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1、离散数学集合论局部期末复习辅导一、单项选择题1若集合A a，a，1，2，则下列表述正确的是( )Aa，aA B1，2A CaA DA解 因为aA，所以aA2若集合1，2，1，2，1，2，则下列表述正确的是( )AAB，且AB BBA，且ABCAB，且AB DAB，且AB解 因为1B，2B，1，2B，1，2所以AB，且AB3若集合A2，a， a ，4，则下列表述正确的是( )Aa， a A BAC2A D a A解 因为aA，所以 a A4若集合A a，a，则下列表述正确的是( )AaA BaACa，aA DA解 因为aA，所以aA注：若请你推断是否存在两个集合A，B，使AB，且AB同时成立，怎
2、么做？答：存在。如2题中的集合A、B。或，设a，a，a。留意：以上题型是重点，大家肯定要驾驭，还要敏捷运用，譬如，将集合中的元素作一些调整，大家也应当会做例如，下题是2011年1月份考试试卷的第1题：若集合A a，1，则下列表述正确的是( )A1A B1ACaA DA解 因为1是集合A的一个元素，所以1A5设集合a，则A的幂集为( )Aa Ba，aC，a D，a解 A = a的全部子集为0元子集，即空集：；1元子集，即单元集：a所以P(A) = ，a6设集合A = 1, a ，则P(A) = ( )A1, a B,1, aC,1, a, 1, a D1, a, 1, a 解 A = 1, a的
3、全部子集为0元子集，即空集：；1元子集，即单元集：1，a；2元子集：1, a所以P(A) = ,1, a, 1, a 留意： 若集合A有一个或有三个元素，那么P(A)怎么写呢？例如，2012年1月份考试题的第6题：设集合Aa，那么集合A的幂集是 ,a 若A是n元集，则幂集P(A )有2 n个元素当8或10时，A的幂集的元素有多少个？ （应当是256或1024个）7若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（ ）A1024 B10 C100 D1解 = 10，所以(A)| = 210 = 1024以下为2012年1月份考试题的第1题：若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（ ）A10
4、 B100 C1024 D18设A、B是两个随意集合，侧A-B = ( )A BAB CAB DB = 解 设xA，则因为A-B = ，所以xA-B，从而xB，故AB9设集合1,2,3,4，R是A上的二元关系，其关系矩阵为则R的关系表达式是( )A，B，C，D，10集合1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8上的关系10且x, ，则R的性质为（ ）A自反的 B对称的C传递且对称的 D反自反且传递的解 R = ，易见，若R，则R，所以R是对称的答 B另，因为1A，但R，所以R不是自反的。因为5A，但R，所以R不是反自反的。因为R且R，但R，所以R不是传递的。要求大家能娴熟地写出二元关系R的集
5、合表达式，并能判别R具有的性质11集合1, 2, 3, 4上的关系且x, ，则R的性质为（ ）A不是自反的 B不是对称的C传递的 D反自反解 R = ， 是A上的恒等关系，是自反的、对称的、传递的。答 C12假如R1和R2是A上的自反关系，则R1R2，R1R2，R12中自反关系有（ ）个A0 B2 C1 D3解 对于随意aA，由于R1和R2是A上的自反关系，所以 R1， R2，从而R1R2，R1R2，( R12)故R1R2，R1R2是A上的自反关系，R12是A上的反自反关系答 B13设集合1 , 2 , 3 , 4上的二元关系1, 1，2, 2，2, 3，4, 4，1, 1，2, 2，2, 3
6、，3, 2，4, 4，则S是R的（ ）闭包A自反 B传递C对称 D自反和传递解 RS，S是对称关系，且S去掉随意一个元素就不包含R或没有对称性，即S是包含R的具有对称性的最小的关系，从而S是R的对称闭包答 C14设1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8，R是A上的整除关系，2, 4, 6，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为 ( )A8、2、8、2 B8、1、6、1C6、2、6、2 D无、2、无、2解 关系R的哈斯图如下：由图可见，集合2, 4, 6无最大元，其最小元是2无上界，下界是2和1答 D15设集合1，2，3，4，5，偏序关系是A上的整除关系，则偏序集上的元素5是集合A的（
7、 ）A最大元 B最小元C极大元 D微小元解 关系R的哈斯图如下：由图可见，元素5是集合A的极大元答 C2413516设集合A = 1, 2, 3, 4, 5上的偏序关系的哈斯图如右图所示，若A的子集B = 3, 4, 5，则元素3为B的（ ）A下界 B最小上界C最大下界 D最小元答 B17设a, b，1, 2，R1，R2，R3是A到B的二元关系，且R1=, ，R2=, , ，R3=, ，则（ ）不是从A到B的函数AR1 BR2 C R3 DR1和R3解 R2， R2，即R2不满意函数定义的单值性，因此不是函数答 B留意：函数R1，R3的定义域、值域是什么？两个函数R1，R3是否能复合？解 (R
8、1)= a, b，(R1)= 2；(R3)= a, b，(R3)= 1, 2因为(R1)(R3)，所以函数R1和R3不能复合。18设a，b，c，1，2，作f：AB，则不同的函数个数为 A2 B3 C6 D8解 AB ，AB的任一子集即为从A到B的二元关系，在这些关系中满意函数定义的两个条件（单值性；定义域是A）的关系只能是，其中每个有序对的第二元素可取1或2，于是可知有222 8个不同的函数答 D事实上，8个不同的函数为：f1 = a , 1，b , 1，c , 1，f2 = a , 1，b , 1，c , 2，f3 = a , 1，b , 2，c , 1，f4 = a , 2，b , 1，c
9、 , 1，f5 = a , 1，b , 2，c , 2，f6 = a , 2，b , 1，c , 2，f7 = a , 2，b , 2，c , 1，f8 = a , 2，b , 2，c , 219设集合A =1 , 2, 3上的函数分别为：f = 1, 2，2, 1，3, 3，g = 1, 3，2, 2，3, 2，h = 1, 3，2, 1，3, 1，则h =（ ）Afg Bgf Cff Dgg解 fg 1, 3，2, 1，3, 1 hgf 1, 2，2, 3，3, 2ff 1, 1，2, 2，3, 3gg 1, 2，2, 2，3, 2答 A20设函数f：NN，f(n)=1，下列表述正确的是（
10、 ）Af存在反函数 Bf是双射的 Cf是满射的 Df 是单射函数解 因为随意，则，所以f 是单射对于，不存在，使，所以f不是满射从而f不是双射，也不存在反函数答 D二、填空题1设集合，则P(A)(B )= ，A 解 答 3,1,3,2,3,1,2,3,2设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 答 2103设集合0, 1, 2, 3，2, 3, 4, 5，R是A到B的二元关系，则R的有序对集合为 答 R，留意：假如将二元关系R改为或则R的有序对集合是什么呢？答 R或 R，4设集合1, 2, 3, 4 ，6, 8, 12， A到B的二元关系R那么 5设集合a, b, c, d，A
11、上的二元关系, , , ，则R具有的性质是 因为随意xA，R，所以R是反自反的答 反自反的6设集合a, b, c, d，A上的二元关系, , , ，若在R中再增加两个元素 ，则新得到的关系就具有对称性答 ，留意：第5，6题是重点，我们要娴熟驾驭，尤其是A和R的元素都削减的状况。假如6题新得到的关系具有自反性，那么应当增加哪两个元素呢？答 应增加，两个元素7假如R1和R2是A上的自反关系，则R1R2，R1R2，R12中自反关系有 个答 2（见：一、9题）8设1, 2上的二元关系为A，yA, =10，则R的自反闭包为 因为R，所以R的自反闭包s(R),答 ,留意：假如二元关系改为A，yA, 10，
12、则R的自反闭包是什么呢？解 R ,是A上的全关系，它的自反闭包是它自己。答 R 或,9设R是集合A上的等价关系，且1 , 2 , 3是A中的元素，则R中至少包含 等元素答 ，因为等价关系肯定是自反的、对称的、传递的，由二元关系R是自反的，所以它至少包含, , 等元素注：假如给定二元关系R，你能否推断R是否是等价关系？10设集合1, 2，a, b，那么集合A到B的双射函数是 ， 想一想：集合A到B的不同函数的个数有几个？答 有4个，除上述两个双射函数外，还有，（参考：一、14题）三、推断说明题（推断下列各题，并说明理由）1若集合A = 1，2，3上的二元关系，则(1) R是自反的关系； (2)
13、R是对称的关系解 （1）错误因为3A，但R（2）错误因为R，但R2假如R1和R2是A上的自反关系，推断结论：“、R1R2、R1R2是自反的”是否成立？并说明理由解 成立因为R1和R2是A上的自反关系，所以随意，有，从而有（逆关系定义），故、R1R2、R1R2是自反的3若偏序集的哈斯图如图一所示，则集合A的最大元为a，最小元不存在解 不正确。可见a大于等于A中的元素b、c、d、e、f，但与元素g、h没有关系，所以a不是A的最大元。没有一个元素小于等于A中的全部元素，所以A没有最小元。注：本题中，极大元为a、g，微小元为e、f、h留意：题目修改为：若偏序集的哈斯图如右图所示，则集合A的最大元为a，
14、微小元不存在解 结论不成立。A的最大元为a，微小元为b、c问：是否存在一个元素a，它既是偏序集的最大元，也是的最小元？4设集合1, 2, 3, 4，2, 4, 6, 8，推断下列关系f是否构成函数f：，并说明理由(1) , , , ；(2), , ；(3) , , , 解 （1）关系f不构成函数因为(f)=1, 2, 4A，不满意函数定义的条件（2）关系f不构成函数因为(f)=1, 2, 3A，不满意函数定义的条件（3）关系f构成函数因为 随意a(f)，都存在唯一的b(f)，使f； (f)即关系f满意函数定义的两个条件，所以关系f构成函数四、计算题1设，求：(1) (AB)； (2) (AB)
15、- (BA)；(3) P(A)P(C)； (4) AB解 （1）；（2）；（3）；（4）2设1,2,1,2，1,2,1,2，试计算（1）（A-B）； （2）（AB）； （3）AB解 （1）；（2）；（3）3设1，2，3，4，5，A，yA且4，A，yA且0，试求R，S，RS，SR，1，1，r(S)，s(R)解 ，4设1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8，R是A上的整除关系，2, 4, 6(1) 写出关系R的表示式； (2 )画出关系R的哈斯图；(3) 求出集合B的最大元、最小元解 （1）（2）关系R的哈斯图如下：（3）集合2, 4, 6无最大元，其最小元是2五、证明题1试证明集合等式：A
16、 (BC)=(AB) (AC)证明 随意，则，或若，则，从而；若，则，从而所以随意，则由知，或若，则；若，则必有，由知，也有，从而，进而所以故2试证明集合等式A (BC)=(AB) (AC)证明 随意，则且即且（）即且，从而，或且，从而于是有，所以随意，则若，则，从而，；若，则，从而，所以故留意：第1、2题是重点，这样的证明方法我们要娴熟驾驭3对随意三个集合A, B和C，试证明：若 = ，且A，则证明 若B，则ACAB，由于A，所以C，从而BC若B，则，随意，存在，使，由于 = ，所以，从而，故，随意，存在，使，由于 = ，所以，从而，故所以留意：这个题09秋学期的复习时重点强调了，但2010
17、年1月份考卷中的证明题：设A，B是随意集合，试证明：若AB，则很多同学不会做，是不应当的事实上这道题并不难：证明：若A，则BBAA，所以B，从而AB若A ，则AABB ，随意xA，则AA，因为AB，故BB，则有xB，所以AB随意设xB，则BB，因为AB，故AA，则有xA，所以B A故得大家可以看到，这两个题的证明方法是不仅类似，而且1月份考题更简单4试证明：若R与S是集合A上的自反关系，则RS也是集合A上的自反关系证明 随意aA，因R与S是集合A上的自反关系，所以R，S从而RS，故，RS也是集合A上的自反关系留意：假如把该题的“自反关系”改为“对称关系”，应当怎么证明呢？请大家想一想即试证明：若R与S是集合A上的对称关系，则RS也是集合A上的对称关系（本题是11年7月试题）证明 随意a，bA，假如RS，则R，S因为R与S是集合A上的对称关系，所以R，S从而RS故，RS也是集合A上的对称关系