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1、2019-2020 学年新教材高中数学 第一课 考点突破素养提升 新人教 A版必修 2 -1-2019-2020学年新教材高中数学 第一课 考点突破素养提升 新人教A 版必修2 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019-2020学年新教材高中数学 第一课 考点突破素养提升 新人教 A 版必修 2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅
2、，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为2019-2020学年新教材高中数学 第一课 考点突破素养提升 新人教A 版必修2 的全部内容。2019-2020 学年新教材高中数学 第一课 考点突破素养提升 新人教 A版必修 2 -2-第一课 考点突破素养提升 素养一 数学运算 角度 1 平面向量的运算 【典例 1】如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F分别是 BC，DC上的点，且满足=，=2，记=a,=b,试以 a，b 为平面向量的一组基底.利用向量的有关知识解决下列问题.（1）用 a,b 来表示向量与.(2）若=3，=2，且|=,求|.【解析】(1）=+=+=-=a b，=+=+=-=b a。（2
3、）由(1)可知：=-,=-，所以=-+，因为|=3，=2，且|=，所以=22 23cos BAD+32，2019-2020 学年新教材高中数学 第一课 考点突破素养提升 新人教 A版必修 2 -3-所以 cos BAD=，所以=-+，=3232cos BAD+22，=96+1=7，所以=。【类题通】1。向量的线性运算的求解方法(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解.(2）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外,有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知
4、向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解。2.平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 ab=a|b|cos a，b。(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a=(x1，y1)，b=(x2，y2），则 ab=x1x2+y1y2。（3）利用数量积的几何意义求解。【加练固】正方形 ABCD 的边长为 2,点 E为 BC边的中点，F为 CD边上一点，若=，则=（)2019-2020 学年新教材高中数学 第一课 考点突破素养提升 新人教 A版必修 2 -4-A.3 B。5 C.D。【解析】选 D。如图:以 A为坐标原点，AB所在直线为 x 轴，AD所在
5、直线为 y 轴建立坐标系，因为 E为 BC边的中点，所以 E（2，1），因为 F为 CD边上一点，所以可设 F(t，2)（0t 2)，所以=(t，2），=(2，1），由=可得：2t+2=22+1=5，所以 t=，所以=，所以=.角度 2 利用正、余弦定理解三角形【典例 2】(1）（2019大庆高一检测）在ABC中，若 A=60,a=4，b=4,则 B等于()A。45或 135 B。135 C.45 D。以上答案都不对 2019-2020 学年新教材高中数学 第一课 考点突破素养提升 新人教 A版必修 2 -5-(2）在ABC中，若 a=8，b=7，cos C=，则最大角的余弦值是（)A。-B。
6、C。D。-(3)在ABC中，点 D在 BC边上，cos ADB=-,cos C=，AC=7.求 sin CAD的值；若 BD=10，求 AD的长。【解析】(1）选 C。由正弦定理得 sin B=，又因为 bc，所以 C为锐角，因此 cos C=.于是 cos（BC)=cos Bcos C+sin Bsin C=+=.素养二 直观想象 角度 平面向量在解三角形中的应用【典例 5】已知点 O是ABC内部一点,并且满足+2+3=0，BOC的面积为 S1,ABC的面积为 S2,则=(）A。B.C。D。【解析】选 A。因为+2+3=0，所以+=-2,分别取 AC，BC的中点 D,E，则+=2，+=2，所
7、以=2，即 O，D,E 三点共线且=2,如图所示,则 SOBC=SDBC，2019-2020 学年新教材高中数学 第一课 考点突破素养提升 新人教 A版必修 2 -13-由于 D为 AC中点,所以 SDBC=SABC，所以 SOBC=SABC，即=.【类题通】数形结合思想在平面向量中的应用（1)向量的线性运算中,三角形、平行四边形法则、数乘向量都让向量具备形的特征，解此类问题的关键往往是利用图形直观地进行分析，如典例 5 中，通过对已知向量表达式的变形，推出BOC与ABC的面积之间的关系.（2)向量的数量积运算中，首先要注意向量投影的应用,其次向量的数量积可处理线段的长度、两直线夹角问题.【加
8、练固】如图，已知 AB为圆 C的一条弦，且=2,则=_.【解析】过点 C作 CD AB于 D，则 D为弦 AB的中点，在 RtACD 中，AD=AB,cos CAB=，2019-2020 学年新教材高中数学 第一课 考点突破素养提升 新人教 A版必修 2 -14-=cos CAB=2，所以=2.答案:2 素养三 逻辑推理 角度 1 平面向量在平面几何中的应用【典例 6】已知ABC,点 H,O为ABC 所在平面内的点，且=,=,+=，则点 O为ABC 的（)A.内心 B.外心 C.重心 D。垂心【解析】选 B.因为=，所以=0，即=0,又+=，所以+=,即=+，所以=0，即=0，所以=，所以 O
9、B=OC，同理 OA=OC，所以 O是ABC 的外心.【类题通】向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题.设 a=(x1，y1)，b=（x2，y2）,为实数。(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题,常用共线向量定理：2019-2020 学年新教材高中数学 第一课 考点突破素养提升 新人教 A版必修 2 -15-aba=b(b0）x1y2x2y1=0.（2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：ab ab=0 x1x2+y1y2=0。(3)求夹角问题,利用夹角公式：cos=(为 a 与 b
10、的夹角).【加练固】若 O为ABC 所在平面内一点,=0，则ABC 的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C。正三角形 D.以上答案均错【解析】选 A。=0，设 D为 AB的中点,则+=2，所以2=0，所以，所以ABC的中线与底边垂直，所以ABC是等腰三角形.角度 2 利用正弦、余弦定理判断三角形的形状【典例 7】已知ABC的三个内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，若 a+c=2b，2cos 2B-8cos B+5=0，求角 B的大小并判断ABC的形状.【解析】因为 2cos 2B8cos B+5=0，所以 2（2cos2B1）-8cos B+5=0.所以 4cos2B-8cos
11、B+3=0，即（2cos B-1)(2cos B3）=0.解得 cos B=或 cos B=（舍去）.因为 0B，所以 B=。因为 a+c=2b。2019-2020 学年新教材高中数学 第一课 考点突破素养提升 新人教 A版必修 2 -16-由正弦定理,得 sin A+sin C=2sin B=2sin=.所以 sin A+sin=，所以 sin A+sincos A-cossin A=.化简得 sin A+cos A=,所以 sin=1。因为 0A，所以 A+，所以 A+=。所以 A=，C=.所以ABC是等边三角形.【类题通】根据所给条件确定三角形的形状的两条途径（1)化边为角；（2）化角为
12、边.常见具体方法有：通过正弦定理实施边角转换；通过余弦定理实施边角转换;通过三角变换找出角之间的关系;b2+c2-a20A为锐角，b2+c2a2=0A为直角，b2+c2a20A为钝角.【加练固】在ABC中，a，b，c 分别为内角 A，B，C的对边，且 2asin A=（2b+c)sin B+(2c+b）sin C。（1）求 A的大小.（2）若 sin B+sin C=1，试判断ABC的形状.2019-2020 学年新教材高中数学 第一课 考点突破素养提升 新人教 A版必修 2 -17-【解析】（1）由已知和正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c，即 a2=b2+c2+bc。由余弦定
13、理得 a2=b2+c2-2bccos A，故 cos A=-，又 0A180，所以 A=120.(2)由 a2=b2+c2+bc 得 sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C,由 sin B+sin C=1得 sin2B+sin2C+2sin Bsin C=1。由及 sin A=,得 sin Bsin C=。又 sin B+sin C=1，故 sin B=sin C=。因为 0B90，0C90，故B=C=30，所以ABC是等腰的钝角三角形。素养四 数学建模 角度 利用正弦、余弦定理解实际应用题【典例 8】（2019福州高一检测)如图所示，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶
14、P处测得三点的俯角分别为，,.计划沿直线 AC开通穿山隧道，请根据表格中的数据，计算隧道 DE的长度.cos AD EB BC 45 60 12-3 2019-2020 学年新教材高中数学 第一课 考点突破素养提升 新人教 A版必修 2 -18-【解析】由 cos=，为锐角可得，sin=，则 sin（60-)=sin 60cos cos 60sin =.在PBC中，BPC=60-,PCB=，BC=12 3.由正弦定理可得，PB=6.在PAB中，PAB=45，APB=75，PB=6.由正弦定理可得，AB=9+3,即 DE=AB-AD-EB=9 所以,隧道 DE的长度为 9。【类题通】1。几种常见
15、题型 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题等.2.解题时需注意的几个问题（1)要注意仰角、俯角、方位角、方向角等概念,并能准确地找出(或作出）这些角；(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解决.【加练固】2019-2020 学年新教材高中数学 第一课 考点突破素养提升 新人教 A版必修 2 -19-如图，A，C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午 8 时从 A岛出发，以 10 海里/小时的速度,沿北偏东 75方向直线航行，下午 1 时到达 B处.然后以同样的速度，沿北偏东 15方向直线航行，下午 4 时到达 C岛。（1）求 A，C两岛之间的直线距离。(2)求BAC的正弦值。【解析】（1)在ABC中，由已知,AB=105=50，BC=103=30,ABC=18075+15=120。根据余弦定理，得 AC2=502+30225030cos 120=4 900,所以 AC=70.故 A，C两岛之间的直线距离是 70 海里.（2）在ABC中，据正弦定理，得=，所以 sin BAC=.故BAC的正弦值是。2019-2020 学年新教材高中数学 第一课 考点突破素养提升 新人教 A版必修 2 -20-