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1、1病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程冯 西 桥清华大学工程力学系2007.10.17第四章 应变理论Theory of Strains 2病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程应变理论 位移和应变（小应变情况）位移和应变（一般情况）刚体转动 应变协调方程 位移场的单值条件 由应变求位移Chapter 43病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程位移和应变Chapter 4.1 位
2、移 4病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程位移和应变Chapter 4.1 位移的描述 刚体位移：整个物体在空间做刚体运动引起的，包括平动和转动。变形：物体形状变化引起的位移，位移发生时不仅改变物体的绝对位置，而且改变了物体内部各个点的相对位置。一般来说，刚体位移和变形是同时出现的。5病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程位移和应变Chapter 4.1 位移 6病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起
3、不同程度的病理生理过程位移和应变Chapter 4.1 位移 分量形式：或7病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程位移和应变Chapter 4.1 单轴应变xdxxA BA Bu(x)u(x+dx)F8病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程位移和应变Chapter 4.1 单轴应变微元的长度变化：Taylor 级数展开：9病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程位移和应变Chapte
4、r 4.1 单轴应变略去高阶项：单轴应变（工程应变）定义为：10病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程位移和应变 应变分量 平行六面体(称为微元体)Chapter 4.111病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 应变分量Chapter 4.1位移和应变12病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.1位移和应变13病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相
5、对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.1 正应变(相对伸长度)位移和应变14病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.1 切应变(剪应变)位移和应变15病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.1 工程剪应变位移和应变16病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程位移和应变uyx17病原体侵入机体，消弱机体防御机能
6、，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程由于位移是坐标值的连续函数，所以P点在x及y轴上的位移分量为u，v，则A点及B点的位移分量为Chapter 4.1位移和应变A:B:A:B:18病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程按照多元函数Taylor级数展开，并利用小变形假设而略去二阶以上的无穷小量，则得A点及B点的位移分量为Chapter 4.1位移和应变19病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.
7、1位移和应变u适用条件？20病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.1位移和应变21病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程小应变情况下，应变和位移的关系：Chapter 4.1 几何方程位移和应变22病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程小应变情况下，应变和位移的关系：Chapter 4.1 几何方程位移和应变23病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的
8、相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程小应变情况下，工程应变和位移的关系：Chapter 4.1 几何方程位移和应变24病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程应变理论 位移和应变（小应变情况）位移和应变（一般情况）刚体转动 应变协调方程 位移场的单值条件 由应变求位移Chapter 425病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2拉格朗日坐标系（或随体坐标系、物质坐标系）由变形前嵌入物体内的老坐标系随物体质点一起
9、变形而得到的，所以在变形过程中，质点的坐标值始终保持不变。在物体变形中一般变为曲线坐标系。在固体力学中，大多采用拉格朗日坐标系。位移和应变26病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2位移和应变欧拉坐标系（或空间坐标系）固定在空间点上的坐标系，其基矢量不随物体变形而变化。在流体力学中，一般采用欧拉坐标系。27病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2位移和应变u28病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相
10、对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程uChapter 4.2P及P 点的矢径分别为：位移和应变29病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2根据变形后不开裂或重叠的基本假设，xi 和 ai 间应存在一一对应的互逆关系。于是，以上两式的雅可比行列式应不为零，即位移和应变30病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2位移和应变31病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定
11、部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2定义P点的位移矢量：即注 注:弹性力学中，通常假定位移场足够光滑，存在三阶以上的连续偏导数。位移和应变 位移32病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2 描述物体位移的方法p 拉格朗日描述法p 欧拉描述法位移和应变33病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2 拉格朗日描述法 以物体变形前的初始构形B为参照构形，质点变形前的坐标 ai=(a1,a2,a3
12、)为基本未知量。将变形后物体的位置 x 表示为 a1,a2,a3 的函数：位移场 u 用初始坐标 ai 描述：位移和应变34病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2 欧拉描述法 以物体变形后的新构形 B 为参照构形，质点变形后的坐标 xi=(x1,x2,x3)为基本未知量。将变形前物体的位置 a 表示为 x1,x2,x3 的函数：位移和应变位移场u用当前坐标 xi 描述：35病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 变形的描述 考虑变
13、形前的任意线元，其端点P(a1,a2,a3）及Q(a1+da1,a2+da2,a3+da3)的矢径分别为Chapter 4.2位移和应变36病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2变形后，P、Q两点分别位移至P 和Q，相应的矢径和线元为 位移和应变37病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2变形前后，线元 和 的长度平方为位移和应变38病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长
14、繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2采用拉格朗日描述法，xm=xm(ai)，则注：一般记，称为变形梯度张量位移和应变39病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2位移和应变40病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2记位移和应变41病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2根据商判则，E是二阶张量，称为格林应
15、变张量。位移和应变42病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2将上式改写为 求导 格林应变张量的位移分量表达式位移和应变43病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2引进笛卡尔坐标系中位移梯度u和u写成实体符号：位移和应变44病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2在笛卡尔坐标系中分量形式为位移和应变45病原体侵入机体，消弱
16、机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2 用格林应变张量表示线元的长度变化变形前，长度比：位移和应变 46病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2长度比表示为：位移和应变其中：47病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2 用格林应变张量表示线元方向的改变变形后，线元方向为位移和应变利用任意线元变形后的方向余弦可用位移表示成 48病原体侵入机体
17、，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程位移和应变Chapter 4.2 用格林应变表示线元间夹角余弦的变化 49病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 用格林应变表示线元间夹角余弦的变化 变形前的两个任意线元 和，其单位矢量分别为 v 和 t，方向余弦分别为 vi 和 ti，夹角余弦为Chapter 4.2位移和应变50病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 用格林应变表示线元间夹角余弦的变化
18、变形后，其单位矢量分别为 v 和 t，夹角余弦为Chapter 4.2位移和应变51病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2于是上式简化为可知，应变张量给出了物体变形状态的全部信息。位移和应变 用格林应变表示线元间夹角余弦的变化 52病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2以上介绍了拉格朗日描述法的推导过程和结果。类似地，若采用欧拉描述法将导出称为阿尔曼西(Almansi,E.)应变张量 位移和应变53病原体侵入
19、机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2上两式表明，若Eij 0，或eij 0，则dS=dS0。所以物体无变形（仅作刚体运动）的充分必要条件是应变张量Eij（或eij）处处为零。位移和应变54病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2Green应变张量：长度比：位移和应变夹角变化：55病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2Green
20、应变张量：Almansi应变张量：位移和应变小应变张量：56病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2 小应变张量定义和意义对于小变形情况（位移比物体最小尺寸小得多）：由小变形假设略去二阶小量 位移和应变57病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2在小变形情况下，格林应变张量和阿尔曼西应变张量简化为ij 称为柯西应变张量或小应变张量。实体形式为 位移和应变58病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳
21、定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2在笛卡尔坐标系中，应变位移关系或几何方程为指标形式为:位移和应变59病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2 小变形情况下结果的简化长度比 定义 为 方向线元的工程正应变.位移和应变60病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2 线元的转动 变形后线元的方向余弦：位移和应变61病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且
22、在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2对变形前与坐标轴 a1 平行的线元有 位移和应变变形后线元的方向余弦：62病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2变形后的单位矢量 2很小位移和应变63病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2同理 上述两式说明，变形前与a2和 a3轴垂直的线元，变形后分别向a2和 a3轴旋转了 和 角。同理，沿a2和 a3轴的线元变形后也将发生转动。位移和应变6
23、4病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程a1a3a2位移和应变Chapter 4.265病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2 两线元间的夹角变化 变形后，线元的夹角表示为位移和应变其中：66病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2略去二阶小量，可得若变形前两线元互相垂直令为变形后线元间直角的减小量，则 位移和应变67病原体侵入机体，消弱机
24、体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2工程剪应变 定义为两正交线元间的直角减小量若v,t为坐标轴方向的单位矢量，例如,vi=1,tj=1(ij),其余的方向余弦均为零，则由上式得位移和应变68病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2位移和应变小应变张量 的几何意义是：当指标i=j 时，表示沿坐标轴i方向的线元工程正应变，以伸长为正，缩短为负；当指标(ij)时，的两倍表示坐标轴 i 与 j 方向两个正交线元间的工程剪应变。以锐化（直角
25、减小）为正，钝化（直角增加）为负。69病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2小应变张量的性质 新老坐标中的应变张量分量 与 满足转轴公式由此可根据应变分量 ij 求出任意方向的正应变和剪应变。因而小应变张量完全表征了一点的应变状态。位移和应变70病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 应变张量在每点存在三个相互正交的主方向设 v 为主方向的单位矢量，则按张量主方向的定义有标量 称为应变张量的主值，即沿主方向 v 的主应变。与主应力
26、类似，主应变也具有实数性，正交性和极值性。Chapter 4.2位移和应变71病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2 存在第一、第二和第三应变不变量系数行列式为零其中：分别称为第一、第二和第三应变不变量。位移和应变72病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2 应变主轴沿每点应变主方向的坐标线由应变主轴组成的正交曲线坐标系称为主应变坐标系。最大工程剪应变发生在主平面内，其值为最大与最小主应变之差。等倾线元正应变（
27、又称八面体正应变）等于平均正应变0。位移和应变73病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2 八面体剪应变是等倾面法线与等倾面上任意线元间之剪应变的最大值。位移和应变74病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2 应变张量可分解为应变球量和应变偏量之和 即称为球形应变张量，0 为平均正应变。位移和应变75病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Ch
28、apter 4.2将0ij代入上述两式可得 因此应变球量表示等向体积膨胀或收缩，它不产生形状畸变。位移和应变76病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2 称为应变偏量。即应变偏量不产生体积变化，仅表示形状畸变。位移和应变77病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2 几种特殊的应变场 刚体位移位移和应变78病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程
29、Chapter 4.2于是可得位移和应变79病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2 纯变形存在全微分 存在全微分位移和应变80病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2常正应变状态是纯变形的一例位移和应变81病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2 均匀变形状态位移和应变82病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境
30、的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.2 直线在变形后仍为直线；相同方向的直线以同样比例伸缩；互相平行的直线变形后仍平行；平面在变形后仍为平面；平行平面变形后仍平行；球面变形后成为椭球面。均匀变形状态的性质：位移和应变83病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程应变理论 位移和应变 刚体转动 应变协调方程 位移场的单值条件 由应变求位移 正交曲线坐标系中的几何方程Chapter 484病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的
31、病理生理过程Chapter 4.3刚体转动位移场u 变形=刚体运动+刚体运动 刚体平移=刚体转动+85病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程考虑线元PQ，变形前其端点位置是P(x)和Q(x+dx)。P点位移为u(x)，Q点位移为 其中,u(x)是线元随P点的刚体平移，du是Q点相对于P点位移的增量，其值为Chapter 4.3由商判则可知，位移梯度u为一个二阶张量。刚体转动86病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.3将u分解成对称张
32、量与反对称张量之和 对称部分即为小应变张量，定义反对称部分为 称为转动张量 刚体转动87病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.3代入刚体转动88病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.3由反对称张量的性质可知：反对称张量只有三个独立分量12,23和31 指标记号刚体转动89病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.3转动矢量 称
33、为张量 的反偶矢量 刚体转动90病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.3指标形式为：(b)刚体转动91病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.3刚体平移变 形 刚体转动刚体转动93病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程刚体转动Chapter 4.394病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程
34、度的病理生理过程Chapter 4.3 对变形体来说，转动矢量 和转动张量 都是随点而异的。若考虑整个物体作刚体转动（0，=常数）的情况，则这就是理论力学中熟知的刚体转动公式：刚体转动95病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.3 小应变假设：所以线性弹性理论仅适用于应变和转动都很小的情况。刚体转动96病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程应变理论Chapter 4 位移和应变（小应变情况）位移和应变（一般情况）刚体转动 应变协调方程
35、 位移场的单值条件 由应变求位移97病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程小应变情况下的几何方程：Chapter 4.4应变协调方程p 任意给定应变分量后，不一定能由上述方程积分求出位移，所以需要补充方程才能使原问题有解。p 对于连续体，相邻微单元之间的变形必须互相协调。即必须满足某些条件变形的连续条件。98病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程应变协调方程Chapter 4.4在 xy 平面内各应分量之间的关系 两式相加后，得99病原体侵入机体，消弱
36、机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程应变协调方程Chapter 4.4同理可以找出另外两平面内应变分量间的关系式 100病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程应变协调方程Chapter 4.4综合起来可得以下方程：101病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程应变协调方程Chapter 4.4不同平面内的应变分量也存在一定的关系,于是下面推导不同平面内的应变分量之间的关系102病原体侵入机体，消弱机体
37、防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程应变协调方程Chapter 4.4同理，可以求出另外两个关系式：103病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程应变协调方程Chapter 4.4共得到六个应变协调方程：104病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程应变协调方程Chapter 4.4p 应变协调方程是单连通域小变形连续的充分必要条件，这样的六个应变分量将不能任意给定，他们必须满足以上六个约束方程。p 以上六
38、式不是完全独立的，它们只相当于三个独立的方程。105病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程应变协调方程应变协调方程的另外一种推导方法 小应变张量ij的二阶偏导数为Chapter 4.4指标符号互换：106病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程同样经过指标对换可以得到 Chapter 4.4应变协调方程107病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程当位移场单值连续，并存在三阶以上连续偏
39、导数时，根据偏导数与求导顺序无关，可得 应变协调方程：Chapter 4.4应变协调方程110病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.4 应变协调方程的个数上式中含有四个自由指标，共表示81个方程，但其中有不少是恒等式。不难验证下述关系关于j，k反对称：81 81 27 27 9 96 6应变协调方程关于i，l反对称：关于ij，kl对称：Lmn为对称二阶张量111病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.4应变协调方程
40、 应变协调方程的实体表示：112病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.4应变协调方程113病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.4在直角坐标系中，表示为：应变协调方程115病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程应变理论Chapter 4 位移和应变（小应变情况）位移和应变（一般情况）刚体转动 应变协调方程 位移场的单值条件 由应变求位移116
41、病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.5位移场的单值条件 概念 若域内的任意闭曲线能通过在域内的连续变形而收缩成一个点，则这种域称为单连通域，否则为多连通域。对二维问题，单连通域就是实心域，多连通域为空心域；但这个概念不能简单地推广到三维问题中去，例如内含空洞的空心球体是一个单连通域，仅当孔洞贯穿三维体成管道时才是多连通域。117病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.5单连通域:多连通域:位移场的单值条件118病
42、原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.5 n连通域有n个连接物体相邻部分的通道，如果用横贯通道的截面把n-1个通道切断，就化为单连通域，简称基域。这些假想截面称为切口。所以一个n连通域就相当于一个单连通的基域加n-1个切口。位移场的单值条件120病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.5位移场的单值条件 单连通域上位移场的单值条件121病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖
43、，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.5位移场的单值条件122病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.5x1x2x3Po位移场的单值条件123病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.5位移场的单值条件x1x2x3Po124病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.5其中位移场的单值条件x1x2x3Po单值性条件：即：12
44、5病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.5x1x2x3ALdlda由Stokes 公式：位移场的单值条件126病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.5位移场的单值条件因此，位移的单值性条件是应变满足协调方程。或：128病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.5 多连通域位移场的单值条件 对于多连通域的情况，可先用n1个切口将
45、连通域化为单连通的基域。根据以上讨论，只要满足协调方程，就能保证基域上位移场的单值连续性。但变形后，在切口处仍可能出现开裂或重叠现象。所以对于多连通域，除了满足协调方程外，还应补充保证切口处位移单值连续的附加条件。位移场的单值条件129病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.5证明：n连通域中应附加(n-1)个位移场函数的单值性条件 x1x2x3A+A-LLkLk B-B+位移场的单值条件130病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程C
46、hapter 4.5i=1,2,3,k=1,2n-1位移场的单值条件131病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.5转动单值性条件i=1,2,3,k=1,2n-1或位移场的单值条件132病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程应变理论Chapter 4 位移和应变（小应变情况）位移和应变（一般情况）刚体转动 应变协调方程 位移场的单值条件 由应变求位移133病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁
47、殖，引起不同程度的病理生理过程由应变求位移Chapter 4.6本节介绍笛卡尔坐标系中，由应变和几何方程求位移分量u1,u2,u3的方法。134病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程由应变求位移Chapter 4.6 线积分法 直接积分法 135病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.6 线积分法 求位移分量 由于因此只要导出u1三个一阶偏导数 用应变分量的表达式，就可由上式积分出位移u1。由应变求位移136病原体侵入机体，消弱机体防
48、御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.6由几何方程得 已用应变分量表示，但 和 中还含有未知的位移偏导数。先处理由应变求位移137病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.6。由应变求位移138病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.6其中C1为待定积分常数。由应变求位移139病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长
49、繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.6用同样的思路可求得偏导数，然后代入下式就能积分出位移分量u1(x1,x2,x3)。只要应变满足协调方程，以上各式中的线积分均与路径无关，一般取与坐标轴平行的折线为积分路径。可用同样的方法进一步求得位移分量u2和u3。由应变求位移140病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.6 求位移 u1 的方法：由应变求位移141病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.6(2)
50、求位移u2由应变求位移142病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.6(3)求位移u3由应变求位移六个积分常数 u10,u20,u30 和 C1,C2,C3 分别相应于刚体平移和刚体转动的六个自由度，须由外部约束条件来决定。143病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Chapter 4.6 直接积分法 对某些应变分量表达式较为简单的情况，也可以采用直接积分法。下面以无应变状态ij=0为例，说明处理积分常数时应注意的问题。当应变不为零时