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1、试 卷 类 型：A2015年 广 州 市 普 通 高 中 毕 业 班 综 合 测 试（一）2 0 1 5广 州 一 模 数 学（理 科）2015.3本 试 卷 共 4 页，21小 题，满 分 150分.考 试 用 时 120分 钟.注 意 事 项：1.答 卷 前，考 生 务 必 用 2B铅 笔 在“考 生 号”处 填 涂 考 生 号。用 黑 色 字 迹 钢 笔 或 签 字 笔 将 自 己 所 在 的 市、县/区、学 校 以 及 自 己 的 姓 名 和 考 生 号、试 室 号、座 位 号 填 写 在 答 题 卡 上。用 2B铅 笔 将 试 卷 类 型（A）填 涂 在 答 题 卡 相 应 位 置
2、上。2.选 择 题 每 小 题 选 出 答 案 后，用 2B铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 选 项 的 答 案 信 息 点 涂 黑；如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案，答 案 不 能 答 在 试 卷 上。3.非 选 择 题 必 须 用 黑 色 字 迹 的 钢 笔 或 签 字 笔 作 答，答 案 必 须 写 在 答 题 卡 各 题 目 指 定 区 域 内 的 相 应 位 置 上；如 需 改 动，先 划 掉 原 来 的 答 案，然 后 再 写 上 新 的 答 案；不 准 使 用 铅 笔 和 涂 改 液。不 按 以 上 要 求 作 答 的 答 案 无
3、效。4.作 答 选 做 题 时，请 先 用 2B铅 笔 填 涂 选 做 题 题 号 对 应 的 信 息 点，再 作 答。漏 涂、错 涂、多 涂 的，答 案 无 效。5.考 生 必 须 保 持 答 题 卡 的 整 洁。考 试 结 束 后，将 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回。参 考 公 式：锥 体 的 体 积 公 式 2 其 中 S 是 锥 体 的 底 面 积，。是 锥 体 的 高.312+22+32+2=（+?2+1）一、选 择 题：本 大 题 共 8 小 题，每 小 题 5 分，满 分 40分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求
4、的.1.已 知 全 集。=1,2,3,4,5,集 合=3,4,5,N=1,2,5,则 集 合 1,2可 以 表 示 为 A.M C N B./）n N C.n N）D.（瘠 A/）n（N）2.已 知 向 量 a=（3,4）,若|勿 卜 5,则 实 数 九 的 值 为 1 1A.-B.1 C.-D.15 53.若 某 市 8 所 中 学 参 加 中 学 生 合 唱 比 赛 的 得 分 用 茎 叶 图 表 示（如 图 1）,其 中 茎 为 卜 位 数,叶 为 个 位 数，则 这 组 数 据 的 中 位 数 和 平 均 数 分 别 是 A.91,91.5 B.91,92C.91.5,91.5 D.9
5、1.5,928 8 79 1 7 4 2 0 3图 14.直 线 X+砂+1=0 与 圆/+（夕=4 的 位 置 关 系 是A.相 交 B.相 切 C.相 离 D.不 能 确 定 x+y+40,5.若 直 线 歹=3 x 上 存 在 点(xj)满 足 约 束 条 件 2x-y+8 2 0,则 实 数 机 的 取 值 范 围 是 xR,f2(z)=x2-y,z=x+yi(x,y e R);(3)人:C.R,A(z)=2x+y,z=x+yi(x,y e R);其 中，具 有 性 质 尸 的 映 射 的 序 号 为 A.B.C.D.二、填 空 题：本 大 题 共 7 小 题，考 生 作 答 6 小
6、题，每 小 题 5 分，满 分 30分.(一)必 做 题(9 13题)9.已 知 tan a=2,则 tan 1 a 的 值 为.10.已 知 e 为 自 然 对 数 的 底 数，若 曲 线 y=xe在 点(l,e)处 的 切 线 斜 率 为.211.已 知 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 N（2,l）.若 0（1 4 X 4 3）=0.6826,则 P（X 3）等 于.12.已 知 事 函 数/（）=-渥-2“，+3（w 2）为 偶 函 数，且 在 区 间（0,+8）上 是 单 调 增 函 数，则/的 值 为.13.已 知，左 eN*,且 V”，左 C：=C，；，则 可 推 出
7、C：+2C：+3C：+左 C：+-+C：=(C 3+C 3+-+C 3+C)=2T,由 此，可 推 出 C；+22c：+32c：+c：+2 5=.（二）选 做 题（14 15题，考 生 只 能 从 中 选 做 一 题）14.（坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题）在 直 角 坐 标 系 X 0 中，曲 线 G 和。2的 参 数 方 程 分 别 为 1 八.八（。为 参 数）和 y=cos。-sin。x 2 t 0,0 0）的 图 象 在 y 轴 右 侧 的 第 一 个 最 高 点 和 第 一 个 最 低 点 的 坐 标 分 别 为（如 2）和 与+|-2（1）求 函 数“X）的 解 析
8、式；（2）求 sin Xo+?）的 值.317.(本 小 题 满 分 12分)袋 子 中 装 有 大 小 相 同 的 白 球 和 红 球 共 7 个，从 袋 子 中 任 取 2 个 球 都 是 白 球 的 概 率 为 工，7每 个 球 被 取 到 的 机 会 均 等.现 从 袋 子 中 每 次 取 1个 球，如 果 取 出 的 是 白 球 则 不 再 放 回，设 在 取 得 红 球 之 前 已 取 出 的 白 球 个 数 为 X.(1)求 袋 子 中 白 球 的 个 数；(2)求 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望.18.(本 小 题 满 分 14分)如 图 4,在 边 长 为 4 的 菱
9、 形/8C。中，N D A B=60,点、E,尸 分 别 是 边 CO,C8 的 中 点，ACrEF=O,沿 跖 将 翻 折 到 连 接 PA,PB,PD,得 到 如 图 5的 五 棱 锥 P 4 B F E D,且=(1)求 证：B D 上 平 面 P O 4；(2)求 二 面 角 8/尸 一。的 正 切 值.A图 519.(本 小 题 满 分 14分)已 知 数 列 凡 的 各 项 均 为 正 数，其 前 项 和 为,，且 满 足 q=1,。用=2后+1,eN*.(1)求 见 的 值；(2)求 数 列 凡 的 通 项 公 式；(3)是 否 存 在 正 整 数 左，使 用.,S 5 4/成
10、等 比 数 列？若 存 在，求 左 的 值；若 不 存 在，请 说 明 理 由.420.(本 小 题 满 分 14分)2已 知 椭 圆 G 的 中 心 在 坐 标 原 点，两 焦 点 分 别 为 双 曲 线。2：5-/=1 的 顶 点，直 线 x+J5y=0 与 椭 圆 G 交 于 Z,8 两 点，且 点 2 的 坐 标 为(一 加,1),点 尸 是 椭 圆 上 异 于 点 2,8 的 任 意 一 点，点。满 足 而 布=0,丽 丽=0,且/,B,0 三 点 不 共 线.(1)求 椭 圆 G 的 方 程；(2)求 点 0 的 轨 迹 方 程；(3)求 M B Q 面 积 的 最 大 值 及 此
11、 时 点 Q 的 坐 标.21.(本 小 题 满 分 14分)已 知 函 数/(x)=ln(l+x)+-x2-x(0).(1)若/(x)0对 xe(0,+oo)都 成 立，求 a 的 取 值 范 围；(2)已 知 e为 自 然 对 数 的 底 数，证 明：V eN*,&H+-Vl+4-l+4 e-52015年 广 州 市 普 通 高 中 毕 业 班 综 合 测 试（一）数 学（理 科）试 题 参 考 答 案 及 评 分 标 准 说 明：1.参 考 答 案 与 评 分 标 准 给 出 了 一 种 或 几 种 解 法 供 参 考，如 果 考 生 的 解 法 与 参 考 答 案 不 同，可 根 据
12、试 题 主 要 考 查 的 知 识 点 和 能 力 比 照 评 分 标 准 给 以 相 应 的 分 数.2.对 解 答 题 中 的 计 算 题，当 考 生 的 解 答 在 某 一 步 出 现 错 误 时，如 果 后 继 部 分 的 解 答 未 改 变 该 题 的 内 容 和 难 度，可 视 影 响 的 程 度 决 定 后 继 部 分 的 得 分，但 所 给 分 数 不 得 超 过 该 部 分 正 确 解 答 应 得 分 数 的 一 半；如 果 后 继 部 分 的 解 答 有 较 严 重 的 错 误，就 不 再 给 分.3.解 答 右 端 所 注 分 数，表 示 考 生 正 确 做 到 这 一
13、步 应 得 的 累 加 分 数.4.只 给 整 数 分 数，选 择 题 和 填 空 题 不 给 中 间 分.49.10.2c 11.0.1587312.16 13.+说 明：第 14题 答 案 可 以 是+2版，左 w Z.三、解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，满 分 8 0分.1 6.（本 小 题 满 分 12分）（本 小 题 主 要 考 查 三 角 函 数 的 图 象 与 性 质、三 角 两 角 和 公 式 等 等 知 识，考 查 化 归 与 转 化 的 数 学 思 想 方 法，以 及 运 算 求 解 能 力）（1）解：由 题 意 可 得 力=2,.1分 T（7 l 71=X Q H
14、 x0=一，.3 分 2 V 2 J 2:T=7t.4 分 24由=肛 得。=2,.5 分（06/.f(x)=2 sin 2xd.k 676分 解：.点（x0,2）是 函 数/（x）=2sin 2x+7 在 y轴 右 侧 的 第 一 个 最 高 点,B,7分,8分 9分.71 7T 71.71sin cos+cossin 6 4 6 410分 11分 V2+V641 7.（本 小 题 满 分 12分）（本 小 题 主 要 考 查 古 典 概 型、解 方 程、随 机 变 量 的 分 布 列 与 均 值（数 学 期 望）等 知 识，考 查 或 然 与 必 然 的 数 学 思 想 方 法，以 及 数
15、 据 处 理 能 力、运 算 求 解 能 力 和 应 用 意 识）（1）解：设 袋 子 中 有（wN*）个 白 球，依 题 意 得，与=2,.1分。7 7即?,化 筒 得，2 _ _6=0,.2分 7x6 7F解 得，=3 或=一 2（舍 去）.3 分.袋 子 中 有 3个 白 球.4分（2）解：由（1）得，袋 子 中 有 4 个 红 球，3个 白 球.5分 X 的 可 能 取 值 为 0,1,2,3,.6分 27P(X4-7Xu-/-7 6 5 35=3)3 2 1 4 1 x X-X=-7 6 5 4 35-10分 3 2 4 4 X X-,4-63-7X 的 分 布 列 为:X 0 1
16、2 37p 4727435135.11分 4 2 4 1 3.,.X=0 x-+l x-+2x+3 x=-.12 分 7 7 35 35 51 8.(本 小 题 满 分 14分)(本 小 题 主 要 考 查 空 间 线 面 关 系、二 面 角、空 间 向 量 及 坐 标 运 算 等 知 识，考 查 数 形 结 合、化 归 与 转 化 的 数 学 思 想 方 法，以 及 空 间 想 象 能 力、推 理 论 证 能 力 和 运 算 求 解 能 力)(1)证 明：.点,尸 分 别 是 边 CD,C B的 中 点，BD/EF.1 分 菱 形 Z 8 C D的 对 角 线 互 相 垂 直，B D L A
17、 C.：.E F 1 AC.：.E F A.A O,EF I P O.2 分.Z O u平 面 产。4,P O u 平 面 尸 ON,/O f 尸。=O，.尸，平 面 PO 4.3 分 平 面 PON.4 分(2)解 法 1：设/O n 8 D=，连 接 8。，NDAB=60,:.A 4 B D 为 等 边 三 角 形.:.B D=4,BH=2,HA=2应,HO=PO=E$分；/在 RtZXBHO 中，BO=yjBH2+H O2=V7,-在 P8O 中，BO2+PO2=0=PB2,B/:.P O L BO.6 分,Z P O 1 E F,E F C B O=O,E F u 平 面 BFED,8
18、 O u 平 面 BKED,；.P O上 平 面 BEED.7 分 过 H 作 H G L 4 P,垂 足 为 G,连 接 8 G,由（1）知 平 面 尸。/,且 N P u平 面 P。/,：.B H L A P.:H G R B H=H,H G u平 面 BH G,BH u 平 面 BH G,/尸，平 面.8分 8 G u 平 面 5 G,/.A P 1 B G.9 分./3 6 为 二 面 角 3-4?一。的 平 面 角.10分 在 RtZXPQZ 中，AP=y/AO2+PO2=V30,在 RtA POA 和 RtA HGA 中，ZPOA=ZHGA=90,ZPAO=A H AG,RtA P
19、OA-R t A HGA.11分 8.PO _ PA.”PO HA 百 x 2 6 V30 1 1 C J=-=-f-PA 国 512分 RH 2 八 0在 中，tanNBGH=i=*.13 分 HG 呵 3r，二 面 角 B-A P-O 的 正 切 值 为 314分 解 法 2：设 Z O n 8 O=，连 接 50,NDAB=60,为 等 边 三 角 形.；.BD=4,BH=2,HA=2 氏,HO=PO=6.5 分 在 中，BO7 BH?+HO?=V7,在 P8O 中，BO2+PO2=0=PB2,:.PO 工 BO.6 分,/P O LE F,EFClBO=O,E F u 平 面 BFED
20、,BO u 平 面 BFED,工 PO工 平 面 BFED.7分 以。为 原 点，O E 所 在 直 线 为 x 轴，/。所 在 直 线 为 y 轴，O P 所 在 直 线 为 z轴,建 立 空 间 直 角 坐 标 系。-呼 z,则 N（0,36,0）,5（2,-V3,0）,P（0,0,A/3）,以 0,-百 0）.8 分=（0,3，刀=（2,2百,0卜 设 平 面 P Z 8的 法 向 量 为 n=（x j,z）,3y/3y+V3z-0,由，4P,_LZ8,得 2x+2y/3y=0.令 y=l,得 z=-3,x=-V3.平 面 尸 的 一 个 法 向 量 为=卜 6,一 3）.10分 11分
21、 由（1）知 平 面 P4。的 一 个 法 向 量 为 由=（一 2,0,0）,9设 二 面 角 B-A P-O 的 平 面 角 为 e,r m i ZJ I/2/3 V39 八 贝 i j cos 0=cos(w,B H)=.=f=.1 2 分 1 nBH 713x2 13.z i、-7T J130 八 sing/30 八/.sin=Vl-cos*0=-,tan 8=-=.1 3 分 13 cos。3二 二 面 角 8 ZP O 的 正 切 值 为 叵.14分 31 9.(本 小 题 满 分 14分)(本 小 题 主 要 考 查 等 差 数 列、数 列 的 前 项 和 等 知 识，考 查 化
22、 归 与 转 化 的 数 学 思 想 方 法，以 及 运 算 求 解 能 力 和 创 新 意 识)(1)解：；4=1,0,.S 0.j s+=+1.4 分 数 列 厄 是 首 项 为 点=i,公 差 为 1的 等 差 数 列.yS=1+(-1)=.5 分/.Sn=n2.6 分 当 2 2 时，Q=S 一 S T=_(一=2 _,.8 分 又 q=1适 合 上 式，/.an=2 1.9 分 解 法 2：山 勺 M=2庖+1,得(。,用 _1)2=4 J，.2 分 当 2 2 时，(a,_l)2=4S T，.3 分 A(a+I-1)2-(a-1)2=4(S-)=4a.4 分-an-2%-2q7=0
23、.io（+1+/）（勺+1一-2）=0.5 分 0,%+,=2.6 分 数 列 凡 从 第 2项 开 始 是 以%=3为 首 项，公 差 为 2 的 等 差 数 列.7 分；%=3+2（-2）=2力 1（2 2）.8 分*.*a=适 合 上 式，an=2 7 7 1.9 分 解 法 3：由 已 知 及（1）得 q=l,。2=3,猜 想%二 2-1.2分 下 面 用 数 学 归 纳 法 证 明.当=1,2 时:山 已 知 q=1=2x 1 1,，+1，%+i-2=0.7 分*QR+=c if.+2=2k-+2=2（k+1）1.8 分 故 当=攵+1时，猜 想 也 成 立.由 知，猜 想 成 立，
24、即-1.9分（3）解：由（2）知/二 2-1,Sn=-=.1 1假 设 存 在 正 整 数 左，使 4,S g,。公 成 等 比 数 列，则.10分 即（2 左 一 炉=（2%-11（8 左 一 1）.11 分:人 为 正 整 数，2左 IwO./.（2左 一 I 7 二 8左 一 1.:.8 A-12左 2+6左-1=8左 一 1.化 简 得 4无 3 6 2-1=0.12分 k 丰 0,：.412一 6左 一 1=0.6+V62+4 x 4 3+V13解 得 1=一 十 叶=J,与 人 为 正 整 数 矛 盾.13分 8 4不 存 在 正 整 数 左，使 4,S2k_,g*成 等 比 数
25、列.14分 20.（本 小 题 满 分 14分）（本 小 题 主 要 考 查 椭 圆 的 方 程、双 曲 线 的 方 程、直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 关 系 等 知 识，考 查 数 形 结 合、化 归 与 转 化、函 数 与 方 程 的 数 学 思 想 方 法，以 及 推 理 论 证 能 力 和 运 算 求 解 能 力）解 法 1：.双 曲 线。2：5-V=1的 顶 点 为 大（一 8,0），耳（狡，0），.1分 椭 圆 G 两 焦 点 分 别 为 大（-四,0）,鸟（&,o）.设 椭 圆 G 方 程 为 5+4=1（。力 0）,a b椭 圆 G 过 点/（-V2,1）,2Q=|力
26、 耳|+|力 居|=4,得 Q=2.2 分/.b1=672(V2 j=2.3 分 二 椭 圆 G 的 方 程 为 y+=l.4 分 V-2 L L解 法 2:双 曲 线 G：万 一 丁=1的 顶 点 为 大(-72,0),7(72,0),.1分 12.椭 圆。两 焦 点 分 别 为 Ft(-y/2,0),月(上,0).设 椭 圆 G 方 程 为 W+g=l S 8 0),a b；椭 圆 过 点/(-V2,1),2 1f+7=1.2 分*/cr=Z?2+2,.3 分 由 解 得/=4,/=2.椭 圆 G 的 方 程 为+-=1.4 分 1 4 2(2)解 法 1：设 点 0(x,y)，点 P(x
27、”为)，由 4 1)及 椭 圆。关 于 原 点 对 称 可 得 3(V2,-1),/Q=(x+V2,y 1),A P=(X1+/2,jV1 1).B Q=(x y+1),BP=(%/2,_vt+1).由 A Q A P=0,(x+应)(+&)+(y 1)(乂 1)=0,.5 分 BIJ(x+V2)(x,+V2)=-y-l)(y(-1).同 理，由 丽 丽=0,得(x&)(x&)=(y+l)(M+l).6分 x 得(X2-2)(X12-2)=(/-1)(,2-1).7 分 由 于 点 P 在 椭 圆 G 上，则+左=1，得 父=4 一 2,代 入 式 得 一 2(必 2 一 1)(2-2)=(/
28、1)(4 一 1)当 _#0 时，有 2 x 2+/=5,当 弁 _ 1=0,则 点。(0,_ 1)或 P(V2,1)，此 时 点 Q 对 应 的 坐 标 分 别 为(0,1)或(-72,-1),其 坐 标 也 满 足 方 程 2 x 2+V=5.8 分 当 点 尸 与 点 4 重 合 时，即 点 P(J5,1),山 得 y=6 x 3,13解 方 程 组 m 得 点。的 坐 标 为（屈 T 或 坦-小 I 2 J同 理，当 点 P 与 点 8 重 合 时，可 得 点。的 坐 标 为 卜 庭,1）或-工-,2.I 2,.点 0 的 轨 迹 方 程 为 2/+产=5,除 去 四 个 点（0,-1
29、）（孝,2,（-72,1）,一 下/9 分 解 法 2：设 点 0（x,y）,点。（匹，必）,由/1)及 椭 圆 G 关 于 原 点 对 称 可 得 8(V2,-1),：A Q A P=O,B Q B P=O,：.A P 1 A Q,B P A.B Q.=-l(x产-何，.5 分 M+及 x+V2 1 7.点 尸 在 椭 圆 C 上,*-y+y=l，得 疗=2 吟,1-X 2代 入（*）式 得 黄 T 冷 _1 V2 _ 11,即 一=1,化 简 得 2x2+y2=5.2 x-2若 点 尸-1）或 p（&,1）,此 时 点。对 应 的 坐 标 分 别 为（&,1）或（-72,-1）,其 坐 标
30、 也 满 足 方 程 2/+/=5.8 分 当 点 尸 与 点 重 合 时，即 点 P（J5,1）,由 得 y=y2x-3,解 方 程 组 l i e 得 点 0 的 坐 标 为 或 修，-小 I 2 J14同 理，当 点 尸 与 点 8 重 合 时，可 得 点 0 的 坐 标 为 卜 双,1）或 一 4,2.7.点 0 的 轨 迹 方 程 为 2丁+/=5,除 去 四 个 点（瓶,1）曰,一 2,（-72,1）,当 2.9 分 2 7,、l k+V2_y|解 法 1：点。（x,y）到 直 线 ZB:x+回=0 的 距 离 为 A B Q 的 面 积 为 S=g+伪 2+（1）2.x+.I。分
31、=|x+V2y|=jx2+2y2+22xy.11 分 而 2五 冲=2x（2x）x（恚）4 X2+-（当 且 仅 当 2x=君 时 等 号 成 立）S-x2+2y+2yf2xy x2+2y2+4x2+=Jsx2+y2=.12 分 当 且 仅 当 2x=时，等 号 成 立.解 得 V 2 也 2 或 j 2y=2,I=-2.5 F）.A B Q 的 面 积 最 大 值 为 菱，世:时，点 Q 的 坐 标 为 13分 变,21或，乌 一 21.14分 解 法 2：由 于|/倒=(V2+V2)2+(-l-l)2=2 J L故 当 点 0 到 直 线 的 距 离 最 大 时，Z8。的 面 积 最 大.
32、10分 设 与 直 线 A B 平 行 的 直 线 为 x+岛+加=0,由 卜+。+加=,消 去,得 5y2+4国 丫+2,_ 5=0,2x2+y2=5,s5由/=32加 2-20（2加 25）=0,解 得 加=望.11分 15若 加 则 y=-2,若 加=一，则 歹=2,x 12 分(6故 当 点。的 坐 标 为、(5、,2 或-注,-2 时，ZB。的 面 积 最 大，其 值 为、2)1 2 121.(本 小 题 满 分 14分)(本 小 题 主 要 考 查 函 数 的 导 数、不 等 式 等 知 识，考 查 数 形 结 合、化 归 与 转 化、分 类 与 讨 论 的 数 学 思 想 方 法
33、，以 及 运 算 求 解 能 力、抽 象 概 括 能 力 与 创 新 意 识)(1)解：/(x)=ln(l+x)+x2x,其 定 义 域 为(T+O O),八,/、1 X(Q X+Q-1)/.f(x)=-ax-=-.1 分)1+X 1+X 当 Q=0 时，/=当 X(0,+8)时，/,(X)0,则/(可 在 区 间(0,+8)上 单 调 递 减，此 时，/(%)/(0)=0,不 符 合 题 意.2 分 1 Z 7 当 0 0，a当 时，/(x)0,则/(x)在 区 间(0,?)上 单 调 递 减，此 时，/(%)0,则/(x)在 区 间(0,+8)上 单 调 递 增，此 时，/(x)/(o)=
34、o,符 合 题 意.4 分 当 al 时，令/(x)=0,得 阳=0,x2=-0,则 x)在 区 间(0,+8)上 单 调 递 增，此 时，/(x)/(0)=0,符 合 题 意.5分 综 上 所 述，。的 取 值 范 围 为 1,+8).6 分(2)证 明：由(1)可 知，当 a=0 时，x)0对 xe(0,+oo)都 成 立，即 111(1+1)%对 工(0,+8)都 成 立.7分 16.,f,n,f,2 J,、1 2 n 八 In 1H+In 1Hr-+In 1-z-d+H.8 分 n J I n)n n1 n7BP In|1H j|1 H)1+1+2+力+1,2n22/7n,*E+l 1
35、 I,1 1.由 于 N，贝 I j-=H-H-=1.2 2 2 2 2x19分：.Ini+/+斗 h+31.1 nn2n n2i+4nnl+|V.fl+41e.10分 n2由（1）可 知，当 a=l时，/（力 0 对 X（0,+00）都 成 立,即 x-；/ln(l+x)对 xe(0,+8)都 成 立.11 分 1 2 ifl2 22(1 2 八)2 2n2j 21/M4 4 j I n2j I n2j(2 J12分 即(+1)2n21 6C“4lnlnZEI6/+42-3 n-l得-IT T,6 3+4 _ _ 3 一 由 于“eN,则-12n36/+(3 2 _3”)+(2 _)6 3-
36、N-12f?3 一 12/213分 A-In21+1+卦 1+14分 1+M1+7-1+7 e-17试 卷 类 型：A2015年 广 州 市 普 通 高 中 毕 业 班 综 合 测 试（二）2015广 州 二 模 数 学（理 科）2015.4参 考 公 式：球 的 表 面 积 公 式 S=4T T R 2,其 中 R 是 球 的 半 径.一、选 择 题：本 大 题 共 8 小 题，每 小 题 5 分，满 分 4 0分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.1.命 题“若 x=2,则 3x+2=0”的 逆 否 命 题 是 A.若 x*2,
37、贝 i j f 3X+2 W0 B.若 X?3X+2=0,则 X=2C.若 x?3x+2 w 0,则 X H 2 D.若 X*2,贝 i j f 3X+2=02.已 知 a 6 0,则 下 列 不 等 关 系 式 中 正 确 的 是 成 立 的 概 率 为 A-sin(7 sinZ?3.已 知 函 数=丫 A.1 B,14 24.函 数 y=Zsin(yx+0)(/0则 此 函 数 的 解 析 式 为*、(兀 兀)A.y=3sin|x+(4 4；c.y=sin 1 2 15.已 知 函 数/(x)=-x2+2x4-3,B log2 a log2 h C.a2 0,n则/卜 x 0,C.2 D.
38、4,。0,0 夕 018A.425B._2c.23D.16.如 图 2,圆 锥 的 底 面 直 径 4 5=2,母 线 长 匕 4=3,点。在 母 线 冲 上，且 PC=1,7有 一 只 蚂 蚁 沿 圆 锥 的 侧 面 从 点 A 到 达 点 C,则 这 只 蚂 蚁 爬 行 的 最 短 距 离 是 A.V134百 C.-3B.V7373D.-27.已 知 两 定 点（1,0）,8（1,0）,若 直 线/上 存 在 点 使 得|儿 优|+|儿 倒=3,则 魂 2线/为“型 直 线”.给 出 下 列 直 线：x=2；歹=x+3；y=2x 1；歹=1；y=2x+3.其 中 是 型 直 线”的 条 数
39、 为 A.1 B.2 C.3 D.48.设 P(x,y)是 函 数 y=/(x)的 图 象 上 一 点，向 量 a=(l,(X 2)5),b=(1,y-2 x),且 a/b.数 列 q 是 公 差 不 为。的 等 差 数 列，且/(%)+/(&)+/(为)=3 6,则 q+/+-+%=A.0 B.9 C.18 D.36二、填 空 题：本 大 题 共 7 小 题，考 生 作 答 6 小 题，每 小 题 5分，满 分 3 0分.（一）必 做 题（9 13题）9.已 知 i 为 虚 数 单 位，复 数 Z=7,则|z|=.10.执 行 如 图 3 所 示 的 程 序 框 图，则 输 出 的 z 的
40、值 是.12.5 名 志 愿 者 中 安 排 4 人 在 周 六、周 日 两 天 参 加 社 区 公 益 活 动.若 每 天 安 排 2 人，则 不 同 的 安 排 方 案 共 有 种（用 数 字 作 答）.13.在 边 长 为 1 的 正 方 形/B C D 中，以 4 为 起 点，其 余 顶 点 为 终 点 的 向 量 分 别 为 q,a2,4；以 C 为 起 点，其 余 顶 点 为 终 点 的 向 量 分 别 为 G,C 3.若 加 为（%+a j（c,+c j的 最 小 值，其 中 乩 丹 土 1,2,3,刈 t 1,2,3,则 加=.19（二）选 做 题（14 1 5题，考 生 只
41、能 从 中 选 做 一 题）14.（几 何 证 明 选 讲 选 做 题）如 图 4,在 平 行 四 边 形 Z 8 C。中，A B=4,点 E 为 边。C 的 中 点,/E 与 的 延 长 线 交 于 点/，且/E 平 分 NH4。，作 Q G J_/E,15.垂 足 为 G,若。G=l,则/尸 的 长 为（坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题）A 8图 4在 平 面 直 角 坐 标 系 中，己 知 曲 线 和 G 的 方 程 分 别 为”=3-2(/为 参 数)和 7=1 2/,（/为 参 数），则 曲 线 G 和。，的 交 点 有 _个.7=2广 三、解 答 题：本 大 题 共 6小
42、 题，满 分 80分.解 答 须 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 和 演 算 步 骤.16.（本 小 题 满 分 12分）已 知 的 三 边 a,b,c 所 对 的 角 分 别 为 Z,B,C,且 a:b:c=7:5:3.（1）求 c o s 4的 值;（2）若 Z 8 C 的 面 积 为 45百，求 Z 8 C 外 接 圆 半 径 的 大 小.17.（本 小 题 满 分 12分）某 市 为 了 宣 传 环 保 知 识,举 办 了 一 次 环 保 知 识 知 多 少”的 问 卷 调 查 活 动（一 人 答 一 份）.现 从 回 收 的 年 龄 在 20 6 0岁 的 问 卷 中 随 机
43、 抽 取 了 份，统 计 结 果 如 下 面 的 图 表 所 示.3 40,50)5如 县 年 龄 答 对 全 卷 组 节 分 组 的 人 数 1 20,30)282 30,40)274 50,60 a（1）分 别 求 出 a,b,c,的 值;（2）从 第 3,4 组 答 对 全 卷 的 人 中 用 分 层 抽 样 的 方 法 抽 取 6 人，在 所 抽 取 的 6 人 中 随 机 抽 取 2 人 授 予“环 保 之 星”，记 X 为 第 3 组 被 授 予“环 保 之 星”的 人 数，求 X 的 分 布 列 与 数 学 期 望.18.（本 小 题 满 分 14分）如 图 5,已 知 六 棱
44、柱/8 8/一 4 4。1 3 耳 的 侧 棱 垂 直 于 底 面，侧 棱 长 与 底 面 边 长 都 为 3,M,N 分 别 是 棱 N 8,4 4 上 的 点，且/V=4 V=1.（1）证 明：M,N,。四 点 共 面；（2）求 直 线 3 c 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值.20图 519.（本 小 题 满 分 14分）已 知 点 门（凡,）（e N*）在 直 线/：y=3x+l上，是 直 线/与 夕 轴 的 交 点，数 列 凡 是 公 差 为 1的 等 差 数 列.（1）求 数 列 q,也 的 通 项 公 式；，、1 1 1 1（2）求 证：-7+-7+-？0 时，函 数 g（
45、x）的 图 象 C 上 有 两 点 P（6,e）0（6,e）,过 点 P,。作 图 象。的 切 线 分 别 记 为 4，4,设 4 与 4 的 交 点 为 M（x（）,%），证 明/0.2015年 广 州 市 普 通 高 中 毕 业 班 综 合 测 试（二）数 学（理 科）试 题 参 考 答 案 及 评 分 标 准 说 明：1.参 考 答 案 与 评 分 标 准 给 出 了 一 种 或 儿 种 解 法 供 参 考，如 果 考 生 的 解 法 与 参 考 答 案 不 同，可 根 据 试 题 主 要 考 查 的 知 识 点 和 能 力 比 照 评 分 标 准 给 以 相 应 的 分 数.2.对 解
46、 答 题 中 的 计 算 题，当 考 生 的 解 答 在 某 一 步 出 现 错 误 时，如 果 后 继 部 分 的 解 答 未 改 变 该 题 的 内 容 和 难 度，可 视 影 响 的 程 度 决 定 后 继 部 分 的 得 分，但 所 给 分 数 不 得 超 过 该 部 分 正 确 解 答 应 得 分 数 的 一 半；如 果 后 继 部 分 的 解 答 有 较 严 重 的 错 误，就 不 再 给 分.213.解 答 右 端 所 注 分 数，表 示 考 生 正 确 做 到 这 一 步 应 得 的 累 加 分 数.4.只 给 整 数 分 数，选 择 题 和 填 空 题 不 给 中 间 分.一
47、、选 择 题：本 大 题 考 查 基 本 知 识 和 基 本 运 算.共 8 小 题，每 小 题，满 分 40分.题 号 1 2 3 4 5 6 7 8答 案 c D A A B B C C二、填 空 题：本 大 题 考 查 基 本 知 识 和 基 本 运 算，体 现 选 择 性.共 7 小 题，每 小 题，满 分 30分.其 中 1415题 是 选 做 题，考 生 只 能 选 做 一 题.题 号 9 10 11 12 13 14 15答 案 1 327A/21030-54百 116.（本 小 题 满 分 12分）解：（1）因 为 a:b:c=7:5:3,所 以 可 设。=7左，h-5k,c=
48、3左（左 0）,.2 分 由 余 弦 定 理 得,cos/=/+。22bc（5左+（3左/一（7左 了 2x5k x3k3 分，4 分 2（2）由（1）知，COS/=2因 为 4 是 NBC的 内 角,所 以 sin 4=Vl-cos2 A=26 分 由（1）知 b=5A,c=3k,因 为 的 面 积 为 45百，所 以 Lbcsin/=45ji,8 分 2即 x5左 x3左 x也=45石，2 2解 得 左=2百.10分 由 正 弦 定 理 一=2 R,即=.11分 sin A sin A J3T22解 得/?=14.所 以 N8C外 接 圆 半 径 的 大 小 为 14.12分 17.（本
49、小 题 满 分 12分）解：（1）根 据 频 率 直 方 分 布 图，得（0.010+0.025+c+0.035）xl0=l,解 得 c=0.03.1分 第 3 组 人 数 为 5+0.5=10,所 以=10+0.1=100.2 分 第 1 组 人 数 为 100 x0.35=35,所 以 6=28+35=0.8.3 分 第 4 组 人 数 为 100 x0.25=25,所 以 a=25x0.4=10.4 分（2）因 为 第 3,4 组 答 对 全 卷 的 人 的 比 为 5:10=1:2,所 以 第 3,4 组 应 依 次 抽 取 2 人，4 人.5分 依 题 意 X 的 取 值 为 0,1
50、,2.6 分 尸(x=o)尊 二 或,7分 5P(X=1)=G=,8 分 15C2co尸。=2)=M 1 9 分 15所 以 X 的 分 布 列 为:X 0 1P252 Q 1所 以 E X=0 x+lx+2x 5 15 152318.（本 小 题 满 分 14分）第（1）问 用 几 何 法，第（2）问 用 向 量 法:（1）证 明：连 接 B R,BD,在 四 边 形 4 4 2 片 中，4 片 片 2 且 4 耳=8Q,在 四 边 形 B B Q Q 中，B D B R 且 B D=B Q 1,所 以 4 月 B D 且&Ei=BD,所 以 四 边 形 N f O g 是 平 行 四 边