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1、5.3.2第2课时函数的最大(小)值 第五章 一元函数的导数及其应用问题引入同学们，上节课我们在群山之间穿梭，感受了每一个山峰与山谷的优美之处，而今天我们誓要寻找最高的山峰和最低的峡谷，我们既要有俯视一切的雄心和气概，拿出“会当凌绝顶，一览众山小”的气势，也要有仰望一切的谦虚和胸怀，更要有“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”的勇气，这其实就是我们今天要探究的函数的最值新知探索函数最值概念的理解如图为函数yf(x)，xa，b的图象.答案极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4).问题1观察区间a，b上函数yf(x)的图象，试找出它的极大值、极小值.新知探索函数最值概念的理解答案存在
2、，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3).问题2结合图象判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？新知探索函数最值概念的理解问题3开区间上的连续函数有最值吗？答案 容易发现，开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值，若有最值，则一定是在极值点处取到新知探索函数最值概念的理解函数最值的定义(1)一般地，如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意xI，总有f(x)f(x0)，那么f(x0)为函数在定义域上的最大值；如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意xI，总有f
3、(x)f(x0)，那么f(x0)为函数在定义域内的最小值新知探索函数最值概念的理解注意点：(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值；(2)函数f(x)在闭区间a，b上连续是f(x)在闭区间a，b上有最大值和最小值的充分不必要条件典例精析题型一：极值与最值的关系例1如图是函数yf(x)在区间a，b上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值典例精析题型一：极值与最值的关系反思与感悟最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)(3)函数f(x)的
4、极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得典例精析题型二：利用导数直接求最值f(x)0时，x2，当f(x)0时，x2，当f(x)2.所以f(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，例2求下列函数：典例精析题型二：利用导数直接求最值例2求下列函数：所以当x0时，f(x)有最小值f(0)0，当x2时，f(x)有最大值f(2).典例精析反思与感悟求函数最值需注意的点(1)确定函数的定义域(2)求出定义域内的每一个极值与最值(3)比较所求的每一个极值与最值(4)得出结论题型二：利用导数直接求最值典例精析题型三：含参数
5、的最值问题例3已知函数f(x)x3ax2a2x.求函数f(x)在0，)上的最小值典例精析题型三：含参数的最值问题反思与感悟(1)含参数的函数最值问题的两类情况能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值典例精析题型四：由极值与最值关系求参数范围例4若函数f(x)3xx3在区间(a212，a)上有最小值，则实数a的取值范围是()A.(1，+)B.(1,4)C.(1
6、,2D.(1,2)解由f(x)33x20，得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：又当x(1，)时，f(x)单调递减，且当x2时，f(x)2.a2.综上，1a2.x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)22典例精析反思与感悟已知函数最值求参数值(范围)的思路已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围题型四：由极值与最值关系求参数范围跟踪练习1下列结论正确的是()A若f(x)在a，b上有极大值，则极大值一定是a，b上的最大值B若f(x)在a，b上有极小值，则极小值
7、一定是a，b上的最小值C若f(x)在a，b上有极大值，则极小值一定是在xa和xb处取得D若f(x)在a，b上连续，则f(x)在a，b上存在最大值和最小值解析函数f(x)在a，b上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在a，b上一定存在最大值和最小值故选D.跟踪练习2.函数f(x)x33x1在闭区间3,0上的最大值和最小值分别是()A.1，1B.1，17C.3，17D.9，19解析f(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)0，得x1.又f(3)279117，f(0)1，f(1)1313,13,0.所以最大值为3，最小值为17.故选C.跟踪练习解析 因为f(x)3
8、x233(x1)(x1)，x3,2，所以f(x)在1,1上是减函数，在1,2和3，1上是增函数又f(3)19，f(1)1，f(1)3，f(2)1，所以在区间3,2上，f(x)max1，f(x)min19，又由题设知在3,2上|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min20，所以t20，故选A.3.已知函数f(x)x33x1，若对于区间3,2上的任意x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t，则实数t的最小值是()A20B18C3D0跟踪练习4.已知a为常数，求函数f(x)x33ax(0 x1)的最大值x01f(x)0f(x)03a1跟踪练习4.已知a为常数，求函数f(x)x33ax(0 x1)的最大值课堂小结导数的最值最值与极值求最值不含参数含参数利用最值求参数