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1、一元二次方程根的判别式知识点及应用 1、一元二次方程 ax+bx+c=0(a0)的根的判别式定理：在一元二次方程ax+bx+c=0(a0)中，=b 4ac若 0 则方程有两个不相等的实数根 若=0 则方程有两个相等的实数根 若 0 则方程没有实数根 2、这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：在一元二次方程 ax+bx+c=0(a0)中，=b 4ac若方程有两个不相等的实数根，则 0 若方程有两个相等的实数根，则=0若方程没有实数根，则 0特别提示：（1）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。（2）一元二次方程 ax+bx+c
2、=0(a0)（=b 4ac）判别式 的情况 根的情况 定理与逆定理 021 242b b acxa、0 方程有两个不相等的实数根 01 202 2b bxa a、0 方程有两个相等的实数根 021 24 b ac x x 无意义、不存在 0 方程没有实数根3、一元二次方程根的判别式的多种应用：一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。例 1、判断下列方程根的情况2x2+x 1=0；x22x3=0；x26x+9=0；2x2+x+1=0二、已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。例 2、当 m 为何值时关于 x 的方程（m4）x2（2m1）x+m=0 有两个实数根？三、证明方程根的性
3、质。例 3、求证：无论 m 为任何实数，关于 x 的方程 x2+（m2+3）x+0.5(m 2+2)=0 恒有两个不相等的实数根。四、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。例 4、当 m 为何值时，关于 x 的二次三项式 mx 2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。五、判定二次三项式为完全平方式。例 5、若 x2-2（k+1）x+k2+5 是完全平方式，求 k 的值。例 6、当 m 为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）x+3m 2 是完全平方式。六、利用判别式构造一元二次方程。例 7、已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x y）求证：2y=x+z七、限制
4、一元二次方程的根与系数关系的应用。例 8、已知关于 x 的方程 x2-（k-1）x-3k-2=0的两个实数根的平方和为 17，求 k 的值。八、与几何知识相联系的问题。例 9、已知方程 a（x2+1）-2bx+c（x2-1）=0 有两个相等的实数根，a、b、c 为一三角形的 三条边，求此三角形的形状。例 10、已知 a、b、c 为直角三角形的三条边，c 为斜边，求证：关于 x 的方程 x2-2（a+b）x+c2+ab=0 有两个相等的实数根。九、判断其他类方程根的情况。例 12、分式方程 无实数根，求 m 的取值范围。例 13、a、b、c 为一三角形的三条边长，若方程 ax-y+bc=0 与方
5、程 x2-ax-y+b 2=0 只有一组 公共的实数解，求次三角形的形状。十、解决二次函数的相关问题。例 14、若抛物线 y=x 2-ax+8的顶点在横轴上，求 a 值。例 15、求证：无论 m 为何值，二次函数 y=x 2-（m+4）x+2（m-1）总与横轴有两个交点。例 16、直线 y=3x-3 与 y=x 2-x+1有几个交点？评析：二次函数与二次方程有密切的联系，抛物线与横轴交点个数由 决定，即 0 时，有两个交点；=0 时，有一个交点（或者说顶点在横轴上）；0 时函数值恒为正，当 a0 时函数值恒为负）。十一、求最值问题。例 17、已知 x 为任意实数，求的最值。十二、巧解方程（组）。例 18、求方程 2x2-2xy+y2-2x+1=0 的实数解。方程中若方程有两个不相等的实数根则若方程有两个相等的实数根则若方程没有实数根则特别提示注意根的判别式定 的情况定理与逆定理的情况方程有两个不相等的实数根无意义不存在方程有两个相等的实数根方程没有实数根一元二 程根的情况求方程中字母系数所满足的条件例当为何值时关于的方程有两个实数根三证明方程根的性质例求证无论为