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1、2022年 中 考 数 学 备 考 一 一 圆 综 合 模 拟 题(切 线 证 明、线 段 与 面 积 问 题)1 已 知：如 图，在 ABC中，AB=AC,4 E 平 分/B 4 C,8。平 分 N A 8 C交 A E于 点。，经 过 B,D 两 点 的。0 交 B C 于 点 G,交 A B 于 点 F,F B恰 为。的 直 径.(1)求 证：A E与。0 相 切;2 如 图，在 A 8 C中，A B=A C,以 A C为 直 径 作 交 B C于 点。，过 点。作 尸 E J_A 8于 点 E,交 A C 的 延 长 线 于 点 F.(1)求 证：E F与 0 0 相 切；3 B E(
2、2)若 t a n/C F D,求 而.E B3 如 图，ABC内 接 于。0,A B 是。的 直 径，。为 弧 A C 的 中 点，以 A。、A C 为 邻 边 作 平 行 四 边 形 CADE,连 接 B D 交 A C 与 点 F.(1)求 证：OE 与。0 相 切；(2)若 t a n/O E C=*。0 的 半 径 为 5,求 BC 的 长.4 如 图，ABC中，A B=A C,以 A C 为 直 径 的。与 B C 相 交 于 点 D,与 B A 的 延 长 线 相 交 于 点 E,过 点 D 作 D F L A B 交 A B 于 点 F.求 证：直 线 与 O。相 切；返 0
3、如 果 sinBu?-,AE 的 长 为 2,求 O A 的 长.5 已 知：如 图，在 A B C中，AB=AC,A E 是 角 平 分 线，B M 平 分 乙 4 8 c交 A E 于 点 M经 过 B,M 两 点 的。交 B C 于 点 G,交 A B 于 点 F,F B 恰 为 0 O 的 直 径.(1)求 证：A E与。相 切；6 如 图，A B 为 直 径,C 为 外 一 点，AC、B C 与 分 别 交 于。、E,且 CE=BE,过 点 E 作 A C 垂 线，垂 足 为 点 M,直 线 M E 与 A B 延 长 线 交 于 点 F.(1)证 明：A/与 0。相 切；V5(2)
4、若 0。半 径 为 5,C O S/A C B n y,求 B F的 长 度.7 如 图，A B 是 O。的 直 径，点 C、G 为 圆 上 的 两 点，当 点 C 是 弧 B G 的 中 点 时，C D 垂 直 直 线 A G 于 点 G,垂 足 为 D,直 线 D C 与 A B 的 延 长 线 相 交 于 点 P,弦 C E 平 分 NAC8,交 A B 于 点 F,连 接 BE.(1)求 证：O C与 相 切；(2)求 证：PC=PF；(3)若 t a n/E=2,BE=yf,求 线 段 尸 尸 的 长.如 图，在 R taA B C中,N C=90,点 力 是 AC 上 一 点，DQ
5、VAB,C Q=O C,点。在 A 8上，以 点。为 圆 心，长 为 半 径 的 圆 经 过 点 D,交 8 c 于 点 E、交 AB于 点 F.(1)求 证：A C是。的 切 线;(2)若 0。的 半 径 为 5,8=4,求 C E的 长.DC9 如 图，在 RtABC中，NC=90,点。在 A B 上，以 AZ)为 直 径 的 0 0 与 B C 相 交 于 点 E,与 A C 相 交 于 点 F,A E 平 分 NA4c.(1)求 证：B C 是。的 切 线；(2)若/E4B=30,0 0=5,求 图 中 阴 影 部 分 的 周 长.D 如 图，A B 是。的 直 径，C 是。上 一 点
6、，过 点 A 作。的 切 线，交 B C 的 延 长 线 于 点。，取 A。的 中 点 E,延 长 C E 交 B A 的 延 长 线 交 于 点 P.(1)求 证：P C 是 O O 的 切 线；(2)A8=2AP,A B=8,求 力 O 的 长.1 t 如 图，在 R tA B C中，NACB=90。，8 0 平 分/A B C,交 A C于 点 O,以 点。为 圆 心,0 c 长 为 半 径 画。0.(1)求 证：4?是。的 切 线；(2)若 A 0=3,t a n/0 8 C=,求。的 半 径.2 如 图 1,C、。为 半 圆 0 上 的 两 点，且 点 D 是 弧 B C 的 中 点
7、.连 结 A C 并 延 长，与 BD的 延 长 线 相 交 于 点 E.(1)求 证：C D=E D；(2)连 结 A D 与 OC、B C 分 别 交 于 点 F、H.若 C F=C H,如 图 2,求 证：C H=C E；若 圆 的 半 径 为 2,B D=1,如 图 3,求 A C的 值.图 1 图 2国 3B 已 知：如 图，A B 是。的 直 径，ABLAC,B C 交。于 点。，点 E 是 A C 的 中 点，ED与 A B 的 延 长 线 交 于 点 F.(1)求 证：D E 是。0 的 切 线；(2)若/尸=30,B F=2,求 ABC外 接 圆 的 半 径.如 图，在 四
8、边 形 4 8 C D 中，AD/BC,ADLCD,A C=A B,。为 ABC的 外 接 圆.(D 如 图 1,求 证：4。是。的 切 线;如 图 2,C D 交。于 点 E,过 点 A 作 A G 1 B E,垂 足 为 F,交 B C 于 点 G.若 AD图 1S 2S 如 图，o。是 a A B C 的 外 接 圆，/B A C 的 平 分 线 交。于 点。，交 B C 于 点 E,过。作 直 线 D F H B C,连 接 BD.(1)求 证：。尸 是。的 切 线：(2)若 AB=8,AE=6,C E=3,求 B。的 长.6 如 图，在 4BC中，A B=A C,。是 a A B C
9、 的 外 接 圆，直 径 A E 交 B C 于 点、H,点、D在 弧 A C 上，过 点 E 作 EF/BC交 A O 的 延 长 线 于 点 F,延 长 B C 交 4 F 于 点 G.(1)求 证：E F 是 O O 的 切 线；(2)若 8c=2,A”=C G=3,求 尸 的 长；(3)在(2)的 条 件 下，直 接 写 出 C D 的 长.E FV.如 图，A B 是 O。的 直 径，P A 是。的 切 线，连 接 0 P 交。于 点 E,点 C 在 O。上,四 边 形 08CE为 菱 形，连 接 PC.(1)求 证：PC是。的 切 线；(2)连 接 B P 交 于 点 F,交 C
10、E 于 点 G.连 接 0 G,求 证：OGLCG；若 0B=3,求 8E 的 长.B 如 图，在 RtAABC中，NACB=90,。为 A B 边 上 的 一 点，以 A D 为 直 径 的 0。交 BC于 点 E,交 A C 于 点 F,过 点 C 作 CG_LAB于 点 G,交 A E 于 点 H,过 点 E 的 弦 E P 交 A B 于 点 Q(EP不 是 直 径)，点。为 弦 E P 的 中 点，连 结 BP,B P 恰 好 为 O O 的 切 线.(1)求 证：BC是。的 切 线；(2)求 证：AE平 分 NCA8；H G 1若 4Q=10,EQ=5,A G=E，求 四 边 形
11、C”Q E 的 面 积.P0 定 义：有 且 仅 有 一 组 对 角 相 等 的 凸 四 边 形 叫 做“等 对 角 四 边 形”.例 如：凸 四 边 形 ABCD中，若 N A=/C,N B W N D,则 称 四 边 形 A8C 为 等 对 角 四 边 形.(1)如 图 1,点 A,P,B,C 是。上 的 四 个 点，ZAPC=ZBPC=60,延 长 B P到。,使 P Q=A P,连 接 A Q.求 证：四 边 形 AQ8C是 等 对 角 四 边 形；(2)如 图 2,等 对 角 四 边 形 A 8C D内 接 于。，ABAD,BC=DC,请 判 断 四 边 形 ABCD中 哪 一 组
12、对 角 相 等，并 说 明 理 由；若 圆。的 半 径 为 5,A B=6,求 AD,B C的 长；请 直 接 写 出 4 c 的 长.2)已 知 A B 为 的 直 径，C 为。上 一 动 点，连 接 AC,B C,在 B A 的 延 长 线 上 取 一 点 D连 接 C D,使 CD=CB.(1)如 图 1,若 A C=A O,求 证：C D是 0 0 的 切 线;0 如 图 2,延 长 D C 交 于 点 E,连 接 AE./)若。0 的 直 径 为“1U,sin 8=下 限，求 A D 的 长；H）若 C=2C E,求 C0S8 的 值.图 1 图 2参 考 答 案 1.(1)证 明：
13、连 接 0 D,则 OD=OB,：,/O B D=/O M B,8。平 分 NA8C,：N O B D=/E B D,:N O D B=NEBD,：.O D/B Ef：.Z A D O=ZAEB,在 48。中，AB=AC,AE是 角 平 分 线，:.AE,LBC9：.Z A D O=ZAEB=QO,o。是。的 半 径，AE与。0 相 切；(2)解：在 A 8C中，AB=ACf AE是 角 平 分 线，1：.B E=B C=6f/A B C=N C,BE 6 3 在 RtZABE 中，C0SNA3C=C0SC=怔=又 百=不 A8=10,设。0 的 半 径 为 r,则 A O=1 0-r,OD
14、BC,A 0 Q s 3 E,OP A O 丽 r 10-r即 10 15r=4,15即 O O的 半 径 为 4.c*AB=ACf：.Z B=Z A C BfXV OC=OD,：.Z O D C=Z A C Bf：O D C=/B,C.OD/AB,：EFLAB,：.ODLEF,又,。是 圆 的 半 径，E/为。的 切 线；3(2)VtanZ C FD=,A B _ 3.tan Z.CFD=gfr=4，设 AE=3鼠 E F=4 k,则 AF=5&,由(1)知 ODUAB,：./F O D lF E,OF _ 0DAF-皿，5k-0 A _ _ 0 D，-5k 3 k，.,.3(5k-OA)=
15、504,解 得。三 A=8 K,三.A B=A C=4,。是 弧 A C的 中 点，：.ODAC,A B是。的 直 径，A ZACB=90,J BC.LAC.,四 边 形 AOEC是 平 行 四 边 形，：.AC/DEf:BCLDE,：.0D 上 DE,。是 圆。的 半 径，。后 与。0 相 切；(2)解：,四 边 形 CAOE是 平 行 四 边 形,：.Z D A C=Z D E Cf工/.tan Z D/4 C=tan Z DEC=2,点。为 弧 A C的 中 点，0。为 半 径,A ODA.AC,GA=GCf：.ZAG D=ZAG 0=9Q,在 RtaDAG 中，tan ZD AC=AG
16、=7,：.AG=2DG,。0 的 半 径 为 5,.OA=OD=5,：.O G=O D-D G=5-DGf在 R 3 Q 4 G 中，OG2+AG2=OA2,(5-Q G)2+(2DG)2=52,A25-10OG+QG2+4QG2=25,解 得 O G=2或 DG=O(舍 去)，：.O G=O D-D G=5-2=3f：OA=OBf GA=GC,O G是 ABC的 中 位 线,1，O G=/C,：.B C=2 O G=2 X 3=6.B C的 长 为 6.4.(1)证 明：连 接 0。，如 图,：AB=ACf N 8=N C,OD=OCfA Z 1=Z C,A Z B=Z 1,：.O D/AB
17、,：DE LA B,J.D ELO D,而 0。为。的 半 径，.直 线。尸 与。0 相 切；(2)解：连 接 AD,D E,如 图,N B=N C=N E,:.D B=DE,：D F A Br:.BF=EF,;A C 为 直 径，A ZADC=QO0,V Z B+Z 2=9 0,Z 2+Z 3=9 0,A Z B=Z 3,：.s in Z 3=sinB?,一 AF 在 在 RtZXAOF 中，；sin N 3=诲=E:.AD=HAF,AD V 3在 RtzXAB。中，：s in B=-,：.A B=A D 3 A F,BF+AF=3AF,即 EF+AF=3AF,：.AF+2+AF=3AF,：
18、.A F=2,.A C=A B=61 _5.(1)证 明：连 接 O M,则 OM=OB,：,/O B M=/O M B,.5 M平 分 NA3C,ZO B M=NEBM,；,/O M B=/E B M,：.O M/BE,：.ZAM O=NAEB,在 ABC中，AB=AC,H E是 角 平 分 线，：.A E B C,/A M O=N 4 E B=9 0,历 是(DO的 半 径，.AE与。相 切；(2)解：在 ABC中，AB=AC,4 E 是 角 平 分 线，1:.B E=B C=3,Z A B C=/C,一 BE 3 1在 R tZ A 3 E 中，COS N A 3 C=COS N C，：
19、.A B=9,设 O O 的 半 径 为 r,则 A O=9-rf OM BC,：.X A O M s ABE,O M _A O BE=AB，r 9-r即 T=-r-9,/.r=79即。的 半 径 为;6.解：(1)连 接 OE、AE,A8是 直 径，NAEB=90=ZAEC,在 人（?：和 ABE 中,rC E=B E-ZAEB=ZAEC=90,A E=A E.ACE丝 ABE(S A S),：.Z C A E=Z B A E,AC=AB,：OA=OE,：.Z O A E=Z O E A,：.Z C E E=Z O E A,J.O E/AC,又：FM_LAC,：.O E LFM,：0 E 是
20、 半 径，.FM是(DO的 切 线；(2)由(1)可 知 N C=N 4B C,在 RtA4BE 中,BE=ABCOSZABC=10X 卷=2/=,在 RtZCEM 中，CM=CE C O S Z C=函 义 第=2,：.AM=AC=C M=10-2=8,OE/AC,：.F E O/F M A,F O Q EAF A=A M-5+BF 5.即 10+BF=京，10解 得 B F=.CXL7.解：（1）-：CD.LADfA Z D=90,：.ZDAC+DCA=90,点 c 是 弧 B G的 中 点，CG=BC,：.Z D A C=Z B A C,Q4=OC,：.Z O C A=Z B A C9：
21、.Z O C A=ZD A CfJ.AD/O C,：.Z D=Z O C P=9 Q,O C是 圆 o 的 半 径，Q C与 O。相 切，（2）A B是。0 的 直 径，A ZAC B=90,：.ZP C B+ZA C D=90,由（1）得：ZDAC+ZDCA=Q0,:./P C B=/D A C,Z D A C=Z B A Cf：.Z P C B=Z B A C,C E平 分 N 4C 3,NACF=NBCF,ZP F C=ZBAC+ZACFf/P C F=NPCB+NBCF,：.ZP F C=NPCF,:.PC=PF；(3)连 接 AE,.CE-ZACB,：.AE=BE,；.AE=BE,是
22、(DO的 直 径，：.ZAEB=90,.AE8为 等 腰 直 角 三 角 形，:.A B=a B E=E,w：.O B=O C=,1.tan/CE8=W，.ta n/C A B=7 5 W，,：ZPCB=ZBAC,Z P=Z P,:Z C B S XPAC,BC PB j_AC=PC=3-.设 PB=x,PC=3x,在 RtZOCP 中，OC2+PC2=OP2,V10 x/lo(2)2+(3x)2=2.+x)2,逗.*.%=g(或 x=0(舍/.P C-法)，,8：.PC=PF=8.(1)证 明：如 图，连 接 OD,OD=O B,：.Z O D B=Z O B D,V Z C=90,OQ_L
23、AB,D Q=D Cf B O是 A A BC的 角 平 分 线，：O B D=/D B C,：.Z O D B=Z D B C,：.O D/B C,NOO4=NC=90,A C经 过。为 的 半 径 0。的 端 点 D,且 A C O DfJ A C 是。的 切 线；(2)解：如 图，作 OG_LBE 于 点 G,则 BG=EG,N O G 8=90,N OOC=NC=/OG C=90,四 边 形 OOCG是 矩 形，V C D=4,O B=O D=5,：.O G=C D=4,G C=O D=5,在 RtZkBOG 中，OB2=OG2+BG2,.BG=VOB2-OG2=A/52-42=3,：
24、.E G=3,9.(1)证 明：如 图，连 接 OE,TAE 平 分 N3AC,：.Z C A E=Z E A D,tOA=OEf：.Z E A D=Z O E Af：.Z O E A=Z C A E：.O E/A Cf：.Z O E B=Z C=9 0Q,OE_LBC,。后 是 半 径，8C是 O O的 切 线；(2)解：t：ZE A B=30,：.ZEOD=GO,：.Z O E B=90,：.Z B=3 0Q,：.O B=2O E=2O D=Wt：BD=5,：.8 E=/OB2-OE 2=J1M-5 2=5 点,60兀 X 5 5兀,弧 DE=-g o-=3，C=3O+8E+弧 DE=5+
25、53 冗.阴 影 310.(1)证 明：连 接 AC,OC,AB是。的 直 径，是。的 切 线,：.Z B A D=Z A C B=9 0,点 E是 AD的 中 点,:AE=D E=CE,：.NACE=NC AE,：OC=OA9：.Z O A C=Z O C AfA ZO CA+ZACE=ZO AC+ZCAE=90,：.Z O C P=90,0 C 是 o。的 半 径，.9.PC是 o o 的 切 线；(2)解：,：AB=2APf AB=2AO,：.A P=A Of*：ZO C P=90,.AC=O A=OCf AOC是 等 边 三 角 形,NA0C=6 0，：.Z B=3 0Q,u：ZB A
26、 D=90,：.BD=2AD,.,AO2+482=802,AO2+82=4AQ2,873：.A D=.873故 A D 的 长 为 一 方 一.11.(1)证 明：过。作。/_LAB 于 H,:.N B H O=N B C O=90,平 分 NABC,:/C B O=/H B O,:BO=BO,:CB O Q H BO(4 A S),J 0 H=0 C,与。相 切;(2)解:V tan ZOBC=OC=1.,.设 O C=O H=r,贝 U BC=BH=3r,；NAHO=NC=90，N A=N 4,A H O s/A C B,.A H_ OH_2A A C=BC=T,1 i i：.A H=-A
27、 C=(3+r)-1+r,在 RtZXABC 中，)2+(厂+3)2=(3厂+点.+1)2,解 得 r=2.4或 r=-3(舍 去)，的 半 径 为 2.4.12.(1)证 明：如 图 1 中，连 接 BC.图 1.点。是 弧 8 c 的 中 点.DC一-B D，Z D C B=Z D B C,A 3是 直 径，ZACB=ZBCE=QO0,Z+ZD B C=90,ZE C D+ZD C B=90n,N E=N D C E,CD=ED；(2)证 明：如 图 2 中,图 2:CF=CH,：.Z C F H=Z C H F,V Z CFH=Z CAF+ZACF,/C H A=N BAH+/ABH,：
28、4 C A D=/B A H,：.ZA C O=ZO B C,：OC=OB,：4 0 C B=4 0 B C,1/.Z A C O=Z B C O=2 Z/CB=45,：.Z C A B=Z A B C=4 5,：.A C=B CfV Z A C H=Z B C E=90,Z C A H=Z C B E,：./A C H/B C E(A S A),：.C H=C E；解：如 图 3 中，连 接。交 BC于 G.设 0 G=-则 D G=2-x.曲.CD_一 B D，:./C O D=N B O D,:OC=OB,：.O D B Cf CG=BG,在 RtZXOCG 和 RtZXBG。中，则 有
29、 2 2-超=12-(2-x)2,7 nn 7.*.x=,即 O G=4 4：Ok=OB、J O G是 ABC的 中 位 线，1:.O G=A Cf1：.AC=2,13.(1)证 明：连 接 OD,VAB1AC,：.Z C A B=90,NC4+NZMO=90,A 8是 O O 的 直 径，A ZA D B=90,A ZADC=180-ZAB=90,点 E是 A C的 中 点，1 _：.EA=ED=2ACf:N E A D=/E D A,*OA=OD9：.Z O A D=Z O D A,：.ZED A+ZO D A=90,A ZODE=90,TO。是 O O 的 半 径,。是。的 切 线；(2
30、)解：9：Z F=30,BF=2,N O。产=90,OF=2OD,：.0 8+2=2 0。，OD=OB,：.0 0=0 8=2,*：Z DOF=90-Z F=6 0,：./D O B是 等 边 三 角 形，：.Z O B D=60,在 RtzMBC 中，A B=2O B=49AB _y-_A f i C=cos60=y=8,1V A A B C外 接 圆 的 半 径=/。=4,.ABC外 接 圆 的 半 径 为：4.14.(1)证 明：如 图 1,连 接 OA,OB,OC.在 OAC和 0 4 8 中，AC=AB OA=OA；00=06).,.OACAOAB(5 S 5),：.Z O A C=
31、Z O A B,，A。平 分 ZBAC,：.AO LBC.又*：AD BC,：.A D l.A Of A Z)是。0 的 切 线.(2)如 图 2,连 接 AE.图 2VZBC=90,：.NBAE=90.又：AFBE,：.ZAFB=90.；NBAG+NEAF=ZAEB+ZEAF=90,；.NBAG=NAEB.NABC=NACB=NAEB,.ZBAG=ZABC,：.AG=BG.B中，AC=AB：./A D C/A F B(AAS),设 F G=x,在 RtZBFG 中，FG=x,BF=3,BG=AG=x+2,5；.FG爷 BF2=BG2,即 超+32=(x+2)2,:.F G=.15.(1)证
32、明：连 接。,的 平 分 线 交 0 0 于 点 D,：.幽 4型 ZCAD,：.O D B C,JD F/BC,：.O D D F,.力 广 与(DO相 切；(2)解：,:N BAD=N CAD,ZA D B=Z C,.AB _BD,AE CE8 BD:.BD=4.16.(1)证 明：-：AB=AC,AB=AC,：A E 是 直 径，/.BE=CE,ZB A E=ZC A E,又,；AB=AC,J.AEYB C,y j：EFHBC,.,.EF1.AE,Y O E 是 半 径，E尸 是。的 切 线；解：连 接 O C,设。的 半 径 为 r,VAE1BC,1:,C H=B H=B C=A,：,
33、HG=HC+CG=4,.AG V AH-K JH V9+16 5,在 RtZX OHC 中，O42+CH2=OC2,(3-r)2+1=/2,5解 得：片 矛 10：.A E=Y，,:EF BC,：./A E F/A H G,.A H _ H G二 AE E F，3 _.-F-京,340：.E F=-,(3)解：A H=3,BH=1,3 V A H2+BH2=V 9 H=VW,四 边 形 A8C 内 接 于。，/8+N A O C=1 8 0,V ZAD C+ZCDG=180,:,/B=/C D G,又 NO G C=N A G 8,A A D C G A B/IG,.CD CG AB=AG7C
34、D _3,TTo.C D_ V wB17.(1)证 明：连 接 OC,丁 四 边 形 OBCE为 菱 形,：.OB=BC,OB/CE,：.OB=OC=BC,OBC是 等 边 三 角 形，：.Z B O C=Z C O E=m,N A O P=N C。尸=60,：OA=OC,OP=OP,APO丝 CP。(S A S),:/P C O=/B A P,A 3是。的 直 径，PA是。0 的 切 线,NPAO=90,：.ZP C O=90,O C是 O O 的 半 径，：.P C 是。的 切 线；(2)证 明：由(1)知，NAOP=60,N P4O=90,/A P O=3 0,19：O=O P,：.OE
35、=PE,:PE=BC,:POIIBC、；N PEG=N BCG,NEPG=N CBG,.PEG咨 LBC G(A S A),；EG=CG,:.OG_LCG；解：:0 8=3,0A=0 B=3,：.O P=2O A=6,A P=V o p2-O A2=3,连 接 AF,：AB是 O。的 直 径，：.A F 1P B,：S A P B=1 A PAB=-LPBAF,.AP AB/义 6 k 药,那.=PB=F-B 7 AB2-AF2=J$2-（华）*=岑 18.(1)证 明：连 接 OE,OP,：A O为 直 径，点。为 弦 E P的 中 点,J.P E L A B,点。为 弦 E P的 中 点，
36、垂 直 平 分 EP,：.PB=BE,：OE=OP,OB=OB,:.B E O Q g P O(S S S),:.N B E O=N B P O,为。的 切 线，：.Z B P O=W,A ZBEO=90,J.O ELBC,，BC是。的 切 线.(2)证 明：9：Z B E O=Z A C B=9 0Q,：.AC/O E,：.Z C A E=Z O E AfUOA=OE,.Z E A O=Z A E O,：.Z C A E=Z E A O,JA E 平 分 N C4以 解：4。为 的。直 径，点 Q 为 弦 E P的 中 点,：.EP.LABfVCG1AB,:CG EP,N A C 8=N 3
37、E O=90,：.A C/O E9：.Z C A E=Z A E O,：OA=OE,：.Z E A Q=Z A E Of：.Z C A E=Z E A OfV ZA C E=ZAQE=9Q,AE=AE,A C&zM Q E(A 4 S),:CE=QE,V ZAE C+ZC AE=ZEAQ+ZAH G=90,:/C E H=/A H G,丁/A H G=N C H E,：4 C H E=/C E H,：.CH=CE,：.CH=EQ,，四 边 形 CHQE是 平 行 四 边 形，,:CH=CE,，四 边 形 CHQE是 菱 形,:4CE空 AQE,：.AQ=A C=10,AG=2，.设 HG=x,
38、AG=2x,：.Q G=10-2x,：HQ=EQ=5,.-.52=x2+(1 0-2 x)2,；.x=3 或 x=5(不 合 题 意 舍 去)，QG=4,四 边 形 CHQE的 面 积=O/G Q=5X 4=20.19.(1)证 明：ZA P C=ZC P B=6QC,：.ZA P Q=60,V PQ=AP,.AQQ是 等 边 三 角 形，/.Z Q=60=Z Q A P,.四 边 形 A尸 8 C是 圆 内 接 四 边 形，：.Z Q P A Z A C B 6 0a,：ZQ+ZACB+ZQAC+ZQBC=360,：.Q AC+ZQ BC=240,V Z Q A C=Z QAP+ZBAC+Z
39、 PAB=1200+/P A 8 1 2 0,：.Z O B C 120,:.NQ AC/NQBC,：.ZQPA=ZACB=6Q0=NQ,四 边 形 AQ8C是 等 对 角 四 边 形；(2)解：如 图，/B A D=/B C D,理 由：连 接 BD,.A3WA。，BC=DC,：.NABDW NADB,ZCBD=ZCDB,：.NABCWNAOC,四 边 形 A3CD是 准 平 行 四 边 形，：.ZBAD=ZBCD；,四 边 形 A8CO是 圆 内 接 四 边 形，：.ZBAD+ZBCD=180,ZABC+ZADC=80,：.ZBAD=ZBCD=9O0,：.BD是 直 径，ABD=10,:,
40、BC=C D=B D=5遍,AD=V BD2-A B2=7 102-62=8；将 ABC绕 点。顺 时 针 旋 转 9 0 得 到 8”，；.AB=DH=6,AC=CHf ZACH=90,NABC=/CDH,V ZABC+ZADC=8Q,A ZADC+ZCDH=J80,，点 4,点 D,点 三 点 共 线，：.AH=AD+DH=U,AC2+C”2=A”2,.,.2AC2=196,:AC=7啦,故 AC的 长 为 7 J ZA图 220.(1)证 明：连 接 OC,图 1,：CD=BC,：AC=AD1：.ZD=ZACDf：.ZB=ZACDf：OA=OCf：.ZBAC=ZOCA9;A B 为 G）
41、O 的 直 径，A ZACB=90,/.ZB+ZB A C=90,A ZACD+ZOCA=90Q,：.ZDCO=90,，OC_LC。，CO是 O O的 切 线；解：（2）i）连 接 OC,V ZACB=90,A B=5/10,sinB=g-,在 RtzXACB 中，AC=ABsinB,.,.AC=V16 X=I,在 RtZXACB 中，BC-V A B2-AC2=7（V 1 0）2-l2=3,：OB=CO,，4 0C B=4B,:4 B=4D,：.ZO C B=ZD,:NCBO=NDBC,:./C O B s 工 DCB,Q B _ B CBC B D：.CB2=OB-BD,A/TOOA=OB=-2-，2 9/15.,.BD=32xyy5=5,W 1 0：.AD=BD-AB=-5；M）连 接 CO,：CD=2CE,设 CE=k,CD=BC=2k,：DE=3k,：4 E=/B,N O C B=/B=N D,:丛 DAEsRCOB,.AD 荻 五，设。的 半 径 为 r,3.A D=r,3 7BD=AD+ABr+2r=zr,:IXCOBS ADCB,.O B _ B C二 BC-BD,：.BC2=OB-BD,7)2=rX r,714k=r,V14B C=2 k=r,VT4?.c o s f i=BC_ 2 T V14.AB 2r 4