《2023届高考数学专项练习极值点偏移问题与拐点偏移问题含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届高考数学专项练习极值点偏移问题与拐点偏移问题含解析.pdf（64页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023届 高 考 数 学 专 项 练 习 极 值 点 偏 移 问 题 与 拐 点 偏 移 问 题 极 值 点 偏 移 问 题 与 拐 点 偏 移 问 题【考 点 预 测】1.极 值 点 偏 移 的 相 关 概 念 所 谓 极 值 点 偏 移,是 指 对 于 单 极 值 函 数，由 于 函 数 极 值 点 左 右 的 增 减 速 度 不 同，使 得 函 数 图 像 没 有 对 称 性。若 函 数/（c）在=g 处 取 得 极 值,且 函 数 y=/（力）与 直 线 g=b交 于 两 点，则 的 中 点 为 M（迫 产,力，而 往 往 网 片 至*包。如 下 图 所 示。图 1 极 值 点 不
2、偏 移 图 2 极 值 点 偏 移 极 值 点 偏 移 的 定 义：对 于 函 数 y=/（c）在 区 间（a,6）内 只 有 一 个 极 值 点 与，方 程/（的 解 分 别 为 电、土 2，且 口 11：2：2 6，（1）若.?W 应，则 称 函 数 g=/（c）在 区 间（X1,x2）上 极 值 点 例 偏 移；（2）若 生 野 与,则 函 数 y=/（c）在 区 间（电,g）上 极 值 点 为 左 偏，简 称 极 值 点 g 左 偏；（3）若 丐 毁 V）,则 函 数 夕=/（力 在 区 间（Xi,x）上 极 值 点 而 右 偏，简 称 极 值 点 电）右 偏。【方 法 技 巧 与 总
3、 结】1.对 称 变 换 主 要 用 来 解 决 与 两 个 极 值 点 之 和、积 相 关 的 不 等 式 的 证 明 问 题.其 解 题 要 点 如 下：（1）定 函 数（极 值 点 为 3）,即 利 用 导 函 数 符 号 的 变 化 判 断 函 数 单 调 性，进 而 确 定 函 数 的 极 值 点 的.（2）构 造 函 数，即 根 据 极 值 点 构 造 对 称 函 数 F Q）=/（x）一/（2a 0,若 证 工 网 就，则 令 F（0=/（0-吟（3）判 断 单 调 性，即 利 用 导 数 讨 论 F Q）的 单 调 性.（4）比 较 大 小，即 判 断 函 数 R G 在 某
4、段 区 间 上 的 正 负，并 得 出/（t）与/（2与 一 0 的 大 小 关 系.（5）转 化，即 利 用 函 数/（0 的 单 调 性，将/（与/（2电）一 工）的 大 小 关 系 转 化 为 工 与 2为 一 工 之 间 的 关 系，进 而 得 到 所 证 或 所 求.【注 意】若 要 证 明 r（考 生）的 符 号 问 题，还 需 进 一 步 讨 论 胃 也 与 价 的 大 小，得 出 红 产 所 在 的 单 调 区 间，从 而 得 出 该 处 导 数 值 的 正 负.构 造 差 函 数 是 解 决 极 值 点 偏 移 的 一 种 有 效 方 法，函 数 的 单 调 性 是 函 数
5、的 重 要 性 质 之 一，它 的 应 用 贯 穿于 整 个 高 中 数 学 的 教 学 之 中.某 些 数 学 问 题 从 表 面 上 看 似 乎 与 函 数 的 单 调 性 无 关，但 如 果 我 们 能 挖 掘 其 内 在 联 系，抓 住 其 本 质，那 么 运 用 函 数 的 单 调 性 解 题，能 越 到 化 难 为 易、化 繁 为 简 的 作 用.因 此 对 函 数 的 单 调 性 进 行 全 面、准 确 的 认 识，并 掌 握 好 使 用 的 技 巧 和 方 法，这 是 非 常 必 要 的.根 据 题 目 的 特 点，构 造 一 个 适 当 的 函 数，利 用 它 的 单 调 性
6、 进 行 解 题，是 一 种 常 用 技 巧.许 多 问 题,如 果 运 用 这 种 思 想 去 解 决，往 往 能 获 得 简 洁 明 快 的 思 路，有 着 非 凡 的 功 效 2.应 用 对 数 平 均 不 等 式 后 焉 为 一,华 生 证 明 极 值 点 偏 移：由 题 中 等 式 中 产 生 对 数；将 所 得 含 对 数 的 等 式 进 行 变 形 得 到.一：2；利 用 对 数 平 均 不 等 式 来 证 明 相 应 的 问 题.3.比 值 代 换 是 一 种 将 双 变 量 问 题 化 为 单 变 量 问 题 的 有 效 途 径，然 后 构 造 函 数 利 用 函 数 的 单
7、 调 性 证 明 题 中 的 不 等 式 即 可.【题 型 归 纳 目 录】题 型 一，极 值 点 偏 移:加 法 型 题 型 二:极 值 点 偏 移:减 法 型 题 型 三:极 值 点 偏 移:乘 积 型 题 型 四:极 值 点 偏 移:商 型 题 型 五:极 值 点 偏 移:平 方 型 题 型 六:拐 点 偏 移 问 题 典 例 例 题】题 型 一，极 值 点 偏 移:加 法 型 例 1.(2022 浙 江 期 中)已 知 函 数/(%)=2 Ini a 有 两 个 不 同 的 零 点 刈，x2-(1)求 实 数 a 的 取 值 范 围；(2)证 明:血+g a+L例 2.(2022。汕
8、头 一 模)已 知 函 数/(立)=2-Int-a 有 两 个 相 异 零 点 x2(i 2)-(1)求 a 的 取 值 范 围；求 证：Xi+x2 吗 3 2.例 3.(海 淀 区 校 级 月 考)已 知 函 数/(，)=(x-2)ex+a(x-l)2,aG R.(I)求 曲 线 沙=f(0在 点 P(1,/(I)处 的 切 线 方 程；(11)若。0,求/(/)的 零 点 个 数；(III)若/有 两 个 零 点 Xi，曲,证 明：一+2 2 V 2.例 4.(2022江 门 一 模)己 知 函 数/=ln|x-l|-,a G R 是 常 数.(I)求 曲 线 0=/(。)在 点/)处 的
9、 切 线 方 程，并 证 明 对 任 意 a CR,切 线 经 过 定 点;(H)证 明：a V。时，设 卬 g 是/(的 两 个 零 点，且 电+g2.题 型 二，极 值 点 偏 移:减 法 型 例 5.(2022 七 星 区 校 级 月 考)已 知 函 数/3)=掘 2-务 2+1.(1)若/(x)在(0,+8)上 单 调 递 减，求 a 的 取 值 范 围；(2)若/Q)在/=1处 的 切 线 斜 率 是 十，证 明/Q)有 两 个 极 值 点 电 工 2,且 31n2|lnT,-lnT,|3.例 6.(2()22 常 熟 市 月 考)设 函 数/(，)=lni,g(%)=a(I-1),
10、其 中 aER.若 a=1,证 明：当 1 时,/(x)%,证 明:3的 一 名 12.例 7.(2022黄 州 区 校 级 模 拟)已 知 函 数/3=Q0n%(Q+1)1】加/3)的 导 数 为 外.(1)当 1时，讨 论/(%)的 单 调 性；(2)设 a 0,方 程/(2)=1 c 有 两 个 不 同 的 零 点 xi9 2(&x2+-例 8.）22 道 里 区 校 级 二 模）已 知 函 数/（=（a+l）lmr,73）为 函 数/Q）的 导 数.（1）讨 论 函 数/,Q）的 单 调 性；（2）若 当 772 0 时，函 数/（土）与 g（x）-一 工 的 图 象 有 两 个 交
11、点 A（xt，yj,B（x2,他）（“C g）,求 证:3：2+-i-e2.例 10.(2022 攀 枝 花 模 拟)已 知 函 数/=Inc+1-a(a e R,b G R)有 最 小 值 M,且 0.(I)求 eT-b+l的 最 大 值；(II)当 e-b+1取 得 最 大 值 时，设 F(fe)=-m(m G R),F(x)有 两 个 零 点 为 g,x2(Xl e3-例 11.(2022张 家 口 二 模)已 知 函 数/()=e，吟 出 一 a(e是 自 然 对 数 的 底 数)有 两 个 零 点.(1)求 实 数 a 的 取 值 范 围；2(2)若/(1)的 两 个 零 点 分 别
12、 为 电，色,证 明：XiX2例 12.(2022 武 进 区 校 级 月 考)已 知 函 数/Q)=Inx+犷 一 血(1)若 函 数/(7)在 z=1处 的 切 线 与 X轴 平 行，求 a 的 值；(2)若 存 在 t G 1,1,使 不 等 式/Q)一(a l)l n/对 于 a:E 1,c 恒 成 立，求 a 的 取 值 范 围;(3)若 方 程/(x)=12有 两 个 不 等 的 实 数 根 为、处,试 证 明 工 的 e2.题 型 四:极 值 点 偏 移:商 型 例 1 3.已 知 函 数/(rr)=x e(a 0)有 两 个 相 异 零 点 工 卜 g,且 g V g,求 证：
13、.X-2 a例 14.(2022 新 疆 模 拟)已 知 函 数/(c)=lux ax+十 炉.(1)当 a=|时，求/Q)的 单 调 区 间；(2)已 知 x9 x2(xi x2)为 函 数/(%)的 两 个 极 值 点，求 y=之 1g)-In 的 最 大 值.J X十 X2 3?2例 15.(2021春 湖 北 期 末)已 知 函 数/(0=aex+nx l(a E/?).(1)当 a e时,讨 论 函 数/Q)的 单 调 性：(2)若 函 数/恰 有 两 个 极 值 点 X,Vg),且 与+g W。:2,，求 方 的 最 大 值.例 16.(2022-宁 德 三 模)已 知 函 数/(
14、T)=aer+Inx-l(a E R).(1)当 a&e 时，讨 论 函 数/(为 的 单 调 性：(2)若 函 数/(a)恰 有 两 个 极 值 点 xx，x2(xl 2为，证 明：V X+X2例 18.（2022浙 江 开 学）已 知 a H,_ f（；r）=2 e-叭 其 中 e 为 自 然 对 数 的 底 数）.（I）求 函 数 沙=/3）的 单 调 区 间；（II）若 a 0,函 数,=/（工）a 有 两 个 零 点 4,啊,求 证：xf+x22e.例 19.（2021秋 泉 州 月 考）已 知 函 数/Q）=（1）讨 论/（工）的 单 调 性；（2）若（ezi）g=（ea；2）（e
15、 是 自 然 对 数 的 底 数），且 工 i 0,x2 0,W g,证 明:一+谖 2.例 2().(2()22 开 封 三 模)已 知 函 数 f(c)=m x(1)讨 论/(z)的 单 调 性；(2)若 zn=2,对 于 任 意 立 1/20,证 明：(立 卜/(刈)一 退 仔 32)(犹+谴)/必 2冠 题 型 六:拐 点 偏 移 问 题 例 21.已 知 函 数/(c)=21n+/+H.(1)求 曲 线 v=/Q)在 点(1,/(1)处 的 切 线 方 程.(2)若 正 实 数 工”g 满 足/(%)+f(x2)=4,求 证:XI+X-2 2.例 22.已 知 函 数 f(x)=(X
16、?-(1+-Inx(a G R).(1)当 a 0 时,讨 论 函 数/Q)的 单 调 性；(2)当 a=g 时，设 g(a;)=/(/)+6c,若 正 实 数 1，g,满 足 g(Nj+g(N2)=4,求 证：电+力 22.例 23.已 知 函 数/(x)=In/+2x ax29 aE R.(I)若/()在 刀=1处 取 得 极 值，求 a 的 值；(II)设 g=f(x)+(a 4)以 试 讨 论 函 数 g(i)的 单 调 性;(III)当 Q=2时，若 存 在 正 实 数 为，g 满 足/)+/(g)+3 g=皿+g,求 证：为+x2 过 关 测 试 1.(2022天 津 河 东 二
17、模)已 知 函 数/(土)=合 一 21m c(aeR且 aWO).(l)a=2,求 函 数/()在(2,/(2)处 的 切 线 方 程.(2)讨 论 函 数/(的 单 调 性；(3)若 函 数/(工)有 两 个 零 点 1、x2(x2e.2.(2022.河 北 沧 县 中 学 高 二 阶 段 练 习)已 知 函 数/(x)=，+丑+21nx-a(a G R)有 两 个 不 同 的 零 点 Z zXlyX),(1)求 实 数 Q的 取 值 范 围；(2)求 证：XiX2 1.3.(2022江 苏 泰 州 模 拟 预 测)已 知 函 数/=e”-a d+就 1,其 中 a,b为 常 数，e为 自
18、 然 对 数 底 数,e=2.71828-.(1)当 a=()时,若 函 数/(,)0，求 实 数 b的 取 值 范 围；(2)当 6=2a时,若 函 数 有 两 个 极 值 点 T,g，现 有 如 下 三 个 命 题：7为+bx 28；2/(Xi+x2)3xiX；Q g 1+1 2；请 从 中 任 选 一 个 进 行 证 明.(注：如 果 选 择 多 个 条 件 分 别 解 答,按 第 一 个 解 答 计 分)4.(2022 湖 北 武 汉 模 拟 预 测)已 知 函 数/(式)=z lnz(1)求 证：当/1 时，Inx J；(2)当 方 程/(a?)=m 有 两 个 不 等 实 数 根
19、TiG时，求 证：rr|+z27n+15.(2022 浙 江 绍 兴 模 拟 预 测)已 知 函 数/=ex-2x(a+1),g(x)=x2+(a l)x(a+2)(其 中 ey 2.71828是 自 然 对 数 的 底 数)(1)试 讨 论 函 数/(i)的 零 点 个 数；(2)当 a 1时，设 函 数 八(a)=f(x)-g(x)的 两 个 极 值 点 为 八.且 4iV 2,求 证:ex,eI,-l,feG R.X-i J L(1)若 k=0,证 明：x 6(1,0)时，/(i)V l；(2)若 函 数/(%)恰 有 三 个 零 点 41,如 23,证 明：勾+出+g L7.(2022
20、 湖 南 岳 阳 一 中 一 模)已 知 函 数 为 r)=a l n(/+2)-M a W R).(1)讨 论/(的 单 调 性 和 最 值；(2)若 关 于 的 方 程 e*=-I n 0)有 两 个 不 等 的 实 数 根 如 的,求 证：e1+e 2.7 7 1 TIT/X I N 7n8.(2022山 东 青 岛 二 中 高 三 期 末)已 知 函 数/()=(1 anx),a R R.(1)讨 论/Q)的 单 调 性；若 力(0,y 时，都 有/1,求 实 数 Q,的 取 值 范 围；(3)若 有 不 相 等 的 两 个 正 实 数 为，立 2满 足 圣 瞥=生，证 明：电+电 皈
21、 避 2.1+Inc】X 9.(2021 广 东 新 会 陈 经 纶 中 学 高 三 阶 段 练 习)已 知 函 数/(/)=z(l Imc).(1)讨 论/3)的 单 调 性；(2)设%匕 为 两 个 不 相 等 的 正 数,且 m 1&一 加 也=1 6,证 明：2 0 时，若 函 数 g(%)=%工+/(力),求 g(c)的 单 调 区 间；(3)当 a 0 时，若 函 数 九(力)=/(x)+2er ax恰 有 两 个 不 同 的 极 值 点 刈、g,且 力 i 电，求 证:色 尹 V In2a.11.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 函 数 f(x)=Q1x(rr 0
22、)(e为 自 然 对 数 的 底 数，a e R).ex(1)求/(的 单 调 区 间 和 极 值；(2)若 存 在 CiWg,满 足/(为)=/(如)，求 证：y/Xi+x2.12.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 函 数/(X)=|r r-a|+a,a G R.(1)若/(I)=2,求 a 的 值；(2)若 存 在 两 个 不 相 等 的 正 实 数 如 g,满 足/(电)=f(g),证 明：2 V 电+g V 2a；红 Va+L13.(2022四 川 省 泸 县 第 二 中 学 模 拟 预 测(文)已 知 函 数 fQ)=x%.e(i)求/(0 的 单 调 区 间；(2
23、)已 知 Q,b e R,且 a#b,若 aea+b+bea=aeb+bea+b，求 证：Q+b 0.极 值 点 偏 移 问 题 与 拐 点 偏 移 问 题【考 点 预 泅】1.极 值 点 偏 移 的 相 关 概 念 所 谓 极 值 点 偏 移,是 指 对 于 单 极 值 函 数，由 于 函 数 极 值 点 左 右 的 增 减 速 度 不 同，使 得 函 数 图 像 没 有 对 称 性。若 函 数/Q)在 处 取 得 极 值,且 函 数 g=/Q)与 直 线 g=b交 于 4+i，b),B(a:2,b)两 点，则 的 中 点 为 M(丐 驯 力)，而 往 往 网 片 至*生。如 下 图 所 示
24、。图 1 极 值 点 不 偏 移 图 2 极 值 点 偏 移 极 值 点 偏 移 的 定 义：对 于 函 数 y=/(c)在 区 间(a,6)内 只 有 一 个 极 值 点 与，方 程/(的 解 分 别 为 电、土 2，且 口 11：2：2 6，(1)若.?W 应，则 称 函 数 g=/(c)在 区 间(X1,x2)上 极 值 点 例 偏 移；(2)若 生 野 与,则 函 数 y=/(c)在 区 间(电,g)上 极 值 点 为 左 偏，简 称 极 值 点 g 左 偏；(3)若 丐 毁 V),则 函 数 夕=/(力 在 区 间(XbX-j)上 极 值 点 而 右 偏，简 称 极 值 点 为 右
25、偏。【方 法 技 巧 与 总 结】1.对 称 变 换 主 要 用 来 解 决 与 两 个 极 值 点 之 和、积 相 关 的 不 等 式 的 证 明 问 题.其 解 题 要 点 如 下：(1)定 函 数(极 值 点 为 3),即 利 用 导 函 数 符 号 的 变 化 判 断 函 数 单 调 性，进 而 确 定 函 数 的 极 值 点 的.(2)构 造 函 数，即 根 据 极 值 点 构 造 对 称 函 数 FQ)=/(x)一/(2a 0,若 证 工 网 就，则 令 F(0=/(0-吟(3)判 断 单 调 性，即 利 用 导 数 讨 论 F Q)的 单 调 性.(4)比 较 大 小，即 判 断
26、 函 数 R G 在 某 段 区 间 上 的 正 负，并 得 出/(t)与/(2与 一 0 的 大 小 关 系.(5)转 化，即 利 用 函 数/(0 的 单 调 性，将/(与/(2电)一 工)的 大 小 关 系 转 化 为 工 与 2为 一 工 之 间 的 关 系，进 而 得 到 所 证 或 所 求.【注 意】若 要 证 明 r(考 生)的 符 号 问 题，还 需 进 一 步 讨 论 胃 也 与 价 的 大 小，得 出 红 产 所 在 的 单 调 区 间，从 而 得 出 该 处 导 数 值 的 正 负.构 造 差 函 数 是 解 决 极 值 点 偏 移 的 一 种 有 效 方 法，函 数 的
27、 单 调 性 是 函 数 的 重 要 性 质 之 一，它 的 应 用 贯 穿于 整 个 高 中 数 学 的 教 学 之 中.某 些 数 学 问 题 从 表 面 上 看 似 乎 与 函 数 的 单 调 性 无 关，但 如 果 我 们 能 挖 掘 其 内 在 联 系，抓 住 其 本 质，那 么 运 用 函 数 的 单 调 性 解 题，能 越 到 化 难 为 易、化 繁 为 简 的 作 用.因 此 对 函 数 的 单 调 性 进 行 全 面、准 确 的 认 识，并 掌 握 好 使 用 的 技 巧 和 方 法，这 是 非 常 必 要 的.根 据 题 目 的 特 点，构 造 一 个 适 当 的 函 数，
28、利 用 它 的 单 调 性 进 行 解 题，是 一 种 常 用 技 巧.许 多 问 题,如 果 运 用 这 种 思 想 去 解 决，往 往 能 获 得 简 洁 明 快 的 思 路，有 着 非 凡 的 功 效 2.应 用 对 数 平 均 不 等 式 后 焉 为 一,a+L【解 答】解：(1)V 函 数/(4)=x Inrc a(2)=1一;，Jb当 e(H)时，r(V o,/(%)为 减 函 数，当 x 时，r 3)0,/(0)为 增 函 数，故 当 x=l 时，函 数/(%)X Inx a 取 最 小 值 1 Q,若 函 数/3)=2 Ina?-a 有 两 个 不 同 的 零 点 g,g.贝
29、I 1 a V 0,即 a 1;证 明：若 函 数/(=x-In/-a 有 两 个 不 同 的 零 点 电,x2.不 妨 设 0 V 1 Vg,则 Xi nx=a,JL x2 lnx2=a,若 证+g a+1.即 证 g 1 In，构 造 函 数 gQ)=/3)-/(I-Inrr),0 x 1,所 以 g(c)x Inx(1 Inx)+ln(l Ina?)=x l+ln(l Ina:),所 以 9*)=1一,(1 J In,0 x 0,所 以 九 3)单 调 递 增,所 以 0 h(x)g(l)=O,即/(x)/(1 Inx),0 x 1,又。i V 1/(l-lnx1)因 为/(l)在 区
30、间(1,+8)上 单 调 递 增，所 以 g 1 Inrct,古 攵 原 不 等 式 得 证.例 2.(2022*汕 头 一 模)已 知 函 数/(立)=Inc a 有 两 个 相 异 零 点 工 1，x2(xt 30),当 OVa:V I 时,/3)V 0 J Q)单 调 递 减,当 1时,/3)0,/3)单 调 递 增；要 使 函 数/(=I-ha-a 有 两 个 相 异 零 点，必 有/(I)=l-al,当 a l 时，-VI,且/9一)=。0,函 数/(c)在(0,1)有 一 个 零 点 丁 eal,/(ea)=ea-2a 0,函 数/()在(1,+8)有 一 个 零 点，/.Q，的
31、取 值 范 围 为(1,+8).(2)由 知，0 V 1 x2,*.*X lriX|-a=0,/.a=X1-lna?|,西 p,4 Q+2 7 4 a+2 4(为 一 lncJ+2-41nX|+2要 证 12 V-,x2 g(l)=1.occ.4 1 1 1 2 1+2.x2 1,-1,构 造 函 数 八=/(0 一/(至 二 陪 士 2),(O T I)hf(x)=2 x+l _ 1 _.-4l叼 3x x-4 1 n x+2 x 下 面 证 明 hf(x)0,即 证 明 In%一(V O，构 造 函 数 H(c)=Inx,(V i 0 在(0,1)上 恒 成 立，(2 x+iy x因 此
32、H Q)在(0,1)递 增，从 而 H(x)0,hx 在(0,1)递 增,Zi(ic)i 时，r(x)o,/(x)单 调 递 增，X 41nxj+2X-2-，即 X|+1 x7 4a+22 0,求/()的 零 点 个 数；(III)若/(7)有 两 个 零 点 X t,我,证 明：xi+x2 2.【解 答】解：(I)f=3-1)(e,+2a),/=/=0,故 切 线 方 程 是：y+e=();(II)由 已 知 f(x)=(a:1)(eI+2a),A x G(-o o,l),f(x)0,”3)f+8,当：r T+8 时，f(x)T+8,故 函 数/Q)有 2个 零 点；(ni)由(n)m.3
33、e(-o,i),x2(2,+1,:.2-X21,又 Xi/(2一 物)，,-7(x1)=y(x)=o,.即 证/(电)f(2-x2),x2 1由(口)知 re 1 时，g(x)=f(x)f(2 x)0，/U2)-/(2-T2)0,.J(g)/(2-1 2)得 证，Xi+22 V 2.例 4.(2022 江 门 一 模)已 知 函 数 f 3)=ln|x-1|1,a G 7?是 常 数.(I)求 曲 线”=/(在 点(2,/(2)处 的 切 线 方 程，并 证 明 对 任 意 a C R,切 线 经 过 定 点;(II)证 明：a V()时，设 1、?是/的 两 个 零 点，且 皿+2.【解 答
34、】(I)解:根 据 题 意，函 数/(2)=l n|c-1|一 旦，当/1,则/(a;)=ln(a;-1)一，则 f(=+号，X X 1 X-=1+卷 J=_ 1,则 切 线 的 方 程 为 9+与=(1+3)3 2),变 形 可 得：u 一 2+2=竽 3 4),联 立 L 书 仆 得 已；U-y-2=0 y=2切 线 经 过 定 点(4,2);(口)证 明：函 数/(工)=ln|x 1|的 定 义 域 为 H也()且 工 W 1,曲 线/(，)在 在 各 定 义 域 区 间 内 是 连 续 不 断 的 曲 线，当 a(),/(1+)=&-彳 口=皂 0,.7 3)在 区 间(1+首，2)上
35、 有 零 点 电,2 1+ea 1+ea在 区 间(0,1)上，/(=ln(l 一 包，r 3)=与+3 2,且 eV。，则/(1-ea)=n a-a=a(n-1 0,；.f(x)在 区 间(1 一 e,1-eM)内 有 零 点%由 7 3)单 调 递 减 知,7 3)在 区 间(0,1)内 有 唯 一 零 点 的.V 1 12,0 2 i 0=电)5由/3)单 调 递 减 知，2 一 V电，即 为+力 2 2.题 型 二，极 值 点 偏 移:减 法 型 例 5.(2022七 星 区 校 级 月 考)已 知 函 数/=7 1.一 牛 丁+1.若/3)在(),+8)上 单 调 递 减，求。的 取
36、 值 范 围；若/(*)在/=1处 的 切 线 斜 率 是，证 明/(有 两 个 极 值 点 且 31n2|lnx2-l n xt|0),.(%)在(0,+8)递 减,/.f()&0在(0,+8)上 恒 成 立,士 在(0,+co)上 恒 成 立,令 g 3)=M 3)=-里,“X:.x E(0,1)时，gf(T)0,g(x)递 增,x e(1,4-co)时,gf 3)VO,g Q)递 减,g(力)m ax g(1)1,a 1;(2)由 题 意 得/=a+1=-y,a=1,/(x)=xn x“2+1,1(i)=Inx 4-1-x,/=?一 3 0),令/3)o,解 得:/v 2,令 尸(c)V
37、 O,解 得：z 2,故 r(X)在(0,2)递 增，r(Z)在(2,+8)递 减，又=ln2 0,/(；)=一/V 0,r(e?)=3-J e c 0,cz/e 4故 r(x)分 别 在(.2)和(2,e2)有 零 点 电,应，(不 妨 设 为 g),，o v 出 v 为 时，/3)v 0,/(/)递 减,xl x 0,/(x)递 增，%g 时,/()0,.尸(9)VO,I N i 0,f(e2)V 0,4 V x2 e2,1 lna；i ln2,21n2 hi62 V 2,3 1 n2 x1X 2 Inrcx 1 时，/(i)g,证 明：3x0-2.【解 答】(1)解:令 h(x)=f(x
38、)g(a)=lnx a(x l)h x)=1=x 1,X X当%1时,h!x)1 时，h(x)1 时,/(c)0,且 G(ln=1 a(ln：)W=1(in).型 e=o,所 以 F Q)在(0,外)内 单 调 递 增；X X当 G(Tn,+8)时，F x)=Gj=0,所 以 F(%)在(力 u,+8)内 单 调 递 减,因 此 x（）是 R Q）的 唯 一 极 值 点.由(1)知 lnxx 1.从 而 F(ln-)=Inln-a(ln-l)d*=Inin十 ln-+1=R(l)=0,所 以 F(x)在 3(),4-oo)内 有 唯 一 零 点.又 F(x)在(0,g)内 有 唯 一 零 点
39、1,从 而 F(x)在(0,+8)内 恰 有 两 个 零 点.由 题 意，阳 二 即 落 二 2从 而 lnx,=二 炉-，即 铲-*=汕 笄.鬲 Xi-l因 为 当 化 1时，Inx V 2 1,又 为 g 1,故 铲 f y 以 电 1 D=脸 X 1两 边 取 对 数，得 Ine1,10 lnxo)于 是/l 的 V 21nx0 1时,讨 论 的 单 调 性；(2)设 a0,方 程/(Z)=总 人 有 两 个 不 同 的 零 点 X1,V g),求 证：B+e g+9.【解 答】解:=a(lnx+1)-0*1=牛+2 孥=(；+D.x x x-x若 一 i V a V O,则 当 OVr
40、rV-W 时，(0，/(0单 调 递 增；当 z f 时，/(0 时 J3)0,/单 调 递 增.故 当 一 I V a V O 时，在(0,+)上/(工)在(0,+8)上 单 调 递 增；在(0,+8)上 单 调 递 减.当 a 0 时，在(0,+8)上:单 调 递 增.证 明:令 g=/+a:一 卷，则 g，3)=1f+1.由 知，在(0,+8)上,g(x)单 调 递 增.又 9,=/+1=0,所 以 在(0,1)X,gx)0,gQ)单 调 递 增.又 g)=+(a+1)+5 一 总=a(l+)+(1 一 5)0,g=1-/V 0,g(e)=ae-(a+l)+e 1-=a(e 1)+(e
41、1 0,1 1所 以 为 不，QjVe,故 g+e g+w.例 8.(2022道 里 区 校 级 二 模)已 知 函 数/(z)=77u:lnz(771+1川 6,/e)为 函 数/Q)的 导 数.(1)讨 论 函 数/)的 单 调 性；若 当 m 0 时,，函 数/（%）与 g（x）=卷 一 1 的 图 象 有 两 个 交 点 4 为，幼），B（X2,如（电 V g）,求 证:*2+不 V4i+e.【解 答】解:-=mnx+mx X=minx-Fm:,设 hx）=minx-m 乎 十 L,xr,/m.m+1 mx-m+1九（）=+=-2-，x x X1当 772（）时，/（力）在（0,+8）
42、单 调 递 增；当 T m 0,x（）0 3）=%+”0 恒 成 立，6 X知 函 数 F,3）在（0,+8）上 为 增 函 数 且 斤=0,皿）=w，F（e）=m（e-1）+。（。J-0,知 尸 在 区 间 已，1）以 及（Le）内 各 有 一 个 零 点，即 为”（5，1）,应 6（1,e）,段 口 g 土 V e，即 g+（V 曲+e.题 型 三:极 值 点 偏 移:乘 积 型 例 9.）21春 汕 头 校 级 月 考）已 知，函 数/=Inz g，其 中 a C H.（1）讨 论 函 数/Q）的 单 调 性；（2）若 函 数/（有 两 个 零 点，求 a 的 取 值 范 围；（访）设/
43、（工）的 两 个 零 点 分 别 为 g,g,证 明：2：ix2 e2.【解 答】解：（1）函 数 的 定 义 域 为（0,+8）,当 Q 0,/（X）在（o,+8）单 调 递 增；当 a o 时，由 尸 3）=o 得 冗=十，则 当 o v z v j 时，/（%）v（）,/3）在 单 调 递 增；当 v-时,r（x）o,曲）在（J+8）单 调 递 减.（2）法 1:函 数/（c）有 两 个 零 点 即 方 程 nx ax=0 在（0,+8）有 两 个 不 同 根,转 化 为 函 数“=I n/与 函 数 沙=a c 的 图 象 在（0,+8）上 有 两 个 不 同 交 点，如 图：可 见，
44、若 令 过 原 点 且 切 于 函 数 0=In 1图 象 的 直 线 斜 率 为 fc,只 须 0 V a V k,设 切 点 4 看）,I n g），所 以 k=#_ 1）一 高，1=如 又 k=-l-n-x-(-)，所 以 1=的 的 lnx0，解 得 g=e,1 于 是 k=Q，所 以 O V a V g,法 2:由（1）当 a W 0时，/（c）在（0,+8）单 调 递 增，不 可 能 有 两 个 零 点,a 0,此 时/3)max=/(!)=I n-1,需 ln-1 0 解 得 0 V a V(,从 而 L e,A-a ar a又 了（T 常 0=吟-X=2ln-a设。3)=21n
45、c 力，力 c,则 gQ)=1 0故 g（0）在（e,+8）单 调 递 减（!）=。（1）g（e）=2-e e?o In g+In g 2,不 妨 设 a i g 0,-7UI)=O,/(X2)=O,/.1ng axi=0,lnx2 ax2=0,/.Inxi+In 2 a(/i+%2),Inc】lnx2=a(i x2),A InXi+nx2 2+g)2 nxA-n x2 2 一】i、2(-x2)-；-=In-；-一 42 X-)Xi+x2令 詈=t，则 t l,于 是 In瓷 坐 二 笔 乎，设 函 数 g=lnt 当 泮 Jb2 X I/2 t-I 1 t i l求 导 得：g，=十 一 需
46、 于=I-4(4+I)2 0,故 函 数.。是(1,+8)上 的 增 函 数，g g(i)=o,即 不 等 式 in t 2，+；)e?成 立.成 立，故 所 证 不 等 式 4四 2 例 1().(2022攀 枝 花 模 拟)已 知 函 数/(2)=Imr+5 a(a C e R)有 最 小 值“，且 0.(I)求。-6+1的 最 大 值;(II)当 ea-1 b+1取 得 最 大 值 时，设 F(b)=a 1 m(m G R),F(x)有 两 个 零 点 为 i,T2(X,es.【解 答】解：(I)有 题 意/3)=；-3=三 0),x xl X1当 b W 0 时，f(x)0,/(x)在
47、(0,+8)上 单 增，此 时 显 然 不 成 立，当 b 0 时,令/3)=(),得 x=6,此 时/(在(0.6)上 单 减，在 伍,+8)上 单 增，M=/(6)=lnb+l-a 0,即 l n b a-1,所 以 b e“T,e“T b W0.所 以 e T-b+1的 最 大 值 为 1.(II)证 明：当 ea t+1 取 得 最 大 值 时，a 1=Inb,F(b)=a 1 m=-m,In y 1mF(N)的 两 个 零 点 为 T|,g,则-m=0;-m=0,即 In。=m x,In g=m g,不 等 式 为 E e恒 成 立 等 价 于 In a?1+21ng=馆 为+27n
48、g=mQi+2g)3,In色 两 式 相 减 得 I n?=m(X x2)=m=.二；带 入 上 式 得 Qi+2 g)Innx2、c,Xi _ 3(X j-x2)-3 Q In V-：-Xi-x2 x2 X+2X2令 F=t(o 1),则 gU)=Int-(0 t o,l-r 十 2厂 所 以 函 数 g 在(0,1)上 单 调 递 增，；.g V g=0,得 证.例 11.(2()22 张 家 口 二 模)已 知 函 数/(0=e一 义 詈-a(e是 自 然 对 数 的 底 数)有 两 个 零 点.(1)求 实 数 a 的 取 值 范 围；2(2)若/3)的 两 个 零 点 分 别 为 电
49、，电，证 明：【解 答】解：(1)由 题 意 可 得，h(x)=xex-anx-ax=xex an(xex)=0 有 2 个 零 点，令 t(i)=xex,则 tr(T)=Q+l)ex 0 在 2 0 时 恒 成 立，故=跣，在(0,4-oo)上 单 调 递 增，所 以 hx)有 2 个 零 点 可 转 化 为 5(t)=t aAnt有 2 个 零 点，因 为 广(力=1一 年,a(),g(t)单 调 递 增，不 可 能 有 2 个 零 点,当 a 0 时，由/0 可 得 t 1,g(t)单 调 递 增；g V 0 可 得 0 V t V a,g 单 调 递 减，g(t)min=g(a)=a-
50、alna,若 0 V a V e,则 g(a)0,此 时 g()0 恒 成 立，没 有 零 点，若。=e，则 g(a)=0,有 一 个 零 点，若 a e,则 g(a)0,g(ca)e。一 a2 0 所 以 g)在(l,c),(c,c。)上 各 有 1个 零 点，符 合 题 意，综 上，a 的 范 围(e,+8)；2(2)证 明：要 证 XiX f+x,只 要 证 xxXiex+3：:e2,即 证 ln3e)+In(ges)2,由(1)可 知，t2=x2eX29所 以 0(1口 六 一 In幻=t)1,a(lnt2+Inti)=一+加,&+力(+l)111/所 以 hit+hit2=/_,1(