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1、集合的概念及其基本运算集合的概念及其基本运算集集 合合含义含义元素间关系元素间关系运算运算集合的分类集合的分类有限集有限集无限集无限集元素的性质元素的性质确定性确定性互异性互异性无序性无序性列举法列举法描述法描述法Venn图图子集子集( )真子集真子集相等相等(=)集合间关系集合间关系属于属于 ()不属于不属于( )集合表示法集合表示法 并并 集集 ( )交交 集集() 补补 集集关系关系( ) ()UA1集合与元素集合与元素 (1)集合元素的三个特性：集合元素的三个特性：_、_、_ (2) 元素与集合的关系：元素与集合的关系： _、_、反映个体与整体之间的关系反映个体与整体之间的关系 (3)
2、集合的表示法：集合的表示法：_、_ 、_、 _ 确定性确定性互异性互异性无序性无序性列举法列举法描述法描述法图示法图示法区间法区间法属于属于()不属于不属于( ()忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点数集数集自然自然数集数集正整数集正整数集整数整数集集有理有理数集数集实数实数集集复数复数集集记法记法(4)常用数集的记法常用数集的记法N()N 或NZQRC(5)集合的分类：集合的分类：_、_、_.有限集有限集无限集无限集空集空集(1)子集、真子集及其性质子集、真子集及其性质 对任意的对任意的xA，都有，都有xB，则，则A_B(或或B_A). 若若AB，且在，且在B中至少有一个元素中至少有一个
3、元素xB，但，但x A，则，则A_B(或或B_A). _A；A_A； AB，BCA_C. 若若A含有含有n个元素，则个元素，则A的子集有的子集有_个，个，A的非空的非空子集有子集有_个，个，A的非空真子集有的非空真子集有_个个.2. 集合间的基本关系集合间的基本关系(2)集合相等集合相等 若若AB且且 BA，则，则A_B.2n2n-12n-2 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点全集为全集为U，集合，集合A的的补集为补集为_集合的并集集合的并集集合的交集集合的交集集合的补集集合的补集符号符号表示表示图形图形表示表示意义意义x|xA且且xB UAABABx|xA或或xB UAx|xU且且x
4、A3. 集合的运算及其性质集合的运算及其性质忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点(1);(2);(3);AAAAAABBA 1) 并集性质并集性质(2)(1);(3);AAAABBAA 2) 交集性质交集性质(4);AAB ABB (4),;ABA ABB (5).ABABA (5).ABAAB (2) 集合的运算性质集合的运算性质忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点(1);(2);(3)();UUUUUUAA 痧(4)();UAA (5)();UUAA UUU(7)()()().ABAB UUU(6)()()()ABAB 3) 补集性质补集性质忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点
5、329某校组织高一学生对所在市的居民中拥有电视机、电冰箱、组合音响的情况进行一次抽样调查，调查结果：3户特困户三种全无；至少有一种的：电视机1090户，电冰箱747户，组合音响850户；至少有两种的：电视机、组合音响570户，组合音响、电冰箱420户，电视机、电冰箱520户，“三大件”都有的265户。调查组的同学在统计上述数字时，发现没有记下被调查的居民总户数，你能避免重新调查而解决这个问题吗？ ABC265722553051251552653由文氏图得，被调查总居民户数为：265+125+72+305+155+255+265+3=1445（户）答：被调查总居民户数为1445户。a2时时,a2
6、3a31与与(a1)2相同相同,不符合题意不符合题意.02,012,022.xxxxxxxx 且且即即且且且且且且且且 (1)加强对集合中元素的特征的理解，互异性常常容易加强对集合中元素的特征的理解，互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意忽略，求解问题时要特别注意. (2)分类讨论的思想方法常用于解决集合问题分类讨论的思想方法常用于解决集合问题. 若集合若集合Ax|ax23x20的子集只有两个，的子集只有两个，则实数则实数a_.908a 故故或或. .908或或 (1)当当a0时，若时，若AB，此种情况不存在，此种情况不存在.当当a0时，若时，若AB，如图，如图，又又a0，a0时，若时，若A
7、B，如图，如图， 综上知，当综上知，当A AB B时，时，a0，a2.当当a0时，若时，若BA，如图，如图，又又a0，0a2. (3) 当且仅当当且仅当A , B两个集合互相包含时，两个集合互相包含时，A=B.由由(1), (2)知，知，a=2. 在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程或方程)时，要对参数进行分类讨论时，要对参数进行分类讨论.分类时要遵循分类时要遵循“不重不漏不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给
8、出问题的解答的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答.分类讨论的一般步骤：分类讨论的一般步骤：确定标准；恰当分类；逐类讨论；确定标准；恰当分类；逐类讨论；归纳结论归纳结论. 本题的主要难点有两个：一是集合本题的主要难点有两个：一是集合A，B之间关系的确定；二之间关系的确定；二是对集合是对集合B中方程的分类求解中方程的分类求解.集合的交并补运算和集合的包含关集合的交并补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联系，这些联系通过系存在着一些必然的联系，这些联系通过Venn图进行直观的分析图进行直观的分析不难找出来，如不难找出来，如ABABA，( UA)B BA等，在等，在解题中碰到这种情况时要善
9、于转化，这是破解这类难点的一种极解题中碰到这种情况时要善于转化，这是破解这类难点的一种极为有效的方法为有效的方法.答案 1或2A 本题新定义了两种运算，看似复杂，但事实上运本题新定义了两种运算，看似复杂，但事实上运算结果可以通过题目中的表格得出算结果可以通过题目中的表格得出.借助于集合定义新借助于集合定义新运算是高考中命制创新试题的一个良好素材运算是高考中命制创新试题的一个良好素材. 已知集合已知集合S S0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5，A A是是S S的一个子集，当的一个子集，当x xA A 时，若有时，若有x x1 1 A A，且，且x x1 1 A A，则称，则称x x为为
10、A A的一个的一个“孤立元孤立元 素素”，那么，那么S S中无中无“孤立元素孤立元素”的的4 4个元素的子集共有个元素的子集共有_ 个，其中的一个是个，其中的一个是_ 6 0,1,2,3 0,1,2,3 5.5.若集合若集合A A1 1，A A2 2满足满足A A1 1A A2 2= =A A，则称，则称( (A A1 1, ,A A2 2) )为为 集合集合A A的一种分拆的一种分拆, ,并规定：当且仅当并规定：当且仅当A A1 1= =A A2 2时时,(,(A A1 1, , A A2 2）与（）与（A A2 2, ,A A1 1）为集合）为集合A A的同一种分拆，则集合的同一种分拆，则
11、集合A A= = 1 1，2 2，33的不同分拆种数是的不同分拆种数是 （ ） A.27 B.26 C.9 D.8A.27 B.26 C.9 D.8 所谓所谓“分拆分拆”不过是并集的另一种说法不过是并集的另一种说法, , 关键是要分类准确关键是要分类准确. . 思维启迪思维启迪5 解析解析 A A1 1= =时，时，A A2 2=1=1，2 2，33，只有一种分拆；，只有一种分拆；A A1 1是单元素集时（有是单元素集时（有3 3种可能）种可能）, ,则则A A2 2必须至少包含必须至少包含除该元素之外的两个元素，也可能包含除该元素之外的两个元素，也可能包含3 3个元素，有个元素，有两类情况两
12、类情况( (如如A A1 1=1=1时时, ,A A2 2=2=2，33或或A A2 2=1=1，2 2，3),3),这样这样A A1 1是单元素集时的分拆有是单元素集时的分拆有6 6种；种；A A1 1是两个元素的集合时（有是两个元素的集合时（有3 3种可能），则种可能），则A A2 2必须必须至少包含除这两个元素之外的另一个元素，还可能包至少包含除这两个元素之外的另一个元素，还可能包含含A A1 1中的中的1 1个或个或2 2个元素（如个元素（如A A1 1=1=1，22时，时，A A2 2=3=3或或A A2 2=1=1，33 或或A A2 2=2=2，33或或A A2 2=1=1，2
13、2，33）, ,这样这样A A1 1是是两个元素的集合时的分拆有两个元素的集合时的分拆有1212种；种； A A1 1是三个元素的集合时是三个元素的集合时( (只有只有1 1种种),),则则A A2 2可能包含可能包含 0 0，1 1，2 2或或3 3个元素（即个元素（即A A1 1=1=1，2 2，33时，时，A A2 2可以是集可以是集合合11，2 2，33的任意一个子集），这样的任意一个子集），这样A A1 1=1=1，2 2，33时的分拆有时的分拆有2 23 3=8=8种种. .所以集合所以集合A A=1=1，2 2，33的不同分拆的种数是的不同分拆的种数是1+6+12+8=27.1+
14、6+12+8=27.答案答案 A 解此类问题的关键是理解并掌握题目给出解此类问题的关键是理解并掌握题目给出的新定义（或新运算）的新定义（或新运算）. .思路是找到与此新知识有关思路是找到与此新知识有关的所学知识的所学知识, ,帮助理解帮助理解. .同时同时, ,找出新知识与所学相关找出新知识与所学相关知识的不同之处，通过对比加深对新知识的认识知识的不同之处，通过对比加深对新知识的认识. . 探究提高探究提高忽略空集致误忽略空集致误 0，13，12. 故故m2或或2m3，即所求集合为即所求集合为m|m3.m|m3忽略空集致误忽略空集致误 1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互集合中的元素的
15、三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化号语言与文字语言之间的相互转化. 2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号的取值范围时，要注意单独考察等号. 3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助可借助Venn图图.这是数形结合思想的又一体现这是数形结合思想的又一体现.4.
16、5. 1.空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解防止漏解. 2.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系属关系；二是集合与集合的包含关系. 3.解答集合题目解答集合题目,认清集合元素的属性认清集合元素的属性(是点集、数是点集、数集或其它情形集或其它情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件和化简集合是正确求解的两个先决条件. 4.Venn图示法和数轴图示法是进行集合交、并、
17、补图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心点是实心还是空心. 5.要注意要注意AB, ABA, ABB, UAUB,A( UB) 这五个关系式的等价性这五个关系式的等价性. 集合概念及其基本理论称集合概念及其基本理论称为集合论，它的创始人是德国为集合论，它的创始人是德国数学家康托尔数学家康托尔. .它是近、现代它是近、现代数学的一个重要的基础数学的一个重要的基础. .一方一方面面, ,许多重要的数学分支许多重要的数学分支, ,如数如数理逻辑、近世代数、实变函数、理逻辑、近世代数、实变函数、
18、泛函分析、概率统计、拓扑学泛函分析、概率统计、拓扑学等等, ,都建立在集合理论的基础都建立在集合理论的基础上上; ;另一方面，集合论及其所另一方面，集合论及其所反映的数学思想反映的数学思想, ,在越来越广在越来越广泛的领域中得到应用泛的领域中得到应用. （Cantor1845-1918）在一个村子中，有一位自认为手艺高超的理发师在一个村子中，有一位自认为手艺高超的理发师, ,他他对外宣称：对外宣称：“我不给村子里任何一个给自己刮脸的人刮我不给村子里任何一个给自己刮脸的人刮脸，但却给村子里所有不给自己刮脸的人刮脸，脸，但却给村子里所有不给自己刮脸的人刮脸，”有一有一天，他发生了疑问：他是否应该给
19、自己刮脸？就是罗素天，他发生了疑问：他是否应该给自己刮脸？就是罗素19021902年提出的，并于年提出的，并于19181918年将其通俗化的理发师悖论年将其通俗化的理发师悖论. . 它的出现表示集合论本身存在着问题，进而表明整个数它的出现表示集合论本身存在着问题，进而表明整个数学在基础上存在着问题，所以它引发了数学发展史上的学在基础上存在着问题，所以它引发了数学发展史上的第三次危机初看起来，它与集合论没有任何关系，如第三次危机初看起来，它与集合论没有任何关系，如果你想进一步了解它，请看分析：果你想进一步了解它，请看分析：（1 1）对理发师悖论的理解：）对理发师悖论的理解：现我们将村子里的人分成
20、两类，（实际上就是两个现我们将村子里的人分成两类，（实际上就是两个集合）：集合集合）：集合A A=村子中不给自己刮脸的人村子中不给自己刮脸的人 ；集合；集合B B=村子中给自己刮脸的人村子中给自己刮脸的人 ，很显然，很显然A A与与B B是互为补集是互为补集理发师的疑问在于他不知道自己该属于哪一个集合理发师的疑问在于他不知道自己该属于哪一个集合1）若他属于）若他属于A A，则由他所宣称的第二句话可推出，则由他所宣称的第二句话可推出，他要给自己刮脸，进而推出他属于他要给自己刮脸，进而推出他属于B B，这显然是不可能，这显然是不可能的；同样道理可得到：的；同样道理可得到：2）若他属于）若他属于B
21、B，则他属于，则他属于A A，这也不可能所以他，这也不可能所以他陷入了逻辑上的困境陷入了逻辑上的困境（2）理发师悖论与集合论的关系：）理发师悖论与集合论的关系：我们知道集合的元素具有我们知道集合的元素具有“确定性确定性”，即一个对，即一个对象或者是集合象或者是集合A A的元素或者不是集合的元素或者不是集合A A的元素，而两者的元素，而两者必居且只居其一而此悖论恰恰说明理发师这个对象必居且只居其一而此悖论恰恰说明理发师这个对象在确定性上出了毛病在确定性上出了毛病存在性命题存在性命题重要结论重要结论ABABB ABA UUBA 痧()UAB ()UABU (1)AAA (2) ABAAB (4)六
22、个关系式的等价性六个关系式的等价性 (A, BU)(3)()()AABAAAB 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点(5) 易混的解集易混的解集x| y=f(x)定义域定义域值域值域点集点集方程的解集方程的解集不等式的解集不等式的解集y| y=f(x)(x,y)| y=f(x)x| f(x)=0 x| f(x)0忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点例例1.已知已知:=x|y=x2- -2x+1,B=y|y=x2- -2x+1, C=x|x2- -2x+1=0, D=x|(x- -1)21,B2,1,1,2，则下，则下列结论中正确的是列结论中正确的是( ) AAB2，1 B( RA)B(
23、，0) CAB(0, ) D( RA)B2，1D A(0，)， AB1,2,ABx|x2,1 或或 x0, ( RA)Bx|x0或或 x1, 2， ( RA)B2，1，故选，故选 D.解析例例2.设设A=x|x4, x- -2, B=x|axa +3,(1)若若AB= ,求实数求实数a的取值范围的取值范围;(2)若若AB ,求实数求实数a的取值范围的取值范围;- -242,:(1)34aa 解解2,1aa 21.a 21.a (2)2,34,aa 或或2,1.aa 或或21.aa 或或所以实数所以实数a的取值范围的取值范围所以实数所以实数a的取值范围的取值范围例例2.设设A=x|x4, x-
24、-2, B=x|axa +3,(3)若若AB=B,求实数求实数a的取值范围的取值范围;(4)若若 ,求实数求实数a的取值范围的取值范围.RR()ABA 2,34aa 324,aa 或或 54.aa 即即或或解：解：(3)AB=B,B A.5,4.aa 或或R.BAR 24,Ax RR(4)(),ABA 21.a - -24- -24所以实数所以实数a的取值范围的取值范围所以实数所以实数a的取值范围的取值范围例例3.解析解析34,20,aaa 只只需需42.3a 即即所以实数的取值范围是所以实数的取值范围是4( 2,).3 【1】 A x|2x5, Bx|m1x2m1,BA,则则m的取值范围是的
25、取值范围是_.,121,2.Bmmm 解析：若即B 若，A 成立.m即的取值范围是3.m3m 25A m+12m- 1Bm|m2m|2m3=m|m3.121,21,521mmmm由题意得23.m得 【2】已知已知P =x|x2 mx 6m2=0 , Q=x|mx1=0，且，且 则由实数则由实数 a 组成的集组成的集合是合是_.Q, 由由 , 得得解析：解析：(2)当当m0 时时, (1) 当当m=0时时,此时有此时有 Q,P 0 .P Q.PQP1,Pm 33,0,33 2211()60,mmmm 即即 是方程是方程 x2 mx 6m2 = 0 的根的根,42610.mm 即即21.3m 3.
26、3m 1m1Q,m 例例4 4 对任意两个正整数对任意两个正整数m、n, ,定义某种运算定义某种运算 : : 则集合则集合P= (a, b)|a b=8，a , bN* * 中元素的个数为中元素的个数为( ) A. 5 B. 7 C. 9 D. 11mn ,奇奇偶偶性性不不同同与与奇奇偶偶性性相相同同与与nmmnnmnmC解析解析 当当a, b奇偶性相同时奇偶性相同时, a b=a+b=1+7=2+6=3+5 =4+4. 当当 a, b奇偶性不同时，奇偶性不同时， a b=ab=18, 由于由于(a, b)有序，有序，故共有元素故共有元素42+1=9个个. 补集思想补集思想:对于一些比较复杂、
27、比较抽象，对于一些比较复杂、比较抽象，条件和结论不明确，难以从正面入手的数学问条件和结论不明确，难以从正面入手的数学问题，在解题时要调整思路，从问题的反面入手，题，在解题时要调整思路，从问题的反面入手，探求已知与未知的关系，能起到化难为易，化探求已知与未知的关系，能起到化难为易，化隐为显的作用，从而解决问题这种隐为显的作用，从而解决问题这种“正难则正难则反反”策略运用的是补集思想，即已知全集策略运用的是补集思想，即已知全集U求求子集子集A，若直接求，若直接求A困难困难,可先求可先求 ,再由再由 求求A.(),UUAA UA例例5.已知下列三个方程已知下列三个方程24430;xaxa 22(1)
28、0;xaxa2220.xaxa 个方程有实数根个方程有实数根.求求a的取值范围的取值范围.证明证明: : 假设三个方程均无实数根假设三个方程均无实数根, ,则有则有2222(4 )4( 43)0,(1)40,(2 )4( 2 )0.aaaaaa 或或31,2211,320.aaaa 31.2a 所以所以,至少有一个方程有实数根时至少有一个方程有实数根时, a的取值的取值范围为范围为或或3,1.2aa至少有一至少有一 R33|1|1 ,22aaa aa 在在 中中的的补集集为或或，5M 或或. .519253aa23530,3aMa 解解：，或或59.3aa125.a 即实数即实数a的取值范围是
29、的取值范围是，51)(9 25).3 ，25505aa 【2】已知已知Ax|x2xa0，Bx|x2x2a10，Cx|ax4a9，且，且A、B、C中至少有一个不是空集，求中至少有一个不是空集，求a的取值范围的取值范围2022-7-1268 ： 【1】(09湖北)已知P=a|a=(1,0)+m(0,1),mR,Q=b|b=(1,1)+n(-1,1), n R是两个向量集合,则PQ= ( )A A. (1, 1) B. (- -1, 1) C. (1, 0) D. (0, 1)解：解：P=(1,m)，Q=(1- -n,1+n), 11,1,nmn 1,0.mn (1,1).ab (1,1).PQ 由
30、交集的含义由交集的含义,得得 【1】(09湖北)已知P=a|a=(1,0)+m(0,1),mR,Q=b|b=(1,1)+n(-1,1), n R是两个向量集合,则PQ= ( )A A. (1, 1) B. (- -1, 1) C. (1, 0) D. (0, 1)解：利用向量的几何意义：解：利用向量的几何意义： P, Q所对应的点的集合是所对应的点的集合是 (1,1).PQ P=(x, y)|x=1, Q=(x, y)|x+y=2.512578 ,a a a a a1 12 13 14 121,22,28,28,5 16 17 18 1216,232,264,2128,14 1664 128211,且123451,2,5,7,8.iiiii 解题是一种实践性技能解题是一种实践性技能, ,就象游泳、就象游泳、滑雪、弹钢琴一样，只能通过模仿和实滑雪、弹钢琴一样，只能通过模仿和实践来学到它！践来学到它！ 波利亚波利亚