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1、单元0 4 万有引力与航天 知 识 梳 理.构建体系_ C-，万有引力与航天是万有引力定律、牛顿运动定律和圆周运动相结合的重要应用。通过人造飞行器绕地球、火星等天体做圆周运动或椭圆形运动为背景，由万有引力提供向心力，分析判断人造天体的周期、速度、角速度和向心加速度及其轨道的变化问题。万有引力与航天是高考每年必考内容，多以选择题出现。1.估算天体质量的常见模型使用方法已知量利用公式表达式质量的计算利用运行天体八TM m 4 n 2G-T=m1rM M-GT八 VM m v(72=nrr rrvM-(.T八TM m v M m 4 nJG-2=-=加 再r r r IM2 3t G利用天体表面重力
2、加速度g、RG M m=mgM ur2.估算天体质量和密度的解题技巧(1)利用万有引力提供卫星做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕卫星的质量。4(2)区别天体半径和卫星轨道半径八只有在天体表面附近运动的卫星才有 K；计算天体密度V-Ji川时，其中的火只能是中心天体的半径。(3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有华=mg。3.卫星的匀速圆周运动常见的模型同步卫星，源高空卫星 卫星的运行轨道 行星冲日问题 双星问题4.人造卫星问题的解题技巧(1)利用万有引力提供向心加速度的不同表述形式。M m v,2 Jt.,G-z=ni3 rnirr)r=/(2 贝 f)
3、r。（2）第一宇宙速度是人造卫星环绕地球表面运行的最大速度，轨道半径r 近似等于地球半径7.9 k m/s2万有引力近似等于卫星的重力，即 侬=4,v=ygR=7.9 k m/s（3）同步卫星：具有特定的线速度、角速度和周期；具有特定的位置高度和轨道半径；运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能静止在赤道上方特定的点上。5.卫星的椭圆形运动及变轨运动模型开普勒行星运动定律 发射与回收 空间站对接6.航天器变轨问题的解题技巧（1）航天器变轨时半径（半长轴）的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的 运 行 速 度 变 化 由判断。两个不同轨道的“切点”处线速度不相等，同一
4、椭圆上近地点的线速度大于远地点的线速度。（2）航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径（半长轴）越大，机械能越大。从远地点到近地点，万有引力对航天器做正功，动能笈增大，引力势能减小。两个不同轨道的“切点”处加速度a 相同。曾亮点讲【典 例 11（开普勒第三定律）2 0 2 1 年2 月，执行我国火星探测任务的“天间一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入与火星表面的最近距离约为2.8 乂1。5 小，最远距离为5.9 x l f T m 的椭圆形停泊轨道，探测器在该轨道运行周期与半径3.3 x 1077n 为圆形轨道的周期相同，约为1.8 x 105s,已知火星半径约为3.4 x106m，
5、则火星表面处自由落体的加速度大小约为A.0.37m/s2 B.3.7m/s2 C.S.9m/s2 D.89m/s2【答案】B【解析】设“天问一号”探测器在火星表面圆形轨道运行周期为7,轨道半径为r,根据万有引力提供向心力得：婴=加 等，椭圆轨道运行灯为轨道离火星表面的最近距离，电为椭圆离火星表面的最远距，由开普勒第三定律知：二巴 在火星表面有：誓=mg ，代入数据联立解得：g=3.7m/s2,故 8正确，ACZ）错误。故选：B。【典例2 （万有引力公式的基本计算）2020年12月3 日，嫦娥五号上升器携带月壤样品成功回到预定环月轨道，这是我国首次实现地外天体起飞。环月轨道可以近似为圆轨道，已知
6、轨道半径近似为月球半径R,环绕月球的周期为7,月球质量为M,引力常量为G,则A.上升器在环月轨道上的向心加速度大小近似为空T2B.上升器在环月轨道上的线速度大小近似为巨Y GMC.月球表面的重力加速度大小近似为悬uKD.月球的平均密度近似为券【答案】D【解析】人根据a=R（9）2=等，故A错误；8在环月轨道上万有引力提供向心力，即 察=巾1,可得线速度近似为u=舟，故8错误；C在月球表面万有引力提供重力，即 繁 =m g,可得月球表面的重力加速度大小近似为g=答，故C错误；D在环月轨道上万有引力提供向心力，即 要 =1/?（9）2,可得月 球 质 量 =器，则月球的平均密度为：0=?=券，故。
7、正确。故选2）。【典例3】（星球表面重力加速度）某天体可视为质量均匀分布的球体，自转周期为7,“北极点”处的重力加速度是“赤道”处重力加速度的k倍（k 1）。若该天体有一颗近地环绕卫星，则近地环绕卫星的周期为A.g.T B.底.7 C信D.月【答案】D【解析】在北极点：=mg在赤道处：=mg，+mR（与）,g=kg，对于近地卫星：=m（蒋）R解得：=芹T【典例4（卫星或天体中的相遇问题）太阳系中某行星4运行的轨道半径为R,周期为T,但科学家在观测中发现其实际运行的轨道与圆轨道存在一些偏离，且每隔时间t发生一次最大的偏离.天文学家认为形成这种现象的原因可能是4外侧还存在着一颗未知行星B，它对4的
8、万有引力引起4行星轨道的偏离，假设其运行轨道与A在同一平面内，且与4的绕行方向相同，由此可推测未知行星B绕太阳运行的圆轨道半径为A-R J小2 B.争 C.R J（?）2 D.R 后【答案】A【解析】由题意可知：4、B相距最近时，B对4的影响最大，且每隔时间t发生一次最大的偏离，说明A、B相距最近，设B行星的周期为广，则有：仔-票）”2兀，解得：T，=,根据开普勒第三定律，有：9 =9,解得：R=R氾了，故8 c o错误，A正确。【典例5】（卫星的变轨问题）2020年11月24日4时30分，长征五号遥五运载火箭在中国海南文昌航天发射场成功发射，飞行约2200s后，顺利将探月工程“嫦娥五号”探测
9、器送入预定轨道，开启中国首次地外天体采样返回之旅。如图所示为“嫦娥五号”运行的示意图，“嫦娥五号”首先进入近地圆轨道I,在P点进入椭圆轨道I I,到达远地点Q后进入地月转移轨道，到达月球附近后，经过一系列变轨进入环月轨道。近地圆轨道I 的半径为一，“嫦娥五号”在该轨道上的运行周期为7 1；椭圆轨道H的半长轴为a,“嫦娥五号”在该轨道上的运行周期为7 2；环月轨道I I I 的半径为小，“嫦娥五号”在该轨道上的运行周期为73。地球半径为R,地球表面重力加速度为g。“嫦娥五号”在轨道I、I I 上运行时月球引力的影响不计，忽略地球自转，忽略太阳引力的影响。下列说法正确的是B.“嫦娥五号”在轨道I
10、的运行速度等于病C.“嫦娥五号”在轨道H上运行时，在Q 点的速度小于在P 点的速度D.“嫦娥五号”在轨道I 上P 点的加速度小于在轨道H上P 点的加速度【答案】C【解析】4、开普勒第三定律适用于同一个中心天体，所以有：力昌，故 A错误；8、嫦娥五号在轨 道 I 上运行速度为力,万有引力提供向心力可得：=解得：%=屈（7?为地球半径），故 B错误：C、由卫星的运动规律可知，在轨道H上运行时机械能守恒，山Q向P 运动时重力做正功，重力势能减小动能增大，故嫦娥五号在椭圆轨道I 的Q 点运行速度小于在椭圆轨道的P 点运行速度，故 C正确；D,嫦娥五号在椭圆轨道I I 的P 点 和 I 轨道的P 点都只
11、受地球的万有引力，所以加速度相同，故D错误；故选C。【典例6】（双星系统问题）我国发射的“悟空”探测卫星，对暗物质的观测研究已处于世界领先地位.宇宙空间中两颗质量均为僧的星球绕其连线中心转动，理论计算的周期为3 0天，实际观测周期为2 0天，科学家认为在两星球之间存在暗物质.若以两星球球心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质（已知质量分布均匀的球体对外部质点的作用等效于质量集中在球心处对质点的作用），则暗物质量为A.m B.-m C.-m D.-m16 4 16 9【答案】c【解析】双星绕它们的连线的中点做圆周运动，设它们之间的距离为3 万有引力提供向心力得：G=篝，计算得出：%=喘 L 根
12、据观测结果星体的运动周期为丁砂这种差异是由双星内均匀分布的暗物侦引起的，均匀分布在两星球间的暗物质，对双星系统的作用，与位于中点0 处质量等于暗物质的总质量M的质点的作用相同，G/+G器=誓，计算得出：=六痣，两式之比为空丝=桨,L（2）/双 观 G（m+4M）m 2Q2解得：M=2?n,故 C正确，A B Z）错误。故选C。【典例7】（天体密度）中国科学院国家天文台发布消息说，位于贵州的我国自主研制的5 00米口径球面射电望远镜（F A ST）首次发现的一颗毫秒脉冲星已得到国际认证。脉冲星自转周期7=5.1 9 m s,假设脉冲星为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.6 7 X 1 0
13、-N -m 7 k g20以周期7 稳定自转的脉冲星的密度最小值约为A.5X10 kg/m3 B.5X10 kg/m3 C.5X101 kg/m D.5X101 kg/m3【答案】B【解析】设脉冲星质量为机密度为夕，半径为此星体表面一物块质量为如根据天体运动规律知：华（彳 ）/?,P ，代入可得：P 5X10l!kg/m 故 B 正确。1r 4 o bl【典例8】（用割补法求万有引力）（多选）流浪地球中描述，地球在逃亡中其表面温度会降至很低，人类住进了地下深H处的城市中.设地球是半径为R、质量分布均匀的球体.已知对质量分布均匀的球体来说，处于其内部的物体所受外部球壳的万有引力大小为零，地球表面
14、处重力加速度为g.如图所示，若逃亡前地球自转的角速度大小不变，质量为m的人从地球表面进入地下城市中，则人地面2A.所受重力减小了mg（1*）C.随地球自转的线速度变大B.所受重力减小了手D.随地球自转的线速度变小【答案】BD【解析】根据题意知，地面与地下城市之间的环形部分对处于地下城市内部的物体的万有引力为零.地面处的重力加速度为0地球的质量为M,在地球表面的质量为m的人受到的重力近似等于地球对人的万有引力，故mg=：设地下城市内部的重力加速度为g,等 效“地球”的质量为M,其半径r=R ，则地下城市内部的人受到的重力为m g=差了，又 =pV=p兀&，w =p-7 T（R-）3,联立解得“=
15、g（1 5），人所受到的重力的减小量为G=mg m。=噌，故选项A错误，8正确；根据地球自转角速度不变和 =3 r可知，选 项C错误，。正确.【典 例9】（星球表面的抛体问题）（多选）为了探知未知天体，假如宇航员乘坐宇宙飞船到达某星球，测得飞船在该星球表面附近做圆周运动的周期为7。飞船降落到该星球表面后，宇航员将小球从“高处以初速度水平抛出，落地时水平位移为x,忽略空气阻力和该星球的自转，已知引力常量为G,将该星球视为质量分布均匀的球体，则以下说法正确的是A.该 星 球 的 半 径 为 嘤 B.该 星 球 的 半 径 为 噜2n2x2 4n2x2C.该星球的质量为竽吗 D.该星球的质量为啜警2
16、G7T4%6Gn4x6【答案】A C【解析】A B,设该星球的质量为M,半径为R,表面的重力加速度大小为g,匕船绕星球表面 行，重力提供向心力，mg=m当R小球做平抛运动，则H=g g t?,=t联立解得星球的半径：氏 二 噌 故斗正确，8错误；C D、物体在星球表面受到的重力等于万有引力，血 匕=竿 解 得 星 球 质 量：”=翳 巳,故C正确，。错误。【典 例10（宇宙速度）（多选）我国宇航员王跃与俄罗斯宇航员一起进行“模拟登火星”实验活动。近似认为火星的质量是地球质量的1/9,半径是地球半径的1/2,地球表面重力加速度是g。若王跃在地球表面能竖直向上跳起的最大高度是“，最多能举起的物体质
17、量是M,物体被举起后处于平衡状态。忽略天体的自转影响，下列说法正确的是A.火星表面的重力加速度是ggB.火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的也倍3C.王跃在火星表面最多能举起的物体质量:M4D.王跃以相同的初速度在火星上竖直起跳时，能上升的最大高度是 a【答案】BC【解析】A.根据万有引力等于重力得G警=mg,g=答，由题意火星的质量是地球质量的j半径是地球半径的;，知火星表面重:力加速度是地球表面重力加速度的1倍，则 火 星 表 面 重 力 加 速 度 为 故A错误;2 9 98.根 据 万 有 引 力 提 供 向 心 力 得u=修,知火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的 倍，故8正确；C.举起的物体受力平衡心=M g,人能承受的压力心相同，故举起的物体质量与重力加速度成反比，由4项知重力加速度火星是地球表面的1倍，故举起物体的质量是地球的9倍，即故C正确；D.因为火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的1倍，根据九=普，知火星上跳起的高度是地球上跳起92g高度的:倍，为3”,故。错误。