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1、第七章第七章 时变电磁场时变电磁场7.1 7.1 位移电流和推广的安培回路定律位移电流和推广的安培回路定律1、问题的提出、问题的提出高斯定理(库仑定律）安培回路定律（安培磁力定律）法拉第定律（电磁感应定律）电流连续方程（电荷守恒原理）前面各章的总结：静态场结论时变场结论考察在时变场中的适用性：对 两边取散度，有静态场成立时变场不成立2、推广的安培回路定律、推广的安培回路定律 麦克斯韦提出安培回路定律的修正 于是即若要满足 ，必须为了得到 的表达式，进一步假设 对时变场成立 由此可得比较两边，得因此得到推广的安培回路定律：积分形式 微分形式 3、位移电流密度、位移电流密度来源a.电场随时间的变化
2、率b.极化电介质的极化强度随时间的变化率 全电流密度全电流连续性方程对 两边取散度，得积分形式为 全电流的无散性和连续性 4、推广的安培回路定律的物理意义、推广的安培回路定律的物理意义分布电流和时变的电场都是磁场的源 定律本身无法用实验直接验证。但由此得到的电磁理论与时变场的所有现象相吻合，从而被间接的得到验证。位移电流 与分布电流 有着本质的区别，的存在并不要求伴随电荷的定向运动，而只是电场的变化率。例7.1 试证明电容器中的位移电流等于导线中的传导电流 证明：导线上的传导电流是 假设电容器极板面积为S，电荷在极板上均匀分布，则 所以传导电流为由导体的边界条件知 则位移电流为因此位移电流作为
3、传导电流的继续，从电极1 流到电极2 若作一闭合曲面S包围电极1，则：传导电流 I 流入闭合面为负值 位移电流 Id 流出闭合面为正值 闭合面S上总电流满足全电流连续性方程 7.2 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组1、微分形式、微分形式描述宏观电磁现象的基本方程组 动电生磁动磁生电电流与电荷关系 高斯定律与电流连续方程的等价性 证明：所以对比可知反之亦然因为其中 可以由 导出 Maxwell 方程组我们采用高斯定律，而将电流连续方程略去。因此，不要这个方程也不会影响基本方程组的正确性和完备性，但增加该方程使基本方程组具有了对称性，为方程组的求解提供了方便。2、积分形式、积分形式 3、媒质本构方程（
4、辅助方程）、媒质本构方程（辅助方程）仅由麦克斯韦方程组的四个基本方程还无法求解出电磁场的具体分布需要补充如下3个方程 通过对上述方程的分析，麦克斯韦预言了时变的电磁场将以波的形式按光速传播 。并在1888年，由物理学家赫兹首次用实验验证了上述预言的正确性。4、麦克斯韦方程组的限定形式、麦克斯韦方程组的限定形式 将本构方程各式代入麦克斯韦方程组的微分形式中，得 5、麦克斯韦方程组的局限性、麦克斯韦方程组的局限性带电体的受力问题离散连续机械力问题牛顿定律微观领域问题量子力学7.3 正弦电磁场正弦电磁场时变电磁场随时间的变化规律可以有多种形式：正弦波、方波、锯齿波、脉冲 按照付里叶理论 周期的函数可
5、以展开为付里叶级数 非周期函数可以展开为付里叶变换 因此，不论对周期性或非周期性的时变电磁场，都可以通过对正弦电磁场的数学变换来进行分析和求解。一一.正弦电磁场的复数表示法正弦电磁场的复数表示法 基础：正弦电磁场的时间变量和空间坐标变量可以进行分离 约定：用余弦函数表示正弦点磁场1、振幅、振幅例：将 点的正弦电场写作其中、振幅初位相角频率 单位：rad/s频率 单位：Hz 或 s-1 只与位置有关2、复振幅、复振幅先求解空间变化，然后再考虑其时间因素，降低求解难度。利用欧拉公式 ，则有令 ，则表达式更为简洁 考虑 x 分量 称为复振幅复振幅，一般是坐标变量的复函数，包含着振幅和初相信息 为避免
6、混淆 复振幅写成 或 ，也可简写成 瞬时值写成 ，也可以简记为 振幅写成 ，也可简记为 3、复矢量、复矢量利用复数的基本运算法则，电场表示为 上式称为电场矢量 的复数表示法 称为电场强度的复矢量复矢量 它的各分量就是每个瞬时分量的复振幅。特别强调指出：特别强调指出：复振幅和复矢量都只是场点坐标的函数或常量，因此在它们的表达式中不应出现时间变量 t；而瞬时场矢量或分量都是实数域内的函数，在它们的表达式中不能出现复数的标记 j。例7.2 已知一电场的瞬时矢量为 写出它的复矢量。解：首先利用三角关系将电场顺势矢量的 z 分量写成余弦函数 所以复矢量表达式为 例7.3 已知一磁场分量的复振幅为 频率为
7、，写成对应的瞬时表达式。对应的瞬时分量表达式为 将所给表达式写成模值和辐角的形式 解：利用公式二二.麦克斯韦方程的复数形式麦克斯韦方程的复数形式 考察瞬时安培回路定律利用复数表达式得因为取实和微分可互换顺，则因此可以得到安培回路定律的复数表示利用同样的方法，还可以得到 这组复矢量的方程组称为麦克斯韦方程组的复数形式麦克斯韦方程组的复数形式，或复麦克斯韦方程组复麦克斯韦方程组。频域方法：频域方法：首先求解复麦克斯韦方程组，得到所求的复矢后，再利用瞬时矢量与复矢量的关系式得到瞬时场量。时域方法：时域方法：直接求解瞬时麦克斯韦方程组获得瞬时场量。时域方法、频域方法时域方法、频域方法例7.4 假设真空
8、中有一电场矢量为 求磁场矢量 解法1:将电场表达式代入瞬时麦克斯韦方程组第2式，得 两边对 t 积分，得到 解法2:电场的复矢量为 代入复麦克斯韦第二方程，得 7.4 媒质的色散与损耗媒质的色散与损耗一一.媒质的色散和复电磁参数媒质的色散和复电磁参数1、色散现象、色散现象 在时变电磁场中，媒质参数随频率变化的现象称为媒质色散媒质色散。2、色散现象来源、色散现象来源 媒质的极化、磁化、载流子的定向运动 在时变电磁场的作用下，极化、磁化及载流子运动都将随着电场和磁场的指向变化而不断改变方向。由于电荷载体粒子的惯性影响，粒子的运动将落后于场的变化，产生滞后效应。以极化为例：当频率很高时，只有电子极化
9、的建立能够跟上场的周期变化，以电子极化的贡献为主，所以一般媒质的极化强度都有随场频率增高而逐渐减小的趋势 3、复电容率、复电容率 由于极化状态滞后于电场状态，因此除了极化强度的模值随频率变化外，其相位也要滞后于电场的相位 为滞后相位是与频率f 有关的函数 对于时变场 ，一般不成立，因为相位不一致。与 有着复杂的关系由于辅助方程不具备正比形式，所以对色散媒质必须用频域法。对于某个特定频率，可以象静态场一样，有对色散媒质，可令 由此得到电通量密度的复矢量 由于 的相位滞后于 ，复极化率 的辐角应小于零，所以 的辐角也小于零，因此可以将 写作其中 称为复电容率复电容率 可见，在复频域内，复矢量 与
10、之间也有简单的正比关系，只不过比例系数是一个复数。根据物理学原理，可知色散公式4、复磁导率、复磁导率对于一般的非铁磁媒质 而对铁磁材料 在频域内，同样有其中 ，称为复磁导率复磁导率5、电导率、电导率 与极化和磁化相比，电导率的色散效应很弱，从直流到光频都可以近似用一个实常数表示。因此，在时域和频域内，本构方程具有简单的正比关系 媒质的复参数是在频域方法中引入的，只能在频域中使用，对于瞬时场是没有意义的。二二.媒质的损耗和等效电容率媒质的损耗和等效电容率 1、媒质损耗的来源、媒质损耗的来源焦耳损耗极化损耗和磁化损耗2、媒质损耗与频率的关系、媒质损耗与频率的关系3、等效复电容率、等效复电容率由复麦
11、克斯韦方程得 称为等效复电容率等效复电容率，称为相对等效复电容率相对等效复电容率 令 采用了等效电容率后，可以将导电媒质视为一种等效的电介质，从而使各种媒质都可以用相同形式的麦氏方程求解。4、损耗角正切、损耗角正切电损耗角正切磁损耗角正切 损耗角正切的值越大，表示媒质对电磁能量的损耗越大。例7.5 已知海水的 。若振幅为100 V/m，频率为1kHz的电场存在于海水中，试求海水的损耗角正切和损耗功率密度。若频率增高到1GHz又将如何?解:由题意知，海水的极化损耗可以忽略，所以相对等效电容率为 f=1 KHz 时 f=1 GHz 时 媒质损耗功率密度与频率无关 7.5 电磁场的能量关系坡印廷定理
12、电磁场的能量关系坡印廷定理一一.瞬时坡印廷定理瞬时坡印廷定理 声明：声明：为了书写简单，省略瞬时场量中的坐标变量和时间变量。设是时变电磁场媒质空间的一个区域，其外表面记为S 考察安培回路定律两边同时点乘 ，再在区域内作体积分，则有根据矢量关系可得所以有设媒质无色散损耗，则瞬时辅助方程成立 同理 即于是有因此瞬时坡印廷定理瞬时坡印廷定理 焦耳损耗功率 瞬时坡印廷矢量（功率流密度、能流密度）：瞬时坡印廷矢量（功率流密度、能流密度）：单位时间内穿出闭合面S 的电磁场能量 单位时间内电磁能量的减少量 物理意义 一个闭合曲面内的电磁能量在单位时间内的减少量等于两部分功率之和：内的导电损耗功率转换为热能散
13、发，以功率流的形式辐射到闭合面S之外。这是电磁能量守恒定律在一个闭合曲面上的表现形式。稳恒场情况 意义：对于稳恒场，内的焦耳损耗必须由外界提供能量。对稳恒场有根据瞬时坡印廷定理得例7.6 设同轴传输线的内导体半径为a，外导体的内半径为b，中间填充介质的参量为和，内外导体间加电压U，导体上有直流I。试通过坡印廷矢量计算同轴线传输的功率。解：内外导体是理想导体令外导体接地（Ub=0），并设内导体单位长度带电荷 则介质中电场为在导体内，即ra 及rb 时，电场强度为零。内外导体间的电位差为所以介质中再求磁场强度，利用安培回路定律得因此，坡印廷矢量为 沿同轴线传输的功率为 表明：同轴线传输的功率等于电
14、压与电流的乘积，即等于负载电阻所消耗的功率。若导体不理想(值有限)内导体中电场矢量为 根据边界条件，导体外紧靠导体表面地方的电场矢量切向分量为 该处的磁场矢量为 因此，坡印廷矢量的法线分量为 在长为 l 的圆柱面上进入导体的功率为 其中R 等于长为l的圆柱导体的电阻 表明：进入导体的功率等于导体的损耗功率。二二.复坡印廷定理复坡印廷定理瞬时坡印廷定理适用于任意时变场非色散媒质区域考虑色散媒质电磁场的平均功率引入复坡印廷定理复坡印廷定理1、定理证明、定理证明对复安培回路定律两边取复共轭得交换哈密顿算子与共轭运算的次序，有 两边点积 ，得到（a）根据矢量关系可得代入a式中，并两边同乘以1/2，得两
15、边对体积积分，并对左边应用散度定理，得 考虑媒质的色散性质，则有因此得到复坡印廷定理将定理分写成实部和虚部 2、有功功率和无功功率、有功功率和无功功率有功功率（实部）实部的右边分别表示着内各种损耗焦耳损耗极化损耗磁化损耗表明：在无源区域内，各种损耗功率的平均值之和等于从闭合面外流入的平均输入功率，反映了S 面上有功功率平均值的平衡关系。实部的左边表示一个周期内进入S 面的瞬时功率的平均值，即 平均坡印廷矢量平均坡印廷矢量复坡印廷矢量复坡印廷矢量为避免与混淆：复坡印廷矢量记作而瞬时坡印廷矢量记作 或 表示垂直方向上单位面积所通过的有功功率的平均值 无功功率（虚部）无功功率是指在S 面内外振荡交换
16、的功率。对应着单位体积内正弦电场能量的平均值和磁场能量的平均值 举例a.进入S 面的有功功率就是电阻R上消耗的焦耳功率 b.无功功率是电容C和电感L的电磁储能与电源能量之间的交换功率，它等于电源的视在功率与电路的有功功率之差。c.闭合面S上用于振荡交换的平均无功功率等于内磁场储能平均值与电场储能平均值之差的2倍。例7.7 已知正弦电磁场的表达式为 解：瞬时坡印廷矢量为 电场和磁场的复矢量为 平均坡印廷矢量为 求点P（1，2，0）处的 和 。7.6 电磁场的波动方程电磁场的波动方程1、瞬时波动方程、瞬时波动方程讨论范围：限定在非色散均匀媒质的无源区域内。非色散：电磁参数是与f 无关均匀：电磁参数
17、是与坐标无关无源：非齐次矢量波动方程考察麦克斯韦方程限定形式(a)(b)(c)(d)令（a）式两边对时间 t 求偏导，得对（b）式两边取旋度，得比较上面两式，得到利用矢量恒等式 ，并注意 ，上式变成 非齐次矢量波动方程非齐次矢量波动方程 同理可得时变的电磁场是电磁波。齐次矢量波动方程 若媒质是=0 的非导电介质，则有2、矢量亥姆霍兹方程、矢量亥姆霍兹方程 讨论范围：均匀媒质无源区域其中 对于正弦电磁场，利用复麦克斯韦方程可得 此时的媒质可以包括色散媒质 7.7 标量位和矢量位标量位和矢量位1、瞬时位函数、瞬时位函数定义式动态矢量磁位：动态电位：洛伦兹规范讨论范围：均匀和非色散媒质 考察安培回路
18、定律代入本构方程，得再代入位函数定义式，得利用矢量恒等式 ，上式变成考察高斯定律代入位函数定义式，得所以有为了得到每个辅助位函数的独立方程，必须增加新的限制条件 洛伦兹规范洛伦兹规范达朗贝尔方程2、复位函数、复位函数利用瞬时位函数的结果可以得到关于复位函数的方程定义式 洛伦兹规范达朗贝尔方程其中对色散媒质，,是复数由 表示电磁场3、静态场与时变场、静态场与时变场当电磁场不随时间变化时=0，亥姆霍兹方程退化为泊松方程 或者从瞬时达朗贝尔方程出发，也可以得到上面的结果。4、位函数的任意性、位函数的任意性矢量电位和标量磁位电赫兹矢量磁赫兹矢量7.8 时变电磁场的边界条件时变电磁场的边界条件1、瞬时边
19、界条件、瞬时边界条件 切向问题利用环路积分，法向问题利用闭合曲面积分可得边界条件其中 是界面上的分布面电荷密度 是界面上的分布面电流密度。由媒质1指向媒质22、复边界条件、复边界条件 利用复麦克斯韦方程推导，会得到与以上四式完全相同的边界条件表达式，不过此时各式中的物理量应为复矢量和复振幅。3、理想导体的边界条件、理想导体的边界条件设1区是一般媒质，2区是2的理想导体 此时2区中的电场强度必须为0，否则利用欧姆定律有这在实际中是不可能的。因此同时，由麦克斯韦方程可得到 可见2区的磁场与时间无关 由此可知，2区理想导体内不存在时变的电磁场 此时1区有电磁场，省略1区场量的下标，则4个边界条件写成
20、 理想导体外侧的电场必垂直于导体表面，且 ；理想导体外侧的磁场必平行于导体表面，且 。可见：例7.8 一时变电磁场的电场表达式为 其中 求对应的磁场 ；证明此电磁波可以在两块无限大导体平板间传播；求两导体板内表面上的表面电流密度；求两导体板间的 和 。解：将电场的复矢量 代入麦克斯韦方程 得磁场复矢量 所以磁场的瞬时值为一个电磁波能够在给定的区域内传播，其和必须满足两个条件：一是要满足波动方程或亥姆霍兹方程；二是要满足区域的边界条件。下面验证这两个条件：a.由于电场只有 分量，则 满足标量亥姆霍兹方程 由此，左边第一项为 代回原式可知，所给电场满足亥姆霍兹方程。又因前面的 是 由通过麦克斯韦方程导出的，故 必然也满足磁场的亥姆霍兹方程。两导体板表面处的切向电场和法向磁场分别为 可见，导体界面的边界条件 和 被满足。因此，该电磁波可以在两导体板间传播。在 z=0的导体表面外侧，法矢 ，所以导体的表面电流为 在z=d 的导体表面外侧，法矢 ，得表面电流 求坡印廷矢量结论：电场和磁场不同分量的作用将产生功率流，功率流的方向由电场分量的方向与磁场分量的方向的叉积决定。但若两者的初相差/2，则只有瞬时能流而平均能流为零