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1、中考数学高频考点突破-三角形动点问题1已知ABC是边长为4的等边三角形边AB点D是射线0M上,且OA=6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将ACD绕点C逆时针方向旋转60得到BCE，连接DE（1）如图1，求证：CDE是等边三角形（2）如图2，设OD=t当6t10时，BDE的周长是否存在最小值?若存在，求RtBDE周长的最小值：若不存在，请说明理由。求t为何值时，DEB是直角三角形(直接写出结果即可)2如图（1），在 ABC 中， C=90 ， AC=8cm ， BC=6cm 点 P 由点 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，同时点 Q 由点 A 出发沿 AC 方向向点 C
2、匀速运动，它们的速度均为 2cm/s 作 PDAC 于 D ，连接 PQ ，设运动时间为 t(s) ( 0t4 )，解答下列问题： （1）设 APQ 的面积为 S ，求 S 与 t 之间的函数关系式，并求出 S 的最大值； （2）当 t 的值为 时， APQ 是等腰三角形 3已知：如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点P作 PEPB ，PE交边CD于点E，过点E作 EFAC ，垂足为F （1）求证： PB=PE ； （2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，写出解答过程；若变化，试说明理由4综合与实践如图1
3、所示，已知ABC中，ACB90，ACBC，直线m经过点C，过A、B两点分别作直线m的垂线，垂足分别为E、F（1）如图1，当直线m在A、B两点同侧时，直接写出EF与AE、BF之间的数量关系；（2）若直线m绕点C旋转到图2所示的位置时（BFAE），其余条件不变，猜想EF与AE，BF有什么数量关系？并证明你的猜想；（3）若直线m绕点C旋转到图3所示的位置时（BFAE）其余条件不变，问EF与AE，BF的数量关系如何？直接写出猜想结论，不需证明5如图，在等边ABC中，AB=AC=BC=6cm，点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为2cm/s，分别
4、连接PQ，AQ设运动时间为t（s）（0t0 ），过点P作 AB 的垂线交 AB 于点M （1）AC= （2）求 PM 的长，（用含有t的代数式表示） （3）若将点P绕点M逆时针旋转 90 于点N 求 BN 的长（用含t的代数式表示）在点P运动的同时，作点B关于点N的对称点Q，连结 PQ 当 AQP 为等腰三角形时，直接写出t的值13如图，在RtABC中，C=90，AB=10，BC=6，点P从点A出发，沿折线ABBC向终点C运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC上以每秒3个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿CA方向以每秒 43 个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P停止
5、时，点Q也随之停止设点P运动的时间为t秒（1）求线段AQ的长；（用含t的代数式表示）（2）连结PQ，当PQ与ABC的一边平行时，求t的值；（3）如图，过点P作PEAC于点E，以PE，EQ为邻边作矩形PEQF设矩形PEQF与ABC重叠部分图形的面积为S直接写出点P在运动过程中S与t之间的函数关系式和自变量的取值范围14如图，等边ABC中，点D为AB边上的一动点（D不与A、B重合）过点D作DEBC交AC于点E把ADE沿直线DE折叠，点A的对应点为P（1）求证：ADE为等边三角形； （2）连接AP，点D在运动过程中线段AP与线段DE是否存在一定的位置关系？证明你的结论； （3）若等边ABC的边长为3
6、，当BDP为直角三角形时，求 AD 的值 15如图，ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，点P沿射线AB运动，点Q沿折线BCCA运动，且它们的速度都为1cm/s当点Q到达点A时，点P随之停止运动连接PQ，PC，设点P的运动时间为t(s)（1）当点Q在线段BC上运动时，BQ的长为 （cm），BP的长为 （cm）（用含t的式子表示）；（2）当PQ与ABC的一条边垂直时，求t的值；（3）在运动过程中，当CPQ是等腰三角形时，直接写出t的值16综合与实践（1）数学问题：如图1， ABC 是等腰直角三角形，过斜边的中点 D 作正方形 DECF ，分别交 BC ， AC 于点
7、 E ， F ，则 AB ， BE ， AF 之间的数量关系为 （2）问题解决：如图2，在任意 RtABC 内，找一点 D ，过点 D 作正方形 DECF ，分别交 BC ， AC 于点 E ， F ，若 AB=BE+AF ，求 ADB 的度数；（3）拓展提升：如图3，在（2）的条件下，分别延长 ED ， FD ，交 AB 于点 M ， N ，则 MN ， AM ， BN 的数量关系为 （4）在（3）的条件下，若 AC=3 ， BC=4 ，则 MN= 17如图，在ABC 中，B=90，AB=12 cm，BC=16 cm点 P从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 cm/s的速度移动，点 Q
8、从点 B开始沿 BC 边向点 C以 2 cm/s的速度移动如果 P、 Q分别从 A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设运动的时间为 t秒（1）当 t 为何值时，PBQ的面积等于 35cm2？（2）当 t 为何值时，PQ的长度等8 2 cm？ （3）若点 P，Q的速度保持不变，点 P在到达点 B后返回点 A，点 Q在到达点 C后返回点 B，一个点停止，另一个点也随之停止问：当 t为何值时，PCQ的面积等于 32cm2？18如图，在RtABC中，ACBRt，AC8，AB10，动点D从点A出发，沿线段AB以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作DFAB交BC所在的直线于点F，连结
9、AF，CD.设点D运动时间为t秒.（1）BC的长为 ；（2）当t2时，求ADC的面积.（3）当ABF是等腰三角形时，求t的值.答案解析部分1【答案】（1） 证明：将ACD绕点C逆时针方向旋转60得到BCE，DCE60，DCEC，CDE是等边三角形； （2） 存在，当6t10时，由旋转的性质得，BEAD，CDBEBE+DB+DEAB+DE4+DE，由（1）知，CDE是等边三角形，DECD，CDBECD+4，由垂线段最短可知，当CDAB时，BDE的周长最小，此时，CD2 3，BDE的最小周长CD+423 +4； 答： 当t2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形2【答案】（1）解： PD
10、ACPDA=C=90又 A=AADPACBAPAB=PDBCAC=8cm ， BC=6cm ， C=90 ，AB=10cmAP=102tAQ=2t102t10=PD6PD=665tS=12AQPD= 122t(66t5)=65t2+6t=65(t52)2+1520t4 ，t=52 时， S 有最大值是 152 ；（2）52 或 2513 或 40133【答案】（1）证明：过点P作PGBC于G，过点P作PHDC于H，如图1 四边形ABCD是正方形，PGBC ， PHDC ，GPC=ACB=ACD=HPC=45 PG=PH ， GPH=PGB=PHE=90 PEPB ，即 BPE=90 ，BPG=
11、90GPE=EPH 在 PGB 和 PHE 中，PGB=PHEPG=PHBPG=EPHPGBPHE(ASA) ，PB=PE（2）解：PF的长度不发生变化 解：连接BD，如图2四边形ABCD是正方形，BOP=90 PEPB ，即 BPE=90 ，PBO=90BPO=EPF EFPC ，即 PFE=90 ，BOP=PFE 在 BOP 和 PFE 中， PBO=EPFBOP=PFEPB=PEBOPPFE(AAS) ，BO=PF 四边形ABCD是正方形，OB=OC ， BOC=90 ，BC=2OB BC=1 ，OB=22 ，PF=OB=22 点P在运动过程中，PF的长度不变，值为 224【答案】（1）
12、解：EFAE+BF； 证明如下：ACB=90ACE+BCF=90由题意得： BFEF ， AEEFAEC=BFC=90 ， BCF+FBC=90ACE=FBC在 AEC 和 CFB 中AEC=BFC=90ACE=FBCAC=BCAECCFB(AAS)CE=BF 、 CF=AE又EF=EC+CFEF=AE+BF（2）解：EFAEBF ACB90，ACE+FCB90，又AEm，BFm，AEC90，BFC90，CAE+ACE90，CAEFCB，又ACBC，ACECBF（AAS），AECF，CEBF，EFCFCEAEBF；（3）EFBFAE 5【答案】（1）解：在等边ABC中，AQ平分BAC，点Q是B
13、C的中点，CQ=BQ=12BC=3（cm），t=32（s），t的值为32s；（2）解：根据题意：BP=t，CQ=2t，则BQ=6-2t，过点P作PDBC于点D，在等边ABC中，B=60，点P在线段BQ的垂直平分线上，BD=12BP，BD=DQ=12BQ，根据题意得：12t=12（6-2t） ，解得：t=2 （s），当t=2 s时，点P在线段BQ的垂直平分线上；（3）解：在等边ABC中，AB=AC=BC=6cm，BC边上的高为32AB=33（cm），BQ=6-2t，BQ上的高为32PB=32t（cm）， 四边形APQC的面积S=12633-12（6-2t）32t=32t2332t+93；（4）解
14、：当PQAB时，BPQ为直角三角形，BQ=2BP，即6-2t=2t，解得：t=32（s）；当PQBC时，BPQ为直角三角形，2BQ=BP，即2（6-2t）=t，解得：t=125（s）；综上，t=32s或125s时，BPQ为直角三角形6【答案】（1）解：DEBC ，DFB=90 ， ACB=90 ，ACB=DFB ，AC/DE .MN/AB ，即 CE/AD ，四边形 ADEC 是平行四边形，CE=AD .（2）解：当点 D 在 AB 的中点时，四边形 BECD 是菱形. 理由如下：D 为 AB 中点，AD=BD .CE=AD .BD=CE .BD/CE ， BD=CE ，四边形 BECD 是平
15、行四边形，ACB=90 ， D 为 AB 中点，CD=BD ，四边形 BECD 为菱形；（3）解：当 A=45 时，四边形 BECD 是正方形. 理由如下： ACB=90 ， A=45 ，ABC=A=45 ，AC=BC ，D 为 BA 中点，CDAB ，CDB=90 .又四边形 BECD 是菱形，四边形 BECD 是正方形，即当 A=45 时，四边形 BECD 是正方形.7【答案】（1）解：在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，根据勾股定理，AB=AC2+BC2=62+82=10， 当点F在BC上时，如图1，DEAC，AED=90，AED=C，又A=A，ADEABC，ADAB=AEAC
16、，即5t10=AE6，AE=3t，四边形ADFE是平行四边形，DFAE，DF=AE=3t，又AED=C=90，DEBC，四边形DECF为平行四边形，DF=EC=3t，AE+EC=AC=6，3t+3t=6，t=1；（2）解：当0t1时，如图2，ADEABC，ADAB=DEBC，5t10=DE8，DE=4tAE=3t，S=SADFE=3t4t=12t2；当1t2时，如图3四边形ADFE是平行四边形，A=F，DFAE，DF=AE， AE=3t，DF=3t，EC=ACAE=63t，四边形DECG为平行四边形，DG=EC=63t，GF=DFDG=3t(63t)=6t6， DFAE，FGH=C=90，又F
17、=A，FHGABC，GFAC=GHBC，即6t66=GH8，GH=8t8，S=SADFESGHF=12t212(6t6)(8t8)=12t224(t1)2=12t2+48t24综上所述，S=12t2(0t1)12t2+48t24(1t2)8【答案】（1）证明：把CD绕点C逆时针旋转90得到线段CE，CD=CE，DCE=DCB+ECB=90又ACB=90=ACD+DCB，ACD=ECB，在ACD和BCE中，ACBCACD=ECBCDCEACDBCE（SAS）；（2）解：ACB90，CACB，A=CBA=45，ACDBCE，A=CBE=45，DBE=90，ADBD=n=32，过点G作GHAB，点F
18、为DE中点，DF=FB=12DE，FDB=FBD，tanFDB=tanFBD，BEBD=GHBH=32，A=45，GAH是等腰直角三角形，GH=AH，AHBH=32，此时，H、D重合，设AD=3x，BD=2x，则AB=5x，AC=BC=5x2=522x，GH=AH=3x，AG=32xCG=32x-522x=22x，ABCG=5x22x=52；2(n+1)n1；（3）3+39【答案】（1）20；2（2）NAB=MAC ， NB=MC ； 证明： 将线段 AM 绕点A顺时针旋转与 BAC 相等的角度，得到线段 AN ，NAM=BAC,AN=AM ，NAMBAM =BACBAM，NAB=MAC ，在
19、 NAB 和 MAC 中， AN=AMNAB=MACAB=AC ，NABMAC(SAS) ，NB=MC ；（3）434210【答案】（1）10；210（2）解：由（1）可知，BCAC=105， BQAP=10t5t=105，BCAC=QCPC，又PCQ=ACBABCPQCAC=AB，PQAB=PCAC，PQ=ABPCAC=PC=105t，在RtPEQ中，QE=PQcosPQE，PQE=A，cosA=1sin2A=45，QE=45(105t)=84t故答案为：84t（3）解：根据题意作如图所示：DEAC，PQAD则四边形ADQP为平行四边形，DBQABC，DBAB=BQBC，DQ=AP=5t，B
20、D=DQ=2，5t=2，解得t=25 故答案为：25（4）解：如图连接BE， 分三种情况讨论：第一种情况，当EQB+ACD=90时，EQB=A，EQB=ACBA，此种情况不成立第二种情况，当EBQ+ACD=90时，EBQ=A，EQB=ACB，ABCBQE，则EQCB=BQAB，EQ=84t，BQ=10t，84t210=10t10， 解得t=43第三种情况，当BEQ+ACD=90，BEQ=A，EQB=ACB，ACBEQB，则EQAC=BQBC，EQ=84t，BQ=10t，84t10=10t210，解得t=89故答案为：43，8911【答案】（1）12-t；2.5t-24（2）解：设当t秒时，P能
21、追上Q，则： 2.5t12=t ， 解得： t=8（3）解：当P，Q在BC边上，且P还未追上Q时， 242.5t=3(t+122.5t) ，解得： t=6 ，当P，Q在BC边上，且P追上Q后，242.5t=3(2.5tt12) ，解得： t=607 ，当P，Q在AC边上，且P还未到达A2.5t24=32.5t24(t12)解得： t=6 （经检验，不合题意，舍去）当P，Q在AC边上，且P已经到达A停止运动此时 PC=12 ，因为 PQ=13PC ，所以 PQ=4 ，所以 QC=8 t12=8解得： t=20综上所述， t=6 或 607 或2012【答案】（1）8（2）解：由题意得AP=5t，
22、 PM AB ，AMP=ACB=90 ，A=A，AMPACB，PMBC=APAB ，PM6=5t10 ，PM=3t；（3）解：点P绕点M逆时针旋转 90 于点N， AMP=90 ， 点N在射线AB上，AMP=90 ，AP=5t，PM=3t，AM=AP2PM2=(5t)2(3t)2=4t ，AN=AM+MN=AM+MP=4t+3t=7t，当 0t107 时，BN=AB-AN=10-7t；当 10785 ，舍去；综上，当 AQP 为等腰三角形时， t= 887 或 t=109 13【答案】（1）解：C90，AC AB2BC210262 8.AQACCQ 843t .（2）解：当PQBC时， APA
23、BAQAC ，5t10843t8 ，t1.5.当PQAB时， CPCACQCB ，63(t2)643t8 ，t3.当t1.5或t3时，PQ与ABC的一边平行（3）解：如图1，当0t1.5时，重叠部分是四边形PEQFSPEEQ=3t（8-4t-43t）=16 t2 24t；如图2，当1.5t2时，重叠部分是四边形PNQESS四边形PEQF-SPFN=（16t2-24t）-12455t54843t355t54843t= 163t28t24 ；如图3，当2t3时，重叠部分是五边形MNPBQ.SS四边形PBQF-SFNM=43t63t21243t4t23443t4t2= 203t232t24 ；如图4
24、，当3t4时，重叠部分是四边形PCQF，SPCCQ=63t243t=4 t2 16t.14【答案】（1）证明：ABC为等边三角形，BAC=C=ABC=60 又DEBC，ADE=ABC=60，AED=C=60， ADE=AED=BAC=60 ，ADE为等边三角形（2）解：点D在运动过程中线段AP与线段DE互相垂直平分 证明：ADE与PDE关于直线DE成轴对称，DE垂直平分AP，ADE为等边三角形，APDE,AP平分DE, AP、DE互相垂直平分（3）解：由于BDP=60，所以，分BPD=90或DBP=90两种情况 当BPD=90时，BDP=60,PBD=30,PD=12BD AD=PD, AD=
25、12BD 即 AD=13AB=1当DBP=90时，同理可得 BD=12PD=12AD即， AD=23AB=2综上所述，当BDP是直角三角形时，当 AD=1 或 AD=2 15【答案】（1）t；（6-t）（2）解：根据题意分三种情况讨论：如图所示：当PQCB时，PQB=90，三角形ABC为等边三角形，A=ACB=ABC=60，QPB=30，QB=12PB，由（1）可得：t=12(6t)，解得：t=2；如图所示：当PQAB时，QPB=90，ABC=60，BQP=30，QB=2PB，由（1）可得：t=2(6t)，解得：t=4；如图所示：当PQAC时，AQP=90，A=60，APQ=30，AP=2QA
26、，由（1）可得：t=2(12t)，解得：t=8；综上可得：当t=2或t=4或t=8时，PQ与ABC的一条边垂直；（3）解：当t=3或t=916【答案】（1）AB=2(AF+BE)（2）解：延长 AC 至点 P ，使 FP=BE ，连接 DP 四边形 DECF 是正方形，DF=DE ， DFC=DEC=90 FP=BE ， DFC=DEB=90 ， DF=DE ，DFPDEB(SAS) DP=DB AB=AF+BE ， AP=AF+FP ， FP=BE ，AP=AB 又DP=DB ， AD=AD ，ADPADB(SSS) DAC=DAB=12CAB 同理可得： ABD=CBD=12ABC ACB
27、=90 ，CAB+CBA=90 DAB+ABD=12(CAB+CBA)=45 ADB=180(DAB+ABD)=135（3）MN2=AM2+BN2（4）251217【答案】（1）解： BP=ABAP=12t，BQ=2t ，. 根据三角形的面积公式，得 12PBBQ=35 ，即 12(12t)2t=35 ，整理，得 t212t+35=0 ，解得 t1=5，t2=7 ，.故当 t 为5或7时， PBQ 的面积等于 35cm2 （2）解：根据勾股定理，得 PQ2=BP2+BQ2=(12t)2+(2t)2=(82)2 ， 整理，得 5t224t+16=0 ，解得 t1=45，t2=4故当 t 为 45
28、 或 4 时， PQ 的长度等于 82cm （3）解：当 0t8 时， PB=12t，CQ=162t ， 由题意，得 12(162t)(12t)=32 ，解得： t1=4，t2=16 （舍去）.当 8t12 时， PB=12t，CQ=2t16 ，由题意，得 12(2t16)(12t)=32 ，此时方程无解.当 12t16 时， PB=t12，CQ=2t16 ，由题意，得 12(2t16)(t12)=32 ，解得： t1=16，t2=4 （舍去），.综上所述，当 t 为4或16时， PCQ 的面积等于 32cm2 18【答案】（1）6（2）解：如图1，过点C作CHAB于H， SABC 12 AC
29、BC 12 ABCH，则 12 86 12 10CH，解得：CH 245 ，当t2时，AD224，则SADC 12 4 245 485 ；（3）解：当FAFB时，DFAB， AD 12 AB 12 105，t52 52 ；当AFAB10时，ACB90，则BF2BC12，12 ABDF 12 BFAC，即 12 10DF 12 128，解得：DF 485 ，由勾股定理得：AD AF2DF2 102(485)2 145 ，t 145 2 75 ；当BFAB10时，BF10，BC6，CFBFBC1064，由勾股定理得：AF AC2+CF2 82+42 4 5 ，BFBA，FDAB，ACBF，DFAC8，AD AF2DF2 (45)282 4，t422；综上所述，ABF是等腰三角形时，t的值为 52 或 75 或2. 学科网（北京）股份有限公司