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1、考点11 平面向量的坐标运算知识理解一平面向量的坐标运算1.向量加法、减法、数乘及向量的模设(x1，y1)，b(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)，(x1x2，y1y2)，(x1，y1)，|.2.向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共线的坐标表示设(x1，y1)，(x2，y2)，其中0.，共线x1y2x2y10.4向量的夹角(1)已知两个非零向量和，作，则AOB就是向量与的夹角，向量夹角的范围是0，(2)夹角cos 5平面向量的数量积定义设两个非零向量，b的夹角为，则数量|cos 叫做与
2、的数量积(或内积)，记作投影|cos 叫做向量在方向上的投影，|cos 叫做向量在方向上的投影几何意义数量积等于的长度|与在的方向上的投影|cos 的乘积拓展：向量数量积不满足：消去律，即结合律，即()()6向量数量积的运算律(1).(2)()()().(3)()c7向量在平面几何中的应用问题类型公式表示线平行、点共线等问题x1y2x2y10，其中(x1，y1)，(x2，y2)，0垂直问题0x1x2y1y20，其中(x1，y1)，(x2，y2)，且a，为非零向量夹角问题cos (为向量，b的夹角)，其中，为非零向量长度问题|，其中(x，y)，为非零向量考向分析考向一 向量坐标的加减法【例1】(
3、2020全国高三专题练习)已知点则与同方向的单位向量为( )ABCD【答案】A【解析】,所以与同方向的单位向量为，故选A.【举一反三】1.(2020全国高三专题练习)已知M(3，2)，N(5，1)，且，则P点的坐标为()A(8,1)BCD(8，1)【答案】B【解析】设P(x，y)，则 (x3，y2)，而(8,1)，所以，解得，即， 故选B.2(2020四川资阳市高三)已知，则向量( ).ABC4D6【答案】C【解析】，所有.故选：C考向二 向量坐标的垂直平行运算【例2】(1)(2020河津中学高三月考)向量，若，则k的值是( )A1BC4D(2)(2020海口市海南中学高三月考)3.设向量，且
4、，则( )ABCD【答案】(1)B(2)A【解析】(1)因为所以，因为，所以 ，所以故选：B(2)因为，所以，当时，则有，解得.故选：A.【举一反三】1(2020贵州安顺市高三)已知向量，若，则实数的值为( )AB-3CD3【答案】B【解析】，则有，解得：.故选：B2(2020宁县第二中学)已知平面向量，若，则实数( )ABCD【答案】B【解析】因为，所以，即，又，故，解得.故选：B.3(2020永安市第三中学高三期中)已知向量，若，且，则实数( )ABCD【答案】D【解析】因为向量，则，又，所以，解得 .故选：D4(2020西藏拉萨市)设，向量，且，则_.【答案】0【解析】因为向量，且，所以
5、，得，解得，所以.故答案为：0考向三 模长【例3】(1)(2021全国高三专题练习)已知，则( )A2BC4D(2)(2020舒兰市实验中学校高三学业考试)若，则( )A0BC4D8【答案】(1)C(2)B【解析】(1)由题得=(0,4)所以故选C(2)因为.所以.故选：B.【举一反三】1(2020西藏拉萨市拉萨那曲第二高级中学)已知向量，则( )AB2CD50【答案】A【解析】由题意得，所以，故选：A2(2020黑龙江大庆市大庆中学)已知向量，若，则( )ABCD【答案】B【解析】已知向量，且，则，解得，因此，.故选：B.3(2020静宁县第一中学高三)已知平面向量，均为单位向量，若向量，的
6、夹角为，则( )A25B7C5D【答案】D【解析】因为平面向量，为单位向量，且向量向量，的夹角为，所以，故.故选：D4(2020西藏拉萨市拉萨那曲第二高级中学)设为单位向量，且，则_.【答案】【解析】为单位向量，故答案为：考向四 数量积及投影【例3】(1)(2020南京航空航天大学附属高级中学高三期中)已知平面向量，则与的夹角为_.(2)(2020莆田第十五中学高三)已知，则在方向上的投影等于_.【答案】(1)(2)【解析】(1)，设与的夹角为，则，又，所以，则与的夹角为.故答案为：(2)设，的夹角为，解得，则在方向上的投影等于故答案为：【举一反三】1(2020济南旅游学校)已知向量，则向量，
7、的夹角_【答案】【解析】令向量与的夹角为，由，所以，所以，故向量，的夹角为，故答案为：.2(2020全国福建省漳州市)已知，若，则与的夹角为_.【答案】【解析】，解得，即又与的夹角的范围是，则与的夹角为故答案为：3(2020深州长江中学高三期中)若向量，则，的夹角的度数为_【答案】【解析】设向量，的夹角为()，又，故答案为：0强化练习1(2020吉林市教育学院高三期中)下列向量中不是单位向量的是( )ABCD【答案】B【解析】A. B. C. D. 为单位向量故选：B2(2020贵州贵阳一中高三月考)已知向量，向量与共线，则( )ABCD【答案】C【解析】由题意可知：和不共线，所以和可以作为一
8、组基底，而与共线，所以，故选：C3(2020胶州市教育体育局教学研究室高三期中)已知向量，若，则实数的值为( )ABCD【答案】A【解析】由题意，向量，可得，因为，所以，解得.故选：A.4(2020湖南衡阳市一中高三期中)向量，满足，则向量与的夹角为( )ABCD【答案】D【解析】由题意，因为，且，所以，可得，所以向量，的夹角为.故选：D.5(2020山西省榆社中学高三)已知向量，则在上的投影是( )A4B2CD【答案】D【解析】由题意，向量，可得，所以在上的投影是.故选：D.6(2020黑龙江高三月考)已知向量，若，则向量在上的投影为( )ABCD【答案】B【解析】因为，所以，因为，所以，即
9、，所以向量在上的投影为，故选：B7(2020四川省绵阳南山中学高三月考)已知向量，则与的夹角为()ABCD【答案】B【解析】因为向量，所以,又因为,所以,故选B.8(2020深州长江中学高三期中)向量，则( )A2BC2或D或3【答案】C【解析】由，得所以，即，解得或故选：C9(2021福建省)已知向量，若/，则_【答案】【解析】因为/，则，得，所以.故答案为：.10(2020宁夏银川市银川一中)已知向量，若，三点共线，则实数_.【答案】或【解析】，三点共线，使， ，解得：或.故答案为：或.11(2020宁夏固原市固原一中高三月考)若向量且，实数_.【答案】【解析】由得，解得.故答案为：.11
10、(2020福建省泰宁第一中学高三)已知向量，如果，那么的值为_.【答案】【解析】向量，如果，则，解得，即，解得，所以.故答案为：12(2020山西高三月考)已知向量，若，则_【答案】2【解析】因为向量，所以，又且，所以，解得，故答案为：2故答案为：13(2020宁县第二中学高三期中)已知平面向量，若，则实数_.【答案】【解析】因为向量，若，则，解得.故答案为：.14(2020辽宁葫芦岛市高三月考)已知，若，则_.【答案】【解析】由题意，向量，因为，可得，则.故答案为：.15(2020山西吕梁市高三期中)若，且，则_.【答案】【解析】因为，所以，解得.故答案为：.16(2020上海徐汇区高三一模
11、)已知，若，则_【答案】1或3【解析】，即，解得：或.故答案为：或17(2020贵州安顺市高三)已知向量，若，则实数_【答案】【解析】由题意，又，解得故答案为：18(2020辽宁高三期中)设，是两个互相垂直的单位向量，则_.【答案】【解析】，是两个互相垂直的单位向量，则.故答案为：.19(2020威远中学校高三月考)已知向量，且，则_.【答案】8【解析】因为，且，所以，解得，故答案为：8.20(2020江西高三其他模拟)已知向量，若，则_.【答案】8【解析】因为，所以；因为所以；解得：.故答案为：21(2020河南开封市高三一模)已知向量，满足，则_.【答案】【解析】，解得(舍去)故答案为：22(2020四川宜宾市高三)已知向量，向量与向量的夹角为，则_.【答案】0【解析】，则，结合条件可知： 故答案为：023(2020静宁县第一中学高三月考)已知向量，若，则实数等于_.【答案】7【解析】因为向量，所以，因为，所以，解得，故答案为：724(2020梅河口市第五中学高三月考)已知向量，若，则_或_.【答案】 【解析】；解得m3或1此时或则或故答案为：；