《高中数学选择性必修二 5.3.2.2函数的最大(小)值 学案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学选择性必修二 5.3.2.2函数的最大(小)值 学案.pdf（21页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、5.3.2.2函 数 的 最 大(小)值 共 同 基 础 系 统 落 实 课 前 自 主 学 习，基 稳 才 能 楼 高 GONGTONGJICHUXITONGLUOSHI要 点 一 函 数 y=/(x)在 闭 区 间 口，切 上 取 得 最 值 的 条 件 如 果 在 区 间“，6 上 函 数 y=/(x)的 图 象 是 一 条 连 续 不 读 的 曲 线，那 么 它 必 有 最 大 值 与 最 小 值，并 且 函 数 的 最 值 必 在 极 值 点 或 区 间 端 点 处 取 得.【笔 记 小 结】(1)函 数 的 最 值 是 一 个 整 体 性 的 概 念.函 数 极 值 是 在 局 部
2、 区 间 上 对 函 数 值 的 比 较，具 有 相 对 性；而 函 数 的 最 值 则 是 表 示 函 数 在 整 个 定 义 域 上 的 情 况，是 对 整 个 区 间 上 的 函 数 值 的 比 较.(2)函 数 在 一 个 闭 区 间 上 若 存 在 最 大 值 或 最 小 值，则 最 大 值 或 最 小 值 只 能 各 有 一 个，具 有 唯 一 性，而 极 大 值 和 极 小 值 可 能 多 于 一 个，也 可 能 没 有，例 如：常 数 函 数 就 既 没 有 极 大 值 也 没 有 极 小 值.(3)极 值 只 能 在 区 间 内 取 得，最 值 则 可 以 在 端 点 处 取
3、 得；有 极 值 的 不 一 定 有 最 值，有 最 值 的 也 未 必 有 极 值；极 值 有 可 能 成 为 最 值，最 值 只 要 不 在 端 点 处 取 必 定 是 极 值.要 点 二 求 函 数 y=/(x)在 口，6 上 的 最 大 值 与 最 小 值 求 函 数 y=/(x)在 口，可 上 的 最 大 值 与 最 小 值 的 步 骤 如 下：(1)求 函 数 y=/(x)在(,份 内 的 极 值；(2)将 函 数 y=/(x)的 各 极 值 与 端 点 处 的 函 数 值 大，6)比 较，其 中 最 大 的 一 个 是 最 大 值，最 小 的 一 个 是 最 小 值.【笔 记 小
4、 结】(1)求 函 数 的 最 值，显 然 求 极 值 是 关 键 的 一 环.但 仅 仅 是 求 最 值，可 用 下 面 简 化 的 方 法 求 得.求 出 导 数 为 零 的 点.比 较 这 些 点 与 端 点 处 函 数 值 的 大 小，就 可 求 出 函 数 的 最 大 值 和 最 小 值.(2)若 函 数 在 闭 区 间 a,b 上 连 续 单 调，则 最 大、最 小 值 在 端 点 处 取 得.(3)若 连 续 函 数 f(x)在 开 区 间(a,b)内 只 有 一 个 极 值 点 时，这 个 点 的 函 数 值 必 然 是 最 值.例 如 在(一 8,十 8)上 函 数 只 有
5、一 个 极 值，那 么 这 个 极 值 也 就 是 最 值.【基 础 自 测】1.判 断 正 误(正 确 的 画“，错 误 的 画“X”)(1)函 数/(x)在 区 间 a,0 上 的 最 大 值 和 最 小 值，一 定 在 区 间 端 点 处 取 得.()(2)开 区 间 上 的 单 调 连 续 函 数 无 最 值.()(3)在 定 义 域 内，若 函 数 有 最 值 与 极 值，则 极 大(小)值 就 是 最 大(小)值.()(4)若 函 数 在 给 定 区 间 上 有 最 值，则 最 大(小)值 最 多 有 一 个；若 有 极 值，则 可 有 多 个.()【答 案】(1)X(2)V(3)
6、X(4)V2.函 数./(x)=4xX，在 x d 1,2 上 的 最 大 值、最 小 值 分 别 是()A./与/(1)B./与/(2)C.八 一 1)与 寅 2)D 八 2)与 负 一 1)【答 案】B【解 析】/(x)=4-4x3,/(x)0,即 44x30=x 1，/(x)x 1.；/(x)=4x/在 x=l 时 取 得 极 大 值，且 1)=3,而 人-1)=5,2)=8,.7Xx)=4x%4在-1,2 上 的 最 大 值 为/(I),最 小 值 为 人 2),故 选 B.3.函 数/(x)=2xcosx 在(一 8,H-co)X()A.无 最 值 B.有 极 值C.有 最 大 值
7、D.有 最 小 值【答 案】A【解 析】/(x)=2+sinx0恒 成 立，所 以 兀 r)在(一 8,十 8)上 单 调 递 增，无 极 值，也 无 最 值.4.已 知 函 数,/(x)=sinx 小 若 1 x)在 0,河 上 的 最 大 值 为 一 1,则 实 数。的 值 是.【答 案】1【解 析】/(x)=cosx-20函 数/(x)在 0,句 上 单 调 递 减.y(x)max=7(0)=a=1 故 a=l.题 型 一 求 函 数 的 最 值【例 1】求 下 列 函 数 的 最 值.危)=2x3 12x,xe-l,3:(2)/(x)=；x+sinx,xG 0,2it.【解 析】(l)
8、/(x)=2x3，：.f(x)=6x2-12=6(x+啦)(x-g)，令/(x)=o 解 得 x=，或 x=q5.当 X 变 化 时，/(X)与 人 X)的 变 化 情 况 如 下 表:(-8,-2)一 也(一 啦，啦)旭+8)(X)+0 0+0 Z极 大 值 极 小 值 Z因 为 人-1)=10,3)=18,代 加 一 8小,所 以 当 x=m 时，/(x)取 得 最 小 值 一 队 位；当 x=3 时，/)取 得 最 大 值 18.(2)f(x)=:+cosx,令，(x)=0,2 4又 欠 目 0,2兀,解 得 x=铲 或 X=17t.当 x 变 化 时，f(x),Hx)的 变 化 情 况
9、 如 下 表 所 示:X 0(0,2铲 r2 4 01铲，列 4铲 次,2n2兀 f(X)+00+Ax)0 Z极 大 值 心 近 3 2极 小 值 2 _ 曲 3兀 2Z 7 1.当 x=0 时，兀 0有 最 小 值.火 0)=0；当 x2it时，危)看 最 大 值/(2兀)=兀【方 法 归 纳】导 数 法 求 函 数 最 值(1)求/(x),令，(x)=0,求 出 在 5，6)内 使 导 数 为 0 的 点，同 时 还 要 找 出 导 数 不 存 在 的 点.(2)比 较 三 类 点 处 的 函 数 值：导 数 不 存 在 的 点，导 数 为 0 的 点 及 区 间 端 点 的 函 数 值，
10、其 中 最 大 者 便 是.危)在 口,切 上 的 最 大 值，最 小 者 便 是 次 x)在 a,6 上 的 最 小 值.【跟 踪 训 练 1】(1)函 数 7(x)=x33/9x+6在 区 间 4,4 上 的 最 大 值 为()A.11 B.-70C.-14 D.-21【答 案】A【解 析】(1)函 数 兀 0=/3x29x+6的 导 数 为 f(x)=3x26x9,令 f(x)=0 得 x 1 或 x=3,由 又-4)=-70；X-l)=ll;人 3)=21；X4)=-14；所 以 函 数/(x)=x3-3x29x+6在 区 间-4,4 上 的 最 大 值 为 11.(2)函 数 y=x
11、lnx的 最 小 值 为()A.e 1 B.eC.e2 D.y【答 案】A【解 析】(2)因 为 y=xlnx,定 义 域 是(0,+),所 以 y=l+lnx,令 0,解 得：令 y 0,解 得:0 x0时，/任)在 0,a)上 单 调 递 减，在(，+8)上 单 调 递 增，所 以/a)min=/(a)=一 当。=0 时，/a)=3/20,外)在 0,+8)上 单 调 递 增，所 以 外)min=/(0)=0.当。0时，7(X)min=/；当 4=0 时，_/(X)min=0；当。0”这 一 条 件，求 函 数 段)在 一,24 上 的 最 值.【解 析】.1(x)=(3x+a)(xa)(
12、a0),令/(x)=0,得 xi=2X2a.所 以)在 一。，一 哥 上 单 调 递 增，在(一/，上 单 调 递 减，在 口,20 上 单 调 递 增.所 以 _)=_/,7(一 京)=最 严 3,火。)=一/，2”)=2凉，所 以 兀 0 皿=/(2。)=2。3,a【方 法 归 纳】(1)含 参 数 的 函 数 最 值 问 题 的 两 类 情 况 能 根 据 条 件 确 定 出 参 数，从 而 化 为 不 含 参 数 函 数 的 最 值 问 题.对 于 不 能 求 出 参 数 值 的 问 题，则 要 对 参 数 进 行 讨 论，其 实 质 是 讨 论 导 函 数 大 于 0,等 于 0,小
13、 于 0 三 种 情 况.若 导 函 数 恒 不 等 于 0,则 函 数 在 已 知 区 间 上 是 单 调 函 数，最 值 在 端 点 处 取 得；若 导 函 数 可 能 等 于 0,则 求 出 极 值 点 后 求 极 值，再 与 端 点 值 比 较 后 确 定 最 值.(2)已 知 函 数 最 值 求 参 数 值(范 围)的 思 路 已 知 函 数 在 某 区 间 上 的 最 值 求 参 数 的 值(范 围)是 求 函 数 最 值 的 逆 向 思 维，一 般 先 求 导 数，利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 及 极 值 点，用 参 数 表 示 出 最 值 后 求 参 数 的
14、值 或 范 围.【跟 踪 训 练 2】已 知 函 数 a小 一 反 一 1,其 中 a,6SR,e=2.718 28为 自 然 对 数 的 底 数.设 g(x)是 函 数 7(x)的 导 函 数.(1)求 函 数 g(x)在 区 间 0,1 上 的 最 小 值.(2)当 6=0 时，若 函 数 g(x)在 区 间 0,1 上 的 最 小 值 为 0,求。的 值.【解 析】由/(x)=eA-ax2 1,有 g(x)=_f()=厘 一 2axb.所 以 g(x)=82a.因 此，当 x W 0,l 时,g(x)e l-2fl,e-2a.当“w g 时，g(x)0,所 以 g(x)在 0,1 上 单
15、 调 递 增，因 此 g(x)在 0,1 上 的 最 小 值 是 g(0)=lb；当 心|时，g(x)W0,所 以 g(x)在 0,1 上 单 调 递 减,因 此 g(x)在 0,1 上 的 最 小 值 是 g(l)=e2a6；1 e当 于“.综 上 所 述，当 时，g(x)在 0,1 上 的 最 小 值 是 米 0)=16；当 时，g(x)在 0,1 上 的 最 小 值 是 g(ln(2a)=2a2aln(2a)6；当 a 2|时，奴 x)在 0,1 上 的 最 小 值 是 g(l)=e-2a-b.(2)当 6=0 时，由(1)知，若 a W；,则 g(X)min=g(0)=l,不 符 合
16、题 意,e若 2+加.(1)若 求 函 数 J(x)的 单 调 区 间；(2)若 关 于 x 的 不 等 式 外)/一 1在 区 间 1,2 上 恒 成 立，求 机 的 取 值 范 围.【解 析】(1)因 为 所 以 m=l,则/(x)=(x1)3+1=x33x2+3x,而 f(x)=3N6x+3=3(x1)220 恒 成 立,所 以 函 数 段)的 单 调 递 增 区 间 为(一 8,+8).(2)不 等 式 段)/一 1在 区 间 1,2 上 恒 成 立,即 不 等 式 3 N 3尤 一 w W O 在 区 间 1,2 上 恒 成 立，即 不 等 式 加 2 3/-3%在 区 间 1,2
17、上 恒 成 立,即 加 不 小 于 3x2-3x在 区 间 1,2 上 的 最 大 值.因 为 x G l,2 时，3x23x=3(xT)21 e 0,6,所 以 机 的 取 值 范 围 是 6,+8).【变 式 探 究 2】本 例(2)中 的 条 件“关 于 x 的 不 等 式 段)/一 1在 区 间 口,2 上 恒 成 立”改 为“关 于 x 的 不 等 式 Hx)2x31在 区 间 1,2 上 有 解”，则 实 数，的 取 值 范 围 又 如 何？【解 析】不 等 式 x)/一 i在 区 间 口,2 上 有 解，即 不 等 式 3x2-3xm W O 在 区 间 1,2 上 有 解，即
18、不 等 式 加 2 3/一 3苫 在 区 间 1,2 上 有 解，即 m 不 小 于 3/一 3 在 区 间 1,2 上 的 最 小 值.因 为 x G l,2 时，3x2)21 e 0,6,所 以 机 的 取 值 范 围 是 O,+8).【方 法 归 纳】有 关 恒 成 立 问 题，一 般 是 转 化 为 求 函 数 的 最 值 问 题.求 解 时 要 确 定 这 个 函 数，看 哪 一 个 变 量 的 范 围 已 知，即 函 数 是 以 已 知 范 围 的 变 量 为 自 变 量 的 函 数.一 般 地，2N/(X)恒 成 立 O 2 2/(X)max；2W/(X)恒 成 立【跟 踪 训
19、练 3】已 知 函 数 人 工)=0/111+6/-c(x0)在 x=l 处 取 得 极 值 一 3一 c,其 中 a,b,c 为 常 数.若 对 任 意 x0,不 等 式 7(x)2 2c2恒 成 立，求 c 的 取 值 范 围.【解 析】由 题 意 知 7(1)=-3c因 此 6c=-3c,从 而 b=-3.对 7(x)求 导，得/(x)=4ax3lnx+ax4+46x3=x3(4alnx+a+4b).由 题 意，知/(1)=0,得 a+4 b=0,解 得 a=12,从 而/(x)=48x3 In x(x0).令，(x)=0,解 得 x=l.当 oxi时，/(x)l时，f(x)0,此 时/
20、(x)为 增 函 数.所 以/(x)在 x=l 处 取 得 极 小 值 犬 1)=-3一 c,并 且 此 极 小 值 也 是 最 小 值.所 以 要 使 火 x)一 2c2(x0)恒 成 立，只 需 一 3一。与 一 2c2即 可.3整 理 得 2c2c-3 2 0,解 得 或 cW 1.所 以 c 的 取 值 范 围 为(一 8,1 U 1,+8).易 错 辨 析 混 淆 极 值 与 最 值 致 错 2【例 4】已 知 函 数 7(x)=x3以 2+反+5,在 X=-2 和 处 取 得 极 值.(1)求 函 数 Xx)的 解 析 式.求 函 数/(x)在-4,1 上 的 最 值.2【解 析】
21、(1)因 为 ar2+6x+5,所 以，(x)=3x22ax+h,因 为 在 x=-2 和 x=处 取 得 极 值，(一 2)=。，=2,所 以 彳，解 得 L,f R=0,b=-4.所 以 加)=如+2/4x+5.2(2)因 为，(x)=3x2+4x4,所 以 由/(x)=0,解 得=2 或 所 以./)在-4,2)上 单 调 递 增，在(-2,号 上 单 调 递 减，在 俘，1)上 单 调 递 增.因 为/(-4)=-1 1,人-2)=1 3,后)=居，负 1)=4.所 以 式 X)m a x=A-2)=13,Xx)min=X-4)=-l l.一、单 选 题 1.已 知,x2,x,(.xl
22、x2 0,构 造 函 数 双 不)=2-2+鼻=e+0 七 0,利 用 导 数 即 可 求 解.【解 析】解：显 然/(0)=0,即*2=0，设 f(%)=0,则 f(-x0)=-Xo(e+1)+/M(ef-1)=e-/(1+e*)+根(1 一 泊)=-&/($)=0所 以 三=一%0,所 以 g(X3)=e*-2+七=&+x3,x3 0,因 为 g(X3)=-e f+10恒 成 立，所 以 y=g($)在(。,+8)上 单 调 递 增，所 以 g(F)g(o)=i，故 选：A.2.已 知 函 数 f(x)=cosxsin2x,下 列 结 论 中 正 确 的 个 数 是()y=/(x)的 图
23、象 关 于(万,0)中 心 对 称；y=f(x)的 图 象 关 于 x=9 对 称；/(x)的 最 大 值 为 也；(4)/(X)2 2既 是 奇 函 数，又 是 周 期 函 数.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答 案】C【分 析】将 原 函 数 化 为“x)=-2sin3x+2sinx,然 后 结 合 y=sinx的 性 质 以 及 导 数 逐 项 判 断 即 可.【解 析】解：/(%)=2 sin x-cos2 x=2 sin x(l-sin2%)=-2 sin3 x+2 sin x,=sin x,则 g(f)=-2/+2r,re-1,1,对 于：/(2-x)=cos(2-x)si
24、n(4-2x)=-cos xsin lx=-f(x),故/(x)的 图 象 关 于(乃,0)对 称，故 正 确；对 于：/5-x)=cos(;r-x)sin(2;r 2x)=cosxsin2x=/(x),故 y=/(x)的 图 象 关 于 x=对 称，故 正 确；对 于：令 g)=-6/+2=0,得 f=A，因 为 g(-D=g=0,=-竽，g(5)=竽，最 大 值 为 竽(弓，故 错 误；对 于：.f(-x)=cos(-x)sin(-2x)=cosxsin2x=-f(x),故 f(x)是 奇 函 数，/(x+2-)=cos(2+x)sin(2x+4/r)=cosxsin2x=/(x),故 T
25、=2万，故 正 确.故 选：C.3.函 数=3+6/(0)的 最 大 值 为()A.32 B.27 C.16 D.40【答 案】A【分 析】利 用 导 数 即 可 求 解.【解 析】因 为 y=-3x(x-4),所 以 当 遂 上 4 时，y.o；当 x 4 时，y 0.所 以 函 数 在 0,4上 单 调 递 增；在(4,+00)上 单 调 递 增,，因 此，y=-x3+6x2(x.O)的 最 大 值 为 一 43+6x42=32.故 选：A4.幻=与 的 最 大 值 与 最 小 值 之 差 为()e14 4,A.-4 B.-C.-4 D.0e e【答 案】B【分 析】利 用 函 数 为 奇
26、 函 数，且 其 图 像 的 对 称 性，利 用 导 数 可 得 函 数 的 单 调 性 和 最 值.【解 析】设 g(x)=-77,贝!|g(x)=f(x)+1e 1则 g(x)为 奇 函 数，图 像 关 于 原 点 对 称，其 最 大 值 与 最 小 值 是 互 为 相 反 数，g(X)max=+1 g(X%“=+1g(X)g、+g(X)mM=0,f Wmax-f(X)min=皿 T)一(g(X)1nin-D=g(X)g-g(X)min=2g。)皿 即/(x)的 最 大 值 与 最 小 值 之 差 为 2g(x)a,、1 7 r i u./2x，/、2 2x 2(1 x)当 x 0 时 g
27、(x)=g(%)=-，e e e9 r故 g(x)=与 的 单 调 递 增 区 间 为(0,1),单 调 递 减 区 间 为(1,+8),e2 4所 以 g(X)z=g 6=-，所 以/(X)的 最 大 值 与 最 小 值 之 差 为 一 e e故 选：B5.已 知 经 过 圆 锥 的 顶 点 与 底 面 圆 心 的 截 面 是 边 长 为 6的 正 三 角 形，一 个 圆 柱 的 下 底 面 在 该 圆 锥 的 底 面 上,上 底 面 圆 周 在 该 圆 锥 的 侧 面 上，则 该 圆 柱 的 体 积 的 最 大 值 为()A.8石 万 B.6 6 万 C.4百 万 D.3#)兀【答 案】C
28、【分 析】设 圆 柱 的 底 面 半 径 为，高 为/?,利 用 相 似 比 得 出/z=K(3-厂)，再 由 圆 柱 的 体 积 公 式 即 可 求 解.【解 析】由 题 意 设 圆 柱 的 底 面 半 径 为 r（r0）,高 为 6,所 以 圆 柱 的 体 积 丫=乃 产/=万 产-6（3-厂）=6 万（3/一 尸），r=（6/-3r2）,令 H=0,解 得 r=2,丫 0,解 得 0r2,V2,所 以 函 数 在（0,2）上 单 调 递 增；在（2,）上 单 调 递 减；所 以 曦 故 选：C6.已 知 直 线 y=-x+2分 别 与 函 数 y=，和 y=lnx的 图 象 交 于 点
29、A（司,yJ、8仇，）,现 给 出 下 述 结 论：%+=2；e*+*2e;（3）x,Inx,+x2 Inx,=，和 y=/nx的 图 象 关 于 y=x对 称，直 线 丫=-+2与=垂 直，可 得 4（占，M）、B（X2,%）,关 于 y=x对 称，即 可 判 断；利 用 基 本 不 等 式 即 可 判 断，构 造 y=如，判 断 其 单 调 性，即 可 判 断,X由 x X2=x e”，判 断 其 单 调 性，即 可 判 断.【解 析】由 题 意 直 线、=-+2与 卜=%垂 直，函 数 y=e和 y=/nx的 图 象 关 于 y=x 对 称，A(x,%)、B(X2,y2),关 于)=x
30、对 称，则 再+&=2;，正 确；对 于：由 e*+e-.2je*E=2 e,因 为 王 力 9，则 e1+e%2e;，正 确；对 于：构 造 函 数 g(x)=，(x0);则 于 x)1=1，当 g(x)，0时，可 得 xe(O,e),.函 数 g(x)在(0,e)单 调 递 增；当 g(x)YO时，可 得 xe(e,+8),.函 数 g(x)在(e,+8)单 调 递 减；n 10 i-r-+=-l-ln2 0,二 正 确；2 x,x2 1 2 22对 于：X1,演=x e,令 函 数 6(x)=x-e*,则(x)=e*(l+x)当 6(x)0 时，可 得 xe(-l,+8),.函 数(x)
31、在(-1,+co)单 调 递 增；3mm 不 对，即 不 对.故 选：B7.下 列 函 数 中，的 最 小 值 是 2 的 是()1.A.y=x+B.y=x-InxxC.y=ex-x+D.y=cosx+!j 0 x|cosx 2)【答 案】C【分 析】对 于 A：取 特 殊 值 x=-l,代 入 后 否 定 结 论；对 于 B：取 特 殊 值=6,代 入 后 否 定 结 论；对 于 C：利 用 导 数 判 断 单 调 性，求 出 最 小 值；对 于 D：根 据 基 本 不 等 式 利 用 的 条 件 一 正 二 定 三 相 等 进 行 判 断.【解 析】对 于 A：y=x+：的 定 义 域 为
32、(Y O,0)5，M).取 特 殊 值 X=T，代 入 得 y=-22.故 A 错 误;对 于 B：y=x-lnx的 定 义 域 为(0,+e).取 特 殊 值=6,代 入 得 片 e-l2.故 B 错；对 于 c：y=e-x+l的 定 义 域 为 R./=er-l.令 y。，解 得 x 0；令 了 0,解 得 了 0；所 以 y=，x+l在(f,0)上 单 减，在(0,+)上 单 增，所 以 当 工=0时，取 得 最 小 值 2.故 C 正 确；对 于 D：y=cosx+-ox.令/=cosx,则 Ovrvl.cosxy 2)所 以 y=t+；2 2 6 J=2,当 f=；,记 1=1时 取
33、 最 小 值，但 是 0/(3)B.函 数/(X)的 最 大 值 为 1eC.若 方 程 x)-m=0恰 有 两 个 不 等 的 实 根，则 实 数 机 的 取 值 范 围 为(-%一)D.若/a)=F(,)a#升),则%+%2【答 案】C【分 析】利 用 导 数 研 究/(X)的 单 调 性，即 可 判 断 A、B 的 正 误;由 X)在(YO,1)、(1,+8)上 的 值 域，即 可 知 f(x)-zn=o恰 有 两 个 不 等 的 实 根 时 m 的 取 值 范 围；若 0%1 2.【解 析】,1 Y由 题 意，/(X)=当 X0,f(x)单 调 递 增；当 xl时，fx)/(3),正
34、确；B:f(x)的 极 大 值，也 是 最 大 值 为 了=1，正 确；eC：ElxfF 时 即(9)上/(x)e(-oo)；ex f+时/(x)-0,即(l,+=o)上 f(x)e(0,1)；e回 要 使/(x)-，=0恰 有 两 个 不 等 的 实 根，则 0，,，错 误；eD：由/(%)=/(x,)(占 w x,)知：若 0%1 W，令 F(xJ=/(%)-/(2-xJ,=五-/J，,ex e*ee 0%1,回 设 g(x)=x e 2 r-(2-x)e*,0 x l,则 g 0,ex回 g(x)在(0,1)上 单 调 递 增，即 g(x)g(l)=0,故 疣 2T(2-x)e*在(0,
35、1)上 恒 成 立,(?)F(x)0,即/(玉)=/(/)1,由/(x)在 x l上 递 减，即 2 2-王，故 士+马 2,正 确.故 选：C【点 睛】关 键 点 点 睛：利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性，进 而 比 较 函 数 值 的 大 小 及 最 大 值，再 由/(x)的 区 间 值 域，确 定/(x)-?=0恰 有 两 个 不 等 的 实 根 时 机 的 范 围；利 用 极 值 点 偏 移 问 题 的 解 法 证 明 药+七 2即 可.二、多 选 题 9.已 知 函 数/(无)=2 c o s x-s i n 2 x,则 下 列 结 论 正 确 的 是()A./(x)的
36、 周 期 为 2兀 B.y=x)的 图 象 关 于 x=对 称 C.“X)的 最 大 值 为 孚 D./(x)在 区 间(卷,牛)上 单 调 递 增【答 案】ACD【分 析】根 据 周 期 函 数 的 定 义 判 断 A,由 对 称 性 判 断 B,求 导 数，确 定 函 数 的 单 调 性、最 值 判 断 CD.【解 析】/(%+2/r)=2 cos(x+2TV)-sin 2(x+2-)=2 cos x-sin 2x=f(x),所 以 2乃 是 函 数 的 一 个 周 期，A正 确；71 71/(+x)=2c o s(x s i n(2 x+)=-2 sinx+sin2x,A)=2C。畤 _
37、 x)一 sin(2x)=2si Sin2方 应+x),B 错 误；/(x)=2 c o s x-s in 2 x,则 f/M=-2 s i n-2cos2x=-2 sinx-2(1-2 sin2x)=2(2sin2x-s in x-1)=2(2sinx+l)(sinx-1),考 虑 一 个 周 期 长 度 的 区 间 0,2划 范 围 内，/(尤)=。得 x=g,当,2 6 6X(吟 717(十 7167 九 1 n干)1U6O 等）=2cos等 一 sin与 地+等=当 又。）=2,2 万）=2,f,M00+0f M 减 减 极 小 值 增 极 大 值 减 所 以 f(X)m a x=，C
38、正 确，由 表 格 知 D正 确 故 选：ACD.1 0.声 音 是 物 体 振 动 产 生 的 声 波，其 中 包 含 着 正 弦 函 数，纯 音 的 数 学 模 型 是 函 数 丫=A s i n,我 们 听 到 的 声 音 是 由 纯 音 合 成 的，称 之 为 复 合 音，若 一 个 复 合 音 的 数 学 模 型 是 函 数 f(x)=s in x+g s i n 2 x,则 下 列 结 论 正 确 的 是()A.乃 是 F(x)的 一 个 周 期 B.f(x)在 0,-上 是 增 函 数 C./)的 最 大 值 为 延 D./(x)在 0,2加 上 有 2个 极 值 点 4【答 案
39、】CD【分 析】分 别 计 算 y=4门 和 y=|s i n 2A-的 最 小 正 周 期，再 由 其 最 小 公 倍 数 即 可 得 到=sinx+gsin 2 x的 最 小 正 周 期 为 2万，即 可 判 断 A选 项；设 x e 0,2句，对/(x)求 导，利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性、极 值 和 最 值，即 可 判 断 BCD选 项.【解 析】解：因 为:x)=sin x+；sin2x,y=sin x 的 最 小 正 周 期 是 21,丁=gsin 2 x的 最 小 正 周 期 是 夸=万，所 以 f(x)=sin x+g sin 2 x的 最 小 正 周 期 是
40、 2%，故 A不 正 确；由 题 可 知/(x)=sin x+；s i n 2 x,取 一 周 期 2万，不 放 设 x e 0,2;r,由(x)=cosx+cos2x=2cos2 x+cosx-=(2cosx-l)(cosx+1),令 广(工)=。得，*=%,X=与，=兀，当 x e 0,/V)0,f(x)为 增 函 数，当 x 吗 苧,r（x）0,f（x）为 增 函 数,所 以 f（x）在（吟），（,2/上 单 调 递 增，在 年 争 上 为 单 调 递 减，故 B 不 正 确;由 于/（&）=，/（2乃）=0,所 以“X）的 最 大 值 为 乎，所 以 C 正 确；由 上 可 得 A x
41、）在。2乃 上，在 x=?和 x=,处 取 得 极 值 点，即 Ax）在 0,2泪 上 有 2 个 极 值 点，故 D 正 确.故 选：CD.V*-1-11 1.已 知 函 数/（x）=W，则 下 列 说 法 正 确 的 是（）A./0）/（2）B.函 数/（X）的 最 大 值 为 1C.若 方 程 句-切=0恰 有 两 个 不 等 的 实 根，则 实 数，的 取 值 范 围 为 D.若/（为）=）（天）（犬 产），则 为+*2。【答 案】ABD【分 析】利 用 导 数 研 究/*）的 单 调 性，即 可 判 断 A、B 的 正 误;由/*）在（-8,0）、（0,+8）上 的 值 域，即 可
42、知/（x）-m=（）恰 有 两 个 不 等 的 实 根 时，”的 取 值 范 围；取 0 0,即 证 尤 2-百，构 造 函 数 g（x）=/（x）-/（-x）并 利 用 导 数 研 究 单 调 性，进 而 确 定 g（x）在（T O,0）上 的 符 号，即 可 证 X1+w0.【解 析】由 题 意，尸。）=，当 x 0,/（工）单 调 递 增;当 x o 时,r（x）/（2）,正 确;B：f（x）的 极 大 值，也 是 最 大 值 为/（。）=1,正 确;C：回 x-8 时/(x)f-8,即(-8,0)上 f(x)e(-oo,0)；x f+时/(x)f 0,即(0,+00)上/(x)e(0,
43、1)；回 要 使/(x)-m=0恰 有 两 个 不 等 的 实 根，则 0 机 1,错 误；D：不 妨 设 王%,/(x)在(,0)上 单 调 递 增；在(0,+8)上 单 调 递 减，若/(百)=/()(斗*)，则 占。，要 证 为+七(),即 证-占，.王 e(0,+oo),x2 e(0,+oo),只 需 证 明/(X)=/(工 2)/(7 0,即 证 明/(5)/()令 8口 六 八 力 一”一%卜 矍 一 二 犬 卜 一+,xe(o,0)g，(x)=x(e-*+e*),当 x 0时，g(x)0,函 数 在(3,0)上 单 调 递 增；所 以 g(x)g(O)=O,所 以/(力 一/(一
44、 力 0,即-占，故 占+9。，正 确.故 选：ABD第 口 卷(非 选 择 题)请 点 击 修 改 第 II卷 的 文 字 说 明 三、填 空 题 12.已 知 函 数,f(x)=gsin2x+sinx,则 x)的 最 小 值 是.【答 案】-述 8【分 析】利 用 导 数 判 断 函 数 的 单 调 性，从 而 求 函 数 的 最 小 值.【解 析】由 题 意，/,(x)=cos2x+cosx=2cos2x+cosx-l=(2cosx-l)(cosx+l),所 以 当 gCOSX0,/(X)单 调 递 增；当-lcosx；时，/(x)()对 任 意 xe(0，l)恒 成 立，则 实 数。的
45、 取 值 范 围 是.【答 案】(-In2,)【分 析】将 不 等 式 化 成/，再 两 边 取 对 数，分 离 参 数 并 构 造 函 数，求 出 函 数 的 最 值 即 可 得 解.【解 析】1 1 1Vxe(0,l),2X-xca0 xca e4/lnx-In 2,而 lnx 4,令/*)=_，xe(O，D，In 2 xinx xnx=,当 0cxe 1 时，fx)0,当 X1 时，fx)-ln2,In 2所 以 实 数。的 取 值 范 围 是(Tn2,y).故 答 案 为：(Tn2,+oo)14.已 知 6al,log,*-31og a=?(加 为 常 数)，的 最 大 值 为 4，则
46、 机=.e e-【答 案】2【分 析】令 log,*,得 到/然 后 对 F 取 对 数，构 建 新 的 函 数 F(“)=flna-a,然 后 利 用 导 数 得 到.心(a),进 一 步 得 到 f,最 后 得 到 结 果.【解 析】令 t=logb,所 以 匕=,其 中/1n-=nb-a=tna-a,令/(a)=f l n a-a,且 I n 4=31n3-3所 以 可 知：(1,/),f(a)0-ae(/,-K),/*()0,所 以 函 数/在(I,+00)单 调 递 增 所 以 f)=r l n f T=3 1 n 3-3 n t=33由 log“6-31og,a=m,即 r-=m,
47、所 以 加=2t故 答 案 为：2【点 睛】关 键 点 点 睛：关 键 在 于 使 用 换 元 f=l o g,*,并 构 建 函 数/()=f l n a-a,结 合 导 数 进 行 求 解.四、解 答 题 1 5.已 知 斜 率 为 k 的 直 线/与 抛 物 线 P=4 x交 于 A、B两 点，y轴 上 的 点 P 使 得 M B P是 等 边 三 角 形.(1)若 Q 0,证 明：点 P在 y 轴 正 半 轴 上；(2)当 1。尸 1取 到 最 大 值 时，求 实 数 k 的 值.【答 案】(1)见 解 析 士 J84后-21021【分 析】(1)设 P(o,p),A 8的 中 点 为
48、 M(a,3,则 计 算 可 得 从 而 可 得 点 P 在 y 轴 正 半 轴 上.(2)结 合(1)中 的 直 线 方 程，利 用 弦 长 公 式、韦 达 定 理 可 得 犷=从(2)2=(12。一 幻,+2),利 用 导 4 12数 可 求 何 时 1。尸 1取 到 最 大 值 时，从 而 可 求 对 应 的 斜 率 h(1)设 尸(o,p),A B 的 中 点 为“3 9,A-,yt,A 个,当，I 4 7 I 4 Jk=X f=2因 为 Z 0,故 直 线 A B 的 斜 率 存 在，故 y：二 2；b,故 60,T故 直 线 P M：y=-g(i)+6,故 p=因 为 A B 的
49、中 点 为(a,。)，故 a 0,故 P0.所 以 点 P 在 y轴 正 半 轴 上.(2)当 A B 与 x 轴 垂 直 时，p=0；当 A B 与 轴 不 垂 直 时，因 为 0A8P是 等 边 三 角 形，故 A 8 与 轴 不 垂 直，故(),力().由 可 得 P M:y=_,(x_a)+Z 即 P M:y=_,:+-(“；2),故 小,所 以 归 M=又 A3:x=g(y-b)+a,由 彳 2V 7 可 得/一 2 b+2。2一 4=0,y2=4x所 以=16a-4Z?o 即/4“且|AB|=J1+*x 2J4a一 从,因 为 M B P 是 等 边 三 角 形，故|PM|=#|A
50、 M，故 Y 1 X、?X 2 兀 互，整 理 得 到 心=Ka-/,此 时 0可 得 0a12.因 为 p=如 Z,故/=也 竺 a=吐 独 士 互，其 中。“12.2 4 12设 f(a)=(12a-42)(a+2),0a12,贝 ijrg)=(12-2a)(a+2)2+2(12a-a2)(a+2)=-4(a+2)(a2-8-6),当 0 0;4+2夜 a12时，/(。)/22,此 时 直 线 A B的 斜 率 k=即=7S4V22-21Ob 21【点 睛】思 路 点 睛：对 于 抛 物 线 中 的 计 算 问 题，需 考 虑 几 何 对 象 的 合 理 假 设，本 题 如 果 用 斜 率