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1、专 题 14解 直 角 三 角 形 一.选 择 题 1.(2022广 西 贵 港)如 图，某 数 学 兴 趣 小 组 测 量 一 棵 树 C。的 高 度，在 点 力 处 测 得 树 顶 C 的 仰 角 为 45。，在 点 8 处 测 得 树 顶 C 的 仰 角 为 60。，且 4 8,。三 点 在 同 一 直 线 上，若/8=16m,则 这 棵 树 C O的 高 度 是()CA.8(3-6)m B.8(3+V3)m C.6(3-V 3)m D.6(3+6)m【答 案】A【分 析】设 C D=x,在 中，乙 4=45。，可 得 CZ)=4D=x,BD=16-x,在 放 B C D中，用 N 8
2、的 正 切 函 数 值 即 可 求 解.【详 解】设 C D=x,在 即/O C 中，N/=4 5。，CD=AD=x,：.BD=16-xf在 此 8 C 9 中，ZB=60,tan 8八=-C-D-,BD即：-=V 3,1 6-x解 得 x=8(3-故 选 A.【点 睛】本 题 考 查 三 角 函 数，根 据 直 角 三 角 形 的 边 的 关 系，建 立 三 角 函 数 模 型 是 解 题 的 关 键.2.(2022广 西 贵 港)如 图，在 4 x 4网 格 正 方 形 中，每 个 小 正 方 形 的 边 长 为 1,顶 点 为 格 点，若 A/8 C 的 顶 点 均 是 格 点，贝 h
3、o s/8/C 的 值 是()A.五 B.叵 d D.士 5 5 5 5【答 案】C【分 析】过 点 C 作 4 8 的 垂 线，构 造 直 角 三 角 形，利 用 勾 股 定 理 求 解 即 可.【详 解】解：过 点 C 作 N 8的 垂 线 交 4 8 于 一 点,如 图 所 示，.每 个 小 正 方 形 的 边 长 为 1,AC=45,B C=A,A B=5,设 N。=x,则 8。=5 x,在 RfA4C 中,D C2=AC2-A D2,在&M 8CO 中，D C2=BC2-BD2,A 10-（5-X）2=5-X2,解 得 x=2,.A D 2 2 班,.cos NBA,C=-p=-f
4、汽 攵 1 A：C.AC y/5 5【点 睛】本 题 考 查 了 解 直 角 三 角 形，勾 股 定 理 等 知 识，解 题 的 关 键 是 能 构 造 出 直 角 三 角 形.3.（2022福 建）如 图，现 有 一 把 直 尺 和 一 块 三 角 尺，其 中 4 8 c=90。，NC4B=6G,4 5=8,点 Z 对 应 直 尺 的 刻 度 为 12.将 该 三 角 尺 沿 着 直 尺 边 缘 平 移，使 得 N B C移 动 到 V H夕 C，点 才 对 应 直 尺 的 刻 度 为 0,则 四 边 形/C C W 的 面 积 是（)AOi.cOBA.96 B.96宕 C.192 D.16
5、04【答 案】B 分 析 根 据 直 尺 与 三 角 尺 的 夹 角 为 60。，根 据 四 边 形 A C C A 的 面 积 为 AA-ACsin 60=24Bsin60-A A,即 可 求 解.【详 解】解：依 题 意 NCCW为 平 行 四 边 形,.,4 5 0=90,ZCAB=60,A B=8,AA=12.：.AC=2AB：.平 行 四 边 形 A C C A 的 面 积=/C sin 60=2Z8sin 60=2 x 8 x 12 x 且=9 6 6 故 选 B2【点 睛】本 题 考 查 了 解 直 角 三 角 形，平 移 的 性 质，掌 握 平 移 的 性 质 是 解 题 的
6、关 键.4.（2022 广 西）如 图，某 博 物 馆 大 厅 电 梯 的 截 面 图 中，N 8的 长 为 1 2米，4 8 与 Z C 的 夹 角 为 a,则 高 3C12 12A.12sina 米 B.12cosa 米 C.米 D.-米 sin a cos a【答 案】A【分 析】在 收 ZUCB中，利 用 正 弦 定 义，sina二 一 入，代 入 Z 8 值 即 可 求 解.AB【详 解】解：在 处 4 4 0 3中，N4C8=90。，.sina=，AB B C-snaAB=12 sina（米），故 选：A.【点 睛】本 题 考 查 解 直 角 三 角 形 的 应 用，熟 练 掌 握
7、 直 角 三 角 形 边 角 关 系 是 解 题 的 关 键.5.（2022,贵 州 毕 节）如 图，某 地 修 建 一 座 高 BC=5m的 天 桥，已 知 天 桥 斜 面 的 坡 度 为 1：石，则 斜 坡 Z8的 长 度 为（)BA CA.10m B.10A/3ITI C.5m D.5y/3n【答 案】A【分 析】直 接 利 用 坡 度 的 定 义 得 出 力 C 的 长，再 利 用 勾 股 定 理 得 出 4 8 的 长.l BC 5 1 l【详 解】z=1:V3,BC=5m,/.=f=,解 得：AC=5y3m,AC AC 73则 4 5=J M+Z C?=小+（5南=10.故 选：A
8、.【点 睛】本 题 考 查 解 直 角 三 角 形 和 勾 股 定 理 的 实 际 应 用.由 坡 度 的 定 义 得 出“C 的 长 是 解 答 本 题 的 关 键.6.（2022黑 龙 江 牡 丹 江）小 明 去 爬 山，在 山 脚 看 山 顶 角 度 为 30。，小 明 在 坡 比 为 5：1 2的 山 坡 上 走 1300米,此 时 小 明 看 山 顶 的 角 度 为 60。，求 山 高（）A.(6 0 0-2 5 0 7 3)B.(600石 一 250)米 C.(350+350石)米 D.5 0 0 6 米【答 案】B【详 解】解：如 答 图，VBE：AE=5：12,.,.可 设 B
9、E=5k,AE=12k,：AB=1300 米，.在 RtZABE中，由 勾 股 定 理，得 AE2+BE2=AB2,即(12%7+(5人=1 3 0,解 得 k=100.AE=1200 米，BE=500 米.设 EC=x米，,.ZDBF=60o,.,.D F=0 x 米.又；NDAC=30,；.AC=GCD.,.12OO+x=V3(5OO+V3X),解 得 x=600-2506.D F=6 X=6007J-750.，CD=DF+CF=600 石-250(米).，山 高 CD为(60073-2 5 0)米.故 选 B.【点 睛】本 题 考 查 解 直 角 三 角 形 的 应 用（仰 角 俯 角
10、和 坡 度 坡 角 问 题）；勾 股 定 理；锐 角 三 角 函 数 定 义；特 殊 角 的 三 角 函 数 值；待 定 系 数 法 的 应 用.7.（2022湖 北 十 堰）如 图，坡 角 为 a的 斜 坡 上 有 一 棵 垂 直 于 水 平 地 面 的 大 树 当 太 阳 光 线 与 水 平 线 成 45。角 沿 斜 坡 照 下，在 斜 坡 上 的 树 影 8 c 长 为 用，则 大 树 Z 8 的 高 为（）【答 案】A)c.，?(c o s a-ta n a)D.ni msin a cos a【分 析】应 充 分 利 用 所 给 的 a和 45。在 树 的 位 置 构 造 直 角 三
11、角 形，进 而 利 用 三 角 函 数 求 解.【详 解】解：如 图，过 点 C 作 水 平 线 与 N 8的 延 长 线 交 于 点。，则：.ZBCD=a,NZCD=450.在 RA CZJB 中，CD-mcosa,BD-msina,在 RQ CDA 中，/)=C)xtan45=?xcosaxtan45=MCOSa,:.AB=AD-BD=(zwcosa-wsinct)=m(c o s a-s in a).故 选：A.【点 睛】本 题 考 查 锐 角 三 角 函 数 的 应 用.需 注 意 构 造 直 角 三 角 形 是 常 用 的 辅 助 线 方 法，另 外，利 用 三 角 函 数 时 要
12、注 意 各 边 相 对.8.(2022湖 北 荆 州)如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，点 4 8 分 别 在 x 轴 负 半 轴 和 y 轴 正 半 轴 上，点。在。8上，O C:8 C=1:2,连 接/C,过 点。作。尸 交/C 的 延 长 线 于 P.若 则 ta n/C M尸 的 值 是()【答 案】C【分 析】由 玳 1,1)可 知，O P与 x 轴 的 夹 角 为 45。，乂 因 为 OP/8,则 AO/8为 等 腰 直 角 形，设 OC=x,OB=2x,用 勾 股 定 理 求 其 他 线 段 进 而 求 解.【详 解】；产 点 坐 标 为(1,1),则 OP与 x 轴
13、正 方 向 的 夹 角 为 45,乂:OP/AB,则/氏 4。=45。，为 等 腰 直 角 形,：.OA=OB,设 OC=x,贝 OB=2OC=2x,则 OB=OA=3x,.tan Z.OAP=-O-C-=X=1OA 3x 3【点 睛】本 题 考 查 了 等 腰 三 角 形 的 性 质、平 行 线 的 性 质、勾 股 定 理 和 锐 角 三 角 函 数 的 求 解，根 据 P 点 坐 标 推 出 特 殊 角 是 解 题 的 关 键.9.（2022广 西 玉 林）如 图，从 热 气 球 4 看 一 栋 楼 底 部 C 的 俯 角 是（）A.NBAD B.乙 4cB C.Z.BAC D.NDAC【
14、答 案】D【分 析】根 据 俯 角 的 定 义 可 直 接 得 出 结 果.【详 解】解：根 据 俯 角 的 定 义，朝 下 看 时，视 线 与 水 平 面 的 夹 角 为 俯 角，.N O 4 C为 对 应 的 俯 角，故 选 D.【点 睛】题 目 主 要 考 查 对 俯 角 定 义 的 理 解，深 刻 理 解 俯 角 的 定 义 是 解 题 关 键.10.（2022辽 宁）如 图，在 矩 形 N8CZ）中，AB=6,BC=S,分 别 以 点/和 C 为 圆 心，以 大 于 1 4 c 的 长 为 2半 径 作 弧，两 弧 相 交 于 点 M 和 M 作 直 线 分 别 交 8 c 于 点
15、E,F,则/E 的 长 为（）【答 案】D【分 析】根 据 矩 形 4 8CO可 知 A/1OC为 直 角 三 角 形，根 据 勾 股 定 理 可 得/C 的 长 度，在 E 4 1 O C中 得 到 A H 1cosZC4D=,又 由 题 知 M M为 Z C的 垂 直 平 分 线，于 是 NM O/=90。AO=-A C,于 是 在 中,利 用 锐 角 三 角 函 数 即 可 求 出 A E 的 长.【详 解】解：设 M N与 4 C 的 交 点 为 O,四 边 形 4 3 C D为 矩 形，ZADC=90,AB=DC=6,BC=4D=8,.A/1QC为 直 角 三 角 形，：CD=6,A
16、D=S,AC=A D+D C2=A/82+62=10ADcos NCAD=-AC8 4To-5又 由 作 图 知 M N为 A C的 垂 直 平 分 线,ZMOA=90,AO=-A C=5,2在 必 A 4O E中，cos ZEAO=AE/cos Z.CAD=cos Z.EAO,5=4A E 5AE=4故 选：D.【点 睛】本 题 主 要 考 查 矩 形 的 性 质，锐 角 三 角 函 数，垂 直 平 分 线，勾 股 定 理，掌 握 定 理 以 及 性 质 是 解 题 的 关 键.11.（2022福 建）如 图 所 示 的 衣 架 可 以 近 似 看 成 一 个 等 腰 三 角 形/8 C,其
17、 中 N/8 C=27,BC=4 4 c m,则 高 4 D 约 为（)(参 考 数 据：sin 27 0.45,cos 27 0.89,tan 27 0.51)A.9.90cm B.11.22cm C.19.58cm D.22.44cm【答 案】B【分 析】根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 及 8 c=4 4 c m,可 得 QC=g 8 C=2 2 c m,根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 及 ZABC=2 7,可 得 NACB=N4BC=27,在 R/A/O C 中，由/=tan27o*C。，求 得/。的 长 度.【详 解】解：等 腰 三 角 形/8 C,AB=AC,为 8
18、c 边 上 的 高，DC=-B C,2 8C=44cm,/.DC=BC=22cm.2等 腰 三 角 形/8 C,A B=4 C,乙 4 8c=27。，ZACB=ZABC=27.为 8 c 边 上 的 高，NACB=27,.,.在 R/A4DC 中，AD-tan 27 x CD,V tan27a 0.51,DC=22cm,/Za0.51x22=11.22cm.故 选:B.【点 睛】本 题 考 查 了 等 腰 三 角 形 的 性 质 以 及 锐 角 三 角 函 数 的 定 义，熟 练 掌 握 正 切 的 定 义 是 解 题 的 关 键.12.（2022湖 北 武 汉）由 4 个 形 状 相 同，大
19、 小 相 等 的 菱 形 组 成 如 图 所 示 的 网 格，菱 形 的 顶 点 称 为 格 点，点 4B,C 都 在 格 点 上，Z O=6 0,则 tanN N 8C=()cO B-B.7 C.3 D.332 3 2【答 案】C【分 析】证 明 四 边 形/O B C 为 菱 形，求 得/Z 8 C=3 0。，利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 即 可 求 解.【详 解】解：连 接 Z O,如 图：网 格 是 有 一 个 角 60。为 菱 形，；.4A0D、4BCE、ABCD、都 是 等 边 三 角 形，：.AD=BD=BC=AC,.四 边 形/O 8 C 为 菱 形，且/。8 c
20、=60。，N4BD=N4BC=30。,.ta n/8 C=ta n 3 0=迫.故 选：C.3【点 睛】本 题 考 查 了 菱 形 的 判 定 和 性 质，特 殊 角 的 三 角 函 数 值，证 明 四 边 形/8C为 菱 形 是 解 题 的 关 键.二.填 空 题 13.(2022黑 龙 江 绥 化)定 义 一 种 运 算；sin(a+)=sinacos/7+cosasin夕，sin(a-)=sin a cos p-cos a sin.例 如：当 a=45。,夕=30。时,sin(450+30)=，i x 3+也 x，=色 史，则 s in l5。的 值 为 2 2 2 2 4【答 案】6-
21、%/24 分 析】根 据 sin(a-/?)=sin a cos/?-cos a sin t 代 入 进 行 计 算 即 可.【详 解】解：sinl5=sin(45o-30)=sin45cos30-cos45sin 30=V 6_V 24 44故 答 案 为：逃 二 叵.4【点 睛】此 题 考 查 了 公 式 的 变 化，以 及 锐 角 三 角 函 数 值 的 计 算，掌 握 公 式 的 转 化 是 解 题 的 关 键.14.(2022湖 南)我 国 魏 晋 时 期 的 数 学 家 赵 爽 在 为 天 文 学 著 作 周 髀 算 经 作 注 解 时，用 4 个 全 等 的 直 角 三 角 形
22、和 中 间 的 小 正 方 形 拼 成 一 个 大 正 方 形，这 个 图 被 称 为 弦 图，它 体 现 了 中 国 古 代 数 学 的 成 就.如 图，已 知 大 正 方 形/8 C Q 的 面 积 是 1 0 0,小 正 方 形 EFG”的 面 积 是 4,那 么 ta n 4)E=_.【分 析】根 据 两 个 正 方 形 的 面 积 可 得 4。=10，D F-A F=2,设=得 到 QF=x+2,由 勾 股 定 理 得 X2+(X+2)2=1 0 解 方 程 可 得 x 的 值，从 而 解 决 问 题.【详 解】解：大 正 方 形 的 面 积 是 100,A D=0.,/小 正 方
23、形 E F G H 的 面 积 是 4,二 小 正 方 形 E F G H 的 边 长 为 2,D F-A F=2,设/F=x,则。F=x+2,由 勾 股 定 理 得,X2+(X+2)2=I02,解 得 x=6或-8（负 值 舍 去）,.二 A F=6，D F=8，tanZADF=-=-D F 8 4故 答 案 为：I【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 正 方 形 的 性 质，勾 股 定 理，三 角 函 数 等 知 识，利 用 勾 股 定 理 列 方 程 求 出 4方 的 长 是 解 题 的 关 键.15.（2022辽 宁）如 图，4 为 射 线 Q N 上 一 点，片 为 射 线 上 一
24、点，N B/O=60。,。4=3,8/=1.以 用 4为 边 在 其 右 侧 作 菱 形 4 q G A，且=60。1与 射 线 交 于 点 与，得 V G 4 层；延 长 与。交 射 线 ON于 点 4,以 4 4 为 边 在 其 右 侧 作 菱 形 A2B2C2D2,且 ZB2A2D2=60,C22与 射 线 交 于 点 B,得 V C乱；延 长 BiD2交 射 线 O N 于 点 4,以 B3A3为 边 在 其 右 侧 作 菱 形 4 与 G A，且 N 8/A=60。,G 2 与 射 线。历 交 于 点、B 4,得。3冬 冬；.，按 此 规 律 进 行 下 去，则 602282022层
25、 023的 面 积.【公 关】一 X-6【分 析】过 点 用 作 用。1。4 于 点。，连 接 析 口 也 3,即 53,分 别 作&H 1 8自,B3G 1,B E 1 B Q,然 后 根 据 菱 形 的 性 质 及 题 意 可 得 8Q/O4,与。2/。4，与。3。4,则 有 tanZ（9=tanAB2BD=tanZB3B2D2=tanZ5453D3=等，进 而 可 得 出 规 律 进 行 求 解.【详 解】解：过 点 解 作 用 于 点 D,连 接 鸟 也 分 鸟 2,分 别 作 为，4,8 8 1&,名 1&2,如 图 所 示:G 4 NBDO=N 8 Q 4=4BHD=ZB,GD2=
26、ZB4EDi=90V 4/0=60,，NDB、4=30,V BtAt=1,04=3,/.DA.=-B.A.=-1 2 1 2,OD=-2gV,B、D=Y 4 B：-4 Q2=tan N O=9=且,OD 5菱 形 4 4 G A,且 N B i g=60,.A48 a 是 等 边 三 角 形,./向 4=60,4 4=4 4=1,/乙 4向 口=/0 4 e=60。,OAJ/BQ,Z.0=/w,tan=tan Z.O,设 如=x,ZB2D,H=60,H D=BiD cos60=x,S,/=5,D sin60=x.2-1 2口 口 B2H 5B、H=-=-x,1 tan ZB2BH 2A-|x+
27、-x=1,解 得：x=1,/.B2D=.A2B2葭 4=3同 理 可 得：B.D2,，3 竺 9 4 3 2764，27由 上 可 得：4 瓦,=图,。-。4 图 1,SA。2022 8202282023 5。2 0 2 2%2 2%2 2 1 遇 022，%2 2 A2-6 X3)故 答 案 为 由 x（3 yM6【点 睛】本 题 主 要 考 查 菱 形 的 性 质、等 边 三 角 形 的 性 质 与 判 定、含 30度 直 角 三 角 形 的 性 质 及 三 角 函 数，熟 练 掌 握 菱 形 的 性 质、等 边 三 角 形 的 性 质 与 判 定、含 30度 直 角 三 角 形 的 性
28、质 及 三 角 函 数 是 解 题 的 关 键.16.（2022山 东 青 岛）如 图，已 知 4BC,/5=NC,8C=16,ZZ）_ L B C,4 B C 的 平 分 线 交/。于 点 E,且 DE=4.将 N C 沿 G M 折 叠 使 点 C 与 点 E 恰 好 重 合.下 列 结 论 正 确 的 有:（填 写 序 号）8。=8 点 E 到/C 的 距 离 为 3（4）EM/AC【答 案】#【分 析】根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 即 可 判 断，根 据 角 平 分 线 的 性 质 即 可 判 断，设。M=x,贝 ijEN=8-x,心 中，E M2=D M2+DE2 DE=4
29、.继 而 求 得 E M,设=a,则 N。=NE+E。=4+。,8。=8,20Ar AD 1 4 FD 4根 据 芸=差，进 而 求 得。的 值，根 据,加 A D T+4 4,=，可 得 N C=NEA)，ED BD tanC=-=-D M 3L/C O J即 可 判 断【详 解】解：:AABC,AB=AC,BC=6,ADL BC,8O=OC=；8 c=8,故 正 确：如 图，过 点 E作 于 尸，EH 1 4 c于 H,AD1BC,AB=A C,：.AE 平 分 NBAC,：.EH=EF,：8E是 4 5。的 角 平 分 线，：ED VBC,EF VAB,EF=ED,:.EH=ED=4,故
30、 不 正 确，.将 NC沿 GM折 叠 使 点 C与 点 恰 好 重 合,EM=MC,DM+MC=DM+EM=CD=S,设。W=x,则 E M=8-x,RtZiEDM 中，EM?=DM。+DE?，DE=4.(8-A-)2=42+x2,解 得 x=3,EM=MC=5故 不 正 确，iS AE=a,贝!J/O=+E。=4+a,8。=8,AB2=(4+a+82,c L A B X EF L E X BD_ 2_ _ 2v i 1J皿 BDxED-E D xB D2 2AE ABEDBDa AB=-4 8AB=2a,（4+a）2+82=（2a）2,解 得 a=T20或 a=-4（舍 去）ZC=NEMD
31、,EM/A C,故 正 确，故 答 案 为：【点 睛】本 题 考 查 了 解 直 角 三 角 形，三 线 合 一，角 平 分 线 的 性 质，掌 握 以 上 知 识 是 解 题 的 关 键.17.（2022广 西 桂 林）如 图，某 雕 塑 M N位 于 河 段。力 上，游 客 P 在 步 道 上 由 点 O 出 发 沿 0 8 方 向 行 走.己 知/Z O B=3 0。，M N=2 O M=4 0 m,当 观 景 视 角 N M P N最 大 时，游 客 尸 行 走 的 距 离。尸 是 米.【答 案】20代【分 析】先 证 0 8 是 O F 的 切 线，切 点 为 E,当 点 尸 与 点
32、 E 重 合 时，观 景 视 角 最 大，由 直 角 三 角 形 的 性 质 可 求 解.【详 解】解：如 图，取 M N的 中 点 凡 过 点 尸 作 尸 _LO 8于 E,以 直 径 M N作。F,：M N=2。加=40m,点 尸 是 M N的 中 点,:.M F=F N=2 0 m,。尸=40m,：4 0 8=3 0。，EFLOB,：.EF=20m,O E=6 E F=2 0 6 m,:.EF=MF,又,：EFLOB,.0 8是。尸 的 切 线，切 点 为 E,二 当 点 P 与 点 E 重 合 时，观 景 视 角 N M P N最 大，此 时 O P=2 0 jJ m,故 答 案 为：
33、20yli.【点 睛】本 题 考 查 了 解 直 角 三 角 形 的 应 用，切 线 的 判 定，直 角 三 角 形 的 性 质，证 明 0 8 是。尸 的 切 线 是 解 题 的 关 键.18.（2022贵 州 黔 东 南）如 图，校 园 内 有 一 株 枯 死 的 大 树 4 8,距 树 1 2米 处 有 一 栋 教 学 楼 C D,为 了 安 全，学 校 决 定 砍 伐 该 树，站 在 楼 顶。处，测 得 点 3 的 仰 角 为 45。，点 A 的 俯 角 为 30。，小 青 计 算 后 得 到 如 下 结 论:1 8名 18.8米；C D x 8.4米；若 直 接 从 点 A 处 砍
34、伐，树 干 倒 向 教 学 楼 C。方 向 会 对 教 学 楼 有 影 响；若 第 一 次 在 距 点 A 的 8 米 处 的 树 干 上 砍 伐，不 会 对 教 学 楼 C Q造 成 危 害.其 中 正 确 的 是.（填 写 序 号，参 考 数 值：6 7,6=1.4）【答 案】【分 析】过 点。的 水 平 线 交 于 E,先 证 四 边 形 瓦 4。为 矩 形，ED=4C=12米,利 用 三 角 函 数 求 出 AB=BE+AE=DEtan450+DEtan30,利 用 CD=AE=DEtan30=4y/3 a 6.8 米，利 用 AB=18.8 米 1 2 米,点 8 到 砍 伐 点 的
35、 距 离 为：1 8.8-8=1 0.8 1 2,判 断 即 可.【详 解】解：过 点 D 的 水 平 线 交 4 B 于 E,：DE/AC,EA/CD,/。=90,.四 边 形 以 为 矩 形，：.ED=AC=12 米，/8=8E+4 E=OEtan45+OEtan30=12+4 G a 12+4 x 1.7=18.8 故 正 确;.CD=/=)tan30=4百=6.8 米，故 不 正 确;.78=18.8米 1 2米，,直 接 从 点 力 处 砍 伐，树 干 倒 向 教 学 楼 C。方 向 会 对 教 学 楼 有 影 响；故 正 确;；第 一 次 在 距 点/的 8 米 处 的 树 干 上
36、 砍 伐，点 B 到 砍 伐 点 的 距 离 为：18.8-8=10.8 1 2,二 第 一 次 在 距 点 A 的 8 米 处 的 树 干 上 砍 伐，不 会 对 教 学 楼 C。造 成 危 害.故 正 确.其 中 正 确 的 是.故 答 案 为.【点 睛】本 题 考 查 解 直 角 三 角 形，矩 形 的 判 断 与 性 质，掌 握 解 直 角 三 角 形 方 法，矩 形 的 判 断 与 性 质 是 解 题 关 键.三.解 答 题 19.（2022辽 宁 锦 州）某 数 学 小 组 要 测 量 学 校 路 灯 P-M-N 的 顶 部 到 地 面 的 距 离，他 们 借 助 皮 尺、测 角
37、仅 进 行 测 量，测 量 结 果 如 下：计 算 路 灯 顶 部 到 地 面 的 距 离 P E约 为 多 少 米？（结 果 精 确 到 0.1米.参 考 数 据;测 量 项 目 测 量 数 据 从 A 处 测 得 路 灯 顶 部 P 的 仰 角 a a=58。从 D处 测 得 路 灯 顶 部 P 的 仰 角 P 夕=31。测 角 仪 到 地 面 的 距 离 AB=DC=1.6m两 次 测 量 时 测 角 仪 之 间 的 水 平 距 离 BC=2mcos310.86,tan31。0.60,cos58 0.53,tan58 1.60)【答 案】3.5米【分 析】延 长 D 4,交 P E于 点
38、 尸，则。口 L P E,先 得 到 四 边 形/8 C。、C E 是 矩 形，然 后 由 解 直 角 三 角 形 求 出/F 的 长 度，再 求 出 尸 尸 的 长 度，即 可 求 出 答 案.【详 解】解：如 图：延 长 D 4,交 PE于 点、F,则。R L PE,四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形，JABLBC,四 边 形 月 是 矩 形，同 理：四 边 形 CD FE是 矩 形；/.AD BC=2,EF=CD=.6,在 直 角 PDF 中，有 PF=DF-tan。=(AD+/b)tan fi,在 直 角 月 F 中，PF=AF-trn a,/.(AD+AF)*tan J 3=
39、AFtan a,即(2+/F)x tan 3 1 o=4尸 xtan58。，/.(2+AF)x 0.6=A F xl.6,解 得：AF=.l-,，PF=1.2xl.61.9：，PE=P F+E F=1.9+1.6=3.5（米）；.路 灯 顶 部 到 地 面 的 距 离 P E 约 为 3.5米.【点 睛】本 题 考 查 J解 直 角 三 角 形 的 应 用，解 直 角 三 角 形，矩 形 的 判 定 和 性 质，解 题 的 关 键 是 熟 练 掌 握 题 意，正 确 的 作 出 辅 助 线，正 确 的 求 出 尸 尸 的 长 度.20.（2022山 东 临 沂）如 图 是 一 座 独 塔 双
40、索 结 构 的 斜 拉 索 大 桥，主 塔 采 用 倒 Y字 形 设 计，某 学 习 小 组 利 用 课 余 时 间 测 量 主 塔 顶 端 到 桥 面 的 距 离.勘 测 记 录 如 下 表：请 利 用 表 中 提 供 的 信 息，求 主 塔 顶 端 E 到 的 距 离（参 考 数 据：5出 28。0.47,cos28o=0.88,tan 28 0.53）.活 动 内 容 测 量 主 塔 顶 端 到 桥 面 的 距 离 成 员 组 长：X X X 组 员：X X X X X X X X X X X X测 量 工 具 测 角 仪，皮 尺 等 测 量 示 意 图 EA c D B说 明：左 图
41、为 斜 拉 索 桥 的 侧 面 不 意 图，点 4、C,D,B在 同 一 条 直 线 上，E F L A B,点 4,C 分 别 与 点 8,D关 于 直 线 E尸 对 称 测 量 数 据 Z J 的 大 小 28A C 的 长 度 84mC D 的 长 度 12m【答 案】主 塔 顶 端 E 到 A B 的 距 离 约 为 47.7m【分 析】延 长 E E 交 于 A/,由 题 意 可 得 C W=C M 可 得 4用 的 长 度，再 根 据 tan/=解 直 2 A M角 三 角 形 即 可.【详 解】延 长 E F 交 4 8 于 M,.；E F L 4 B,点 4,C 分 别 与 点
42、 B,。关 于 直 线 跖 对 称，C D=12mZAME=90,C M=D M=-C=6m,2N4=28,4C=84m,A M=AC+CM=.EM ccc EM _ _.tanZ-A=-=tan28=-0.53,AM 90EM 47.7m，答：主 塔 顶 端 E 到 A B 的 距 离 约 为 47.7m.【点 睛】本 题 考 查 了 解 直 角 三 角 形 的 应 用，准 确 理 解 题 意 并 熟 练 掌 握 知 识 点 是 解 题 的 关 键.21.（2022山 东 聊 城）我 市 某 辖 区 内 的 兴 国 寺 有 一 座 宋 代 仿 木 楼 阁 式 空 心 砖 塔，塔 旁 有 一
43、棵 唐 代 古 槐，称 为 宋 塔 唐 槐（如 图）.数 学 兴 趣 小 组 利 用 无 人 机 测 量 古 槐 的 高 度，如 图 所 示，当 无 人 机 从 位 于 塔 基 8点 与 古 槐 底 D 点 之 间 的 地 面 H 点，竖 直 起 飞 到 正 上 方 4 5米 E 点 处 时，测 得 塔 A B 的 顶 端 A 和 古 槐 C D的 顶 端 C 的 俯 角 分 别 为 26.6。和 76。（点 8,H,。三 点 在 同 一 直 线 上）.已 知 塔 高 为 3 9米，塔 基 8 与 树 底。的 水 平 距 离 为 2 0米，求 古 槐 的 高 度（结 果 精 确 到 1 米）.
44、（参 考 数 据:水 26.6念 0.45,cos26.6。之 0.89,tan 26.6 0.50,sin 76 0.97,cos760.24,tan 76 4.01)图 图【答 案】古 槐 的 高 度 约 为 1 3米【分 析】过 点 力 作 于，过 点 C 作 C N L E H于 N,在 中，根 据 锐 角 三 角 函 数 求 出 4W=12米，进 而 求 出 CN=8米，再 在 H/AEWC中，根 据 锐 角 三 角 函 数 求 出 EN=32.08米，即 可 求 出 答 案.【详 解】解：过 点 Z 作 于 过 点 C 作 CNJ_E 于 N,E由 题 意 知，AM=BH,CN=D
45、H,AB=MH,在 中，ZEAM=26.6/.tan Z.EAME MAMA M E Mtan Z.EAM_ E H-M Htan 26.645-390.5=12 米,：.BH=AM=12 米,*：BD=23：.DH=BD-BH=8 米，CV=8 米，在 RHENC 中,/ECN=761FN：.tanZECN=,CN二 EN=CMtan/ECN=8x4.01=32.08米，A CD=N H=E H-E N=12.92 13（米），即 古 槐 的 高 度 约 为 13米.【点 睛】此 题 主 要 考 查 解 直 角 三 角 形 的 应 用 一 一 仰 角 俯 角 问 题，作 出 辅 助 线 构
46、造 出 直 角 三 角 形 是 解 本 题 的 关 键.22.（2022内 蒙 古 通 辽）某 型 号 飞 机 的 机 翼 形 状 如 图 所 示，根 据 图 中 数 据 计 算 N 8 的 长 度（结 果 保 留 小 数 点 后 一 位，73 1.7）.【答 案】4 8 的 长 度 约 为 9.8米【分 析】延 长 A 4交 C E的 垂 线。G 于 点 尸，交 于 点 G,则 四 边 形 OE&E是 矩 形，根 据 图 示，可 得 四 边 形 DFBE是 正 方 形,解 R sC G Q,R tA/G尸，即 可 求 解.【详 解】解：如 图，延 长 8 4 交 C E的 垂 线 Q G于
47、点 尸，力。,。/交 于 点 G,则 四 边 形 Q E 8E是 矩 形，/FDB=45,:.DF=FB,二 四 边 形。出?是 正 方 形，/.BF=EB=14,vZZ)CG=90-6 0=30,A F/C D,?.AFAG=ADCG=30fRtZCDG 中，DG=tan NDCG CD=x 2 0=型 曲,3 3.GF=DF-DG=1 4-,3R tA F G11,AF=FGtan Z.FAGFGtan 3014 一 辿=1 4-20,3AB B F-A F-1 4-I4y3+20=3 4-1 4/3 9.眯.【点 睛】本 题 考 查 了 解 直 角 三 角 形 的 应 用，掌 握 直 角
48、 三 角 形 中 的 边 角 关 系 是 解 题 的 关 键.23.（2022 湖 南）计 算：2cos45。+（乃-3.14丁+|1-四+七）1【答 案】272+2【分 析】先 将 各 项 化 简，再 算 乘 法，最 后 从 左 往 右 计 算 即 可 得【详 解】解：原 式=2 x出+1+五-1+22=2/2+2.【点 晴】本 题 考 查 特 殊 锐 角 三 角 函 数 值，零 指 数 毒，绝 对 值 以 及 负 整 数 指 数 累，解 题 的 关 键 是 掌 握 特 殊 锐 角 三 角 函 数 值，零 指 数 辕，绝 对 值 以 及 负 整 数 指 数 辕 的 性 质.24.（2022湖
49、 南）阅 读 下 列 材 料：在 A/8 C 中，N A、DB、NC所 对 的 边 分 别 为。、b、c,求 证：=一 二.sm A sin B证 明：如 图 1,过 点。作 于 点。，则：在 RtABCD 中，CD=asnB在 RtAACD 中，CD=hsinAasinB=bsnAa b.-=-sin A sin 5根 据 上 面 的 材 料 解 决 下 列 问 题：（2）为 了 办 好 湖 南 省 首 届 旅 游 发 展 大 会，张 家 界 市 积 极 优 化 旅 游 环 境.如 图 3,规 划 中 的 一 片 三 角 形 区 域 需 美化，已 知 4=67。，N8=53。，=8 0米，求
50、 这 片 区 域 的 面 积.（结 果 保 留 根 号.参 考 数 据：$m53。20.8,sin67 0.9）【答 案】见 解 析（2）180073【分 析】（1）作 8 C 边 上 的 高，利 用 三 角 函 数 表 示 4 0 后，即 可 建 立 关 联 并 求 解;（2）作 8。边 上 的 高，利 用 三 角 函 数 分 别 求 出 4 E 和 8 C,即 可 求 解.（1）证 明：如 图 2,过 点 A 作 于 点。，在 RtAABD 中,AD=csin B,在&A4CD 中，4D=bsinC,csin B=hsinC,解：如 图 3,过 点 A作 于 点 E,NBAC=67。,ZB