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1、要点梳理1.集合与元素（1）集合元素的三个特征：_、_、_.（2）元素与集合的关系是_或_关系，用符号_或_表示.第一编 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念及其基本运算 确定性互异性无序性属于不属于基础知识 自主学习(3)集合的表示法：_、_、_、_.(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*（或N+）;整 数集Z；有理数集Q；实数集R.(5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以 分为_、_、_.2.集合间的基本关系(1)子集、真子集及其性质 对任意的xA，都有xB，则（或）.若A B，且在B中至少有一个元素xB，但x A，则_（或_）.列举法描述法图示法有限集 无限集 空集区间法 _A
2、；A_A；A B，B C A_C.若A含有n个元素,则A的子集有_个,A的非空子集 有_个,A的非空真子集有_个.(2)集合相等 若A B且B A,则_.3.集合的运算及其性质(1)集合的并、交、补运算 并集：AB=x|xA或xB；交集：AB=_；补集：UA=_.U为全集，UA表示A相对于全集U的补集.2n2n-12n-2A=Bx|xA且xB(2)集合的运算性质并集的性质:A=A；AA=A；AB=BA；AB=A B A.交集的性质：A=；AA=A；AB=BA；AB=A A B.补集的性质：基础自测1.（2008四川理）设集合U=1，2，3，4，5,A=1，2，3，B=2，3，4,则 U(AB)
3、等于（）A.2，3 B.1，4，5 C.4，5 D.1，5 解析 A=1，2，3，B=2，3，4，AB=2，3.又U=1，2，3，4，5，U(AB)=1，4，5.B2.已知三个集合U,A，B及元素间的关系如图所示，则(UA)B等于（）A.5，6 B.3，5，6 C.3 D.0，4，5，6，7，8 解析 由Venn图知(UA)B=5,6.A3.（2009广东理，1）已知全集U=R，集合M=x|-2x-12和 N=x|x=2k-1,k=1,2,的关系的韦恩(Venn)图如 图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）A.3个 B.2个 C.1个 D.无穷多个 解析 M=x|-1x3,MN=1,3，有
4、2个.B4.(2009浙江，1)设U=R,A=x|x0,B=x|x1,则A（UB）等于（）A.x|0 x1 B.x|0 x1 C.x|x1 解析 B=x|x1,UB=x|x1.又A=x|x0,A（UB）=x|0 x1.B5.设集合A=x|1x2，B=x|x a.若A B，则a的取值范围是()A.a1 B.a1 C.a2 D.a2 解析 由图象得a1,故选B.B 题型一 集合的基本概念【例1】(2009山东,1)集合A=0,2,a,B=1,a2,若AB=0，1，2，4，16，则a的值为（）A.0 B.1 C.2 D.4 思维启迪 根据集合元素特性，列出关于a的方程 组，求出a并检验.题型分类 深
5、度剖析解析 A=0,2,a,B=1,a2,AB=0,1,2,4,16,a=4.答案 D 掌握集合元素的特征是解决本题的关键.解题中体现了方程的思想和分类讨论的思想.探究提高知能迁移1 设a,bR，集合1,a+b,a=则 b-a等于()A.1 B.-1 C.2 D.-2 解析 a0,a+b=0 又1,a+b,a=b=1,a=-1.b-a=2.C题型二 集合与集合的基本关系【例2】(12分)已知集合A=x|0ax+15,集合B=（1）若A B，求实数a的取值范围；（2）若B A，求实数a的取值范围；（3）A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由.在确定集合A时，需对x的系数a进行讨 论
6、.利用数轴分析，使问题得到解决.思维启迪解 A中不等式的解集应分三种情况讨论：若a=0，则A=R；若a0,则 2分(1)当a=0时，若A B，此种情况不存在.当a0时，若A B，如图,当a0时，若A B，如图,综上知，当A B 时，a-8或a2.6分（2）当a=0时，显然B A；当a0时，若B A，如图,当a0时，若B A，如图,综上知，当B A时，10分（3）当且仅当A、B两个集合互相包含时，A=B.由（1）、（2）知，a=2.12分探究提高 在解决两个数集关系问题时,避免出错的 一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解,另外，在解含有参数的不等式（或方程）时,要对参数进行讨论.分类时要遵
7、循“不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答.分类讨论的一般步骤：确定标准；恰当分类；逐类讨论；归纳结论.知能迁移2 已知A=x|x2-8x+15=0,B=x|ax-1=0,若B A，求实数a.解 A=3，5，当a=0时，当a0时，B=要使B A，题型三 集合的基本运算【例3】已知全集U=1，2，3,4,5,集合A=x|x2-3x+2=0，B=x|x=2a，aA,求集合 U(AB)中元素 的个数.（1）先求出集合A和集合B中的元素.（2）利用集合的并集求出AB.解 A=x|x2-3x+2=0=1，2，B=x|x=2a，aA=2，4，AB=1，2，4,U(AB)=3，5，共有两个
8、元素.集合的基本运算包括交集、并集和补集.在解题时要注意运用Venn图以及补集的思想方法.思维启迪探究提高知能迁移3(2009全国，理1文2)设集合A=4，5，7，9，B=3,4，7，8，9，全集U=AB,则集 合 U(AB)中的元素共有（）A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 解析 A=4,5,7,9,B=3,4,7,8,9,AB=3,4,5,7,8,9,AB=4,7,9,U(AB)=3,5,8,U(AB)共有3个元素.A题型四 集合中的信息迁移题【例4】若集合A1，A2满足A1A2=A，则称(A1,A2)为 集合A的一种分拆,并规定：当且仅当A1=A2时,(A1,A2）与（A2,A1）为
9、集合A的同一种分拆，则集合A=1，2，3的不同分拆种数是（）A.27 B.26 C.9 D.8 所谓“分拆”不过是并集的另一种说法,关键是要分类准确.思维启迪解析 A1=时，A2=1，2，3，只有一种分拆；A1是单元素集时（有3种可能）,则A2必须至少包含除该元素之外的两个元素，也可能包含3个元素，有两类情况(如A1=1时,A2=2，3或A2=1，2，3),这样A1是单元素集时的分拆有6种；A1是两个元素的集合时（有3种可能），则A2必须至少包含除这两个元素之外的另一个元素，还可能包含A1中的1个或2个元素（如A1=1，2时，A2=3或A2=1，3 或A2=2，3或A2=1，2，3）,这样A1
10、是两个元素的集合时的分拆有12种；A1是三个元素的集合时(只有1种),则A2可能包含 0，1，2或3个元素（即A1=1，2，3时，A2可以是集合1，2，3的任意一个子集），这样A1=1，2，3时的分拆有23=8种.所以集合A=1，2，3的不同分拆的种数是1+6+12+8=27.答案 A 解此类问题的关键是理解并掌握题目给出的新定义（或新运算）.思路是找到与此新知识有关的所学知识,帮助理解.同时,找出新知识与所学相关知识的不同之处，通过对比加深对新知识的认识.探究提高知能迁移4 对任意两个正整数m、n,定义某种运算 则集合P=(a,b)|a b=8，a,bN*中元素的个数为()A.5 B.7 C
11、.9 D.11 解析 当a,b奇偶性相同时，a b=a+b=1+7=2+6=3+5=4+4.当a、b奇偶性不同时，a b=ab=18,由于(a,b)有 序，故共有元素42+1=9个.C1.集合中的元素的三个性质，特别是无序性和互异性 在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号 语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合 理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的 取值范围时，要注意等号单独考察.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可 借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.方法与技巧思想方法 感悟提高1.空集在解题时有特殊地位，它是任何集
12、合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论，防止漏掉.2.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属 关系；二是集合与集合的包含关系.3.解答集合题目,认清集合元素的属性（是点集、数 集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决 条件.失误与防范4.韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运 算的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点 是实心还是空心.5.要注意A B、AB=A、AB=B、这五个关系式的等价性.一、选择题1.（2009海南，宁夏理,1）已知集合A=1,3,5,7,9，B=0,3,6,9,12，则A NB等于（）A.1,5,7 B.3,5,7 C.1,3,9
13、D.1,2,3 解析 A=1,3,5,7,9,B=0,3,6,9,12,NB=1,2,4,5,7,8,.A NB=1,5,7.A定时检测2.（2009福建理，2）已知全集U=R,集合A=x|x2-2x0,则 UA等于（）A.x|0 x2 B.x|0 x2 C.x|x2 D.x|x0或x2 解析 x2-2x0,x(x-2)0,x2或x2或x0,UA=x|0 x2.A3.已知集合A=x|-1x1,B=x|x2-x0,则AB等 于（）A.(0，1)B.（0，1 C.0，1）D.0，1 解析 B=x|0 x1,AB=x|0 x1.C4.（2009辽宁理，1）已知集合M=x|-3x5,N=x|-5x5,
14、则MN等于（）A.x|-5x5 B.x|-3x5 C.x|-5x5 D.x|-3x5 解析 M=x|-3x5,N=x|-5x5,MN=x|-3x5.B5.（2009四川文，1）设集合S=x|x|5，T=x|(x+7)(x-3)0,则ST=（）A.x|-7x-5 B.x|3x5 C.x|-5x3 D.x|-7x5 解析 S=x|-5x5,T=x|-7x3,ST=x|-5x3.C6.若集合A=x|x2-9x0,xN*,B=y|N*,yN*,则AB中元素的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3 解析 A=x|0 x9,xN*=1,2,8,B=1,2,4,AB=B.D二、填空题 7.已知集合A=(0
15、,1),(1,1),(-1,2),B=(x,y)|x+y-1=0,x,yZ,则AB=_.解析 A、B都表示点集,AB即是由A中在直线x+y-1=0上的所有点组成的集合，代入验证即可.但本题 要注意列举法的规范书写.(0,1),(-1,2)8.（2009天津文，13）设全集U=AB=xN*|lg x1,若A(UB)=m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4，则集合B=_.解析 AB=xN*|lg x1=1,2,3,4,5,6,7,8,9,A(UB)=m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4=1,3,5,7,9,B=2,4,6,8.2,4,6,89.（2009北京文，14）设A是整数集的一个非空子
16、 集，对于kA,如果k-1 A,且k+1 A,那么称k是 A的一个“孤立元”.给定S=1,2,3,4,5,6,7,8,由 S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的 集合共有_个.解析 由题意知，不含“孤立元”的集合有：1,2，3,2,3，4,3,4，5,4,5，6,5,6，7,6,7，8，共有6个集合.6三、解答题10.已知全集为R，集合M=x|x|2,xR,P=x|x a,并且M RP,求a的取值范围.解 M=x|x|2=x|-2x2,RP=x|xa.M RP，由数轴知a2.11.已知集合A=x|x2-2x-30,B=x|x2-2mx+m2-4 0,xR,mR.(1)若AB=0,3，求实数m的值；(2)若A RB，求实数m的取值范围.解 由已知得A=x|-1x3,B=x|m-2xm+2.(1)AB=0，3，(2)RB=x|xm+2,A RB,m-23或m+25或m-3.12.已知二次函数f(x)=ax2+x 有最小值,不等式f(x)0 的解集为A.(1)求集合A；(2)设集合B=x|x+4|a，若集合B是集合A的子 集,求a的取值范围.解(1)二次函数f（x）=ax2+x有最小值，a0.解不等式f(x)=ax2+x0，得集合A=(2)由B=x|x+4|a，解得B=（-a-4，a-4），集合B是集合A的子集，返回 返回