《2023年高考第一模拟试题：数学（乙卷理科）（全解全析）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年高考第一模拟试题：数学（乙卷理科）（全解全析）.pdf（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023年高考数学第一次模拟考试卷理科数学-全解全析一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 6 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知纯虚数z=(l+i)加2(4+i)7+3,其中i为虚数单位，则 实 数 的 值 为()A.1 B.3 C.1 或 3 D.0【答案】B【分析】根据复数为纯虚数的条件可列出方程及不等式，即可求得答案.【详解】因为z=(l+i)/-(4+i)m+3 为纯虚数,故2=/-4加+3+(加,则 卜 2 4”+3,解得用=3.、)m-ni Q故选：B2.A=XX2-3X+Z.0,8=x|x 2-5x +4.0,C =x|x 3,则Qc
2、8)uC=()A.xx.,2 B.3 2,X,4 C.*|x =l 或x.2 D.x|x =l或2.4【答案】C【分析】先解一元二次不等式求出集合A,8,再根据集合的基本运算即可求解.【详解】.4=|工2-3%+2.0 =刈尤.2 或 工 1,5=X|X2-5X+4.0 =X|L,x,4,Z c 5=x 2 x,4 或 x =1,因为C =|x 3,.(4 c 8)uC =x|x.2或x =1,故选：C.3.数列 “满足/=/+h+2,若不等式%2%恒成立，则实数上的取值范围是()A.-9,-8 B.-9,-7 C.(-9,-8)D.(-9,-7)【答案】B【分析】由 ,，、2 利用二次函数的
3、性质计算可得答案.4 HI 5k1 丁k 2【详解】-2 ，an=n-kn-2=yi +F 2.不等式之久恒成立，3.5 K-K 4.5,2解得-9 4 4 4-7,故选：B.4.已知平面向量,B满足同=2忖=2 0，,B的 夹 角 为 若0 4+京，则J卜（）A.B.1 C.空 D.巫9 3 3 3【答案】D【分析】根据向量的数量积运算即可.【详解】同=2恸=2五，否的夹 角 为 得 展g=|司方卜0$?=2,故选：D.4 _-+G b+9H276，同=亍5.已知抛物线C:y2=2px（p 0）的焦点尸到准线的距离为4,点加（国,弘），N（X 2，%）在抛物线C上，若（乂-2%）（凹+2%）
4、=4 8,则 诉=（）.INrA.4 B.2 C.-D.v42【答案】A【分析】由焦准距求出P,结合抛物线第一定义 得 需 =g1,（必-2%）（乂+2%）=48整理得弁-4父=4 8,由j?=2px代 换/即可求解.【详解】抛物线C:/=2 p x（p 0）的焦点尸到准线的距离为4,所以P=4,C:/=8 x依题意，-4 =4 8,而y；=8再，4只=32x2,故 8玉一32=4 8,即 8占+16=323+64,则苞+2=4（+2）,MF x,+2同=故选：A.6.执行如图的程序框图，输出的S值 是（）n=1,S=O 2022?/输 出 s/(O【答案】A【分析】根据程序框图理解可得：输出
5、的S 的值为有关余弦值求和问题，在解题的过程中，把握住余弦函数的周期性的应用，从而求得结果.【详解】根据题中所给的框图，可知输出的S 的值：故选：A7.如图，在直三棱柱N B C-4 4 G 中，Z 8/C =90。，4C=Z8=；4 4=1,设。，E 分别是棱CQ上的两个动点，且满足。E=l,则下列结论错误的是（）A.平面/8 C 上平面8QE/平面8QEC.AB mADE三棱锥力-8 Q E 体积为定值【答案】C【分析】根据面面垂直、线面平行、线面垂直、锥体体积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，过A 作垂足为尸，根据直三棱柱的性质可知BB、，平面ABC,由于“/u平
6、面/8 C,所以,由于 8C A BB、=B,BC,u 平面 B C C ,所以4F _ L平面B C C画,即“尸，平面B Q E,由于N/u平面力8 C,所 以 平 面 平 面5Q E,A选项正确.B选项，根据三棱柱的性质可知4/C ,即/OE,由 于 平 面B Q E,D Eu 平面B Q E ,所 以/平 面8Q E,B选项正确.C选项，若/L平面4 O E,即/用二平面/4G C,由于4“u平面4 4 ,所以这与己知“四，4/不垂直矛盾，C选项错误.D选项，匕 一 触E=%TD,由于三角形4 D E的面积为定值、用到平面/4 G C的距离为定值,所以叱 一 B&E -，B ADE为定
7、值，所以D选项正确.故选：C8.已知等比数列 见 的前项和为S.，公比为q,则下列选项正确的有（）A.若4 1,则C.数列%“-%是等比数列B.aia2-an=(a,a)2D.对任意正整数，(52n-5)2=5(S3-52)【答案】D【分析】取4 0,结合作差法可判断A选项；取q0,=2可判断B选项；取4=1可判断C选项：利用等比数列的求和公式可判断D选项.【详解】对于A选项，若q i,则对任意的N*，an=atq-0,所 以,%+。”=见（7-1）0，即 4川。A 错：对于B选项，当”0时,%。2=。；4 0，则卅2 0，B错;对 于c选 项，若4=1,则 见+1-%=0,此 时，数 列 与
8、“-%不是等比数列，c错;对于 D 选 项，S2ll-S=a.+|+ai l+2+/”=/(%+&+。“)=，S3n S2n=02,+a2,l+2+=4+。2 +%)=4 0所 以，S,S.-S G =q2 S；=S,-S了,D 对.故选：D.9.己知四面体/8C。的 所 有 顶 点 在 球。的表面上，4 8 2平 面BCD,AB=2拒,CD=2 0 ZCSD=135,则 球O的 体 积 为（.16晒兀A -)B.西33【答 案】D【分析】作图,外接球的半径.-28)C.-3D 2 8 a r 3-先找到外接球的球 心，算 出 底面三角形8 8外接圆的半径，再构造三角形运用勾股定理求出,外 接
9、 圆 的 半 径 为 八 由 正 弦 定 理 得C D 26 _八.1,si n Z C B D sin 135过0 作 底 面B C D的垂线，与过A C的 中 点E作侧面Z 8 C的 垂 线 交 于O,则0就是外接球的球心,A n _ _ _并 且。0=-=百,外 接 球 的 半 径&=08=，0。2 +2=，3+4=屿,球。的体积 为-=W乃川=生 近 万；3 3故 选：D.1 0.由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概
10、 率 是（）1B.12D-I【答 案】A【分 析】首先根据已知条件“定位”中间数字，其次在剩余的四个数字中任取两个数字，放置在首或末位，则其余数字排列方式唯一确定.最后由古典概型计算公式即可得解【详 解】由I,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数共A；=120个，前3个数字保持递减，后3个数字保持递增，说 明 中 间 数 字 为I;在剩余的四个数字中任取两个数字，按照递减顺序，仅有一种排列方式放置在首两位（或末两位），则剩余两位数字排列方式唯一确定，放置在最后两位（或首两位）.C：xl =6因此“前 3个数字保持递减，后 3 个数字保持递增”的五位数有C：=6个,所以所求的概率尸=言=:故
11、选：A.1 1.如图所示，F,F?是双曲线C ：三一与=1 (0,a2 b2h 0）的左、右焦点，C的右支上存在一点8满足8 口吟纳与C的左支的交点A满足彩箸=需，则双曲线C的离心率为（）A.3 B.20 C.V 1 3 D.V 1 5【答案】Csi n Z AF F BF I【分析】在/叫 和 /月 中，由正弦定理结合条件.=禺 得 到|/用=|/局,设|”|=M H=XSi n t r21（x 0）,由双曲线的定义和勾股定理得到x=3 a,结合阳用2=|即 f+|班 即可求解.【详解】在N B 8 中，由正弦定理得:朋si n Z.AF2B监Isi n NBAF?,在/百后中，由正弦定理得
12、:I/si n ZAF2F1mIsi n ZFAF2,又Z.BAF2+Z.FXAF2=7t,则si nZ.BAF2=si nZ.FXAF2,所以 徨 I 阴 s i n 4 F/防 以 得.si n Z/4F25 AFX 归用|又怒责隅喘陶瑞即网佃:设|力 8|二|力 耳|=x（x 0 ）,由双曲线的定义得：忸用=2 x,忸6|=2x-2a,AF =x+2 a,由 鹤 _ L 鹤 得：闾2=M,2+忸用2 n（x+2）2=%2+（2x_ 2a）2,解得：x=3a9所以忸=6a,忸曰=4a,在 他 用中，由勾股定理得：F,F =|5/=；|2+|BF2=（2c）2=（6 a）2+（4a）2,整理
13、得：c2=13a2,即双曲线C的离心率e =故选：C.1 2.已知函数/（x）的定义域为R,/（2x+2）为偶函数，/（x+1）为奇函数，且当xw O,l 时，f x=ax+b.若/（4）=1,则/1+；）=（）1 1A.-B.0 C.-D.-12 2【答案】c【分析】由/（2X+2）为偶函数，/（x+1）为奇函数得到/（x+5）=/（x+l）,故函数/（X）的周期7 =4,结合/（4）=1得到6 =1,由/（-x+l）=-/（x+l）得/（1）=0,从而求出a =-l,采用赋值法求出=再使用求出的/（x）的周期7 =4,赋值法得到/1）=；.【详解】因为2x+2）为偶函数，所以-2x+2）=
14、/（2x+2）,用;x+g 代替 x得：/(-x+l)=/(x+3),因为/(x+1)为奇函数，所以-x+l)=-/(x+l),故小 +3)=-/+1),用 x+2 代替 x得：/(x+5)=-/(x+3),由得：/(x+5)=x+l),所以函数x)的周期7 =4,所以/(4)=/(0)=1,即 6 =1,因为/(-x+l)=-/(x+l),令x=0得：/(1)=-/(1).故/。)=0,/=。+6 =0,解得：。=-1,所以 xe 0,l 时，/(x)=-x+l,因为/(-x+l)=-/(x+l),其中/（|=_；+i=；，所以/2因为/(-2x+2)=2x+2),令 x得：/(-2 x l
15、+2=/(2 x l+2,即|)/(|)=T，因为7=4,所 以 佃=/(/卜|，因为/(-x +l)=-/(x +l),令x=|得：f泣+H1+/图+佃 彳+”；.故选：C【点睛】方法点睛：抽象函数的对称性和周期性：若x+a）+/（T +b）=c,则函数x）关于（学,中心对称,若x+a)=/(-x+6),则函数/(x)关于x=+对称,若函数x）关于x=a轴对称，关于（6,0）中心对称，则函数x）的周期为4 a-6|,若函数x）关于x=a轴对称，关于x=b轴对称，则函数f（x）的周期为2W-”,若函数x）关于（a,0）中心对称，关于（3,0）中心对称，则函数“X）的周期为2|a-瓦第n卷二、填
16、空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1 3.在一组样本数据中，1,3,5,7出现的频率分别为P1,p2,P）,Pa，且/=!数为2,贝I j 0=.【答案】0.5#g【分析】分析得到样本数据从小到大排序后中间两个数为1，3,即得解.【详解】样本数据中只有1,3,5,7,没有2,若这组数据的中位样本数据一共有偶数个数，且从小到大排序后中间两个数为1,3,样本数据中有一半是1,=0.5.故答案为：0.51 4.已知实数x,y满足：(x+2)2+(y-l)2=l ,则|1 一2 x+引 的取值范围是【答案】6-阮6 +【分析】方法一：采用三角换元法，然后利用两角差的正弦公式集合求解；方法二：利
17、用 2 X+M的儿何意义：可以看作圆心(-2,1)到直线2 x-y-l=0距离的右 倍，然后利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】解法一：因为(x+2+3 7)2 =1,所以令X+2=C O S6,y-l =s i n/则x=-2+c o s 8,y=l +s i n 9 ,故 11-2x+川=|6 +s i n 6 -2 c o s 0=6+y/5 避s i n 0-c o s 0、5 5s i n e =$,因为4,s i n(6 0)K ,所以6 64 6 +7?5沦(。一夕)4 6 +店，所以 6 石 6 +5 si n(0-c p )|,其中 c o s。=，故|l-2x+”的取值
18、范围为 6-追,6 +V?.解法二:因为圆心(-2,1)到直线2、-尸1 =0的距离d|_ 4_ 1一“二色石下 5所以圆心上的点到直线2x-y-l =0的距离的取值范围为|A/5-1,1V 5+1又因为|2 x-y-l|=6 匡和,75所以|2x-y-l|的取值范围是 6-右,6 +追 .故答案为：6-石,6 +石 .15.在函数/(x)=s i n(2x-3 0)图象与x轴的所有交点中，点 俘。)离原点最近，则。可以等于(写出一个值即可).【答案】|(答案不唯一)【分析】先求出/(x)与x轴的所有交点，再结合题意得到与W5 +g兀恒成立，整理得(3 +3,2 0,分类讨论人2 1,左4-1
19、与-1%1三种情况，结合恒成立可得到0 0),令/(x)=0,即 s i n(2x-e)=0,得 2x-0,因为90,故g +g兀2 0恒成立；当4 1时，9H7 t 0,l!(p 兀恒成、工，因为 兀2,则夕W,故0 尹4；2 2 2 2 2 2当-1 左 0范围内有四个解，x-e l n xe l n Y r即4照+加=。在4。范围内有四个解，x x-e l n x即4陋=/在x 0范围内有四个解，x-e l ri x x1 A e l n x _即；二在x 0范围内有四个解，1-X人/、e l n x令 g(x)=-,X则g (x)=%二 妈，X令 8 ()=0得=0,所以当0 x 0,
20、当x e时，g (x)o,p i n r所以g(x)=吧在(0,e)单调递增，在(e,+8)单调递减,所以 g(x)m a x =g(e)=l，做出g(x)大致图像如下:则原方程转化为-4上机“1),1 T令。)=-4t,1-/ht)=5-4(一)2 令，(f)=0 得f=g，当时，/f(z)0,当！/0,2 2所以人在(f,g)递减，在(；，1)递增，所以 7 (0,1)时，对应解出两个，值,从而对应解出四个X值，故答案为：m e(0,1).三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
21、1 7.在 力 5 c 中，角4,3,C 的对边分别为a,6,c,已知2c+b=2acosB.求角A；(2)若角A 的平分线与BC交于点M,BM=4不，CM=2币,求 线 段 的 长.【答案】若(2)4【分析】(I)利用余弦定理角化边或利用正弦定理边化角即可求解；(2)在和ZCW中用两次正弦定理可得c=2 6,然后在8 c 中利用余弦定理可得瓦c 的长度，进而可得cosB的大小，再 在 中 利 用 余 弦 定 理 即 可 求 解.【详解】(1)解法一：由余弦定理可得2c+b=2ax/+l-lac即2c2+be=/+一 从，整理可得+02 一/=，所以3 =与产-be 1-2bc 2因为0力乃，
22、所以力=7.解法二：由正弦定理可得2sinC+sin8=2 sin J cos 5,因为 hABC，sinC=sin为一(+8)=sin(4+8)=sin cos 5+cos 4sin k,所以 2 cos A sin 8+sin 8=0,因为sin 8,0,所以cos4=-,2因为0 4 TG 4 A/解鹏得门s i n C =22 V 7所以s i n C =2 s i n 8,由正弦定理边角互化得c =2 b ,在 4ABe 中由余弦定理（6 J 7）=h1+4 6,-2 x b x 2 b x 解得6 =6,c =1 2 ,所以 c 0 s 8 =3=口士:lac 2 x 6 V 7
23、x l 2526在“8/W 由余弦定理得/A/?=C2+BM2-2xc xBM x c osB=设+g1）2 _2 x 1 2 x 4 ,2 V 7解得4M=4.1 8.如 图 1 所示，在平行四边形尸8CD中，A B L P D,PA=A D =AB,将APZB沿 4 8 折起，使得二面角的大小为6 0。，如图2所示，点M 为棱45的中点，点N为棱PC上一动点.图1（1）证明：P M L C D；（2）若四棱锥尸-的体积为2 3，求直线M N与平面P C D所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）证明见解析._.6 9 91 3 3【分析】（1）取 力。的中点E,连接M E,BD,P E,结
24、合 已 知 条 件 先 证 明，再证明P E J.C D,得到C D 1平面P M E,从而结论即可得到.设 AB=A D =PA=a,B C =2 a,利用体积求得。，进而建立以/为坐标原点，以4B,A D 为x,了轴,以过4且平行于P E 的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，求平面尸 8 的一个法向量而，利用向量法可求出最大值.【详解】（1）证明：取 的 中 点 E,连接M E,BD,PE ,丁点为棱48的中点，在中，ME/BD,AB=A P=A D,AB A.P D，在平行四边形尸8 8 中有 N D P B =N D C B =45,Z D B C =ZBDA=45 ,.ZBD
25、C=180o-4 5-4 5o=90,/.BDLCD,折起后也有BQ-LCQ所以 ME _L CO,PAI AB,AD I AB,.PAD为二面角P-A B-D 的平面角，即/尸 力。=60,.4 5工平面尸4。，Q P E u平面P4DAB 1 PE,.ZP4D=60。，PA=AD,.尸 力。为正三角形，：.PE1AD,-AB AD=A,.尸 E J_ 平面 C O u平面ZBCZ),:.PE 工 CD,：MEcPE=E，CD八 平面PME,PA/u 平面 PME,PM LCD.(2)设 AB=AD=PA=a BC=2a,那么点P到面ABCD的距离就是PE的长，也就 是 恒，2_(a +2
26、a _ 3 2A B C D _ 2-2 VV 1 c 1 3 2 百。6优 o国P-A B C D =-j SA B C D X PE=-X -O X-y =2,3，解得a=1,AB=AD=AP=PD=2,8 c =4,以“为坐标原点，以4 3,AD为x,y轴，以过4且平行于P E的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标设点（/，乂）*。），根据定 与 而 方向相同得：言=詈=怒 号=，N（2 2t,4 3z y/3t）,-：DC=2,2,0),PD=(O,1,-V 3),设平面PCD的一个法向量为/M =(a,b,c),D C m =2a+2b=0P D m=b-y/3c=0 令 c =1,
27、解铝 a=-币,b=V J 二平面PCD的一个法向量为w =(-瓜1)MN=(1-2t,4-3/,后)，c o s =MN m3出V 16 r2-28/+17 xV 76 9 9-133二直 线 与 平 面 P C D 所成角的正弦值的最大值为 处 叵.133【点睛】本题考察方向：证明线线，线面，面面平行证明线线，线面，面面垂直线面角异面直线所成角二面角的大小，二面角大小的正弦、余弦值已知二面角大小或正弦、余弦值求参数解决方法：利用线线，线面，面面平行或垂直的判定定理及性质定理；建立空间直角坐标系，利用法向量解决问题.19.学校篮球队30名同学按照1,2,30号站成一列做传球投篮练习，篮球首先
28、由1号传出，训练规则要求：第7(14?4 28,meN)号同学得到球后传给机+1号同学的概率为:，传给加+2 号同学的概率为：，直到传到第29 号(投篮练习)或第30 号(投篮练习)时，认定一轮训练结束，已知29 号同学投篮命中的概 率 为:，30号同学投篮命中的概率为,，设传球传到第(2。430,此号的概率为耳,.(1)求心的值;(2)证明：陀+2 (2 4 4 28)是等比数列;比较29 号和30号投篮命中的概率大小.【答案】4=20（2）证明见解析（3）29 号投篮命中概率大于30号投篮命中概率.【分析】（1）依题意篮球传到4 号有以下三种途径：1 号传2 号传3 号传4 号，1 号传2
29、 号传4 号，1 号传3 号传4 号按照相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得；2 1 1（2）依题意可得月=3%+3%2,即可得到勺-21=-（匕 匕 2），从而得证：（3）由（2）利用累加法求出与，即可求出乙 9、pi o,从而求出29 号、30号命题的概率，即可比较大小.【详解】（1）解：依题意，篮球传到4 号有以下三种途径：1 号传2 号传3 号传4 号其概率 为:x；x；=2；3 3 3 272 1 2 1 2 21 号传2 号传4 号其概率为；1号传3 号传4 号其概率为，3 3 9 3 3 9巾 u八 8 2 2 204 27 9 9 27（2）解；依题意篮球传到第-2 号，再
30、传给号其概率为:吃_ 2；篮球传到第-1号，再传给号其概率为32 月一，因此有2=924-+：12 2，可得匕-月所以 匕+匕 是首先为2 7（3）解：只=；,P.-,3 9由累加法，可得匕=+，二+L驾 L3 9 H 4）4 4所以马=（+卜 卜 9 p所以29 号投篮命中的概率为D J J且 6一 4 七(1 +2 2x、#52 =31，公比为-；的等比数列.中 一 9月F 中-9(-丫+L +彳甲9 1 3)9(3)9(3)可_ Q _ 3 1 (丫”0 28 3 3|_ 4 4 1 3 J一 3 1 (i Y8l 13。号投篮命中的概率 为 泊 x信 器 0 ；x（-;J ,所以2 9
31、 号投篮命中概率大于3 0 号投篮命中概率.2 22 0.如图所示，48 为椭圆从 鼻+方=l（a b 0）的左、右顶点，焦距长为2 百，点尸在椭圆E上,直线尸4尸 8（1）求椭圆后的方程；（2）已知。为坐标原点，点。（-2,2）,直线P C交椭圆E于点M（M,P 不重合），直线8 M,O C 交于点G.求证:直线/1 P,/G的斜率之积为定值，并求出该定值.【答案】（1）工+/=14（2）证明见解析，定值为一；【分析】（1）根据焦距、直线P 4P B的斜率之积求得a,6,从而求得椭圆E的方程.（2）设出直线M P 的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，通过计算直线,ZG 的斜率之积来
32、证得结论成立，并求得定值.【详解】（1）由题意，N（-a,0）,8（a,0）,设尸（x。,九）,由题意可 得 士.盖4=人，%=人x0+a x0-akPA1 6 2 1 a 2 一。2 1 n =n-=4 a2 4 a2 4又2 c =26，所以c =J L 解得a =2所以，椭圆E的方程为上+/=1；4（2）由题意知，直线M P 的斜率存在，设直线 尸:了=丘+加，且2 =-2 左+机/（七,必）,伍,力）联立y=kx+m工 2 2 ,得（1 +4 4 2）工 2+8%加 x +4?2 _ 4 =0彳+T -由A0,得4/+1-加2 。，所以$+%一 8km4/M2-41 +4/丙*2 -+
33、4 公设G(T ),由G,M,B 三点共线可得 一 三=气=t-L X-y-Z-2月W+为 一 2t+2$+2t _2L_=_ _ _ _ _ _ _ _必%=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _J V 2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/+2 X 1 +2 （工 2 +2%2 ）6 +2 ）（2 左 +1）/+2 加 2 （X +2 ）y2 k2xx2+km（X）+x2）+w2 y2）（7-l）X 2+2 w -2 （再+2）（加 一 1）（、2 +2）（x 1+2）（7 -1）再 了 2+2（再+/）+4 k24m2-41 +4左 2+km-8km1 +4（m-1）4 m
34、2-41 +4人2-Skm1 +4左 2k2（4加2 _418左2加2 +加2 +必2加2（加 一1）1 4加 2 4一 1 6 2+4 +1 6左 2 12+m+4m2-4 k2 _ （加一2 左）（加+2 左）_m+2k _ tn+m-2 _ 14（加一。（小 一 4 痴+4 公）4（加一1）（阳一2 人 了 8（/w-l）8（W-1）4所以，直线4 P,/G的斜率之积为定值-;42 1.设函数/(x)=e*c o s x,g W=/W-x s in x.当 x e 时，求/(x)的值域；(2)当x e -p|时，试判断函数g(x)的零点个数.-5 n-【答案】L e 4(2)g(x)的零
35、点个数为2【分析】(1)对“X)求导，利用导数与函数的单调性求得 x)的单调性，进而可求得f(x)在 0 卷上的最值，由此得解；(2)对g(x)求导，分类讨论x e -pO、x e(0,；与女 仲 假 三种情况，结合正余弦函数的图像性质判断得g(x)的单调性及正负情况，利用零点存在定理即可判断得g(x)的零点个数.【详解】(1)依题意，得/(x)=e，(c o s x-s in x),TT TT令ra)=o,得工十0 式，4 L 3 _当X W 0，|时，r(x)0,/(X)单调递增；当T昔 时，/(x)e=e I)所以/口 焉=,2 2 2所以x)的值域为1,孝 e：.、71 71(2)函数
36、g(x)=e*c o s x-x s in x,x e ,则 g(x)=e*c o s x -e*s in x -s in x -x c o s x ,令6(x)=e*_ x,则/j(x)=e*-l,令l(x)0,得x0；令(x)0,得x 0,故e-x 0,当x e-,0 时，g(x)=(ex-x j c o s x-(ex+l)s in x可知 e*-x 0,c o s x 0 ,(ev+1)0 ,s in x 0 ,所以(e*-x)c o s x 2 0 ,(ex+l)s in x 0 ,所以8()=卜 -“8$-伫+1 卜而丫20,所以g(x)在 上 单 调 递 增,又因为g(-=-0,
37、所以g(x)在-去 0 上有 个零点；当 x e(0,；时，c o s x s i n x 0 ,e1 x 0 -所以e*c o s x x s i n x，所以g(x)=e*c o s x-x s i n x 0 在(0,：匕恒成立，所以g(x)在(0,:无零点；当 x 7 彳 时，g (x)=ex(c o s x-s i nx)-(xc osx+s i n x),因为 c o s x v s i n x,所以 c o s R-s i n x 0,故 e(c o s x-s i n x)0,所以g(x)0,则g(x)在(若 单调递减,又因为g j=q 0,所以g(x)在(却 上存在个零点，综
38、上：当x e -p|时，g(x)的零点个数为2.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.(-)选考题：共 1 0 分.请考生在第2 2、2 3 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.2 2.选 修 4-4：坐标系与参数方程(1 0 分)在 直 角 坐 标 系 中，曲线 的参数方程为 一 皿g+O 0】卷为参数;若以该直角坐标系的原点。为1=s i n 2 6 4极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极
39、坐标方程为：,，s m g-三 二 岑 r (其中，为常数)(1)若曲线N 与曲线M只有一个公共点，求/的取值范围；(2)当/=-2 时，求曲线上的点与曲线N 上点的最小距离-料 忑:：威%=-2 【答案】(1)如 8【详解】试题分析：(1)将曲线的参数方程化为直角坐标方程为抛物线的一部分，将曲线N 的极坐标方程化为直角坐标方程为一条直线，通过平移直线观察曲线N 与曲线M只有一个公共点时，的取值范围；(2)当t =-2 时，曲线N 为x +y=-2,设曲线”上的点坐标，利用点到直线距离公式表示目标函数，进而转化为求函数最值问题求解.试题解析：解：对于曲线A/,消去参数，得普通方程为鼾=；式-、
40、卜 七 百.曲线M 是抛物线的一 部分：对于曲线N,化成直角方程为X-J =r,曲线N 是一条直线.(1)若曲线M,N 只有一个公共点，则有直线N 过点1 61的满足要求，并且向左下方平行运动直到过点L J 2 1 I 之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以-6 招 卜 他 招 力 满足要求；相切时仍然只有一个公共点，由r-x =x：-l，得X：+X-1T=0.；感=4号 碓。叁=圾 求得r =-；综合可求得，的取值范围是：一 有 蔺 3的解集；1 1 2(2)若/(x)1 1 m=机，且 正 数 满 足。+6 =加，证明：/+9.【答案】卜lx
41、号(2)证明见解析【分析】(I)根据去绝对值，对x进行分类讨论，求出解集；(2)根据绝对值不等式求出最小值，再构造，利用均值不等式进行求解.(1)6,X,1,解:由题意知/(x)=k +lH x-5|=，2 x-4,l x 3不成立；7 7当一1 c x 3,解得工 一，所以一3恒成立.综上所述，不等式/(力 3的解集为b(2)方法一：证明：由(1)知所以。+6 =6.因为1.-X6无+2、a b,23当且仅当。=b=3时取等号,所以二+4.（2+1 ：.，、（2丫=2,当且仅当a =b=3时取等号.a2 b2 2（b）2 9上 占1 1 2方法二：证明：由（1）知/（X）m a x=6,所以 4 +6 =6.因 为 卜 染=3呆#止I N 如另看（岔为1 34=,当且仅当。=6=3时取等7ab号，2 1 2 2 2又因为*了=x-=-,当且仅当。=6 =3时取等号,3 yjab 3 a+h 9r r i M1 1 2所以下+铲3方法三：证明：由（1 ）知/（X）m a x =6,所以 0 +6 =6.所以（。+。236X a3.6L 10+2%Q O“当且仅当a =6 =3时取等号.