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1、一、一个方程所确定的隐函数及其导数什么是隐函数？显函数:隐函数:二元方程一元隐函数如有时可以将隐函数显化：定理1.设函数则方程单值连续函数 y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足满足条件导数两边对 x 求导在的某邻域内则例1方法一（公式法）例1方法二（直接求导法）方程两边对 x 求导，把 y 视为函数。例1方法三（微分法）方程两边同时微分若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,二阶导数:则还可求隐函数的 由一个三元方程确定的隐函数二元显函数：二元隐函数：三元方程 二元隐函数：如可以显化定理2.若函数
2、 的某邻域内具有连续偏导数;则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数 z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足 在点满足:某一邻域内可唯一确两边对 x 求偏导同样可得则例2方法一（公式法）例2方法二（求偏导）方程两边对 x 求偏导，把 z 视为函数，y 视为常数。例2方法三（微分法）方程两边同时微分例2解 令则练习解：二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由 F、G 的偏导数组成的行列式称为F、G 的雅可比 行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即雅可比 定理3.的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组的单值连续函数且有偏导数公式:在点
3、的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:导数；定理证明略.仅推导偏导数公式如下：(P85)有隐函数组 则两边对 x 求导得设方程组在点P 的某邻域内解的公式 故得系数行列式同样可得例3.设解:方程组两边对 x 求导，并移项得求练习:求答案:由题设故有例3.设求解法2（微分法）方程组两边同时微分用Gramer 法则显然，利用全微分法求偏导数更简便例4.设函数在点(u,v)的某一1)证明函数组(x,y)的某一邻域内2)求解:1)令对 x,y 的偏导数.在与点(u,v)对应的点邻域内有连续的偏导数,且 唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数式两边对 x 求导,得则有由定理 3 可知结论 1)
4、成立.2)求反函数的偏导数.从方程组解得同理,式两边对 y 求导,可得例4 的应用:计算极坐标变换的反变换的导数.同样有所以由于内容小结1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.利用微分形式不变性;方法3.代公式.思考与练习设 求提示:解法2.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.第六节 由d y,d z 的系数即可得作业 P89 2,8，9,10(1);(3)备用题分别由下列两式确定:又函数有连续的一阶偏导数,1.设解:两个隐函数方程两边对 x 求导,得(考研)解得因此2.设是由方程 和所确定的函数,求解法1 分别在各方程两端对 x 求导,得(考研)解法2 微分法.对各方程两边分别求微分:化简得消去 可得