印,但,所以R不是反自反的。由于2,8 且 e H,但然,所以不是传递的。规定大家能纯熟地写出二元关系R的集合表达式，并能判别R具有的性质.11.集合A=1,2,3,4上的关系火=y 且乂段4 ,则/?的性质为（）.A.不是自反的 B.不是对称的C.传递的 D.反自反解/?=,=
6、是/上的恒等关系，是自反的、对称的、传递的。答C1 2.假 如R i和R?是A上的自反关系，则R|U 7?2,照门修,为一&中自反关系有（）个.A.O B.2 C.1 D.3解 对于任意放力,由于R和&是A上的自反关系，所以 e R,Va,aw&,从而&Ri U R2,eRir R,（R1-R2）故H1UR2，Ri n/?2是A上的自反关系用-&是/上的反自反关系.答B13.设集合4=1 ,2,3,4 上的二元关系7?=,S=,则S是R的（）闭包.A.自反 B.传递C.对称 D.自反和传递解R0 S是对称关系，且S去掉任意一个元素就不包含R或没有对称性，即S是包含R的具有对称性的最小的关系，从
7、而S是7?的对称闭包.答C1 4.设A=1,2,3,4,5,6,7,8,R是A上的整除关系，B=2,4,6 ,则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为（）.A.8、2、8、2 B.8、1、6、1C.6、2、6、2 D.无、2、无、2解 7?=,关系A的哈斯图如下：由图可见，集合B=2,4,6 无最大元，其最小元是2.无上界，下界是2 和 1.答 D1 5 .设集合/=1,2,3,4,5 ,偏序关系4 是A上的整除关系，则偏序集V/,上的元素5 是集合 A的（).A .最大元B.最小元C.极大元D .极小元,关系R的哈斯图如下:由图可见，元素5 是集合A的极大元.答 C1 6.设集合A =1
8、,2,3,4,5)上的偏序关系的哈斯图如右图所示，若A的子集6 =3,4,5 ,则元素3 为 B的5().A.下界B.最小上界C.最大下界D.最小元答B1 7.设4=伍,，B=,2 ,R i，4，砥是 A到 8 的二元关系，且 R =,R2=(,R3=,则(）不是从A到8的函数.A.RB.R2C.R3D.RI 和 R解 e R,e 4,即R2不满足函数定义的单值性，因而不是函数.答 B注意：函数为，&的定义域、值域是什么？两个函数R,凡是否能复合？解 D o 01(/?!)=a,8=A,R a n 因)=2;Dorn(&3)=a,b =A,R an(&)=1 ,2=B.由于Ran(7?,)SD
9、om(由3)，所以函数R 和&不能复合。1 8 .设月=a,b,c,B=1,2,作了 A一民 则 不 同 的 函 数 个 数 为.A.2 B.3 C.6 D.8解 AXB=,A X B 的任一子集即为从/到 B 的二元关系，在这些关系中满足函数定义的两个条件(单值性；定义域是A)的关系只能是 V a,Vc,口，其中每个有序对的第二元素可取1或2,于是可知有2X 2X 2=8 个不同的函数.答 D事实上,8个不同的函数为：f=,fi=,于3 =,f4=,f5=,fi,=,力=,fs=,.19.设集合A=1,2,3上的函数分别为：f=,g=,h=,则/?=().A.fgB-gfC.f。fD.g。g
10、解/g=,=hg。于=,f =,3,3gg=,答A20.设函数/：NTN,M)=n+1,下列表述对的的是().A./存在反函数 B/是双射的 C.7是满射的 D.f是单射函数解由于任意1,%e N,”产2，则/()=!+1=/(2)，所以一是单射.对于O w N,不存在使/()=+1 =0,所以f不是满射.从而f不是双射，也不存在反函数.答D二、填空题1.设 集 合 A=1,2,3,3 =1,2,则 P(A)P(B)=,A xB=.解 P(A)=0,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3P(fi)=0,l,2,l,2答 3,1,3,2,3,1,2,3,2.设集合力有10个元素，那么A的
11、塞集合P(A)的元素个数为.答2103.设集合A=0,1,2,3,8=2,3,4,5,H是4到8的二元关系，R=w A且y e B班,y G ArB则R的有序对集合为.答 R=,注意:假如将二元关系R 改为R=卜 e A且y e B且/=y或/?=|xe A且y G BSLX+1 =y则R 的有序对集合是什么呢？答 R=或 H=,4.设集合 4=1,2,3,4,B=6,8,12,4 到 8 的二元关系/?=|y=2x,x e A,y e 8那么 R-I=,5.设集合4=。，b,c,d,A 上的二元关系/?=,则 R 具有的性质是.由于任意xeA,若在R 中再增长两个元素,则新得到的关系就具有对
12、称性.答,注意:第5,6 题是重点，我们要纯熟掌握，特别是5 和 R 的元素都减少的情况。假如6 题新得到的关系具有自反性，那么应当增长哪两个元素呢？答 应增长Vc,c,两个元素7.假如Hi和&是 A 上的自反关系，则R U&,*AR2,中自反关系有 个.答 2(见:一、9 题)8.设 A=1,2 上的二元关系为R=I XEA,yeA,x+y=10,则 R 的自反闭包为.由于R=0,所以R 的自反闭包S(R)=,答2注意:假如二元关系改为R=Vx,y I xeA,yeA,x+y 0，则R 的自反闭包是什么呢？解 R=,是A 上的全关系，它的自反闭包是它自己。答 R 或,9 .设/?是 集 合
13、A 上的等价关系，且 1 ,2,3 是 A 中的元素，则 R 中至少包含等元素.答 ,由于等价关系一定是自反的、对称的、传递的，由二元关系R 是自反的，所以它至少包含,等元素.注：假如给定二元关系凡你能否判断r 是否是等价关系？10.设 集 合 A=1,2,B=a,。,那 么 集 合 A到 3的 双 射 函 数 是/=,=,想一想:集合4 到 B 的不同函数的个数有几个？答 有 4 个，除上述两个双射函数外，尚有h-,z =,.（参考:一、1 4 题）三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由.）1.若集合4=1,2,3上的二元关系7?=,则（1）/?是自反的关系；（2）R 是对称的关系.解（1
14、）错误.由于3eA,但 任 R.（2）错误.由于 w R,但 隹 R.2.假如Ri和&是 A 上的自反关系，判断结论：“父、RiU&、凡0凡是自反的”是否成立?并说明理由.解 成立.由于R 1 和 R2是 A 上的自反关系，所以任意口，有 与，e 4,从而有（逆关系定义），&（J R2 与9 故与、R1UR2、R 1PR 2是自反的.3.若偏序集V/,R 的哈斯图如图一所示,则集合A 的最大元为a,最小元不存在.解不对的。可见a 大于等于A 中的元素1)、c、d、e、图一f,但与元素g、h 没有关系，所以a 不是A 的最大元。没有一个元素小于等于A 中的所有元素,所以A 没有最小元。注：本题中
15、，极大元为a、g,极小元为e、f、h.注意：题目修改为:若偏序集 的哈斯图如右 a图所示，则集合A 的最大元为a,极小元不存在.解结论不成立。力的最大元为a,极小元为、c.问：是否存在一个元素a,它既是偏序集的最大元，也是4,的最小元?4.设集合/=1,2,3,4,B=2,4,6,8 ,判断下列关系了是否构成函数/：A f 并说明理由.(1)户,;(2)户VI,6,;户,.解(1)关系f 不构成函数.由于Dom(f)=L 2,4#A,不满足函数定义的条件.(2)关系f 不构成函数.由于Dom(f)=l,2,3HA,不满足函数定义的条件.(3)关系f 构成函数.由于 任 意 aw Dom(f),
16、都存在唯一的be Ran(f),使 e f;Dom(f)=A.即关系f 满足函数定义的两个条件，所以关系f 构成函数.四、计算题1.设石=1,2,3,4,5,4=1,4,8=1,2,5,。=2,4 ,求:(1 )(/l n )uC；(2)(Au 5)-(5 n A)；(3)P(A)-P(O；(4)AB.解(1)(A riB)U-C =lUl,3,5=l,3,5;(2)(AUB)(3nA)=l,2,4,5 1=2,4,5；(3)P(A)-P(C)=0,l,4,l,4-0,2,4,254)=1,1,4.(4)A8=(A U B)-(A n8)=(A U B)-(B nA)=2,4,5.2.设 A=
17、1,2,1,2,B=1,2,1,2,试计算(1)(A-8);(2)(A PB)；(3)AXB.解(1)A-B =1,2);A n s =l,2；(3)AxB=,3 .设/=1,2,3,4,5,R=xeA,y&A J3_ x+y4,S=beA,y e/且 x+y0,试求 R,S,RS,S R,R-,S ,rS),s(R).解 R=,(S=0R S=0,S R =0,=,=RS-=0,r(S)=S JIA=IA=,S(R)=RURT=R=,4 .设/=1,2,3,4,5,6,7,8,R 是 A 上的整除关系，B=2,4,6).(1)写出关系R 的表达式；(2)画出关系R 的哈斯图；(3)求出集合笈
18、的最大元、最小元.解(1)k=，,关系R的哈斯图如下：(3)集合B=2,4,6 无最大元，其最小元是2.五 证明题1.试证明集合等式：A u(3 c C)=(AuB)n(证明任意x eAU/nC),则x,或x w s n c.若xw A,则xw A U 8,XG A I J C,从而x e(A U B)n(A U C)；若 x e B C l C,则 xe B,A I J B,xe AU。从而尤 e(A U B)n(4 U O.所以 A U(6 n C)(A U 6)n(A U O.任意 x e(A U B)n(A U C),贝 i j xe A lj B 且 x e A U C.由 x eA
19、UB 知,x e A 或 x e B.若 x w A,则 x w A U (8 C l C)；若“史&则必有由X GA U C知，也有X GC,从而x w B D C,进而x e A U(B n C).所以(A U 8)n(A U C)=AU(8n C).故 A U(BC)=(AU 5)n(4U C).2.试证明集合等式 A c (Bu C)=(An B)u(A cC).证明任意x e A C K B U C),贝j j x 且xe B UC即 X A 且或.即尤e A 且x c B,从而x eAfl B,或 x w A 且 x eC,从而 x e AD C.于是有 x e(An B)U(An
20、 O,所以 An(8u c)=An 8)u(Ar i c).任意x e(An B)U(An C),贝 gx e Afl B 或x e Afl C.若 xe A DB,贝 i Jx eA 且 xe 3,从而 x e A 且 x e B U C,x e AA(fi l jQ;若 x e A D C,则 xwA 且 xeC,从而无c A 且 xeBUC-e ACKBIJC).所以(An 8)U(AD C)之 AfX BU C).故 An(5 u o=(An B)u(An c).注意:第1、2 题是重点，这样的证明方法我们要纯熟掌握.3.对任意三个集合力,3 和 C,试证明:若A x B =Ax 且A
21、H0,则 B=C.证明 若B=0,则 A X C=A X B=0,由于4丽，所以C=0,从而B=C.若 的 0,则4 8 7 0,任意 b e B,存在 aeA,使 e A x B,由于 A X B=A x C,所以 0力 Ax C,从而。e C,故 8=C.A xC=A xB 0 C 0任意c eC,存在a e4,使 eAx C,由于A x B=C,所以。“孤 生 从而故C cB所以B=C.注意:这个题0 9秋学期的复习时重点强调了，但 2 02 3年 1 月份考卷中的证明题:设A,3 是任意集合，试证明:若AxA=5x 8,则A=B.许多同学不会做，是不应当的.事实上这道题并不难：证明:若
22、 A=0,贝!BX B=A X A=0,所以 B=0,从而 A=B.若 A。0,则 AXA=BXB#0,任意 XGA,则v x,x e AxA,由于 AxA=B x B,故 e BxB,则有xeB,所以AqB.任意设 xe B,贝!jeBxB,由于 A xA=B xB,故Vx,xeAxA,则有xe A,所以B c A.故得A=B.大家可以看到，这两个题的证明方法是不仅类似，并且1月份考题更容易.4.试证明：若R与S是集合A上的自反关系，则A C S也是集合A上的自反关系.证明任意a eA,因 R 与S 是集合A上的自反关系，所以eR,eS.从而eRAS,故，RCIS也是集合A上的自反关系.注意：假如把该题的“自反关系”改为“对称关系”，应当怎么证明呢?请大家想一想.即试证明：若H与S是集合A上的对称关系，则R C IS也是集合4上的对称关系.（本题是20237月试题）证明任意 a,bwA,假如V a,bGRClS,则eR,eS.由于R 与 S 是集合A 上的对称关系，所以eR,e S.从而G R AS.故，R flS也是集合A 上的对称关系.