《2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-2022年高考真题)15 三角形中的范围与最值问题(含详解).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-2022年高考真题)15 三角形中的范围与最值问题(含详解).pdf（112页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题1 5 三角形中的范围与最值问题【方法技巧与总结】1.在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：(D利用基本不等式求范围或最值；(2)利用三角函数求范围或最值；(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；(4)根据三角形解的个数求范围或最值；(5)利用二次函数求范围或最值.要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果
2、的范围过大.2.解三角形中的范围与最值问题常见题型：(1)求角的最值：(2)求边和周长的最值及范围；(3)求面积的最值和范围.【题型归纳目录】题型一：周长问题题型二：面积问题题型三：长度问题题型四：转化为角范围问题题型五：倍角问题题型六：角平分线问题题型七：中线问题题型八：四心问题题型九：坐标法题型十：隐圆问题题型H 一：两边夹问题题型十二：与正切有关的最值问题题型十三：最大角问题题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题题型十五：托勒密定理及旋转相似题型十六：三角形中的平方问题题型十七：等面积法、张角定理【典例例题】题型一：周长问题例 1.(2 0 2 2 云南昆明市第三中学高一期中)设Z
3、 A C 的内角4 B,C的对边分别为，b,&设a sin C=c cos(A-).6 求 4(2)从三个条件：的 面 积 为 0；b=6 a =6 中任选一个作为已知条件，求A/8 C 周长的取值范围.例 2.(2 0 2 2 重庆,高一阶段练习)已知向量1 =(百$山,(：0 5 丫)，b=(1,1),函数/(x)=d-B.求函数/(x)在 0,对上的值域；(2)若A/8 C 的内角A、B、。所对的边分别为。、b、c,且/)=2,a =l ,求A/8 C 的周长的取值范围.例 3.(2 0 2 2 浙江高三专题练 习)锐 角 的 内 切 圆 的 圆 心 为。，内角A,B,C所对的边分别为“
4、，b,c.若百庆=伍2+0 2-4 2 加“，且18C的外接圆半径为1,则ASOC周 长 的 取 值 范 围 为.例 4.(2 0 2 2-浙江省新昌中学模拟预测)已知函数_/0 =65亩 公 丫 855-5m：!5 +3,其中3 0 ,若实数占,满足|/(再)-/&)|=2 时，卜-X z l 的最小值为半(1)求。的值及/(*)的对称中心；(2)在中，a,b,c 分别是角1,B,C的对边，若/(/)=-l,a =J L 求A/8 C 周长的取值范围.题型二：面积问题例 5.(2 0 2 2 贵州黔东南高一期中)在面积为S的 4 8 C 中，内角4 B,C所对的边分别为a,b,c,且(1)求
5、 C的值；(2)若 Z 8 C 为锐角三角形，记 机=十，求加的取值范围.例 6.(2 0 2 2 浙江高二阶段练习)在8c中，角 4 8,C 的对边分别为0 也 c,c o s Z+疯 i M =2.(1)求角A；(2)若点。满 足 而=3衣，且8 c =2,求 S C O 面积的取值范围.43例 7.(2 0 2 2 浙江杭师大附中模拟预测)在 力 5c中，。的边8。的中点，A D =2,2co s C-co s 2(A+B)=.求 角 C；(2)求A/8 C 面积的取值范围.例 8.(2 0 2 2 江苏省天一中学高一期中)在AN8C中，角 次 氏 C所对应的边分别为a、b、c,若b =
6、2,c o s C =-：.4 8 c 是锐角三角形，则A/B C 面 积 的 取 值 范 围 是.题型三：长度问题例 9.(2 0 2 2 辽宁模拟预测)在A/8 C 中，内角Z,B,C的对边分别为a,b,c,且(c +-6)(s i n C -s i n /(+s i n =3 a s i n B.求 角。的大小；(2)设机1,若N 8 C 的外接圆半径为4,且 2 +仍有最大值，求 加 的取值范围.例 10.(2 0 2 2 河南模拟预测(文)在“5C中，角A ,8,。的对边分别为，b,c.2 c o s2 C =2-s i n 2 C，c =4 ,a+b=2V TO.求S“BC；(2)
7、求I-1 的取值范围.a b例 11.(2 0 2 2,江苏高三专题练习)已知 4 8 C 内角4,B,C的对边分别为m b,c,A+C =2B,B C的面积S=a.4求边c；(2)若为锐角三角形，求 a的取值范围.例 12.(2 0 2 2 陕西宝鸡中学模拟预测(文)已知六 侬 邛。*)万=(扃 n r,-c o&r),/(x)=3.g,求/(x)的单调递增区间；(2)设“8C的内角4 C所对的边分别为a,6,c,若/)=g,且 =6，求/+/的取值范围.例 13.(2 0 2 2 江苏南京模拟预测)请在向量H =(；W,s i n B ,5=(三,s i n/1,且刊歹；b+c)回=2 c
8、 s i n A+这两个条件中任选一个填入横线上并解答.在锐角三角形N 8 C 中，已知角A,B,C的对边分别为。，h,c,.(1)求角C:若 8C的面积为26，求2 a +b 的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.例 14.(2 0 2 2 全 国 模 拟 预 测)在 中，内角4&C的对边分别为a,b,c,且6 7 s i n =c(s i n C-2 s i n 5)+Z?(s i n C+s i n 5).求角A；(2)若A/8 C 为锐角三角形，求GS-c)的取值范围.例 15.(2022辽宁抚顺市第二中学三模)在(2 小 山。=伊+/-)华，CO-WC-COS/
9、COSCM：,=ta n/+tan8 这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，2 4 bco s A问题：在A/8 C中，a,b,c 分别为角4,B,C 所对的边，b=2也,.求角B;(2)求2 a-c 的范围.例 16.(2022浙江模拟预测)在/8 C 中，角 4 B,C 所对的边分别是a,h,c,2csinS=(2a+c)tanC,bsin/sin C =布s i n B,则ac的最小值为.例 17.(2022安徽黄山二模(文)在/8 C 中，角A,B,C 的对边分别为。，b,c,a=,A=,4若 劝+c 有最大值，则实数2 的 取 值 范 围 是.例 18.(2022浙 江 高 三
10、专 题 练 习)己 知 的 三 边 长 分 别 为“，h,c,角8 是钝角，则叱；)的取值b范围是.例 19.(2022黑龙江哈尔滨三中模拟预测(文)在A/8 C中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c=3bsin A,则 超 位 的取值范围是()abA.3,5 B.4,6 C.4,2+V13 D.4,2+V15题型四：转化为角范围问题例 20.(2022河北秦皇岛二模)在锐角A48C中，内角A,B,C 的对边分别为。，b,c,且(a+b)(s i n A-sin B)=(c-6)sin C.求 A；(2)求cos8-cosC的取值范围.例 21.(2022广东茂名模拟预测)已知 48。的
11、内角A、B、。的对边分别为。、b、c,且a-h=c(cosB-cosy4).(I)判断“LBC的形状并给出证明；(2)若 b,求 sin 4+sin 8+sin C 的取值范围.例 22.(2022浙江温州三模)在“8 C 中，角 4,B,C 所对的边分别是a,b,c.已知 1,6 =应.7T(1)若求角4 的大小；4 求 c o s/c o s/+.)的取值范围.例 23.(2021 河北沧县中学高三阶段练习)已知函数/(x)=3sin2x+4sinxcosx-cos2x.(1)求函数/(x)的最大值；已知在锐角/8 C 中，角/,5,C 所对的边分别是a,b,c,且满足了（丝 产 卜 子
12、卫，求sin A-sin 5-sin C的取值范围.例 24.（2022山西模拟预测（理）己知“8 C 的内角A,B,C 的对边分别为“，6,c,且c=2（。-bcosC）.求 B；（2）若A48C为锐角三角形，求sin?4+sin?C 的取值范围.例 25.（2022安徽省舒城中学模拟预测（理）锐角A/B C 的内角4 8,C 所对的边是a,6,c,且=1,6COSJ-COS5=1,若 4 8 变化时，sin B-2/lsin 存在最大值，则正数2 的取值范围是例 26.（2022江西南昌十中模拟预测（理）锐角”8 C 中，4 角/的角平分线交8 c 于点M,A M=2,，则B M C M的
13、取值范围为.例 27.（2022辽宁高一期中）在“8 C 中，内角A,B,C 所对的边分别为“，b,c,已知a=8tanN,且 B为钝角，则8-4=,sinZ+sinC的 取 值 范 围 是.例 28.（2021云南师大附中高三阶段练习（理）如图所示,有一块三角形的空地，已知/N 8 C 考,8C=4近千米，4 8=4 千米，则N4C8=；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为8,D,E,其中。，E 为 4 c 边上的点，若使=则 8。+8 最小值为 平方千米.例 29.（2021浙江舟山中学高三阶段练习）如图,在“8 C 中，4 8 c =90。,A C =2CB=2y/3,是A
14、NBC内一动点，N BP C=1 20。，则的外接圆半径=,NP的最小值为例 30.（2022湖北武汉二中模拟预测）在锐角中，a2-b2=b c,则角B 的范围是tan B tan A+6sin A的取值范围为例 3 1.（2022新疆喀什一模）已知A48C的内角A,B,C 的对边分别为，b,c.若 A=2 B,且A 为锐角，则三+二的最小值为（）b cos/A.2 V 2 +1c.2V2+2例32.（2 0 2 1北京高三专题练习）在 锐 角AN8C中4 =2 3,B,C的对边长分别是6,c,则的取值范 围 是（）A（M l B.8）C.g，|）D.（|常例33.（2 0 2 2石家庄模拟）
15、如 图，平 面 四 边 形/8 C。的对角线的交点位于四边形的内部，A B =,B C =6,A C =C D,A C VC D,当N N 5 C变 化 时，对 角 线8。的 最 大 值 为.-题 型 五：倍角问题例34.（2 0 2 1安徽芜湖一中高一期中）的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,若C =2 B,则f的 取 值 范 围 为.例35.（2 0 2 1全国高三专题 练 习（文）已知A/8 C的内角A,B,。的对边分别为“，b,c,若A=2B,则 +色 的 取 值 范 围 为.2b a例36.（2 0 2 0全国高二单元测试）已知A 4 B C是锐角三角形，”,仇c分 别 是4 8
16、,C的对边.若4 =2 8,则 各2D a的取值范围是.例37.（2 0 2 0陕西无高一阶段练习）已知A/I 8 C是锐角三角形，若4 =28,则/的 取 值 范 围 是.例38.（2 0 1 9四川 成 都 外 国 语 学 校 高 二 开 学考试（文）已知A 4 8 c的内角4 B、C的对边分别为a、b、c,若4 =28,则（史 丫 的取值范围为例39.（2 0 2 1江西鹰潭,一模（理）已知“8C的内角A、8、C的对边分别为“、6、。，若4 =2 8,则 竺 土 竺的取值范围为.例40.（2 0 2 2芜湖模拟）已 知A 4 8 c的 内 角/,B,C.的对边分别为a,b,c,若4 =2
17、8,则 +（今 最c b小值是._ _ 例41.（2 0 2 2道里区校级一模）已知A/1 B C的 内 角 力,B,C的对边分别为a .,b,c,若/=28,则+独 的取值范围为一.2h a题 型 六：角平分线问题例 4 2.(2 0 2 2 河北保定高一阶段练习)记“8。的内角A,B,C的对边分别为*b,。，且bco s C+cco s B=2aco s A.(1)求A的大小；(2)若BC边上的高为走，且A的角平分线交BC于点。，求 的 最 小 值.2例 4 3.(2 0 2 2 全国高三专题练习)在/B C 中，角 4 8,C所对的边分别为a,A c.且满足(a+2 b)c o s C+
18、c c o s A=0.(1)求角C的大小：(2)设Z8边上的角平分线C D长为2,求/B C 的面积的最小值.题型七：中线问题例 4 4.(2 0 2 2 江 苏 省 天 一 中 学 高 一 期 中)已 知 的 内 角/,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2 s i n2 J-2 s i n2 5-s i n2 C -2 s i n 5 s i nC=c o s2 C-c o s 2 c.求角4(2)若/。是ANBC的中线，且/。=2,求6+c 的最大值.例 4 5.(2 0 2 2 山西运城高一阶段练习)已知AZ8C的内角4 8,C 所对的边分别为a,b,c,y f i c=y f i
19、 accs B+as i nB.(1)若。=8/4 8(7 的面积为4 省,。为边8(的中点，求中线4D的长度；(2)若E 为边B C 上 一 点,S.AE=l,BE:EC2c:b,求b +2 c 的最小值.例 4 6.(2 0 2 2 湖南长郡中学模拟预测)锐角A/8C中，角 4、B、C所对的边分别为a、b、c,且-=t a n 5+t a n C.cco s B(1)求角C的大小；(2)若边c =2,边 N8的中点为O,求中线C。长的取值范围.例 4 7.(2 0 2 2 山东滨州二模)锐 角A/8C的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知y/3bco s C-2as m A-y/i
20、cco s B(1)求 4(2)若Z =2,。为N8的中点，求 C 的取值范围.例 4 8.(2 0 2 2 安徽合肥一中模拟预测(文)在3 s-*s/)=,?=：(当+),S i n C b 2 t a n 8c s i n 8 =6 c o s(C-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在A/8C中，内角力，B,C的对边分别为a,b,c,且满足.求 C；(2)若A/8 C的面积为2 百，。为/C的中点，求 80的最小值.例 4 9.(2 0 2 2 山东师范大学附中模拟预测)在2 6 s i n C =c c o s 8 +c s i n 8,笔=三也一两个条件中c o s
21、 C 2a-c任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在A N 8 C 中，内角A、8、C所对的边分别是。、b、C,且.求角8；（2）若a +c =V 5，点。是Z C的中点，求线段8。的取值范围.例 5 0.（多选题）（2 0 2 2 甘肃定西高一阶段练习）中，内角/,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,8c边上的中线Z O =2,则下列说法正确的有：（）u m u u m 3A.AB A C =3 B.b2+c2=1 0 C.-c o s ,且2 s i n 8 +s i n C =V L 则实数，的最大值为（）AC例 54.（2 0 2 2 全国高三专题练习）已知。是三角形/8 C
22、 的外心，若 江 方 而+姐 尼 加=加 府 丫，AB AC ）且s i n 8 +s i n C =J i，则实数a的最大值为（）373A.3 B.-C.一 D.5 5 2例 55.（2 0 2 2 全国高三专题练习）在 Z5C 中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,若a=5 0 s i n（5+（），c=5且。为 A B C 的外心，G为4 8。的重心，则 OG的最小值为（）A1D5,/2 5 ,门 1 0 5 2A.V 2-1 B.-.C.J 2+1 D.-6 6例 56.（2 0 2 2 全国高三专题练习）己知“5 C的周长为9,若c o s 上 =2 s i n C ,则8C的内切
23、圆半径的2 2最大值为（）A.v B.1 C.2 D.322例 57.（2022全国高三专题练习）在钝角1 8 C 中，a,b,c分 别 是 的 内 角 4,8,C 所对的边，点G 是“8 c的重心，若/G L 8 G,贝 UcosC的取值范围是（）7例 58.（2022广东深圳高三阶段练习）在“8 C 中，cosZ=万，/8 C 的内切圆的面积为16%,则边8 c 长度的最小值为（）A.16 B.24 C.25 D.36题型九：坐标法17 T例 59.（2022全国模拟预测（文）在RtZNBC中，N BAC=，AB=A C =2,点/在内部，23co s Z A M C =-,则 M B-M
24、 A2 的 最 小 值 为.例60.（2022南通一模）在平面直角坐标系x 0;中，已知8,C 为圆x2+V=4.上 两点，点 4（1,1）,且则线段B C的长的取值范围为一.一例61.M 为等边A48C.内一动点，且 NCM8=120。，则4”的最小值为_.M C一 例 62.（2022江苏模拟）已知4 4 8 c 是边长为3 的等边三角形，点P 是以/为圆心的单位圆上一动点，点0 满 足 而=存+*，则I殖 I的 最 小 值 是.一例63.（2022秋新华区校级期末）“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120。时，“费马点”与三个顶点的连线正
25、好三等分“费马点”所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120.,根据以上性质，函 数/（x）=+7（x+l）2+r +正+（y-2）2 的最小值为（）A.2 B.y/3,C.2-y/3 D.2+6例 64.（2022唐山二模）在等边A 48c中，A/为A 48c.内一动点，NBMC=120。，则惚的最小值是（）M CAI p 3 百 n GA.1 B.C.D.4 2 3例 65.（2022春仁寿县校级期末）锐角A48C中，角 4,8,C 所对的边分别为a,b,c,a2+b2=5c2,则cosC的取值范围是（）A.（p y）B.（1,1）.C.*坐 D.1）例 66.（2022春博望
26、区校级月考）在等腰A48。中，角 4,B,。所对的边分别为a,b,c,其中8 为钝角，b-J3 a sin/=6cos2N.点。与点8 在直线/C 的两侧，R C D =3AD=3,则A8C。的面积的最大值为（)A.-A/3.B.4 石 C.-y/3 D.34 4一 例 6 7.（2 0 2 2 淮安模拟）拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑波拿马最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三个角 形 的 顶 点 在 A 4 8 C 中，乙4 =1 2 0。，以4 3,BC,4C 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为
27、。，口，5,若 。2 3 的面积为百，则A 4 8 C 的 周 长 的 取 值 范 围 为._一题型十：隐圆问题例68.（2 0 2 2 盐城二模）若点G为A 4 8 C 的重心，且 ZG18 G,贝 U si n C的最大值为,.例 6 9.（2 0 2 2 江 苏 三 模）在 平 面 四 边 形/B C D 中，Z BAD=90 ,AB=2 A D =,若_ _ _ _ 4-_ IAB AC+BA BC=CA CB,则 C8+C。的最小值为_.3 2一例70.（2 0 2 2 涪城区校级开学）若 A/1 BC满足条件4 8=4 .,A C =2 B C,则A z I BC面 积 的 最 大
28、 值 为.一例7 1.已知/,3是圆。:+/=0 上的动点，AB=4近，尸是圆C（x-6）2+（y 8）2 =1 上的动点，则|+3 豆|的 取 值 范 围 是.一例72.（2 0 2 2 合肥模拟）锐角A/f 8 c中，a,b,c 为角4,B C 所对的边，点G为的重心，若A G L B G ,则c o sC的取值范围为（）A 电|B.专，当.C.冷,+8）D.,，|一例73.（2 0 2 2 江汉区校级模拟）M B C 中AB=4 C =6 A4 8 c 所在平面内存在点尸使得P B2+P C2=3P A2=3,则A A B C 面积最大值为（）A.2答 B.4C.萼 D.一 例 74.（
29、2 0 2 2 上城区校级模拟）设万，不为单位向量，向量入满足|2?+即=团石则|。-彼|的最大值为（）A.2 B.1 C.6 D.72一例75.（2 0 2 2 春瑶海区月考）在平面四边形 8中，连接对角线8。，已知C =9,8。=1 6.,2 B D C=90 ,4si n/l=1,则对角线4C 的最大值为（）A.2 7 B.1 6 C.1 0 D.2 5.一例76.已知圆O:X2+V=5,A,8 为圆O上的两个动点，且|/5|=2,M 为弦48 的中点，C（2 立，a）.,。（2 应，a+2）.当/,8 在圆。上运动时，始终有N CA/A 为锐角，则实数a的取值范围为（）A.（-o o,
30、-2）B.（-0 0.,-2）U（0 ,4-0 0）C.（-2,+a）D.（-c o,0）U（2,+o o）一题型十一：两边夹问题例 77.（2022合肥一模）设A48C的内角4,B,C 的对边长a,bc 成等比数列，cos（Z-C）-cos8=1,延长8 c 至。，若BD=2,则 面 积 的 最 大 值 为.例 78.（2022静安区二模）设A48C的内角4,B,C 的对边为a,h,c.已知a.,b,c 依次成等比数列，且cos（4-C）-cos8=，,延长边8 c 到。，若BD=4,则 44c。面积的最大值为_.2例 79.（2022常德一模）在&4 8 c 中，角/,B,C.所对的边分别
31、为a,b,c,已知。2=，且3cos（4-B）+cos C=.（I）求角C；.（II）延长BC至。，使得8。=4,求 zMC。面积的最大值._例 8 0.在 A48c.中，若 空 1+您 0 =2,且 A48C的周长为12.sin B sin A（1）求证：ZU8C为直角三角形；.（2）求 A48C面积的最大值.一题型十二：与正切有关的最值问题例 81.（2022湖南长郡中学模拟预测）在A/8 C中，内角N,B,C 所对的边分别为a,b,c,且6sin*i=asin8.求：2（1）A;（2）一 的取值范围.b例 82.（2022全国模拟预测）在锐角A/8 c 中，角Z,B,C 所对的边分别为a
32、,b,c.若。2 +历-/=0,则4（sinC+cosC+一二一一匚的取值范围为（）tanC tan AA.（45/2,9）B.（8,9）C.苧+4,9 D.（2百+4,9）例 83.（2022山西吕梁二模（文）锐角A/5 C是单位圆的内接三角形，角 4 B,C 的对边分别为a,b,c,且a?+一/=4q2cos4-24ccos8,则牛的取值范围是（）bA.（2 3 3 6）B.（7 3,3 ）C.冬2后 D.惇，例 84.（2022全国高三专题练习）在锐角三角形/8 C 中，角A、8、C 的对边分别为a、6、c,且满足八 八 小 则 高 一 熹 的 取 值 范 围 为 例 85.（2 0 2
33、 2 全国高三专题练习）在锐角“4C 中，角4 B、C 所对的边分别为也c,若/一/=庆，则-+3 s i n 4的取值范围为（）t an C t an AA.（2 石,+o o）B.（2 百,4）c.恪）例 86.（2 0 2 2 全国高三专题练习）在锐角A/8 C 中，角A,8C 的对边分别为。，b,C,S 为A N 8 C 的面积，且 2 s=/一（6-）2,则/的取值范围为（）题型十三：最大角问题例 8 7.（2 0 2 2 春海淀区校级期中）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M ,N 是 锐 角 的 一 边 0 4上的两点，试在。8边上找一点尸，使得乙W P N 最大”.如图，其
34、结论是：点尸为过M,M 两点且和射线。8相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在 平 面 直 角 坐 标 系 中，给定两点（-1,2）,N（l,4）,点P在x 轴上移动，当N M/W 取最大值时，点尸的横坐标是（A.-7.B.1 或-7 C.2 或-7一例88.（2。2 2 秋青羊区校级期中）（理科）E、尸 是 椭 圆 白 白 1 的左、右焦点，/是椭圆的一条准线,点尸在/上，N EP 厂的最大值是（）A.6 0 B.3 0 .C.9 0 D,4 5 _ 一例8 9.（2 0 2 2 春辽宁期末）设 A J 8 C 的内角Z,8 ,。所对的边长分别为a,c ,Mac o s 5-f t c
35、 o s J=-c ,5则t an（4-B）的最大值为（）3 13 3A.-B.C.-D.-5 3 8 4例 90.（2 0 2 2 滨州二模）最大视角问题是1 4 7 1 年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米 勒 问 题 如 图，树顶/离地面。米，树上另一点8离地面4米，在离地面c（c b）米的C 处看此树，离此树的水平距离为 米时看4,8的视角最大._ 例 9 1.如图，足 球 门 框 的 长 为 2 d Mi d w =3.6 6?），设足球为一点P.，足球与Z,8连线所成的角为。（0。&/2 D.3_ 例 103.（2022洛阳二模）已知A 45c的三边分别为
36、a,b,c若满足/+y+2?=8,则 B C 面积的最大值为（）A,正 B.巫 C.在 D.立5 5 5 3一例104.（2022春张家界期末）秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作 数书九章中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幕并大斜累减中斜幕，余半之，自乘于上，以小斜基乘大斜幕减上，余四约之,为实.一为从隅，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是S =-J+；一42 ,其中,b,c 是 A 48c的内角Z,B.,C 的对边，若sin 8=2sin/cosC 且，2,c,成等差数列，则A 48c面积S的最大值为（）B.芈C.1.5-D,巫5一例105.（2 02 2 晋城一模）在锐
37、角&4 8 C 中，角 Z,B,C的对边分别为a,bc,A 4 B C 的面积为S,若 s i n（4 +C）=孚r，则t an C +-1-的最小值为（b2-c2 2 t an(8-C)A.y/2.D.20一例106.（2 02 2 秦淮区模拟）在锐角三角形/8 C 中，已知4 s i n 2 R +s i n 2 8 =4 s i n 2 c,则一+-+1t an A t an B t an C的最小值为.例 107.（2 02 2 浙江三模）在锐角三角形N B C 中，角/,B,C的对边分别为a.,b,c,若已知b2+c2=4 6 c s i n（4 +）,则 t an Z +t an
38、8 +t anC 的 最 小 值 是.例 108.（2 02 2 春鼓楼区校级期中）在&4 8 C 中，角 4,8,C.所对的边分别为a,b,c,若3 a2-b2+3 a6 c o s c =0,则 c（/十 cos8）的最小值为_ _.a b物 109.（2 02 2 全国高三专题练习）在锐角中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S 为“8C的面积，且2 s =/-（/,-,，则 竺 卫竺吗的取值范围为（）.7 4b2-l2bc+1 3c2A。9父 7目3、B.I(b+c)2-3+u(+,),4 4当且仅当6 =c =l 时取=,即有0 a=l,贝 i j l b +c 4 2,因此2 b
39、+c+a 3,所以AN8C的周长的取值范围为(2,3 .例 3.(2 0 2 2 浙江高三专题练习)锐角A5C的内切圆的圆心为。，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c.若JW =W+c2-*tan/,且“8C的外接圆半径为1,则ABOC周长的取值范围为.【答案】仅0,2 +6【解析】【分析】由余弦定理变形可求得A角，再由正弦定理求得。，在A80C中利用余弦定理表示出0 8,0 C 的关系，并由基本不等式得出O B +OC的个范围，结合三角形的性质求得O B +OC的范围，从而可得结论.【详解】解：由余弦定理，得=2，c c o s/tan /，即si n X=,2因为0/+),解得05+42
40、，又O B+O C B C,所 以 省 O 8 +O C 4 2 ,所以A8OC周长的取值范围仅6 2+6故答案为：0 6,2+6 .A例 4.(2 0 2 2 浙江省新昌中学模拟预测)已知函数B/(x)=V 3 si n co x c o s 0,若实数占双满足|/(芭)-/,卜2 )|=2 时，|占-|的最小值为2(1)求0的值及/(X)的对称中心；(2)在中，a,b,c 分别是角1,B,C的对边，若/(/)=-l,a=6，求A/B C周长的取值范围.【答案】(1)。=1,对称中心(-丘 +大e Z ；仅6,2 +6【解析】【分析】(1)先由倍角公式及辅助角公式化简得/(x)=s i n(
41、2 o x+?)再结合已知求得周期即可求 出 叽 由正弦函数的对称性即可求得对称中心：(2)先求出力=手，再由正弦定理求得b =2 s i n8,c=2 s i nC,再借助三角恒等变换及三角函数的值域即可求得周长的取值范围.(1)f(x)=A/3 s i n ft i r co s a t r-s i n 2o i r +=s i n2(u v-cs2L=,s i n 2 6y x+!co s 2 x=s i n(2 0 x+g,八 2 2 2 2 2 2 V 6 )显然fM的最大值为I,最小值为-1,则|/(占)-/.(占)|=2 时，|西-司 的最小值等于4，则=，则 二=，2 2 2
42、2co(o =令2 x+j 3 M e Z,解得x=+竺，左 e Z,则f(x)的对称中心为(一二+”,0),左 e Z；6 1 2 2 V 1 2 2 J出/(/)=$皿2/+二)=-1,2A+-=-+2 k ,k e Z,又力(0,万)，则 4 =空，6 6 2 3a _ b _ c _ 出由止弦定理得 s i n4 s i n5 s i nC 则 b =2 s i n3,c=2 s i nC,T贝|J 周 长 为 6+2 s i n 8+2 s i n C=V5+2 s i n 3+2 s i iV3+sin5+73 cosS=+2sin(B+-),X 0 5 -,则王 3+工(女,3
43、3 3 3 3则6 2 s in(8+$4 2 ,故周长的取值范围为修,2+6 题型二：面积问题例 5.(2022贵州黔东南高一期中)在面积为S 的NBC中，内角4 B,C 所对的边分别为a,b,c,且cc/sinC sinA 1/2 己、.2s-+-=cr+厅 sin J.(sin8 sinCJ (1)求 C 的值；S(2)若力8 c 为锐角三角形，记朋=求?的取值范围.【答案】(呜a 18 2/【解析】【分析】(1)利用三角形面积公式、正弦定理及余弦定理即可求解；(2)根据题干得出角A 的取值范围，利用三角形面积公式及正弦定理进行化简，最后利用角A 的取值范围进行求解.(1)解：在ANBC
44、中，由三角形面积公式得S=16csin4,2由正弦定理得：2x；b c s i n d X)=(/+吁in/,“2.r2 _ 2 1整理得：a2+b2-c2=a b,由余弦定理得：cosC十，一。2ab 2TT又0 。0 ,当目.仅当。=4,6=2 时等号成立，所以 48C 面积 S=abs i nC=-ab G(0,23.2 4例 8.(2022江苏省天一中学高一期中)在 NBC中，角 4&C 所对应的边分别为、6、c,若b=2,cosC=H B C是锐角三角形，则“B C面积的取值范围是2 4-【答案】(乎，【解析】【分析】1 4根据题意和余弦定理，求得4=1+。2一在，再结合余弦定理求得
45、35 5=5,再由正弦定理可得。=7 不出/,c=-sin C,化筒g料2 T q，根据“B C是锐角三角形求得/“行，得到7 17 1sin一再，B P ace2 t2/I，4,结合面积公式，即可求解.64冗362【详解】由余弦定理可得cosC=a2+4-c2 a c4a,整理得4=。2 +。2-女又由cos B=a2+c2-4 1lac 22 4因为8 e(0,i),所以8=(.b 2 4 A A-=,_ 4 4由正弦定理可知：sin5,所以。二工 出力，c=-j=s i n C,21616 sin/i-sinC=sin/4sin二(/3 sin Jcos 4+sin 2%8 02-s 2
46、A+-k 8-sin(2A-7 16故=333128222343因为 44C 是锐角三角形，0 A -:,解得0 C =-A/i 3 ,由余弦定理 c?=+从-2a b c o s C 得：1 6 =（2 0）3ab.解得：ab=S.所以S =6 s i n C=创8 =2 j “比 2 2 2（2）由（1）可知：=8.而a +Z）=2后，所以（a-6）2=（a +b）2-4 =40-3 2=8 ,所以a-6 =及&,所以1 _ b-a 2-7 2+y/2a h ah 8 4故!一!的取值范围为，:a b 4 4例11.（20 22江苏高三专题练习）已知 X B C内角4,B,。的对边分别为。
47、，b,c,A+C =2B,B C的面积$=且”.4求边C；（2）若A/8 C 为锐角三角形，求a的取值范围.【答案】（1）1加【解析】【分析】（1）根据Z +C =2 B,结合三角形内角和定理求得8 =三，由三角形面积公式结合s =3a,求得答案；3 4(2)由正弦定理表示a =1 +4_,由 三 角 形 为 锐 角 三 角 形 确 定 即 可 求 得 答 案.2 2t a n C 1 6 2)(1)因为/+C =28,A+B+C=n,所以 8 =g；因为5 =,5 沦8 =正 =，所以c =l2 4 4在A/8 C 中，由正弦定理4 三，s i n A s i n C由(1)知Y，c =l,
48、代入上式得：s i n Z s i n(c+?I s i n C+c o s C _ j 石，3 c i -=-F-s i n C s i n C s i n C 2 2t a n C因为A/B C 为锐角三角形，则4+0 =4,4 =-0 3,即可得解.(1)解：因为 3 =(cos x,co&x),另=(6s inr,-cos x)旦/(x)=34,所以/(x)=4 i =V 5 s in x,cos x -co s x=-s in2 x-（l +cos 2 x）=-s in2 x-cos 2 x-=s in 2 x-即 f（x）=s in（2 x 一5 1 g ,J T 7T 7T T
49、T T T令-F2kj r 42 x W F2k兀,k G Z i 解得-Fk%x.k冗H ,k e Z .2 6 2 6 3j r j r所以函数x）的单调递增区间为-7 +%肛彳十%,k e Z ,6 3（2）解：因为/（4）=s in（2 N-,I b J 2 2.所以 s in（2N q）=l.因为“（0,万），所以24-/-,当,所以24-=工，所以/=,6 y 6 6 J 6 2 3乂因为a=，所以由余弦定理/=+2 一 2/?c cos Z 即 3 =+/_ 加，即/+。2=3 +%.而/+02之2A，当且仅当b=c时取等号，所以历W 3 ,即/+w 6,又因为廿+。2 =3 +
50、儿3,所以3 Z/+c2 K 6,即从+/3,6.例1 3.（2 0 2 2江苏南京模拟预测）请在向量，=（F，s in8 1，下=（,s i n/,且利歹；h+c）c+）也b=2 cs in A+g 这两个条件中任选一个填入横线上并解答.在锐角三角形N 5 C中，已知角A,B,C的对边分别为。，b,c,.求角C;若 8 C的面积为2白，求2 a+6的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（i）c =W（8,1 0）【解析】【分析】（1）选：根据平面共线向量的坐标表示和正弦定理可得0 2=/+6 2-仍，结合余弦定理即可求出C；选：根据正弦定理和两角和的正弦公式化简