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1、中考数学压轴题突破二次函数与面积1如图，抛物线与x轴交于，与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，若点是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，试求四边形面积的最大值；(3)如图2，点是第一象限内抛物线上的一点，连接，点是线段上的任意一点（不与点，重合），过点分别作交于点，交于点N判断四边形的形状，并证明你的结论；四边形是否能成为正方形？若能，请直接写出点的坐标；若不能，请说明理由2如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，若点是直线上方的抛物线上一动点，过点作轴的平行线交直线于点，作于点，当点的横坐标为时，求的面积；（3
2、）若点为抛物线上的一个动点，以点为圆心，为半径作，当在运动过程中与直线相切时，求点的坐标（请直接写出答案）3在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(2，0)，B(0，2)，C(1，0)三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线yx上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标4直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点.（1）求这个二次函数的表达式；（2）若是直线上方抛物线上一点；当的面积最大时，求点
3、的坐标；在的条件下，点关于抛物线对称轴的对称点为，在直线上是否存在点，使得直线与直线的夹角是的两倍，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由.5如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别，以为顶点的抛物线过点动点从点出发，以每秒个单位的速度沿线段向点匀速运动，过点作轴，交对角线于点设点运动的时间为（秒）（1）求抛物线的解析式；（2）若分的面积为的两部分，求的值；（3）若动点从出发的同时，点从出发，以每秒1个单位的速度沿线段向点匀速运动，点为线段上一点若以，为顶点的四边形为菱形，求的值6抛物线的对称轴为直线，该抛物线与轴的两个交点分别为和，与轴的交点为，其中（1）写出点的坐标_；（2
4、）若抛物线上存在一点，使得的面积是的面积的倍，求点的坐标；（3）点是线段上一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段长度的最大值 7如图，直线yx+m与抛物线yax2+bx都经过点A（6，0），点B，过B作BH垂直x轴于H，OA3OH直线OC与抛物线AB段交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）当点C的纵坐标是时，求直线OC与直线AB的交点D的坐标；（3）在（2）的条件下将OBH沿BA方向平移到MPN，顶点P始终在线段AB上，求MPN与OAC公共部分面积的最大值8如图，抛物线与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点.抛物线上有一点，且.（1）求抛物线的解析式和顶点坐标.（2）当点位于轴下方时，
5、求面积的最大值.（3）设此抛物线在点与点之间部分（含点和点）最高点与最低点的纵坐标之差为.求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；当时，点的坐标是_.9已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点.（1）求此抛物线的表达式及顶点的坐标；（2）若点是轴上方抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连结.设点的横坐标为.试用含的代数式表示的长；直线能否把分成面积之比为1：2的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由.（3）如图2，若点也在此抛物线上，问在轴上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.10抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点.已知
6、，抛物线的对称轴交轴于点.（1）求出的值；（2）如图1，连接，点是线段下方抛物线上的动点，连接.点分别在轴，对称轴上，且轴.连接.当的面积最大时，请求出点的坐标及此时的最小值；（3）如图2，连接，把按照直线对折，对折后的三角形记为，把沿着直线的方向平行移动，移动后三角形的记为，连接，在移动过程中，是否存在为等腰三角形的情形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.11在平面直角坐标系中，已知抛物线.（1）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“方点”.试求拋物线的“方点”的坐标；（2）如图，若将该抛物线向左平移1个单位长度，新抛物线与轴相交于、两点（在左侧），与轴相交
7、于点，连接.若点是直线上方抛物线上的一点，求的面积的最大值；（3）第（2）问中平移后的抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由.12已知二次函数（、为常数）的图像经过点和点.（1）求、的值；（2）如图1，点在抛物线上，点是轴上的一个动点，过点平行于轴的直线平分，求点的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点是抛物线上的一动点，以为圆心、为半径的圆与轴相交于、两点，若的面积为，请直接写出点的坐标.13如图，直线与轴、轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线与轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线。点G是抛物线位于直线下方
8、的任意一点，连接PB、GB、GC、AC .（1）求该抛物线的解析式；（2）求GBC面积的最大值；（3）连接AC，在轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。14如图所示，已知二次函数y=-x2+bx+c的图像与x轴的交点为点A(3，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，连接AC（1）求这个二次函数的解析式；（2）在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得ACD的面积最大?若存在，求出点D的坐标及ACD面积的最大值，若不存在，请说明理由.（3）在抛物线上是否存在点E，使得ACE是以AC为直角边的直角三角形如果存在，请
9、直接写出点E的坐标即可；如果不存在，请说明理由.15在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx4经过点A（8，0），对称轴是直线x3，点B是抛物线与y轴交点，点M、N同时从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度分别沿x轴的负半轴、y的负半轴方向匀速运动，（当点N到达点B时，点M、N同时停止运动）过点M作x轴的垂线，交直线AB于点C，连接CN、MN，并作CMN关于直线MC的对称图形，得到CMD设点N运动的时间为t秒，CMD与AOB重叠部分的面积为S（1）求抛物线的函数表达式；（2）当0t2时，求S与t的函数关系式.直接写出当t_时，四边形CDMN为正方形.（3）当点D落在边AB上时，过点C作直线EF
10、交抛物线于点E，交x轴于点F，连接EB，当SCBE：SACF1：3时，直接写出点E的坐标为_16如图，直线yx+2与抛物线yax2+bx+6相交于A(，)和B(4，m)，直线AB交x轴于点E，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PCx轴于点D，交抛物线于点C(1)求抛物线的解析式.(2)连结AC、BC，是否存在一点P，使ABC的面积等于14？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.(3)若PAC与PDE相似，求点P的坐标.17如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，抛物线经过A，B与点.（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不
11、与点A，B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为D，交线段AB于点E.设点P的横坐标为m.求的面积y关于m的函数关系式，当m为何值时，y有最大值，最大值是多少？若点E是垂线段PD的三等分点，求点P的坐标.18如图一，已知抛物线yax2+bx+c的图象经过点A（0，3）、B（1，0），其对称轴为直线l：x2，过点A作ACx轴交抛物线于点C，AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；在四边形AOPE面积最大时，在线段OE上取点M，在y轴上取
12、点N，当PM+MN+AN取最小值时，求出此时N点的坐标（3）如图二，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由试卷第11页，共11页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司参考答案：1(1)(2)四边形面积的最大值为(3)矩形，证明见解析；能，【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）直线的解析式为，过点作轴的垂线，交于点，点是第一象限内抛物线上的一个动点，设，则,得出，根据得出关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求解；（3）先证明四边形是平行四边形，继而
13、求得点的坐标，进而证明是直角三角形，且，即可得出结论；过点作于点，则，根据，设，则,设正方形的边长为，则，得出，在中，建立方程，解方程得出，进而即可求解【解析】（1）解：，令，解得，抛物线与轴交于，抛物线与x轴交于， 设抛物线解析式为，将点代入得，解得：，抛物线解析式为，（2）解：，设直线的解析式为，解得：，直线的解析式为，如图所示，过点作轴的垂线，交于点，点是第一象限内抛物线上的一个动点，设，则,，当时，四边形面积的最大值为，（3），四边形是平行四边形，点是第一象限内抛物线上的一点， 点在上，联立，解得：（舍去），,，是直角三角形，且，四边形是矩形；当四边形是正方形时，如图所示，过点作于点，
14、则，,，则，,，设，则,设正方形的边长为，则，即，解得： ，在中，即，解得：或（舍去），【点评】本题考查了二次函数综合运用，正方形的性质，矩形的判定，二次函数的性质，勾股定理的逆定理，正弦的定义，综合运用以上知识是解题的关键2（1）；（2）；（3）点为或【分析】根据，求出B、C的坐标，再代入求出解析式；根据题意可证PEDBOC,再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出PED的面积；根据二次函数图象的性质及切线性质构造相似三角形来求出点M的坐标.点M在直线BC的上方或在直线BC的下方两种情况来讨论【解析】解：（1），点为，点为代入得：，（2）当时，点坐标为，点坐标为，点坐标为直线解析式为，平
15、行于轴，点坐标为平行于轴，与的面积之比是对应边与的平方，的面积为，的面积是（3）过点作于点，过点作于点，与直线相切，设点的坐标为如图1，点的坐标为代入直线得解得，点的坐标为或图1如图2，点的坐标为代入直线得方程无解综上，点为或图2【点评】本题考查了了二次函数图象的性质及二次函数的图形问题，（1）用图象上的点求系数；（2）用相似三角形的性质求三角形的面积；（3）构造相似三角形，利用相似三角形的性质来解决问题即可3（1）yx2+x2；（2）Sm22m（2m0），S的最大值为1；（3）点Q坐标为：(2，2)或(1+，1)或(1，1+)或(2，2)【分析】（1）设此抛物线的函数解析式为：yax2+bx
16、+c，将A，B，C三点代入yax2+bx+c，列方程组求出a、b、c的值即可得答案；（2）如图1，过点M作y轴的平行线交AB于点D，M点的横坐标为m，且点M在第三象限的抛物线上，设M点的坐标为（m，m2+m2），2m0，由A、B坐标可求出直线AB的解析式为yx2，则点D的坐标为（m，m2），即可求出MD的长度，进一步求出MAB的面积S关于m的函数关系式，根据二次函数的性质即可求出其最大值；（3）设P（x，x2+x2），分情况讨论，当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQOB，且PQOB，则Q（x，x），可列出关于x的方程，即可求出点Q的坐标；当BO为对角线时，OQBP，A与P应该重合，OP2，
17、四边形PBQO为平行四边形，则BQOP2，Q横坐标为2，即可写出点Q的坐标【解析】（1）设此抛物线的函数解析式为：yax2+bx+c，将A（2，0），B（0，2），C（1，0）三点代入，得，解得：，此函数解析式为：yx2+x2（2）如图，过点M作y轴的平行线交AB于点D，M点的横坐标为m，且点M在第三象限的抛物线上，设M点的坐标为（m，m2+m2），2m0，设直线AB的解析式为ykx2，把A（2，0）代入得，-2k-2=0，解得：k1，直线AB的解析式为yx2，MDy轴，点D的坐标为（m，m2），MDm2（m2+m2）m22m，SMABSMDA+SMDBMDOA2（m22m）m22m（m+1）
18、2+1，2m0，当m1时，SMAB有最大值1，综上所述，S关于m的函数关系式是Sm22m（2m0），S的最大值为1（3）设P（x，x2+x2），如图，当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQOB，且PQOB，Q的横坐标等于P的横坐标，直线的解析式为yx，则Q（x，x），由PQOB，得|x（x2+x2）|2，即|x22x+2|2，当x22x+22时，x10（不合题意，舍去），x22，Q（2，2），当x22x+22时，x11+，x21，Q（1+，1）或（1，1+），如图，当BO为对角线时，OQBP，直线AB的解析式为y=-x-2，直线OQ的解析式为y=-x，A与P重合，OP2，四边形PBQO为平行
19、四边形，BQOP2，点Q的横坐标为2，把x=2代入yx得y=-2，Q（2，2），综上所述，点Q的坐标为（2，2）或（1+，1）或（1，1+）或（2，2）【点评】本题是对二次函数的综合考查，有待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数的最值问题，平行四边形的对边相等的性质，平面直角坐标系中两点间的距离的表示，熟练掌握二次函数的性质把运用分类讨论的思想是解题关键4（1）；（2）；存在，或【分析】（1）先求得点的坐标，再代入求得b、c的值，即可得二次函数的表达式；（2）作交于点,根据二次函数性质可求得.（3）求出，再根据直线与直线的夹角是的两倍，得出线段的关系，用两点间距离公式求出坐标.【解
20、析】解：如图（1），；（2）作交于点.设，则：则时，最大，；（2），则，设，若：则，；若则，作于，与重合，关于对称，【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式，三角形面积的巧妙求法，以及对称点之间的关系.5（1）；（2）的值为或；（3）的值为或【分析】（1）运用待定系数法求解；（2）根据已知，证，可得或；（3）分两种情况：当为菱形的对角线时：由点，的横坐标均为，可得求直线的表达式为，再求N的纵坐标，得，根据菱形性质得，可得在中，得同理，当为菱形的边时：由菱形性质可得，由于，所以结合三角函数可得.【解析】解：（1）因为，矩形的顶点，的坐标分别，所以A的
21、坐标是（1,4），可设函数解析式为： 把代入可得，a=-1所以，即（2）因为PECD所以可得由分的面积为的两部分，可得所以，解得所以，的值为=（秒）或，解得所以，的值为综上所述，的值为或（3）当为菱形的对角线时：由点，的横坐标均为，可得设直线AC的解析式为，把A,C的坐标分别代入可得 解得所以直线的表达式为将点的横坐标代入上式，得即由菱形可得，可得在中，得解得，t2=4（舍）当为菱形的边时：由菱形性质可得，由于，所以因为由，得解得，综上所述，的值为或【点评】考核知识点：相似三角形，二次函数，三角函数.分类讨论，数形结合，运用菱形性质和相似三角形性质或三角函数定义构造方程，再求解是解题关键.6（
22、1）；（2）点的坐标为或；（3）MD长度的最大值为【分析】（1）抛物线的对称轴为x=1，点A坐标为（-1，0），则点B（3，0），即可求解；（2）由SPOC=2SBOC，则x=2OB=6，即可求解；（3）设：点M坐标为（x，x-3），则点D坐标为（x，x2-2x-3），则MD=x-3-x2+2x+3，即可求解【解析】解：（1）抛物线的对称轴为，点坐标为，则点，故：答案为； （2）二次函数表达式为：，即：，解得：，故抛物线的表达式为：， 所以由题意得：，设P（x, ）则所以则， 所以当时，=-21，当时，=45故点的坐标为或；（3）如图所示，将点坐标代入一次函数得表达式得，解得：，故直线的表达式
23、为：， 设：点坐标为，则点坐标为，则，故MN长度的最大值为【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系7（1）y-x2+3x；（2）(4，2)；（3）【分析】（1）先求出直线AB的解析式，求出点B坐标，再将A，B的坐标代入yax2+bx即可；（2）求出直线AC的解析式，再联立直线OC与直线AB的解析式即可；（3）设PM与OC、PA分别交于G、H，PN与OC、OA分别交于K、F，分别求出直线OB，PM，OC的解析式，再分别用含a的代数式表示出H，G，E，F的坐标，最
24、后分情况讨论，可求出MPN与OAC公共部分面积的最大值【解析】解：（1）直线yx+m点A（6，0），6+m0，m6，yABx+6，OA3OH，OH2，在yABx+6中，当x2时，y4，B（2，4），将A（6，0），B（2，4）代入yax2+bx，得，解得，a，b3，抛物线的解析式为y-x2+3x；（2）直线OC与抛物线AB段交于点C，且点C的纵坐标是，x2+3x，解得，x11（舍去），x25，C（5，），设yOCkx，将C（5，）代入，得，k，yOCx，联立，解得，x4，y2，点D的坐标为（4，2）；（3）设直线OB的解析式为yOBmx，点P坐标为（a，a+6），将点B（2，4）代入，得，m2
25、，yOB2x，由平移知，PMOB，设直线PM的解析式为yPM2x+n，将P（a，a+6）代入，得，a+62a+n，n63a，yPM2x+63a，设PM与OC、PA分别交于G、H，PN与OC、OA分别交于K、F，联立，解得，x2a4，ya2，G（2a4，a2），yGa2，在yPM2x+63a中，当y0时，x，E（，0），OE，点P的横坐标为a，K（a，a），F（a，0），OFa，KFa，设MPN与OAC公共部分面积为S，当0a4时，SSOFKSOEG，aa（）（a2），a2+3a3（a3）2+，0，根据二次函数的图象及性质可知，当a3时S有最大值；当4a6时，SSPEFEFPF（aa+3）（a+
26、6），根据二次函数的图象及性质知，当a4时，S有最大值1；MPN与OAC公共部分面积的最大值为【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数交点问题，图形平移，二次函数综合最值，解决本题的关键是正确理解题意，熟练运用待定系数法求函数解析式，熟练掌握函数交点问题的解法步骤，要与方程相结合，对于求图形面积最值问题转化为二次函数最值问题，万熟练掌握二次函数的性质.8（1），顶点坐标为；（2）8；（3）；.【分析】（1）将点C代入表达式即可求出解析式，将表达式转换为顶点式即可写出顶点坐标；（2）根据题目分析可知，当点P位于抛物线顶点时，ABP面积最大，根据解析式求出A、B坐标，从而得到AB长，再利
27、用三角形面积公式计算面积即可；（3）分三种情况：0m1、12时，分别进行计算即可；将h=9代入中的表达式分别计算判断即可.【解析】解：（1）将点代入，得，解得，抛物线的顶点坐标为；（2）令，解得或，当点与抛物线顶点重合时，ABP的面积最大，此时；（3）点C(0，3)关于对称轴x=1对称的点的坐标为(2，3)，P(m，)，当时，当时，当时，,综上所述，；当h=9时，若，此时方程无解，若，解得m=4或m=2（不合题意，舍去），P(4，5).【点评】本题为二次函数综合题，需熟练掌握二次函数表达式求法及二次函数的性质，对于动点问题正确分析出所存在的所有情况是解题关键.9（1），顶点坐标为：；（2）；能
28、，理由见解析，点的坐标为；（3）存在，点Q的坐标为：或.【分析】（1）根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，然后把一般式转化为顶点式即可得出抛物线的顶点坐标；（2）先利用待定系数法求出直线的函数表达式，再设出点D、E的坐标，然后分点D在y轴右侧和y轴左侧利用或列式化简即可；根据题意容易判断：点D在y轴左侧时，不存在这样的点；当点D在y轴右侧时，分或两种情况，设出E、F坐标后，列出方程求解即可；（3）先求得点M、N的坐标，然后连接CM，过点N作NGCM交CM的延长线于点G，即可判断MCN=45，则点C即为符合题意的一个点Q，所以另一种情况的点Q应为过点C、M、N的H与y轴的交点，然后根据圆周角定
29、理的推论、等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出CQ的长，进而可得结果.【解析】解：（1）抛物线与轴交于点，设抛物线的表达式为：，把点代入并求得：，抛物线的表达式为：，即，抛物线的顶点坐标为：；（2）设直线的表达式为：，则，解得：，直线的表达式为：，设，则，当时，当时，综上：，由题意知：当时，不存在这样的点；当时，或，解得（舍去），或，解得（舍去），（舍去），综上，直线能把分成面积之比为1：2的两部分，且点的坐标为；（3）点在抛物线上，连接MC，如图，C（0，6），M（1，6）MCy轴，过点N作NGCM交CM的延长线于点G，N（2，4），CG=NG=2，CNG是等腰直角三角形，MCN=45，则
30、点C即为符合题意的一个点Q，另一种情况的点Q应为过点C、M、N的H与y轴的交点，连接HN，MN=，CM=1，MHN=90，则半径MH=NH=，MCQ=90，MQ是直径，且，OC=6，OQ=3，Q（0，3）；综上，在轴上存在点，使，且点Q的坐标为：或.【点评】本题是二次函数综合题，综合考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、函数图象上点的坐标特征、三角形的面积问题、一元二次方程的求解、圆周角定理及其推论、勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大，属于试卷的压轴题，熟练掌握待定系数法是解（1）题的关键，熟知函数图象上点的坐标特征、正确进行分类是解（2）题的关键，将所求点
31、Q的坐标转化为圆的问题、灵活应用数形结合的思想是解（3）题的关键.10（1）；（2），最小值为；（3）或或或或.【分析】（1）由抛物线的对称性可得到，然后将A、B、C坐标代入抛物线解析式，求出a、b、c的值即可得到抛物线解析式；（2）利用待定系数法求出直线BC解析式，作轴交于点，设，则，表示出PQ的长度，然后得到PBC的面积表达式，根据二次函数最值问题求出P点坐标，再把向左移动1个单位得，连接，易得即为最小值；（3）由题意可知在直线上运动，设，则，分别讨论：，建立方程求出m的值，即可得到的坐标.【解析】解：（1）由抛物线的对称性知，把代入解析式，得解得：抛物线的解析式为.（2）设BC直线解析式
32、为为将代入得，解得直线的解析式为.作轴交于点，如图，设，则，.当时，取得最大值，此时，.把向左移动1个单位得，连接，如图.（3）由题意可知在直线上运动，设，则，当时，解得此时或；当时，解得此时或当时，解得，此时，综上所述的坐标为或或或.【点评】本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，面积最值与线段最值问题，等腰三角形存在性问题，是中考常考的压轴题，难度较大，采用数形结合与分类讨论是解题的关键.11（1）抛物线的方点坐标是，；（2）当时，的面积最大，最大值为；（3）存在，或【分析】(1)由定义得出x=y，直接代入求解即可(2)作辅助线PD平行于y轴，先求出抛物线与直线的解析式，设
33、出点P的坐标，利用点坐标求出PD的长，进而求出面积的二次函数，再利用配方法得出最大值(3)通过抛物线与直线的解析式可求出点B，C的坐标，得出OBC为等腰直角三角形，过点C作交x轴于点M，作交y轴于点N，得出M，N的坐标，得出直线BN、MC的解析式然后解方程组即可.【解析】解：（1）由题意得：解得，抛物线的方点坐标是，.（2）过点作轴的平行线交于点.易得平移后抛物线的表达式为，直线的解析式为.设，则.当时，的面积最大，最大值为.(3)如图所示，过点C作交x轴于点M，作交y轴于点N由已知条件得出点B的坐标为B(3,0)，C的坐标为C(0,3)，COB是等腰直角三角形，可得出M、N的坐标分别为：M(
34、-3,0)，N(0,-3)直线CM的解析式为：y=x+3直线BN的解析式为：y=x-3由此可得出：或解方程组得出：或或【点评】本题是一道关于二次函数的综合题目，解题的关键是根据题意得出抛物线与直线的解析式.12（1），；（2）；（3）或或【分析】(1)直接把两点的坐标代入二次函数解析式，得出关于b，c的二元一次方程组求解即可(2) 过点作，过点作.证明CMD相似于AME，再根据对应线段成比例求解即可(3)根据题意设点P的纵坐标为y，首先根据三角形面积得出EF与y的关系，再利用勾股定理得出EF与y的关系，从而得出y的值，再代入抛物线解析式求出x的值，得出点坐标.【解析】解：(1)把和代入得：解方
35、程组得出：所以，(2)由已知条件得出C点坐标为，设.过点作，过点作.两个直角三角形的三个角对应相等，解得：(3)设点P的纵坐标为y,由题意得出，MP与PE都为圆的半径，MP=PE整理得出，y=1,当y=1时有，解得，；当y=-1时有，此时，x=0综上所述得出P的坐标为：或或【点评】本题是一道关于二次函数的综合题目，考查的知识点有二元一次方程组的求解、相似三角形的性质等，巧妙利用数形结合是解题的关键.13（1）; （2）当时，面积的取最大值; （3）在x轴上存在两点Q1（0，0），Q2（，0），能使得以点P，B，Q为顶点的三角形与ABC相似【分析】（1）根据二次函数的对称性，已知对称轴的解析式以
36、及B点的坐标，即可求出A的坐标，利用抛物线过A、B、C三点，可用待定系数法来求函数的解析式；（2）过作轴交于点.设点,则点，列出关于GBC面积的解析式，利用二次函数的性质求解即可；（3）本题要先根据抛物线的解析式求出顶点P的坐标，然后求出BP的长，进而分三情况进行讨论：当，PBQ=ABC=45时；当，QBP=ABC=45时；当Q在B点右侧，即可得出PBQBAC，因此此种情况是不成立的，综上所述即可得出符合条件的Q的坐标【解析】（1）直线yx+3与x轴相交于点B、点C，当y0时，x3；当x0时，y3.点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），又抛物线过x轴上的A，B两点，且对称轴为x2，点
37、A的坐标为（1，0）又抛物线yax2+bx+c过点A（1，0），B（3，0），C（0，3）， 解得：，该抛物线的解析式为：； （2）如图，过作轴交于点.设点,则点， 当时，面积的取最大值. （3）如图， 由yx24x+3（x2）21，得顶点P（2，1），设抛物线的对称轴交x轴于点M，在RtPBM中，PMMB1，PBM45，PB由点B（3，0），C（0，3）易得OBOC3，在等腰直角三角形OBC中，ABC45，由勾股定理，得BC 假设在x轴上存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与ABC相似当，PBQABC45时，PBQABC即，解得：BQ3，又BO3，点Q与点O重合，Q1的坐标是（0，0）
38、当，QBPABC45时，QBPABC即，解得：QBOB3，OQOBQB3，Q2的坐标是（，0）当Q在B点右侧，则PBQ135，BAC135，故PBQBAC则点Q不可能在B点右侧的x轴上，综上所述，在x轴上存在两点Q1（0，0），Q2（，0），能使得以点P，B，Q为顶点的三角形与ABC相似【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、函数三角形相似等知识，也考查了综合运用数学知识、分析问题、解决问题的能力以及数形结合、分类讨论的思想，正确运用分类讨论是解题关键14（1）y=-x2+2x+3；（2）抛物线上存在点D，使得ACD的面积最大
39、，此时点D的坐标为( ， )且ACD面积的最大值 ；（3）在抛物线上存在点E，使得ACE是以AC为直角边的直角三角形点E的坐标是(1，4)或(-2，-5).【分析】(1)因为点A(3，0)，点C(0,3)在抛物线y=x2+bx+c上，可代入确定b、c的值；(2)过点D作DHx轴，设D(t，-t2+2t+3)，先利用图象上点的特征表示出SACD=S梯形OCDH+SAHD-SAOC=，再利用顶点坐标求最值即可；(3)分两种情况讨论：过点A作AE1AC，交抛物线于点E1，交y轴于点F，连接E1C，求出点F的坐标，再求直线AE的解析式为yx3，再与二次函数的解析式联立方程组求解即可；过点C作CECA，
40、交抛物线于点E2、交x轴于点M，连接AE2，求出直线CM的解析式为yx3，再与二次函数的解析式联立方程组求解即可.【解析】（1）解：二次函数y=-x2+bx+c与x轴的交点为点A(3，0)与y轴交于点C(0，3)解之得 这个二次函数的解析式为y=-x2+2x+3（2）解：如图，设D(t，-t2+2t+3)，过点D作DHx轴，垂足为H，则SACD=S梯形OCDH+SAHD-SAOC= (-t2+2t+3+3)+ (3-t)(-t2+2t+3)- 33= = 0当t= 时，ACD的面积有最大值 此时-t2+2t+3= 抛物线上存在点D，使得ACD的面积最大，此时点D的坐标为( ， )且ACD面积的
41、最大值 （3）在抛物线上存在点E，使得ACE是以AC为直角边的直角三角形点E的坐标是(1，4)或(-2，-5). 理由如下：有两种情况：如图， 过点A作AE1AC，交抛物线于点E1、交y轴于点F，连接E1C COAO3， CAO45， FAO45，AOOF3 点F的坐标为（0，3）设直线AE的解析式为ykxb， 将（0，3），（3，0）代入ykxb得： 解得 直线AE的解析式为yx3， 由 解得或 点E1的坐标为（2，5）如图，过点C作CECA，交抛物线于点E2、交x轴于点M，连接AE2 CAO45， CMA45，OMOC3 点M的坐标为（3，0）,设直线CM的解析式为ykxb， 将（0，3）
42、，（-3，0）代入ykxb得： 解得直线CM的解析式为yx3 由 解得：或 点E2的坐标为（1，4） 综上，在抛物线上存在点E1（2，5）、E2（1，4），使ACE1、ACE2是以AC为直角边的直角三角形【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值问题，二次函数中的直角三角形问题.观察图象、求出特殊点坐标是解题的关键15（1）yx2+x4；（2）St2+2t；（3）（4，6）或（2，6）【分析】（1）抛物线yax2+bx4经过点A（8，0），对称轴是直线x3，则抛物线与x轴另外一个交点坐标为：（2，0），则抛物线的表达式为：ya（x+8）（x2）a（x2+6x16），根据x=0时y=-4可得16a4，解得：a，即可求解；（2）根据OMONt可得AM8t，由MCy轴，根据平行线分线段成比例定理可得，可得MC（8t），