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1、1、设石uR,/(x)是上有限的可测函数，证明：存在定义在R上的一列连续函数 g，使得 lim g(九)=/(x)ae 于 E。一8证明：因为/(%)在上可测，由鲁津定理是，对任何正整数，存在的可测子集，使得加(-6)?7E-En由此可得mE f - g 巨川 W 砥 ) n = 0即 gn(%) = /(x), nn,由黎斯定理存在gj的子歹！J gf1k,使得lim g2 (%)=f(x) , ae于E2、设/(x)是(-oo,oo)上的连续函数，g(x)为切上的可测函数，则/(g(x)是可测函数。证明：记g =(00,+8),2=。，切，由于/(%)在月上连续，故对任意实数。,与4是co
2、直线上的开集，设耳c = |J(a，&)，其中(%，瓦)是其构成区间(可能是有限 n=个， 。可能为一8瓦 可有为 +8) 因此0000(/ a=U 纥& g E2g%，&是一开集，而石= x(x)Na总是一闭集。证明：若玉)旦贝如(%0)，因为/(X)是连续的，所以存在50,使任意X(YO,8),I x % |。，即任意无 U(x0),就有 x eE,所以 U(x0) uE,E 是开集若 x E,且 x -8),则/区)，由于/(x)连续，f(x0) =lim f(xn) a ,8即6石，因此E是闭集。4、(1)设41=(。一)，4(，)， = 1，2,，求出集列4的上限集和下限集 n证明：
3、lim4 = (0,oo)设(0,8),则存在 N,使xvN,因此ND寸，0x8所以X属于下标比N大的一切偶指标集，从而x属于无限多A”，得一8又显然lim4 u(0,oo),所以limA =(0,co) A =。若有xe，则存在 N,使任意,N,有xA，因此若2 1N时,了42_1，即0x,，令力-8得0x0,存在开区间使为/,.证明：证明：设 = 匕|，= 1,2,0000以U4nE，且Z|/ 二 ,由的任意性得加* = 0 i=ii=i5、设力是E上的可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测的。证： 显然，的收敛点集可表示为0 = Ex而coXCO在E上可测。在E上可测。CH瓯-蟹15
4、由fn可测lim fn及lim力都可测，所以limfn - limfn XOOX-8X-COX-8从而，对任一自然数殷 仇而力lim/J可测。故 L 8Xf 8k00 1EO = 塌力Tim力C0X8上k=e可测。既然收敛点集/可测，那么发散点集石-线也可测。6、没EuR。,存在两侧两列可测集4 , 纥，使得4 u Eu纥且4（4-纥）一0, （noc）则可测. 0000证明：对于任意n纥u片,所以n片-石（=瓦 n=ln=又因为 A u E , Bj - E u Bj - Aj所以对于任意i,机*（6里石”加*（g. E）（机*（耳A,） = m（Bj A） n=CO00令i-8 ，由根（耳
5、-4）-0得根*（n纥E） = 0所以ngE是可测的又由于从可n=77=1测，有n Bn也是可测的所以石=n4-(ri Bt-E)是可测的。 =17i=ln=7、设在 7 上力(%) = /(%)，而 fn (x) = gn (x) a.e.成立，相= 1,2 ，则有 gn(%) = f(x)，oo 、 oo设纥=,Wg，则根 JEn根与=。n=l JVcr0 Ef-gVcr0 Ef-g/所 以相 |/-(jEn +mEf-fn(y = mEf-fn(yn=7因为力(x) = /(x)，所以 0W1子根= 0即 g (%)=/(%)8、证明：(Ad3) = AdB。证明：因为AuAuB, Bc
6、zAoB,所以，Au(AdB), 5u(AdB),从而Au3u(AuB)反之，对任意X(AuB),即对任意3(x),有3(x, b) c (A u 3) = (3(x) c A) u (B(x,d) c 3)为无限集,从而3(x) c A为无限集或B(x,3)cB为无限集至少有一个成立，即x A或x 夕,所以，xeAzuB (AuB)uAuB。综上所述，(AuBy = Au3。9、证明：若/；(x)=/(X), fn(x) = g(x)( xe E ),则/(x) = g(x) 于右。81证明：由于娟H/(x)wg(x)=Ux,f g|N-|,而Exf-g-(zExfn-f所以,mExf-g-
7、 + mExfn-g由(x) = /(x)，g(x)( x E)得lim mExfn - f- = 0 ,fn-g = 0o4/V4/V所以，mEx |/-g| = 0,从而 mExf(x) w g(x) = 0,即 f(x) = g(x) a.e.于 E。 k10、证明:若/(%)士g(%)(xe E )o证明：对任意。0,由于(%) g” (%) - (%) gO)|，fn(X)- f(X) + |g (%) - g(X) ,所以，由京(幻土 心(%)(%) g(%)|2b可得，|/,U)-/(%)| 2：b和|g()-g(%)| |cr至少有一个成立。从而Elfllgn-f8Exfll-
8、f(juExgn-ga, 乙乙所以，相仇刈力士 g 土 g 2 b V加仇Xfn 力2(司+相aX |g g| (司。又由力(x) = /(x)，g(x)ng(x) (xeE)得,lim mEx一8lim mEx一811八 g - g -o- = 0ommEx |-7|icr = 0,乙所以，Jim mExfn gn-f gcr = 0,即/(%) (xwE),则 |力(%)|=|/(%)| ( xe E )o证明：因为一/（刈讣力（刈|/（切，所以，对任意cr0,有仇耳 T/I 之b u Exyn-fcr,加刈/H/I 2司 f(x)( xe E )得,limmEx|/z-/|cr = 0
9、o 所以,limmEx|X7|-|/|cr = 0,即|a = x，(x),X*是开集，从而是可测集。所以，/(x)是网上的可测函 数。13、证明：”上的单调函数必为可测函数。证明：不妨设了。)是网上的单调递增函数，对任意实数记4 =巾1/(处矶, 由单调函数的特点得，当时，xf(x)a = A),显然是可测集;当Ae闵/(%)时，3/(%) = (448)，也显然是可测集。故/(x)是网上的可测函数。14、设)。)石)， 是的可测子集，且加石 8lim?00证明：因为E 是石的可测子集，且加Eoc对连续性，lim f /(x)ck - /(x)dr = limwoo J EJ EnL F /
10、(x)dx = 0 o*匕一匕n15、设若对任意有界可测函数9(x)都有 /(x)0(x)dx = O ,则J Ef(x) = 0 a.e.于 E。证明：由题设，取o(x) = 00, xeEx|f(x) = 0,显然0(x)为E上的有界可测函数, -l,xe Exf(x) n9 证明(1) limmen - 0 ； (2) limn- men 0 o noo证明：由m纥 4 f /(x)dxoof (x) G L(E),由积分的绝对连续性得，lim /(x)dx = 0 ,从而注意到一80n-me /(x)dr ,J e所以，lim n - men = 0。817、若/(x)是切上的单调函数
11、，则/(x)是团，切上的有界变差函数，且证明：不妨设/(为是句上的单调增函数，任取他,切的一个分割T: a = x() % 七_ v v = b一 /(%)1=2(七)二f Qi)=/ 区)/(/)/=1/=1/=1= f(b)-f(a) = f(b)-f(a),所以,V(f) = sup Z，(七)二f(匕-1)| = I/S)一 .。)|。T /=118、若/(x)在a,句上满足：存在正常数K,使得对任意不他，切，都有-|4K21，b则 /(x)是。,句上的有界变差函数，且V(7)WKS a)；a(2) /(x)是他,切上的绝对连续函数。证明：(1)由题设，任取句的一个分割T :a = x
12、0 x - xz o,取S = ,则当上一上|若/(x)是出,切上的绝对连续函数，则/(x)是1上的有界变差函数。证明：由/(X)是团上的绝对连续函数，取=i,存在内0,对任意有限个互不 相交的开区间(4y), 1 = 12 ，只要fk y|3时，有|/(七)1=11=1现将,切等分，记分点为。=。06%_ an=b,使得每一等份的长度小于3。易得近7) W1,即/(X)是a。/上的有界变差函数。又见句=I 。1，叫， /=ibj的所以，V(f) = y V(f)/2不，注意到/(/)20,有 X玄司心XV(/) = V(/) + V(/)V(/),aaxxa即.(/)是句上的递增函数。ax2(2)对任意办,工2 伍,勿，k2%，注意到U(/)2，(七)一/(七_)|,有为x2ax2v(/)- /(x2 )-V(/)- f(x ) = V(f)-f(x2 ) /。)aaxxNV(/)T/(X2) /(X)|20，xX即V(f)-/(x)是a.b上的递增函数。a21、证明Jordan分解定理：/(x)是口上的有界变差函数。/(x)可表示成切上的两个增函数之差。证明：“充分性”显然成立。下证“必要性”。xXXX事实上，f(x) = V(/)-V(f)-/(%)，由上题V)和V(/)-/都是以句上的 aacia递增函数。