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1、八 年 级 数 学 下-专 题：16.1二 次 根 式（知 识 讲 解）【学 习 目 标】1、理 解 二 次 根 式 的 概 念，了 解 被 开 方 数 是 非 负 数 的 理 由.2、理 解 并 掌 握 下 列 结 论：3 20,（“2（），（忑）=（。20）,F=a（0）,并 利 用 它 们 进 行 计 算 和 化 简.【要 点 梳 理】要 点 一、二 次 根 式 及 代 数 式 的 概 念 1.二 次 根 式:一 般 地，我 们 把 形 如 点（a20）的 式 子 叫 做 二 次 根 式，“、厂”称 为 二 次 根 号.特 别 说 明：二 次 根 式 的 两 个 要 素:根 指 数 为
2、2;被 开 方 数 为 非 负 数.S2.代 数 式:形 如 6,a,m+n,ab,。，x3,而 缶 之）这 些 式 子，用 基 本 的 运 算 符 号（基 本 运 算 包 括 加、减、乘、除、乘 方、开 方）把 数 和 表 示 数 的 字 母 连 接 起 来 的 式 子，我 们 称 这 样 的 式 子 为 代 数 式.要 点 二、二 次 根 式 的 性 质 1.20,（。20）;2.（点）=a（。0）;3产=|昨 f 3 泗.（a 0）.特 别 说 明：1.二 次 根 式 而（a20）的 值 是 非 负 数.一 个 非 负 数 可 以 写 成 它 的 算 术 平 方 根 的 形 式，即 a=
3、沁 2.而 与（、后 了 要 注 意 区 别 与 联 系：1）.a 的 取 值 范 围 不 同，（后）2中 a 2o,后 中 a 为 任 意 值.2）.。2 0 时，（石 九 必=a-a 无 意 义，行.【典 型 例 题】类 型 一、二 次 根 式 的 概 念 C 1.下 列 各 式 一 定 是 二 次 根 式 的 是（）A.口 B.孤 C.&+1 D.&【答 案】C【分 析】根 据 二 次 根 式 的 概 念:形 如 后（“2）,由 此 问 题 可 求 解.解:A、由-3”/知 公 是 二 次 根 式,故 符 合 题 意；D、当 了 0 时，石 无 意 义，故 不 符 合 题 意；故 选 C
4、.第 1 页 共 12页【点 拨】本 题 主 要 考 查 二 次 根 式 的 概 念,熟 练 掌 握 二 次 根 式 的 概 念 是 解 题 的 关 键.举 一 反 三：【变 式 1】下 列 各 式 一 定 为 二 次 根 式 的 是 0A.&_ B.&C.&+1 D.+1【答 案】C【分 析】根 据 二 次 根 式 的 定 义（“2）判 断 即 可；解 答：在 口 中，当 x=0 时 1 X?-1 0,不 满 足 条 件,故 A 不 符 合 题 意；当 x 0 时，4 不 是 二 次 根 式,故 6 不 符 合 题 意；1 2 0,+1 1,斤 1 是 二 次 根 式,故 符 合 题 意；当
5、 x+1 0 g寸，即 x-1时，G 7 不 是 二 次 根 式，故 D不 符 合 题 意；故 选 C.【点 拨】本 题 主 要 考 查 了 二 次 根 式 的 判 断,准 确 分 析 判 断 是 解 题 的 关 犍.【变 式 2】下 列 各 式 一 定 是 二 次 根 式 的 是 0A.V-2021 B.&c.（x+姆 D.V2021+X2【答 案】D【分 析】根 据 二 次 根 式 的 定 义,即 可 求 解.解：4 因 为-2021 0,故 本 选 项 符 合 题 意；故 选:D【点 拨】本 题 主 要 考 查 了 二 次 根 式 的 定 义,熟 练 掌 握 形 如 五（0）的 形 式,
6、称 为 二 次 根 式 是 解 题 的 关 键.【变 式 3】在 式 子”2（又 0）,血,狙，4 2+1,后 5 0）中,二 次 根 式 有（）A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个【答 案】C【分 析】根 据 二 次 根 式 的 定 义 求 解 即 可.二 次 根 式：一 般 地，形 如 右 的 代 数 式 叫 做 二 次 根 式，其 中 解:式 子 45（*0）,五,色 4+,Q 7（x）中，2第 2 页 共 1 2页二 次 根 式 有：右(%0),V 2,G 7 T，共 3 个.故 选:C.【点 拨】此 题 考 查 了 二 次 根 式 的 定 义，解 题 的 关 键 是 熟 练
7、 掌 握 二 次 根 式 的 定 义.二 次 根 式：一 般 地,形 如 的 代 数 式 叫 做 二 次 根 式，其 中 a 2 0.类 型 二、求 二 次 根 式 的 值 3 2.若 实 数 x,y满 足 y=Q+6 i+2,求 歹-1 的 值.【答 案】亚【分 析】根 据 被 开 方 数 是 非 负 数,可 得 x,y 的 值,根 据 代 数 式 求 值，可 得 答 案.解：由 题 意，得 1-X.0，x-l 0，解 得 x=l,当 X=1 时，y=2.当 x=l,=2时，y-l【点 拨】本 题 考 查 了 二 次 根 式 有 意 义 的 条 件，利 用 被 升 方 数 是 非 负 数 得
8、 出 x,y 的 值 是 解 题 关 键.举 一 反 三:【答 案】2【分 析】根 据 负 整 数 指 数 暴、化 简 绝 对 值、零 指 数 幕、二 次 根 式 化 简，进 行 计 算 即 可.解:原 式 2=-+s/3-l+l-x 2 V 3【点 拨】本 题 考 查 实 数 的 运 算,能 正 确 运 用 运 算 法 则 是 解 题 的 关 键.V8+|V 2-l|-+【变 式 2】计 算：1 1 2.【答 案】3正【分 析】根 据 二 次 根 式、绝 对 值、零 指 数 累、负 整 数 指 数 基 的 性 质 计 算，即 可 得 到 答 3第 3 页 共 1 2页=2A/2+V 2-1-
9、1+2=3V2.【点 拨】本 题 考 查 了 二 次 根 式、绝 对 值、零 指 数 幕、负 整 数 指 数 基 的 知 识，解 题 的 关 键 是 熟 练 掌 握 二 次 根 式、绝 对 值、零 指 数 幕、负 整 数 指 数 幕 的 性 质，然 后 根 据 实 数 的 运 算 法 则 计 算，即 可 完 成 求 解.【变 式 3】计 算 严+冲 D i【答 案】4+6【分 析】根 据 二 次 根 式、绝 对 值、零 指 数 基 的 性 质 计 算，即 可 得 到 答 案.解:屈+闽+（3-%）“=4+72-1+1=4+/2【点 拨】本 题,考 查 了 二 次 根 式、绝 对 值、零 指 数
10、 幕 的 知 识;解 题 的 关 键 是 熟 练 掌 握 二 次 根 式、绝 对 值、零 指 数 塞 的 性 质，从 而 完 成 求 解.类 型 三、求 二 次 根 式 的 参 数 V 3.若。+4，则 晨 的 平 方 根.+1【答 案】2【分 析】分 式 值 为 零 的 条 件 是 分 子 等 于 零 且 分 母 不 为 零,根 据 条 件 求 出 8 的 值.6-a2+la-4hJ-!-=0解:若。+4，其 中-4,则|16-娼+G+46=0日 口|16-.2|=0,&+46=0即,由 16-T。,解 得:4,0=-4（舍 去）由+46=0,解 得：6=-1,ah=-4）b 1 的 平 方
11、 根 为 2,+1故 答 案 是：2.【点 拨】本 题 考 查 零 分 式 值 为 零 的 条 件 及 平 方 根 的 性 质，解 题 的 关 键 是:分 母 不 为 零 的 条 件 不 能 少.举 一 反 三：4第 4 页 共 12页【变 式 1】阅 读 材 料 并 解 决 下 列 问 题:y/3a=2b+-y/3已 知 a、8 是 有 理 数,并 且 满 足 等 式 5-3 求 a、6 的 值.也 a=2 b+也 解：宣-3-a岳=(2 b-a)+2 后 即 5-32A2A-a=5,-a=32,13一,b=解 得:a=-3 6(1)已 知 d 6 是 有 理 数,并 且 满 足 等 式 四
12、“-(a=3&-1,则=.(2)已 知 x、y 是 有 理 数,并 且 满 足 等 式 广 岛+2y-2百=3 1 8)求 x y的 平 方 根.【答 案】(1)4,1;(2)痘【分 析】(1)利 用 等 式 左 右 两 边 的 有 理 数 相 等 和 二 次 根 式 相 同，建 立 方 程,然 后 解 方 程 即 可.(2)先 将 等 式 变 形,再 利 用 等 式 左 右 两 边 的 有 理 数 相 等 和 二 次 根 式 相 同，建 立 方 程,然 后 解 方 程 得 到 x 和%再 求 孙 的 平 方 根.解：/”(1+拒=3&7,;.y/2 a-b-y/2 b=3/2-t.y/2(a
13、-b)-b=3f2-l，b=l,a-b=3,a=4;加 y+2y-2/5=35x+18.(y-3 x)V?=1 8-2 y+26 y-3 x=2 1 8-2 y=0、，;7x=,3解 得：J,Axy=21,xy的 平 方 根 为 土.【点 拨】此 题 是 一 个 阅 读 题 目，主 要 考 查 了 实 数 的 运 算.对 于 阅 读 理 解 题 要 读 懂 阅 读 部 5第 5 页 共 1 2页分,然 后 依 照 同 样 的 方 法 和 思 路 解 题.【变 式 2】（1）已 知 加 二 是 整 数，求 自 然 数 n所 有 可 能 的 值；（2）已 知 屈 是 整 数,求 正 整 数 n 的
14、 最 小 值.【答 案】（1）自 然 数 n 的 值 为 2,9,14,17,18；&）正 整 数 n 的 最 小 值 为 6.【分 析】（1）根 据 二 次 根 式 结 果 为 整 数,确 定 出 自 然 数 n 的 值 即 可；（2）根 据 二 次 根 式 结 果 为 整 数,确 定 出 正 整 数 n 的 最 小 值 即 可.解：（1厂 疝 工 是 整 数，.18=0，18-/?=1，18=4，18-=9，18 二 16，解 得：=18=17=14 n=9 n=2则 自 然 数 的 值 为 2,9,14,17,18;（2）石=2疝 是 整 数，为 正 整 数，正 整 数 的 最 小 值
15、为 6.【点 拨】本 题 考 查 了 二 次 根 式 的 定 义,熟 练 掌 握 二 次 根 式 的 定 义 是 解 本 题 的 关 键.【变 式 3】已 知 a,b 满 足 I（l）a=,b=把 a,b 的 值 代 下 以 下 方 程 并 求 解 关 于 x 的 方 程 0+2）x+从=“-1【答 案】-4,6；=4【分 析】（1）结 合 题 意,根 据 二 次 根 式 和 绝 对 值 的 性 质,通 过 求 解 一 元 一 次 方 程 方 程,即 可 得 到 答 案；（2）结 合（1）的 结 论，通 过 求 解 一 元 一 次 方 程 方 程,即 可 完 成 求 解.解:.获+卜 阎=p
16、2 a+8=0.卜 甸=2。+8=0.b 3=0a=-4,b=y/3故 答 案 为：-4,6；根 据 的 结 论,得：（一 4+2卜+=-4-1-2x+3=-56第 6 页 共 1 2页/.x=4【点 拨】本 题 考 查 了 一 元 一 次 方 程、二 次 根 式、绝 对 值 的 知 识;解 题 的 关 键 是 熟 练 掌 握 二 次 根 式、绝 对 值 的 性 质，并 通 过 求 解 一 元 一 次 方 程,从 而 完 成 求 解.类 型 四、二 次 根 式 有 意 义 的 条 件 罕 V 4.若 代 数 式 2 有 意 义，则 实 数 X的 取 值 范 围 是 0A.xN-1 B.x 2-
17、l且 x w c.x-l D.x-l且【答 案】A【分 析】根 据 二 次 根 式 有 意 义 的 条 件 求 不 等 式 解 集 即 可.J x+1解：2 有 意 义 可 得：x+1 2 0,解 得：xl,故 选:A.【点 拨】题 目 主 要 考 查 二 次 根 式 有 意 义 的 条 件 及 解 不 等 式,理 解 二 次 根 式 有 意 义 的 条 件 是 解 题 关 键.举 一 反 三：【变 式 1】在 平 面 直 角 坐 标 系 内 有 一 点 P(x,力，已 知 y 满 足 后 方+|3什 5 1=0,则 点 P所 在 的 象 限 是 0A.第 一 象 限 B.第 二 象 限 C.
18、第 三 象 限 D.第 四 象 限【答 案】D【分 析】根 据 二 次 根 式 有 意 义 的 条 件 以 及 绝 时 值 非 负 性 求 出 x/的 值,然 后 判 断 点 尸(*,y)所 在 的 象 限 即 可.解：j 2 x-3+|3 y+5|=0,；2-3=0,3y+5=0,2 3 在 第 四 象 限，故 选:D.【点 拨】本 题 考 查 了 二 次 根 式 有 意 义 的 条 件,绝 对 值 的 非 负 性,根 据 点 的 坐 标 判 断 其 所 在 的 象 限,根 据 题 意 得 出 点 P 的 坐 标 是 解 本 题 的 关 键.【变 式 2】若 为 实 数，且 尸 2+5 7+
19、五 三，则|K y|的 值 是()A.5 B.3 C.2 D.17第 7 页 共 1 2页【答 案】A【分 析】根 据 二 次 根 式 的 有 意 义 的 条 件 求 出 x 的 值,故 可 求 出 y 的 值,故 可 求 解.J 3-x 0解:依 题 意 可 得 1 一 3 2 0解 得 产 3：.y=2x+y=3+21=5故 选 A.【点 拨】此 题 主 要 考 查 二 次 根 式 的 性 质 应 用,解 题 的 关 键 是 熟 知 二 次 根 式 被 开 方 数 为 非 负 数.【变 式 3 已 知 实 数 a 满 足 条 件 11-4+2 0 1 2=。，那 么 a-201 E 的 值
20、 为（）A.2010 B.2011 C.2012 D.2013【答 案】C【分 析】由 题 意 可 知 才 2 0 1 2 2 0,可 得 0-2011+后 二 赤=。，移 项 后 平 方 得 72012=20112,变 形 得 3-20112=2012.解：-2 0 1 2有 意 义,a-201220,.,22012,2 0 1 1+，”2012二,.J a-2 0 1 2=2011/.a-2012=20112,:.a-20112=2012.故 选 C.【点 拨】本 题 考 查 二 次 根 式 有 意 义 条 件，化 简 绝 对 值，代 数 式 的 值,掌 握 二 次 根 式 有 意 义 条
21、 件 得 出 a 2 2 0 1 2,化 简 绝 对 值 得 出 卅 2012=201 了 是 解 题 关 键.类 型 五、利 用 二 次 根 式 的 性 质 化 简（l-a）L-LV 5.化 简：V-a=.【答 案】-G T【分 析】根 据 二 次 根 式 的 被 开 方 数 是 非 负 数，把（1a）移 到 根 号 内，然 后 进 行 化 简.-0解：a,第 8 页 共 1 2页 8.(1-川-占 二 Y i)g i=-g故 答 案 为：一 6 斤.【点 拨】本 题 考 查 了 二 次 根 式 的 性 质 与 化 简,根 据 二 次 根 式 的 定 义 确 定 含 字 母 的 代 数 式
22、的 正 负 是 解 题 的 关 键.举 一 反 三：【变 式 1 化 简：而=.【答 案】X痴【分 析】根 据 二 次 根 式 的 性 质 和 乘 法 法 则 化 简 即 可 解：.屈 有 意 义，.1 0/.x 0.J 5/_ y/5ylx2x=x15x故 答 案 为：x后【点 拨】本 题 考 查 J 二 次 根 式 的 性 质 和 乘 法 法 则，掌 握 以 上 知 识 是 解 题 的 关 键.【变 式 2 已 知 实 数 a、b在 数 轴 上 对 应 点 的 位 置 如 图，化 简 2回+而 行 的 结 果 是.o o b【答 案】b-2a【分 析】由 数 轴 知 水 0 0,进 而 可
23、 判 断 5 2 6及 尹 6的 符 号,从 而 可 对 绝 对 值 及 二 次 根 式 进 行 化 简,最 后 可 求 得 化 简 后 的 结 果.解：由 数 轴 知，水 0,I a|6a-2仅 0,a+从 0.a-2 b+a+b)2=-(a-2 b)-(a+b)=b-2a故 答 案 为：2a【点 拨】本 题 考 查 了 数 轴 上 比 较 实 数 的 大 小,实 数 的 加 减 法 则，绝 对 值 的 化 简 及 算 术 平 方 根 的 性 质，关 键 是 根 据 实 数 的 加 减 法 则 确 定 出 a2b及 济 的 符 号,这 是 正 确 脱 去 绝 对 值 和 化 简 二 次 根
24、式 的 前 提.L-l j+4-L+l j-4=变 式 3 已 知 0 x l,化 简 八 x)八 x).【答 案】2x9第 9 页 共 1 2页1 1X H-X-【分 析】利 用 二 次 根 式 的 性 质 得 X X,然 后 利 用 X 的 范 围 去 绝 对 值 后 合 并 即 可 解：0 x 1,X 0X X=.1-2+3+4-.lx2+2+-4原 式 v x M X1 1X+XX X=2x故 答 案 为：2x【点 拨】本 题 考 查 了 二 次 根 式 的 性 质 与 化 简,熟 练 掌 握 二 次 根 式 的 性 质 是 解 决 此 类 问 题 的 关 键.类 型 六、复 合 二
25、次 根 式 的 化 简 6.先 阅 读 下 列 的 解 答 过 程,然 后 再 解 答:形 如 后 前 的 化 简，只 要 我 们 找 到 两 个 正 数 a、b,使+6=叫”6=72,使 得(V)2+(6)2=m,/a-y/b=,那 么 便 有：lm2yjn=yj(y/a fb)2=4a b(a b)例 如:化 简 S+4力 解 即:首 先 把+4 化 为 S+2 g,这 里 加=7,=12,由 于 4+3=7,4x3=12(V4)2+(V3)2=7 V4X V3=V12(1)填 空,，6-2A/_ A/10+4A/6 _.(2)化 简：也 9-8万.【答 案】(1)若 一 1,2+6；(2
26、)4-拒 10第 10页 共 12页【分 析】（1）（2）由 条 件 对 式 子 进 行 变 形,利 用 完 全 平 方 公 式 对=a|的 形 式 化 简 后 即 可 得 出 结 论.解.16-2石=J1+5-26-V5-1.J10+4 6=/4+6+4 指 J（2+=2+几.故 答 案 为:,2+；原 式=也 9-8后=/16-2713x16+13呵=4-713【点 拨】本 题 考 查 了 二 次 根 式 的 化 简 求 值,涉 及 了 配 方 法 的 运 用 和 完 全 平 方 根 式 的 运 用 及 二 次 根 式 性 质 的 运 用.举 一 反 三：【变 式 1】先 阅 读 下 列
27、的 解 答 过 程，然 后 作 答：形 如 底 二 万 的 化 简，只 要 我 们 找 到 两 个 数 a、b使 a+b=%a-b=，这 样（标+（O=m，&=瓜，那 么 便 有 4 m 2 G=小（&后）2=瓜 a b）,例 如:化 简,7+4 6 解:首 先 把 7+4石 化 为 J7+2&I,这 里 m=7,=12；由 于 4+3=7,4x3=12,即（I+=7,e=疝.7+4力=77+2712=J（4+G A=2+6由 上 述 例 题 的 方 法 化 简：J13+29.（2）77-V40.【答 案】近+指;石-亚（分 析 先 把 各 题 中 的 无 理 式 变 成.2 6 的 形 式,
28、再 根 据 范 例 分 别 求 出 各 题 中 的 a、1 1第 1 1页 共 1 2页b,即 可 求 解.解.13+2互=（+府=疗+6.）V7-V40=&_ 2屈=”后-母）2=6 _ 血【点 拨】本 题 考 查 了 二 次 根 式 的 化 筒，完 全 平 方 公 式 的 应 用，掌 握 二 次 根 式 的 性 质 以 及 完 全 平 方 公 式 是 解 题 的 关 键.【变 式 2】有 这 样 一 类 题 目：将 跖 化 简，如 果 你 能 找 到 两 个 数 m、n,使 m2+n2=a且 m n=桥，则 a2 将 变 成 n+M土 2mn,即 变 成（m士 nM,从 而 使，2而 得
29、以 化 简.例 如,因 为 5+2指=3+2+2 遥=（0+（及/+2 四 义 百=（6+也,所 以 屈 南=柄+=百+0请 仿 施 上 面 的 例 子 化 简 下 列 根 治“+2 G（2）的 一 4石【答 案】1+6 案 2）-2【分 析】（1）把 4 分 成 1和 3,可 以 把 根 号 里 面 的 数 凑 成 完 全 平 方 的 形 式；（2）把 9 分 成 4 和 5,可 以 把 根 号 里 面 的 数 凑 成 完 全 平 方 的 形 式.解：（1）原 式 11+3+2石=,+百）=1+/3（2）原 式=+5-4凤 唇 石=石 一 2【点 拨】本 题 考 查 二 次 根 式 的 化 简 和 完 全 平 方 公 式,解 题 的 关 键 是 熟 练 掌 握 完 全 平 方 公 式 的 运 用.12第 12页 共 12页