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1、第七章时变电磁场1第1页，共68页，编辑于2022年，星期一 感感应应电电流流产产生生的的感感应应磁磁通通方方向向总总是是阻阻碍碍原原有有磁磁通通的的变变化化，所所以以感感应应磁磁通又称为通又称为反磁通反磁通。感应电流产生意味着导线中存在感应电流产生意味着导线中存在电场电场，这种电场称为，这种电场称为感应电场感应电场，以，以E 表示。表示。感应电场强度沿线圈回路的闭合线积分等于线圈中的感应电动势，即感应电场强度沿线圈回路的闭合线积分等于线圈中的感应电动势，即 又知又知 ，得，得上式称为上式称为电磁感应定律电磁感应定律，它表明穿过线圈中的磁场变化时，导线中产生感应电场。，它表明穿过线圈中的磁场变
2、化时，导线中产生感应电场。它表明，它表明，时变磁场可以产生时变电场时变磁场可以产生时变电场。2第2页，共68页，编辑于2022年，星期一根据斯托克斯定理，由上式得根据斯托克斯定理，由上式得 由由于于该该式式对对于于任任一一回回路路面面积积 S 均均成成立立，因因此此，其其被被积积函函数数一一定定为零，即为零，即此式为电磁感应定律的此式为电磁感应定律的微分形式微分形式。它表明。它表明某点某点磁感应强度的时间变化率磁感应强度的时间变化率负负值等于值等于该点该点时变电场强度的旋度时变电场强度的旋度。电磁感应定律是时变电磁场的基本定律之一，也是将要介绍的描述时变电磁感应定律是时变电磁场的基本定律之一，
3、也是将要介绍的描述时变电磁场著名的电磁场著名的麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组中方程之一。中方程之一。3第3页，共68页，编辑于2022年，星期一第七章第七章 时变电磁场时变电磁场主主 要要 内内 容容 位移电流，麦克斯韦方程，边界条件，位函数，能流位移电流，麦克斯韦方程，边界条件，位函数，能流密度矢量，正弦电磁场，复能流密度矢量。密度矢量，正弦电磁场，复能流密度矢量。1.位移电流位移电流 位移电流位移电流不是电荷不是电荷的运动，而是一种的运动，而是一种人为定义人为定义的概念。的概念。对对于于静静态态场场，由由于于电电荷荷分分布布与与时时间间无无关关，因因此此获获得得电电流流连连续续性性原原理理，
4、即即电荷守恒原理表明电荷守恒原理表明 4第4页，共68页，编辑于2022年，星期一 对于对于时变时变电磁场，因电荷随时间变化，不可能根据电荷守恒原理推出电流连续电磁场，因电荷随时间变化，不可能根据电荷守恒原理推出电流连续性原理。但是电流连续是性原理。但是电流连续是客观存在客观存在的物理现象，为此必须扩充前述的电流概念。的物理现象，为此必须扩充前述的电流概念。静电场的高斯定律静电场的高斯定律 同样适用于时变电场。代入上述电同样适用于时变电场。代入上述电荷守恒定律，得荷守恒定律，得 相应的微分形式为相应的微分形式为 不是由电子运动形成的不是由电子运动形成的传导传导电流或电流或运流运流电流，而电流，
5、而是人为定义的是人为定义的位移电流位移电流。真空真空电容器中通过的电容器中通过的时变时变电流是什么？电流是什么？显然，上式中显然，上式中 具有电流密度量纲。具有电流密度量纲。5第5页，共68页，编辑于2022年，星期一那么，求得那么，求得 英围物理学家麦克斯韦将英围物理学家麦克斯韦将 称为称为位移电流密度位移电流密度，以，以 Jd 表示，即表示，即 引引入入位位移移电电流流以以后后，时时变变电电流流仍仍然然是是连连续续的的。由由于于此此时时包包括括了了传传导导电电流流，运流运流电流及电流及位移位移电流，因此，上式称为电流，因此，上式称为全全电流连续性原理。电流连续性原理。由由定定义义可可见见，
6、位位移移电电流流密密度度是是电电通通密密度度的的时时间间变变化化率率，或或者者说说是是电电场场的的时时间变化率。间变化率。在在静静电场中，由于电场中，由于 ，自然，自然不不存在位移电流。存在位移电流。在在时变时变电场中，电场变化电场中，电场变化愈快愈快，产生的位移电流密度也，产生的位移电流密度也愈大愈大。在电导率较低的媒质中，在电导率较低的媒质中，在良导体中，在良导体中，6第6页，共68页，编辑于2022年，星期一 在时变电场中，由于位移电流存在，麦克斯韦认为在时变电场中，由于位移电流存在，麦克斯韦认为位移电流位移电流也可产生也可产生磁场磁场，因此，因此前述的安培环路定律变为前述的安培环路定律
7、变为 即即上两式称为上两式称为全电流定律全电流定律。它表明，时变磁场是由。它表明，时变磁场是由传导传导电流，电流，运流运流电流以及电流以及位移位移电电流共同产生的。流共同产生的。已知位移电流是由时变电场形成的，由此可见，已知位移电流是由时变电场形成的，由此可见，时变电场时变电场可以产生可以产生时变磁场时变磁场。电磁感应定律表明，电磁感应定律表明，时变磁场时变磁场可以产生可以产生时变电场时变电场。因此，麦克斯韦引入位移电流。因此，麦克斯韦引入位移电流概念以后，预见概念以后，预见时变电场时变电场与与时变磁场时变磁场相互转化的特性可能会在空间形成相互转化的特性可能会在空间形成电磁波电磁波。7第7页，
8、共68页，编辑于2022年，星期一2.麦克斯韦方程麦克斯韦方程 静态场中的静态场中的高斯定理高斯定理及及磁通连续性原理磁通连续性原理对于时变电磁场对于时变电磁场仍然成立。仍然成立。那么，对那么，对于时变电磁场，麦克斯韦归纳为于时变电磁场，麦克斯韦归纳为四四个方程，其积分形式和微分形式分别如下：个方程，其积分形式和微分形式分别如下：积分形式积分形式微分形式微分形式全电流定律全电流定律电磁感应定律电磁感应定律磁通连续性原理磁通连续性原理高斯定律高斯定律8第8页，共68页，编辑于2022年，星期一 可见，时变可见，时变电场电场是是有旋有散的有旋有散的，时变，时变磁场磁场是是有旋无散的有旋无散的。但是
9、，时变电磁场。但是，时变电磁场中的电场与磁场是中的电场与磁场是不可分割不可分割的，因此，时变电磁场的，因此，时变电磁场是有旋有散场是有旋有散场。积分形式积分形式微分形式微分形式 在电荷及电流均不存在的在电荷及电流均不存在的无源区无源区中，时变电磁场是有旋中，时变电磁场是有旋无无散的。散的。电场线与磁场线电场线与磁场线相互交链相互交链，自行闭合自行闭合，从而在空间形成，从而在空间形成电磁波电磁波。时变时变电场电场的方向与时变的方向与时变磁场磁场的方向处处的方向处处相互垂直相互垂直。9第9页，共68页，编辑于2022年，星期一 为为了了完完整整地地描描述述时时变变电电磁磁场场的的特特性性，麦麦克克
10、斯斯韦韦方方程程还还应应包包括括电电荷荷守守恒恒方方程程以以及说明及说明场量场量与与媒质媒质特性关系的方程，即特性关系的方程，即 麦克斯韦方程组中各个方程麦克斯韦方程组中各个方程不是不是完全独立的。可以由第完全独立的。可以由第 1、2 方程导出第方程导出第 3、4 方程，或反之。方程，或反之。对于不随时间变化的静态场，则对于不随时间变化的静态场，则 那么，上述麦克斯韦方程变为前述的静电场方程和恒定磁场方程，那么，上述麦克斯韦方程变为前述的静电场方程和恒定磁场方程，电场电场与与磁场磁场不不再相关，再相关，彼此独立彼此独立。式中式中 代表产生时变电磁场的代表产生时变电磁场的电流电流源或非电的源或非
11、电的外外源。源。10第10页，共68页，编辑于2022年，星期一 在在简简单单的的形形式式下下隐隐藏藏着着深深奥奥的的内内容容，这这些些内内容容只只有有仔仔细细的的研研究究才才能能显显示示出出来来，方方程程是是表表示示场场的的结结构构的的定定律律。它它不不像像牛牛顿顿定定律律那那样样，把把此此处处发发生生的的事事件件与与彼彼处处的的条条件件联联系系起起来来，而而是是把把此此处处的的现现在在的的场场只只与与最最邻邻近近的的刚刚过去过去的场发生联系。的场发生联系。爱爱因因斯斯坦坦（1879-19551879-1955）在在他他所所著著的的“物物理理学学演演变变”一一书书中中关关于于麦麦克克斯斯韦韦
12、方方程程的的一一段段评评述述：“这这个个方方程程的的提提出出是是牛牛顿顿时时代代以以来来物物理理学学上上的的一一个个重重要要事事件件，它它是关于场的是关于场的定量定量数学描述，方程所包含的意义比我们指出的要丰富得多。数学描述，方程所包含的意义比我们指出的要丰富得多。假假使使我我们们已已知知此此处处的的现现在在所所发发生生的的事事件件，藉藉助助这这些些方方程程便便可可预预测测在在空空间间稍稍为为远远一一些些，在在时时间间上上稍稍为为迟迟一些所发生的事件一些所发生的事件”。11第11页，共68页，编辑于2022年，星期一 麦克斯韦方程除了对于麦克斯韦方程除了对于科学技术科学技术的发展具有的发展具有
13、重大重大意义外，对于意义外，对于人类历史人类历史的的进程也起了进程也起了重要重要作用。作用。正如美国著名的物理学家弗曼在他所著的正如美国著名的物理学家弗曼在他所著的“弗曼物理学讲义弗曼物理学讲义 ”中写道中写道“从人从人类历史的漫长远景来看类历史的漫长远景来看即使过即使过一万年一万年之后回头来看之后回头来看毫无疑问，在十九毫无疑问，在十九世纪中发生的世纪中发生的最有意义最有意义的事件将判定是麦克斯韦对于电磁定律的发现，的事件将判定是麦克斯韦对于电磁定律的发现，与这一重大科学事件相比之下，与这一重大科学事件相比之下，同一个同一个十年中发生的十年中发生的美国内战美国内战 （1861-1865186
14、1-1865）将会降低为一个）将会降低为一个地区性地区性琐事而黯然失色琐事而黯然失色”。12第12页，共68页，编辑于2022年，星期一 处处于于信信息息时时代代的的今今天天，从从婴婴儿儿监监控控器器到到各各种种遥遥控控设设备备、从从雷雷达达到到微微波波炉炉、从从地地面面广广播播电电视视到到太太空空卫卫星星广广播播电电视视、从从地地面面移移动动通通信信到到宇宇宙宙星星际际通通信信、从从室室外外无无线线局局域域网网到到室室内内蓝蓝牙牙技技术术、以以及及全全球球卫卫星星定定位位导导航航系系统统等等，无无不不利利用用电电磁磁波波作为作为传播媒体传播媒体。无无线线信信息息高高速速公公路路更更使使人人们
15、们能能在在任任何何地地点点、任任何何时时间间同同任任何何人人取取得得联联系系，发发送送所所需需的的文文本本、声声音音或或图图象象信信息息。电电磁磁波波的的传传播播还还能能制制造造一一种种身身在在远远方方的的感觉，形成无线感觉，形成无线虚拟现实虚拟现实。电电磁磁波波获获得得如如此此广广泛泛的的应应用用，更更使使我我们们深深刻刻地地体体会会到到19世世纪纪的的麦麦克克斯斯韦和赫兹对于人类韦和赫兹对于人类文明文明和和进步进步的伟大贡献。的伟大贡献。13第13页，共68页，编辑于2022年，星期一蓝牙是无线数据和语音传输的开放式标准，它的传输距离为蓝牙是无线数据和语音传输的开放式标准，它的传输距离为1
16、0cm10cm10m10m，如果如果增加功率或是加上某些外设便可达到增加功率或是加上某些外设便可达到100m100m的传输距离。的传输距离。它采用它采用2.4GHz ISM2.4GHz ISM频段，蓝牙支持频段，蓝牙支持64kb/s64kb/s实时语音传输和数据传输，发射功实时语音传输和数据传输，发射功率分别为率分别为1mW1mW、2.5mW2.5mW和和100mW100mW，并使用全球统一的，并使用全球统一的4848比特的设备识别码。由于比特的设备识别码。由于蓝牙采用无线接口来代替有线电缆连接，具有很强的移植性，并且适用于多种蓝牙采用无线接口来代替有线电缆连接，具有很强的移植性，并且适用于多
17、种场合，加上该技术功耗低、对人体危害小，而且应用简单、容易实现，所以易场合，加上该技术功耗低、对人体危害小，而且应用简单、容易实现，所以易于推广。于推广。蓝牙蓝牙的名字来源于的名字来源于1010世纪丹麦国王世纪丹麦国王Harald BlatandHarald Blatand英译为英译为Harold BluetoothHarold Bluetooth。19981998年年5 5月，瑞典爱立信、芬兰诺基亚、日本东芝、美月，瑞典爱立信、芬兰诺基亚、日本东芝、美国国IBMIBM和英特尔公司五家著名厂商，在联合拓展短程无线通信技术的标准化和英特尔公司五家著名厂商，在联合拓展短程无线通信技术的标准化活动时
18、提出了蓝牙技术。活动时提出了蓝牙技术。14第14页，共68页，编辑于2022年，星期一ISMISM频段是指什么频段是指什么?ISM(Industrial Scientific Medical)Band(2.4-2.4835GHz),此频段主要是开放给工业，科学、医学，三个主要机构使用，该频段是依据美国联邦通讯委员会(FCC)所定义出来，属于Free License，并没有所谓使用授权的限制。ISM频段在各国的规定并不统一。如在美国有三个频段902-928 MHz,2400-2483.5 MHz and 5725-5850 MHz，而在欧洲900MHz的频段则有部份用于GSM通信。2.4GHz为
19、各国共同的ISM频段。因此无线局域网，蓝牙，ZigBee等无线网络，均可工作在2.4GHz频段上。15第15页，共68页，编辑于2022年，星期一3.时变时变电磁场的边界条件电磁场的边界条件 适合适合静态静态场的各种边界条件场的各种边界条件原则上原则上可以直接推广到可以直接推广到时变时变电磁场。电磁场。第一，第一，在在任何任何边界上边界上电场强度电场强度的的切向切向分量是连续的分量是连续的，即，即 因为只要因为只要磁感应强度磁感应强度的的时间变化率时间变化率是是有限有限的，那么由电磁感应定律的积分形式的，那么由电磁感应定律的积分形式或写成矢量形式或写成矢量形式 即可获得上面结果。即可获得上面结
20、果。对于对于各向同性各向同性的的线性线性媒质，上式又可写为媒质，上式又可写为 en16第16页，共68页，编辑于2022年，星期一 第二第二,在在任何任何边界上，边界上，磁感应强度磁感应强度的的法向法向分量是连续的。分量是连续的。由磁通连续性原理，即可证明由磁通连续性原理，即可证明 或写成矢量形式或写成矢量形式 第三，电通密度第三，电通密度的的法向法向分量边界条件与分量边界条件与媒质媒质特性有关。特性有关。在在一般一般情况下，由高斯定律求得情况下，由高斯定律求得 或写成矢量形式或写成矢量形式 式中式中 s 为边界表面上为边界表面上自由自由电荷的面密度。电荷的面密度。对于对于各向同性各向同性的的
21、线性线性媒质，上式又可表示为媒质，上式又可表示为17第17页，共68页，编辑于2022年，星期一 对于两种对于两种理想介质理想介质形成的边界，由于不可能存在形成的边界，由于不可能存在表面表面自由电荷，因此自由电荷，因此可见，可见，两种两种理想理想介质形成的边界上介质形成的边界上，电通密度的法向分量是电通密度的法向分量是连续连续的的。第四，第四，磁场强度磁场强度的的切向分量边界条件也与媒质切向分量边界条件也与媒质特性有关特性有关。在一般情况下，由于边界上不可能存在在一般情况下，由于边界上不可能存在表面电流表面电流，根据全电流定律，只，根据全电流定律，只要电通密度的时间变化率是有限的，可得要电通密
22、度的时间变化率是有限的，可得或写成矢量形式或写成矢量形式 在在理想导电理想导电体表面上可以形成表面电流，此时磁场强度的切向分量是不连体表面上可以形成表面电流，此时磁场强度的切向分量是不连续的。续的。对于对于各向同性各向同性的的线性线性介质，上式又可写为介质，上式又可写为18第18页，共68页，编辑于2022年，星期一 在在理理想想导导电电体体内内部部不不可可能能存存在在时时变变电电磁磁场场及及时时变变的的传传导导电电流流，它它们们只只可可能能分布在理想导电体的分布在理想导电体的表面表面。已知在已知在任何任何边界上，边界上，电场电场强度的强度的切向切向分量及分量及磁感应磁感应强度的强度的法向法向
23、分量是连续的，分量是连续的，因此理想导体表面上不可能存在因此理想导体表面上不可能存在电场切向电场切向分量及分量及磁场法向磁场法向分量，即分量，即时变电场时变电场必须必须垂直垂直于理想导电体的表面，而时变于理想导电体的表面，而时变磁场磁场必须与其表面必须与其表面相切相切。E(t),B(t),J(t)=0E 0J=E H 0E 0J 0H 019第19页，共68页，编辑于2022年，星期一因因 ，由前式得，由前式得 或或 由于理想导电体表面存在由于理想导电体表面存在表面电流表面电流 Js，设表面电流密度的方向与，设表面电流密度的方向与积分回路构成积分回路构成右旋右旋关系，因关系，因 ，求得，求得
24、或或 E H,enet H1t H2t JS20第20页，共68页，编辑于2022年，星期一例例 已知内截面为已知内截面为a b 的的矩形矩形金属波导中的时变电磁场的各分量为金属波导中的时变电磁场的各分量为 其坐标如图示。试求波导其坐标如图示。试求波导中的中的位移电流位移电流分布和波导分布和波导内壁内壁上的上的电荷电荷及及电流电流分布。分布。波导内部为真空波导内部为真空。azyxbxzyxyzgba磁场线磁场线电场线电场线21第21页，共68页，编辑于2022年，星期一解解 由前式求得位移电流为由前式求得位移电流为 在在 y=0 的内壁上的内壁上 在在 y=b 的内壁上的内壁上 22第22页，
25、共68页，编辑于2022年，星期一在在 x=0 的侧壁上，的侧壁上，在在 x=a 的侧壁上，的侧壁上，在在 x=0 及及 x=a 的侧壁上，因的侧壁上，因 ，所以，所以 。zyx内壁电流内壁电流23第23页，共68页，编辑于2022年，星期一作业作业P176:3,4,8P176:3,4,824第24页，共68页，编辑于2022年，星期一4.标量位与矢量位标量位与矢量位 设媒质是设媒质是线性均匀线性均匀且且各向同性各向同性的，那么由的，那么由 Maxwell 方程可得方程可得利用矢量恒等式利用矢量恒等式 ，同时考到，同时考到 及及 ，那么上述两式变为，那么上述两式变为 25第25页，共68页，编
26、辑于2022年，星期一由此可见，时变电磁场的场强与场源的关系比较复杂。为了简化求解过程，由此可见，时变电磁场的场强与场源的关系比较复杂。为了简化求解过程，引入引入标量位标量位与与矢量位矢量位作为作为求解求解时变电磁场的两个时变电磁场的两个辅助函数辅助函数将是行之有效的。将是行之有效的。式中式中 A 称为称为矢量位矢量位。将上式代入式。将上式代入式 中，得中，得 已知已知 ，因此，因此 B 可以表示为矢量场可以表示为矢量场 A 的旋度，即可令的旋度，即可令 26第26页，共68页，编辑于2022年，星期一上式又可改写为上式又可改写为 由由此此可可见见，矢矢量量场场 为为无无旋旋场场。因因此此它它
27、可可以以用用一一个个标标量量场场 的的梯度梯度来表示，即可令来表示，即可令式中式中 称为称为标量位标量位。由此得。由此得 注意，这里的矢量位注意，这里的矢量位 A 及标量位及标量位 均是均是时间时间及及空间空间函数。函数。当它们与当它们与时间无关时间无关时，矢量位时，矢量位 A 及标量位及标量位 与场量的关系和与场量的关系和静态场静态场完全相同。完全相同。因此矢量位因此矢量位 A 又称为又称为矢量磁位矢量磁位，标量位，标量位 又称为又称为标量电位标量电位。27第27页，共68页，编辑于2022年，星期一 为了导出为了导出位函数位函数与与源源的关系，根据位函数定义式及的关系，根据位函数定义式及麦
28、克斯韦方程麦克斯韦方程，求得，求得 利用矢量恒等式利用矢量恒等式 ，上两式又可写为上两式又可写为28第28页，共68页，编辑于2022年，星期一 已经规定了矢量场已经规定了矢量场 A 的的旋度旋度，必须再规定其，必须再规定其散度散度。则前两式可以简化为则前两式可以简化为 罗伦兹条件罗伦兹条件由上可见，按照罗伦兹条件规定由上可见，按照罗伦兹条件规定 A 的散度后，原来两个相互的散度后，原来两个相互关联关联的方程变为两的方程变为两个个独立独立方程。方程。矢量位矢量位 A 仅与电流仅与电流 J 有关，标量位有关，标量位 仅与电荷仅与电荷 有关。有关。原则上，其散度值可以原则上，其散度值可以任意任意给
29、定，但是为了给定，但是为了简化简化计算，由上式可知，若令计算，由上式可知，若令 29第29页，共68页，编辑于2022年，星期一 由上可见，已知电流及电荷分布，即可求出矢量位由上可见，已知电流及电荷分布，即可求出矢量位 A和标量位和标量位 。求出。求出 A 及及 以后，即可求出电场与磁场。以后，即可求出电场与磁场。原原来来电电磁磁场场方方程程为为两两个个结结构构复复杂杂的的矢矢量量方方程程，在在三三维维空空间间中中需需要要求求解解 6 个个坐坐标标分量分量位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程 这样，这样，麦克斯韦方程麦克斯韦方程的求解归结为的求解归结为位
30、函数方程位函数方程的求解，而且求解过程显然的求解，而且求解过程显然得到了得到了简化简化。在在三三维维空空间间中中仅仅需需求求解解 4 个个坐坐标标分分量量。在在直直角角坐坐标标系系中中，实实际际上上等等于于求求解解 1 个标量方程。个标量方程。30第30页，共68页，编辑于2022年，星期一根据静态场的结果，采用类比的方法，推出其解。根据静态场的结果，采用类比的方法，推出其解。5.位函数方程的求解位函数方程的求解 当当时时变变点点电电荷荷位位于于坐坐标标原原点点时时，其其场场分分布布一一定定具具有有球球对对称称特特点点，即即场场量量仅仅为为变变量量 r 的的函函数数，与与球球坐坐标标变变量量
31、及及 无无关关。那那么么，在在除除坐坐标标原原点点以以外外整整个个无无源源（=0）空间，位函数满足的方程式为空间，位函数满足的方程式为 首先求解位于坐标原点的时变首先求解位于坐标原点的时变点电荷点电荷产生的矢量位，然后利用产生的矢量位，然后利用叠加原理叠加原理导导出任意分布的时变出任意分布的时变体电荷体电荷的解。的解。式中式中31第31页，共68页，编辑于2022年，星期一上式为函数（上式为函数（r）的齐次）的齐次波动波动方程，其通解为方程，其通解为 由由后后面面分分析析可可以以获获知知，式式中中第第二二项项不不符符合合实实际际的的物物理理条条件件，应应该该舍舍去去。因因此此，求求得位于原点的
32、时变点电荷产生的标量电位为得位于原点的时变点电荷产生的标量电位为已知位于原点的静止点电荷已知位于原点的静止点电荷 产生的电位为产生的电位为 将此式同上式比较，可见函数将此式同上式比较，可见函数 f1 为为32第32页，共68页，编辑于2022年，星期一因此，求得位于原点的时变点电荷产生的标量位为因此，求得位于原点的时变点电荷产生的标量位为式中式中r 为体元为体元 dV 至场点的距离。至场点的距离。对对于于位位于于V 中中的的任任意意体体分分布布电电荷荷，如图示。如图示。rrzyx(r,t)V dVr-r0 在在 r 处产生的电位由上式积分求得处产生的电位由上式积分求得33第33页，共68页，编
33、辑于2022年，星期一 为为了了求求出出矢矢量量位位函函数数 A，可可将将矢矢量量位位函函数数方方程程在在直直角角坐坐标标系系中中展展开开，则则各个分量均满足各个分量均满足结构相同结构相同的非齐次标量波动方程式，即的非齐次标量波动方程式，即显然，对于每一个分量均可求得结构如同前式的解。三个分量合成后，矢量位显然，对于每一个分量均可求得结构如同前式的解。三个分量合成后，矢量位 A 的解为的解为式中式中 V 为电流为电流 J 的分布区域。的分布区域。34第34页，共68页，编辑于2022年，星期一 上两式表明，空间某点在时刻上两式表明，空间某点在时刻 t 产生的位必须根据时刻产生的位必须根据时刻
34、的场的场源分布函数进行求积。换言之，位于源分布函数进行求积。换言之，位于 r 处处 t 时刻的场强时刻的场强不是不是由同一时刻由同一时刻 t 的源的分布决定的，而是取决于比的源的分布决定的，而是取决于比 t 时刻时刻导前导前 的时刻的源分布。的时刻的源分布。这就意味着，位于这就意味着，位于 r 处的源产生的场传到处的源产生的场传到 r 处需要一段时间，这处需要一段时间，这段时差就是段时差就是 。已知已知(r r )为源点至场点的距离，因此为源点至场点的距离，因此 v 代表电磁波的代表电磁波的传播速度传播速度。35第35页，共68页，编辑于2022年，星期一 由由式式 可可见见，电电磁磁波波的的
35、传传播播速速度度与与媒媒质质特特性性有有关关。在在真真空空中中，最新测得的数据为最新测得的数据为这就是光波在真空中的传播速度，或简称为这就是光波在真空中的传播速度，或简称为光速光速。光速通常以。光速通常以 c 表示。表示。值值得得注注意意的的是是，即即使使在在某某一一时时刻刻源源已已消消失失，只只要要前前一一时时刻刻源源还还存存在在，它它们们原原来来产产生生的的空空间间场场仍仍然然存存在在，这这就就表表明明源源已已将将电电磁磁能能量量释释放放到到空空间间，而而空空间间电电磁能量可以脱离源单独存在，这种现象称为磁能量可以脱离源单独存在，这种现象称为电磁辐射电磁辐射。36第36页，共68页，编辑于
36、2022年，星期一 当当静静止止电电荷荷或或恒恒定定电电流流一一旦旦消消失失，它它们们所所产产生生的的静静电电场场或或恒恒定定磁磁场场也也随随之之失失去去，因而静态场又称为因而静态场又称为束缚场束缚场，没有辐射作用。，没有辐射作用。若源随时间变化若源随时间变化很快很快，空间场强的滞后现象更加显著，即使在源附近也会，空间场强的滞后现象更加显著，即使在源附近也会有显著的电磁辐射现象。所以似稳场和辐射场的区域划分不仅取决于空间距有显著的电磁辐射现象。所以似稳场和辐射场的区域划分不仅取决于空间距离，也与源的离，也与源的变化快慢变化快慢有关。有关。位位于于时时变变源源附附近近的的时时变变电电磁磁场场，时
37、时差差很很小小，场场强强随随时时间间的的变变化化基基本本上上与与源源的的变变化化同步同步，所以，所以近处近处的时变场称为的时变场称为似稳场似稳场。离开时变源很远的地方，由于时差很大，辐射效应显著，所以离开时变源很远的地方，由于时差很大，辐射效应显著，所以远处远处的时变场称为的时变场称为辐射场辐射场。为了向空间辐射电磁能量，必须使用变化很快的为了向空间辐射电磁能量，必须使用变化很快的高频高频电流激励发射天线，电流激励发射天线，而通常而通常 50Hz 交流电交流电不可能有效地辐射电磁能量。不可能有效地辐射电磁能量。37第37页，共68页，编辑于2022年，星期一 由由于于标标量量电电位位 和和矢矢
38、量量磁磁位位 A 随随着着时时间间的的变变化化总总是是落落后后于于源源，因因此此，位位函函数数 及及 A 通常称为通常称为滞后位滞后位。前式中的第二项前式中的第二项 不符合实际的物理条件。因为不符合实际的物理条件。因为 意味着场意味着场比源比源导前导前，这就不符合先有源后有场的，这就不符合先有源后有场的因果关系因果关系。那么，它又可理解为向那么，它又可理解为向负负 r 方向传播的波，也就是来自无限远处的方向传播的波，也就是来自无限远处的反射反射波。波。当然，因子当然，因子 又可写为又可写为 对于点电荷所在的对于点电荷所在的无限大无限大的自由空间，这种反射波是不可能存在的的自由空间，这种反射波是
39、不可能存在的。38第38页，共68页，编辑于2022年，星期一 对对于于面面分分布布及及线线分分布布的的电电荷荷及及电电流流，可可以以类类似似推推出出它它们们产产生生的的标标量量位位和矢量位。其结果分别如下：和矢量位。其结果分别如下：应注意上述公式仅可用于应注意上述公式仅可用于均匀、线性、各向同性均匀、线性、各向同性的媒质。的媒质。39第39页，共68页，编辑于2022年，星期一6.能量密度与能流密度矢量能量密度与能流密度矢量 静态场的能量密度公式及损耗功率密度公式完全可以推广到时变电磁场。静态场的能量密度公式及损耗功率密度公式完全可以推广到时变电磁场。电场能量密度电场能量密度磁场能量密度磁场
40、能量密度损耗功率密度损耗功率密度因此，时变电磁场的能量密度为因此，时变电磁场的能量密度为 对于对于各向同性各向同性的的线性线性媒质媒质 可见，时变场的能量密度是可见，时变场的能量密度是空间空间及及时间时间的函数，而且时变电磁场的能量还会的函数，而且时变电磁场的能量还会流动流动。40第40页，共68页，编辑于2022年，星期一 为了衡量这种能量流动的为了衡量这种能量流动的方向方向及及强度强度，引入，引入能量流动密度矢量能量流动密度矢量，其，其方方向向表示能量表示能量流动流动方向，其方向，其大小大小表示表示单位单位时间内时间内垂直垂直穿过单位面积的能量。或者说，穿过单位面积的能量。或者说，垂直穿过
41、单位面积的垂直穿过单位面积的功率功率，所以能量流动密度矢量又称为，所以能量流动密度矢量又称为功率功率流动密度矢量。流动密度矢量。能量流动密度矢量在英美书刊中称为能量流动密度矢量在英美书刊中称为坡印亭坡印亭矢量，在俄罗斯书刊中称为矢量，在俄罗斯书刊中称为乌莫夫乌莫夫矢量。矢量。能量流动密度矢量或简称为能量流动密度矢量或简称为能流密度能流密度矢量以矢量以 S 表示，表示，单位为单位为W/m2。能流密度矢量能流密度矢量 S 与电场强度与电场强度 E 及磁场强度及磁场强度 H 的关系如何？的关系如何？41第41页，共68页，编辑于2022年，星期一 设设无无外外源源(J =0,=0)的的区区域域 V
42、中中，媒媒质质是是线线性性且且各各向向同同性性的的，则则此此区区域中麦克斯韦方程为域中麦克斯韦方程为利利用用矢矢量量恒恒等等式式 ，将将上上式式代代入入，整整理理后求得后求得将上式两边对区域将上式两边对区域 V 求积，得求积，得,E,HV42第42页，共68页，编辑于2022年，星期一考虑到考虑到 ，那么，那么根据能量密度的定义，上式又可表示为根据能量密度的定义，上式又可表示为 上上式式称称为为时时变变电电磁磁场场的的能能量量定定理理。任任何何满满足足上上述述麦麦克克斯斯韦韦方方程程的的时时变变电电磁磁场场均必须服从该能量定理。均必须服从该能量定理。矢矢量量（）代代表表垂垂直直穿穿过过单单位位
43、面面积积的的功功率率，因因此此，就就是是前述的能流密度矢量前述的能流密度矢量 S，即即,E,HS43第43页，共68页，编辑于2022年，星期一 此此式式表表明明，S 与与 E 及及 H 垂垂直直。又又知知 ，因因此此，S，E 及及 H 三三者者在在空间是空间是相互垂直相互垂直的，且由的，且由 E 至至 H 与与 S 构成构成右旋右旋关系，如图示。关系，如图示。SEH 能流密度矢量的能流密度矢量的瞬时值瞬时值为为可见，能流密度矢量的可见，能流密度矢量的瞬时值瞬时值等于电场强度和磁场等于电场强度和磁场强度的瞬时值的强度的瞬时值的乘积乘积。只有当两者只有当两者同时同时达到最大值时，能流密度才达到达
44、到最大值时，能流密度才达到最大最大。若某一时刻电场强。若某一时刻电场强度度或或磁场强度为磁场强度为零零，则在该时刻能流密度矢量为，则在该时刻能流密度矢量为零零。44第44页，共68页，编辑于2022年，星期一7.惟一性定理惟一性定理 在在闭闭合合面面 S 包包围围的的区区域域 V 中中，当当t=0时时刻刻的的电电场场强强度度 E 及及磁磁场场强强度度 H 的的初初始始值值给给定定时时，又又在在 t 0 的的时时间间内内，只只要要边边界界 S 上上的的电电场场强强度度切切向向分分量量 Et 或或磁磁场场强强度度的的切切向向分分量量 Ht 给给定定后后，那那么么在在 t 0 的的任任一一时时刻刻，
45、体体积积 V 中中任任一一点点的的电电磁磁场场由由麦克斯韦方程麦克斯韦方程惟一地惟一地确定。确定。利用麦克斯韦方程导出的利用麦克斯韦方程导出的能量定理能量定理，采用，采用反证法反证法即可证明这个定理。即可证明这个定理。VSE t(r,t)or H t(r,t)E(r,0)&H(r,0)E(r,t),H(r,t)45第45页，共68页，编辑于2022年，星期一8.正弦电磁场正弦电磁场 一一种种特特殊殊的的时时变变电电磁磁场场，其其场场强强的的方方向向与与时时间间无无关关，但但其其大大小小随随时时间间的的变变化化规规律为律为正弦函数正弦函数，即，即式式中中 Em(r)仅仅为为空空间间函函数数，它它
46、是是正正弦弦时时间间函函数数的的振振幅幅。为为角角频频率率。e(r)为正弦函数的为正弦函数的初始相位初始相位。由由傅傅里里叶叶变变换换得得知知，任任一一周周期期性性或或非非周周期期性性的的时时间间函函数数在在一一定定条条件件下下均均可可分分解解为为很很多多正正弦弦函函数数之之和和。因因此此，我我们们着着重重讨讨论论正正弦弦电电磁磁场场是是具具有有实实际意义际意义的的。正弦正弦电磁场又称为电磁场又称为时谐时谐电磁场。电磁场。46第46页，共68页，编辑于2022年，星期一 正正弦弦电电磁磁场场是是由由随随时时间间按按正正弦弦变变化化的的时时变变电电荷荷与与电电流流产产生生的的。虽虽然然场场的的变
47、变化化落落后后于于源源，但但是是场场与与源源随随时时间间的的变变化化规规律律是是相相同同的的，所所以以正正弦弦电电磁磁场场的的场场和和源源具具有有相同相同的的频率频率。对对于于这这些些相相同同频频率率的的正正弦弦量量之之间间的的运运算算可可以以采采用用复复数数方方法法，即即仅仅须须考考虑虑正正弦弦量量的的振振幅幅和和空空间间相相位位 ，而而略略去去时时间间相相位位 t。那那么么，对对于电场强度可用一个与时间无关的复矢量于电场强度可用一个与时间无关的复矢量 表示为表示为原来的原来的瞬时瞬时矢量和矢量和复复矢量的关系为矢量的关系为 47第47页，共68页，编辑于2022年，星期一 实实际际中中，通
48、通常常测测得得的的是是正正弦弦量量的的有有效效值值（即即平平方方的的周周期期平平均均值值），以以 表表示示正弦量的有效值，则正弦量的有效值，则式中式中所以所以最大值最大值表示复矢量和表示复矢量和有效值有效值表示复矢量的之间的关系为表示复矢量的之间的关系为 无论何种表示方法，无论何种表示方法，复复矢量矢量仅仅为为空间空间函数，与函数，与时间时间无关无关。有的书刊将正弦电磁场表示为有的书刊将正弦电磁场表示为 则瞬时矢量与复矢量的关系为则瞬时矢量与复矢量的关系为 只有只有频率相同频率相同的正弦量之间才能使用的正弦量之间才能使用复复矢量的方法进行运算。矢量的方法进行运算。48第48页，共68页，编辑于
49、2022年，星期一9.麦克斯韦方程的复数形式麦克斯韦方程的复数形式 已已知知正正弦弦电电磁磁场场的的场场与与源源的的频频率率相相同同，因因此此可可用用复复矢矢量量形形式式表表示示麦麦克克斯韦方程。斯韦方程。考虑到正弦时间函数的时间导数为考虑到正弦时间函数的时间导数为 或写为或写为因为上式对于因为上式对于任何时刻任何时刻均成立，故均成立，故虚部虚部符号可以符号可以消去消去。那么那么因此，麦克斯韦第一方程因此，麦克斯韦第一方程 可表示为可表示为 49第49页，共68页，编辑于2022年，星期一同理可得同理可得 以及以及上述方程称为麦克斯韦方程的上述方程称为麦克斯韦方程的复数形式复数形式，式中各量均
50、为，式中各量均为有效值有效值。当当 t=0 时，时，得得当当 ，时，时，得得即即已知已知50第50页，共68页，编辑于2022年，星期一 例例 已知某真空区域中的时变电磁场的电场瞬时值为已知某真空区域中的时变电磁场的电场瞬时值为试求其磁场强度的复数形式。试求其磁场强度的复数形式。解解 根据时变电场瞬时值，求得其有效值的复数形式为根据时变电场瞬时值，求得其有效值的复数形式为由于电场仅有由于电场仅有 y 分量，且与变量分量，且与变量 y 无关，即无关，即 。那么。那么又知又知51第51页，共68页，编辑于2022年，星期一麦克斯韦方程的复数形式麦克斯韦方程的复数形式 瞬时形式瞬时形式 (r,t)复