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1、1 一次函数知识点总结:函数性质：1.y 的变化值与对应的 x 的变化值成正比例，比值为 k.即：y=kx+b（k，b 为常数，k0）当 x 增加 m，k（x+m)+b=y+km,km/m=k。2.当 x=0 时，b 为函数在 y 轴上的点,坐标为(0，b)。3.当 b=0 时(即 y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。4.一次函数的图像：直线 5.在两个一次函数表达式中：当两一次函数表达式中的 k 相同，b 也相同时，两一次函数图像重合；当两一次函数表达式中的 k 相同，b 不相同时，两一次函数图像平行；当两一次函数表达式中的 k 不相同，b 不相同时，两一次函
2、数图像相交；当两一次函数表达式中的 k 不相同，b 相同时，两一次函数图像交于 y 轴上的同一点（0，b）。若两个变量 x,y 间的关系式可以表示成 Y=KX+b(k,b 为常数，k 不等于 0）则称 y 是 x 的一次函数 图像性质 1作法与图形：通过如下 3 个步骤：（1）列表.（2）描点；一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。一般的 y=kx+b(k0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。正比例函数 y=kx(k0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。（3）连线，可以作出一次函数的图象 一条直线。因此，作一次函数的图象
3、只需知道 2 点，并连成直线即可。（通常找函数图象与 x 轴和 y 轴的交点分别是-k分之 b 与 0，0 与 b）.2性质：（1）在一次函数上的任意一点 P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k0)。（2）一次函数与 y 轴交点的坐标总是（0，b)，与 x 轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。3函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。4 k，b 与函数图像所在象限：y=kx 时（即 b 等于 0，y 与 x 成正比例)：当 k0 时，直线必通过第一、三象限，y随 x 的增大而增大；当 k0,b0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限；当 k0,b0,这时此函数
4、的图象经过第一、三、四象限；当 k0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限；当 k0,b0 时，直线必通过第一、二象限；当 b0 时，直线必通过第三、四象限。2 特别地，当 b=0 时，直线通过原点 O（0，0）表示的是正比例函数的图像。这时，当 k0 时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。当 k0 时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。4、特殊位置关系：当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中 K 值（即一次项系数）相等 当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中 K 值互为负倒数（即两个 K 值的乘积为-1）点斜式 y-y1=k(x-x1)（k 为直线斜率
5、,(x1,y1)为该直线所过的一个点）两点式(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)（已知直线上（x1,y1）与（x2,y3）两点）截距式（a、b 分别为直线在 x、y 轴上的截距）实用型（由实际问题来做）公式 1.求函数图像的 k 值：（y1-y2)/(x1-x2)2.求与 x 轴平行线段的中点：|x1-x2|/2 3.求与 y 轴平行线段的中点：|y1-y2|/2 4.求任意线段的长：(x1-x2)2+(y1-y2)2（注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式 两个一次函数 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令
6、y1=y2 得 k1x+b1=k2x+b2 将解得的 x=x0 值代回 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 两式任一式 得到 y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标 6.求任意 2 点所连线段的中点坐标：（x1+x2）/2，（y1+y2）/2 7.求任意 2 点的连线的一次函数解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2)(其中分母为 0，则分子为 0)x y+，+（正，正）在第一象限-，+（负，正）在第二象限-，-（负，负）在第三象限+，-（正，负）在第四象限 8.若两条直线 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2，那么
7、k1=k2，b1b2 9.如两条直线 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2，那么 k1 k2=-1 10.y=k（x-n）+b就是向右平移 n 个单位 复习要点：一次函数的图象和性质 3 正比例函数的图象和性质 考点讲析 1一次函数的意义及其图象和性质 一次函数：若两个变量 x、y 间的关系式可以表示成 y=kx b(k、b 为常数，k 0）的形式，则称 y 是 x 的一 次函数(x 是自变量,y 是因变量特别地，当 b=0 时，称 y 是 x 的正比例函数 一次函数的图象：一次函数 y=kx+b 的图象是经过点(0，b),(，0）的一条直线，正比例函数 y=kx 的图象是经过原点(0，0）
8、的一条直线，如下表所示 4 一次函数的性质：y=kx b(k、b 为常数，k 0）当 k 0 时，y 的值随 x 的值增大而增大；当 k 0 时，y 的值随x 值的增大而减小 直线 y=kx b(k、b 为常数，k 0）时在坐标平面内的位置与 k 在的关系 直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）；2一次函数表达式的求法 待定系数法：先设出式子中的未知系数，再根据条件列议程或议程组求出未知系数，从而写出这个式子的方法，叫做待定系数法，其中的未知系
9、数也称为待定系数。用待定系数法求出函数表壳式的一般步骤：写出函数表达式的一般形式；把已知条件(自变量与函数的对应值)公共秩序 函数表达式中，得到关于待定系数的议程或议程组；解方程(组)求出待定系数的值，从而写出函数的表达式。一次函数表达式的求法：确定一次函数表达式常用 待定系数法，其中确定正比例函数表达式，只需一对 x 与 y 的值，确定一次函数表达式，需要两对 x 与 y 的值。5 反比例函数：(1)反比例函数 如果xky(k 是常数，k 0)，那么 y 叫做 x 的反比例函数(2)反比例函数的图象 反比例函数的图象是双曲线(3)反比例函数的性质 当 k 0 时，图象的两个分支分别在第一、三
10、象限内，在各自的象限内，y 随 x 的增大而减小 当 k 0 时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y 随 x 的增大而增大 反比例函数图象关于直线 y x 对称，关于原点对称(4)k 的两种求法 若点(x0，y0)在双曲线xky 上，则 k x0y0 k 的几何意义：若双曲线xky 上任一点 A(x，y)，AB x 轴于 B，则 SAOB|2121y x AB OB.|21k(5)正比例函数和反比例函数的交点问题 若正比例函数 y k1x(k1 0)，反比例函数)0(22 kxky，则 当 k1k2 0 时，两函数图象无交点；当 k1k2 0 时，两函数图象有两个交点，坐标
11、分别为).,(),(2 1122 112 k kkkk kkk 由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称(6)对于双曲线上的点 A、B，有两种三角形的面积(SAOB)要会求(会表示)，如图 7 1 所示 6 考点一、平面直角坐标系（3 分）1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点 O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割
12、而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念 点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当b a 时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。考点二、不同位置的点的坐标的特征（3 分）1、各象限内点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一象限0,0 y x 点 P(x,y)在第二象限0,0 y x 点 P(x,y)在第三象限0,0 y x 点 P(x,y)在第四象限0,0 y x 2、坐标轴上的点的特征 点 P(x,y)在 x
13、 轴上0 y，x 为任意实数 点 P(x,y)在 y 轴上0 x，y 为任意实数 点 P(x,y)既在 x 轴上，又在 y 轴上x，y 同时为零，即点 P 坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x 与 y 相等 点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x 与 y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于 x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征 点 P 与点 p关于 x 轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数 点 P 与点
14、p关于 y 轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数 点 P 与点 p关于原点对称横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点 P(x,y)到 x 轴的距离等于y（2）点 P(x,y)到 y 轴的距离等于x（3）点 P(x,y)到原点的距离等于2 2y x 考点三、函数及其相关概念（38 分）1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。2、函数解析式 用来表
15、示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。（2）列表法 把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。（3）图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。7 4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的
16、曲线连接起来。考点四、正比例函数和一次函数（310 分）1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果b kx y（k，b 是常数，k0），那么 y 叫做 x 的一次函数。特别地，当一次函数b kx y 中的 b 为 0 时，kx y（k 为常数，k0）。这时，y 叫做 x 的正比例函数。2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数b kx y 的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数kx y 的图像是经过原点（0，0）的直线。k 的符号 b 的符号 函数图像 图像特征 k0 b0 y 0 x 图像经过一、二、三象限，y 随 x 的增大而
17、增大。b0 y 0 x 图像经过一、三、四象限，y 随 x 的增大而增大。K0 y 0 x 图像经过一、二、四象限，y 随 x 的增大而减小 b0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；（2）当 k0 时，y 随 x 的增大而增大（2）当 k0 时，y 随 x 的增大而减小 6、正比例函数和一次函数解析式的确定 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y（k0）中的常数 k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y（k0）中的常数 k 和 b。解这类问题的一般方法是待定系数法。8 考点五、反比例函数（310 分）1、反比例函数的概念 一般地，函数xky（k
18、 是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成1 kx y的形式。自变量 x的取值范围是 x0 的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。2、反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量 x0，函数 y0，所以，它的图像与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。3、反比例函数的性质 反比例函数)0(kxky k 的符号 k0 k0 时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。x 的取值范围是 x0，y 的取值范围是 y0；当 k0 时，函数图像的两个分支分别 在第二、四象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。4、反比例函数解析式的确定 确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数xky 中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出 k 的值，从而确定其解析式。5、反比例函数中反比例系数的几何意义 如下图，过反比例函数)0(kxky图像上任一点 P作 x 轴、y 轴的垂线 PM，PN，则所得的矩形 PMON 的面积S=PMPN=xy x y。k S k xyxky,。