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1、第六章 平面向量初步6.3 平面向量线性运算的应用目目录录CONTENTS向量在平面几何中的应用0102 向量在物理中的应用01向量在平面几何中的应用 在学习向量及其运算时，我们已经看到向量在三角形、平行四边形等平面几何中的应用.实际上，利用平面向量可以很好地描述有关全等、相似、平行等关系，从而可以求解和证明平面几何问题.例题精讲例1 如图所示，MN 是 ABC 的中位线，求证：MN/BC 且 .ABCMN证明 因为 M，N 分别是 AB，AC 边上的中点，所以 ，因此 ，从而可知 MN/BC 且 .例2 如图所示，已知平行四边形 ABCD 中，E，F 在对角线 BD 上，并且 BE=FD.A
2、BCDEF 由已知可设 ，则 ，.又因为 a+b=b+a，所以 ，因此 AE FC，从而可知四边形 AECF 是平行四边形.证明例3 如图所示，已知 ABC 的，E，F 分别是 AB，BC 的中点，AF 与 CE 相交于点 O，求 AO:OF 与 CO:OE 的值.ABCFEO解 因为 ，又因为 E，F 都是中点，所以 .另外，所以 .设 ，则有 ，即 .从而由共线向量基本定理可知 s=t=_，因此 AO:OF=CO:OE=_.22:1名师点评 例 1 的结论是三角形中位线定理，初中的时候我们是利用平行四边形的性质来证明的，但这里只用到了平面向量的线性运算.例 2 用初中的三角形全等也能证明，
3、但是这里只用到了平面向量的线性运算.例 3 中的 O 点是 ABC 的重心.同样，这里也是利用平面向量的线性运算得到了三角形重心的一个性质，这个性质如果用相似三角形等知识来证明，需要添加辅助线.02向量在物理学中的应用 我们在物理中已经学过，利用向量可以描述物理学中的位移、力、速度、加速度等，因此，在涉及这些量的运算时，我们都可以借助向量来完成.例如，从物理学中我们知道，同一个力 F 可以分解成无数对大小、方向不同的分力.从数学上来说，这是因为对于同一条对角线，可以有无数个平行四边形，如右图所示.F 如果一个质点 O 处于平衡状态，而且受到多个力的作用，那就是说这些力的合力为零.特别地，如果两
4、个力 ，的合力为零，则 0，也就是说，这两个力互为相反向量，如图（1）所示；如果三个力 ，的合力为零，则 0，也就是说，其中任意两个力的合力是另外一个力的相反向量，如图（2）所示 O（1）O（2）因为物体处于平衡状态，所以 是重力的相反向量，因此 50 N.又由图与向量加法的平行四边形法则可知，的方向是竖直向上的，且 ，所以 .因此，每条绳上的拉力为 .解例4 如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知物体所受的重力大小为 50 N，求每条绳上的拉力大小.4545例5 如图（1）所示，把一个物体放在倾角为 30 的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力 G，沿着斜面向上的摩擦力 ，垂直斜面向上的弹力 .已知 ，求 ，的大小.30（1）建立如图（2）所示的平面直角坐标系，则 ，.又由已知可得 ，且 0，所以 ，从而可知 ，.解30（2）xy谢谢观看！谢谢观看！