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1、用字母表示数及整式（基础）知识讲解用字母表示数及整式（基础）知识讲解【学习目标】【学习目标】1.知道字母能表示什么；能用字母写出简单问题中的数量关系；2.能按要求列出代数式，会求代数式的值；3.会识别单项式系数与次数、多项式的项与系数；4.理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系【要点梳理】【要点梳理】要点一、要点一、字母表示数字母表示数用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更具有普遍意义了举例：如果用 a、b 表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为：abba乘法交换律可以用字母表示为：abba要点二、要点二、代数式代数式1
2、.1.代数式的定义：代数式的定义：诸如：16n，2a+3b，34，2n，2)(ba 等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式要点诠释：要点诠释：带等号或不等号的式子不是代数式，如33x，33x，33x 等都不是代数式2.2.列代数式：列代数式：在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性要点诠释：要点诠释：代数式的书写规范：代数式的书写规范：（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“”或省略不写；（2）除法运算一般以分数的形式表示；（3）字母与数字相乘时，通常
3、把数字写在字母的前面；（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；（5）如果字母前面的数字是 1，通常省略不写3.3.代数式的值代数式的值：一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值要点三、整式要点三、整式1.1.单项式单项式（1 1）单项式的定义：）单项式的定义：如22xy，13mn，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式要点诠释：要点诠释：单项式一定是代数式，但若分母中含有字母的代数式，如5m就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积（2 2）单项式的系数
4、）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数要点诠释：要点诠释：确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数圆周率是常数，单项式中出现时，应看作系数当一个单项式的系数是 1 或-1 时，“1”通常省略不写单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：2114x y写成254x y（3 3）单项式的次数：）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数要点诠释：要点诠释：没有写指数的字母，实际上其指数是 1，计算时不能将其遗漏2 2多项式多项式(1)(1)多项式的定义：多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式要点诠释要点诠释：“几个”是指两个或
5、两个以上(2)(2)多项式的项：多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项要点诠释：要点诠释：多项式的每一项包括它前面的符号一个多项式含有几项，就叫几项式，如：2627xx是一个三项式(3)(3)多项式的次数：多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数要点诠释：要点诠释：多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出（4 4）升幂排列与降幂排列：升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某
6、一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列如:多项式 2x3y2-xy3+21x2y4-5x4-6 是六次五项式,按 x 的降幂排列为-5x4+2x3y2+21x2y4-xy3-6,在这里只考虑x的指数,而不考虑其它字母;按y的升幂排列为-6-5x4+2x3y2-xy3+21x2y4要点诠释：要点诠释：重新排列多项式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动；含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列3.3.整式：整式：单项式与多项式统称为整式要点诠释：要点诠释：（1）单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整
7、式必是代数式，但反过来就不一定成立（2）分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式【典型例题】【典型例题】类型一、字母表示数类型一、字母表示数1填空：（1）如果 a 表示一个有理数，那么它的相反数是；（2）一个正方形的边长是 a cm，把这个正方形的边长增加 1cm 后所得到的正方形的周长是；（3）某城市 5 年前人均收入为 n 元，预计今年收入是五年前的 2 倍多 500 元，那么今年人均收入将达_元【思路点拨】（1）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可；（2）正方形的周长等于边长的 4 倍；（3）注意“多”、“少”、“倍”等词语对应的数学语言【答案】（1）-a；（2）（4a+
8、4)cm（或 4（a+1）cm）；（3）(2n+500).【解析】解：（1）如果 a 表示一个有理数，那么它的相反数是a；（2）这个正方形的边长增加 1cm 后所得到的正方形的边长为(a+1)cm，所以周长为 4（a+1）cm，也即（4a+4)cm；（3）某城市 5 年前人均收入为 n 元，预计今年收入是五年前的 2 倍多 500 元，那么今年人均收入将达(2n+500)元【总结升华】和、差形式的代数式要在单位前把代数式括起来.类型二、代数式类型二、代数式2（2016 春定州市校级月考）下列式子中，不属于代数式的是（）Aa+3Bmn2CDxy【思路点拨】代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方
9、、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子单独的一个数或者一个字母也是代数式带有“（）”、“（）”、“=”、“”等符号的不是代数式，分别进行各选项的判断即可【答案】D【解析】解：A、是代数式，故本选项错误；B、是代数式，故本选项错误；C、是代数式，故本选项错误；D、不是代数式，故本选项正确；故选 D【总结升华】本题考查了代数式的知识，注意将代数式与等式及不等式区分开来举一反三：举一反三：【变式 1】（1）x 的平方的 3 倍与 5 的差，用代数式表示为.（2）操作电脑时，甲 4 小时打x个字，乙 3 小时打y个字，甲乙两人每小时共打个字【答案】（1）235x（2）（43xy）【变式 2】（201
10、5吉林）购买 1 个单价为 a 元的面包和 3 瓶单价为 b 元的饮料，所需钱数为（）A（a+b）元B3（a+b）元C（3a+b）元D（a+3b）元【答案】D类型三、整式类型三、整式3指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数234a b，a，442 x，amn，223 a y，a-3，5-3，82-3 10 tm，2x y【答案与解析】解：234a b，a，442 x，223 a y，5-3，82-3 10 tm，2x y是单项式，其中234a b的系数是34，次数是 3；a的系数是-1，次数是 1；442 x的系数是42，次数是 4；223 a y的系数是3，次数是 4；53为非
11、零常数，只有数字因式，系数是它本身，次数为 0；82-3 10 tm的系数仍按科学记数法表示为-3108，次数是 3；2x y只含有字母因数，系数是 l，次数为字母指数之和为 3【总结升华】（1）要区分数字因数、字母因数；（2）不能见了指数就相加，如442 x中，42的指数 4 不能相加，次数为 4；（3）有分数线的，分子、分母的数字都是系数；（4）是常数，不能看作字母举一反三：举一反三：【变式 1】单项式 3x2y3的系数是【答案】3【变式 2】（泰州）下列结论正确的是()A没有加减运算的代数式叫做单项式B单项式237xy的系数是 3，次数是 2C单项式 m 既没有系数，也没有次数D单项式2
12、xy z的系数是-1，次数是 4【答案】D4.（2015 秋三亚期末）说出下列各式是几次几项式，最高次项是什么？最高次项的系数是什么？常数项是多少？（1）7x23x3yy3+6x3y2+1（2）10 x+y30.5【答案与解析】解：（1）7x23x3yy3+6x3y2+1是四次六项式，最高次项是3x3y，最高次项的系数是3，常数项是 1；（2）10 x+y30.5，是三次三项式，最高次项是 y3，最高次项的系数是 1，常数项是0.5【总结升华】确定多项式的次数时，分两步：（1）先求多项式中每一项的次数；（2）取这些次数中的最大的数即为多项式的次数举一反三：举一反三：【变式】下列代数式中，哪些是多项式，并说出相应多项式是几次几项式？325x,43ab,2x y，abc，12，232ab，a+1，23ab，2321xx，3x【答案】解：多项式有：43ab，232ab，a+1，23ab，2321xx其中，43ab是一次二项式；232ab是二次二项式；a+1 是一次二项式；23ab是一次二项式；2321xx是二次三项式