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1、九年级数学中考复习解直角三角形及其应用考前冲刺训练（附答案）（共12小题，每小题10分，满分120分）1如图杨帆同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A点的仰角为45，再从C点出发沿斜坡CF走到点D处，测得大树顶端A点的仰角为30，D点到地面的距离是5m若斜坡CP的坡度i=1：2 （点E，C， B在同一水平线上）求大树AB的高度（结果精确到0.1m，参考数据：31.73,52.24，斜坡坡度：指斜坡的铅直高度与水平宽度的比）2我市一4A级风景区（如图1）为了缅怀在宿北大战中献身的革命先烈，在山顶建有一座“宿北大战纪念碑亭”学完
2、了三角函数知识后，某校“数学社团”的小明和小华同学决定用自己学到的知识测量“宿北大战纪念碑亭”的高度如图2，已知，斜坡AP的坡度为1:2.4，斜坡AP的水平长度为24米，在坡顶A处的同一水平面上矗立着“宿北大战纪念碑亭”BC，在斜坡底P处测得该碑亭的亭顶B的仰角为45，在坡顶A处测得该碑亭的亭顶B的仰角为60求：(1)坡顶A到地面PQ的距离；(2)求碑亭BC的高度（结果保留根号）3如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是27，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48，若斜坡AF的坡度i=1:3.（参考数据：sin2
3、70.45，cos270.89，tan270.5，sin480.74，cos480.67，tan48.1.1，31.7）(1)求BAF的大小，(2)求大树BC的高度（结果保留整数）4如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由ON位置运动到底面CD垂直的OM位置时的示意图，已知AC=0.8米，BD=0.2米，=30（参考数据：31.73，21.41）(1)求AB的长；(2)若ON=0.7米，求M、N两点的距离（精确到0.1米）.5如图，一艘渔船以每小时30海里的速度自东向西航行，在B处测得补给站C在北偏西30方向，继续航行2小时后到达A处，测得补给站C在北偏东60
4、方向(1)求此时渔船与补给站C的距离；（结果保留根号）(2)此时渔船发现在A点北偏西15方向的D点处有大量鱼群，渔船联系了补给站，决定调整方向以原速前往作业，与此同时补给站C测得点D在北偏西75方向，并立即派出补给船给渔船补给食物和淡水，若两船恰好在D处相遇，求补给船的速度（精确到十分位，参考数据：21.41，31.73，62.45）6如图1，凌云塔又名连珠塔、宝塔，位于宣恩县城珠山镇明珠山山顶，塔为七层六角楼阁式，全塔未用一砖一木，纯系青石垒砌，结构严谨，古朴雅致，别具风格，是宣恩县城的标志.如图2，县民族实验中学数学兴趣小组运用“解直角三角形”的知识来计算凌云塔的高度AB，先将无人机垂直上
5、升至与塔底端B相对高度为40m的点P处，在点P处测得凌云塔顶端A的俯角为25，再将无人机沿水平方向继续飞行10m到达点Q，在点Q处测得塔底端B的俯角为45，求凌云塔的高度AB.（结果保留一位小数，参考数据：21.41，sin250.42，cos250.91，tan250.47）7如图，在O中，半径OD直径AB，CD与O相切于点D，连接AC交O于点E，交OD于点G，连接CB并延长交圆于点F，连接AD，EF(1)求证：ACD=F；(2)若tanF=13，求证：四边形ABCD是平行四边形8已知四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边AD，CD上，DE=DF，EBF=12ABC(1)如图1，当ABC=1
6、20时，易证：AE+CF=233EF（不需证明）；(2)当ABC=60时，如图2；当ABC=30，如图3，线段AE，CF，EF之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并对图3加以证明9如图1，在RtABC中，ACB=90，CDAB于点D，BCAC=n(1)求ADBD；(2)当n=3时，E为边AB上一点，连接CE，F为CE上一点，且CFEF=12若EFB=60,AC=4，求BE的长；(3)如图，延长CA到点G，使AG=CA，连接GD，则tanGDA 10定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线.如图，在四边形ABCD中，若SA
7、BC=SADC，则四边形ABCD为倍分四边形，AC为四边形ABCD的倍分线(1)判断：若是真命题请在括号内打，若是假命题请在括号内打平行四边形是倍分四边形（）梯形是倍分四边形（）(2)如图，倍分四边形ABCD中，AC是倍分线，若ACAB，AB=3，AD=DC=5，求BC；(3)如图，ABC中BA=BC，以BC为直径的O分别交AB、AC于点N、M，已知四边形BCMN是倍分四边形求sinC；连结BM，CN交于点D，取OC中点F，连结MF交NC于E（如图），若OF=3，求DE11综合与实践【问题提出】（1）如图，点A为O上一点，点D为O外一点，(点A、点D在直线BC的同侧)，则BAC与BDC的大小关
8、系为：BAC_BDC (填“”、“=”、“1，请直接写出点Q纵坐标的取值范围参考答案1解：过点D作DGBE于点G，作DHAB于点H，斜坡CF的坡度i=1:2，D到地面的距离是5m，即DG=5m，CG=2DG=10m，设大树AB的高为xm，ACB=45，在RtABC中，AB=BC=xm，DH=BG=BC+CG=x+10m，AH=ABBH=ABDG=x5m，在RtADH中，ADH=30，tan30=AHDH，即33=x5x+10，解得x=153+252经检验：x=153+252是原方程的根且符合题意x=153+25225.5m答：大树AB的高度是25.5m2（1）解：如图，过点A作ADPQ于点D，
9、斜坡AP的坡度为1:2.4，斜坡AP的水平长度为24米，AD=10米， 即坡顶A到地面PQ的距离10米；（2）解：过点C作CEPQ于点E，则AD=CE=10米，设BC=x米，在RtABC中，tanBAC=BCAC，即tan60=3=xAC，解得：AC=33x，在RtBPE中，BPE=45，BPE是等腰直角三角形，PE=BE，即24+33x=x+10，解得：x=21+73，即碑亭BC的高度为21+73米3（1）解：斜坡AF的坡度i=1:3 =33=tanDAN，DAN=30，BAF=1803048=102；（2）解：过点D作DMBC于点M，DNAC于点N，则四边形DMCN是矩形， DAN=30，
10、则DN=12AD=3,AN=3DN=33，设大树的高度为x米，在斜坡上A处测得大树顶端B的仰角是48，tan48=BCAC1.1，AC=x1.1， DM=CN=AN+AC=33+x1.1,在BDM中，tanBDM=BMDM=tan270.5，BM=0.5DM，x3=0.533+x1.1，解得：x10即树高BC约10米4（1）解：如图，过B作BEAC于E，则四边形CDBE为矩形，CE=BD=0.2米，AC=0.8米，AE=ACEC=0.80.2=0.6（米）在RtAEB中，=30AB=2AE=20.6=1.2（米）；（2）如图，过N作NFMO交射线MO于F点，则FNEB，ONF=30，ON=0.
11、7米，OF=12ON=0.35，OM=ON=0.7米，MF=1.05米，FON=9030=60，M=MNO=12FON=30，在RtMFN中，MN=MFcos30=1.0532=1.211.2（米），M，N两点的距离约为1.2米5（1）.解：由题意得：AB=302=60（海里），CAB=9060=30，CBA=9030=60，ACB=180CABCBA=90，在RtACB中，AC=ABsin60=6032=303（海里），此时渔船与补给站C的距离为303海里；（2）如图：过点A作AECD，垂足为E，AEC=AED=90，由题意得：DAC=15+60=75，FACG，ACG=FAC=60，ACD
12、=1807560=45，EAC=90ACD=45，DAE=DACEAC=30，在RtAEC中，AC=303海里，AE=ACsin45=30322=156（海里），CE=AE=156（海里），在RtADE中，DE=AEtan30=15633=152（海里），AD=2DE=302（海里），DC=DE+CE=152+156海里，AD30=30230=2（小时），补给船的速度=DC2=152+1562=15+15340.1（海里/时）6解：延长BA交PQ于点C，由题意得：BCPQ，BC=40m，PQ=10m，在RtBQC中，CQB=45，CQ=BCtan45=40m，CP=PQ+CQ=50m，在RtA
13、CP中，CPA=25，AC=CPtan25500.47=23.5m，AB=BCAC=16.5m，凌云塔的高度AB约为16.5m7解：（1）CD与O相切于点D，ODCD，ODAB，ABCD，ACD=CAB，CAB=F，ACD=F；（2）ACD=CAB=F，.tanGCD=tanF=13，设O的半径为r，在RtAQG中tanGAO=OGOA=13，OG=13r，DG=r13r=23r，在RtDGC中，tanDCG=DGCD=13，CD=3DG=2r，DC=AB，DCAB，四边形ABCD是平行四边形8:解：（1）如图，过点B作BNEF于点N，过点F作FMBC于点M四边形ABCD是菱形，AB=BC=C
14、D=AD，A=C，DE=DFADDE=CDDF即AE=CFABECBF（SAS）BE=BFEBF=12ABC=12120=60BEF是等边三角形BNEFFN=12EF，NBF=12EBF=1260=30ABECBFABE=CBF又ABE+CBF=ABCEBF=12060=60CBF=30NBF=MBFFMBC，BNEFBNF=BMF=90BNFBMFNF=MF在菱形ABCD中，ABCDC=180ABC=180120=60FC=FMsinC=FMsin60=233FMAE+CF=2CF=2233FM=433FN=43312EF=233EF（2）图2：AE+CF=233EF证明：如图，过点B作BN
15、EF于点N，过点F作FMBC于点M四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=AD，A=BCD，DE=DFADDE=CDDF即AE=CFABECBF（SAS）BE=BFBNEF，EBF=12ABC=1260=30FN=12EF，NBF=12EBF=1230=15ABECBFABE=CBF又ABE+CBF=ABCEBF=6030=30CBF=15NBF=MBFFMBC，BNEFBNF=BMF=90BNFBMFNF=MF在菱形ABCD中，ABCDFCM=ABC=60FC=FMsinFCM=FMsin60=233FMAE+CF=2CF=2233FM=433FN=43312EF=233EF图3：AE+CF
16、=2EF如图，过点B作BNEF于点N，过点F作FMBC于点M四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=AD，A=BCD，DE=DFADDE=CDDF即AE=CFABECBF（SAS）BE=BFBNEF，EBF=12ABC=1230=15FN=12EF，NBF=12EBF=1215=7.5ABECBFABE=CBF又ABE+CBF=ABCEBF=3015=15CBF=7.5NBF=MBFFMBC，BNEFBNF=BMF=90BNFBMFNF=MF在菱形ABCD中，ABCDFCM=ABC=30FC=FMsinFCM=FMsin30=2FMAE+CF=2CF=22FM=4FN=412EF=2EF9（1
17、）解：如图1，ACB=90，ACD+BCD=90，CDAB，ADC=CDB=90，ACD+A=90，又ACD+BCD=90，A=BCD，同理，B=ACD，tanA=BCAC=n，tanBCD=n， DD=n,BDCD=n，设AD=x，则CD=nx，BD=n2x，ADBD=xn2x=1n2；（2）解：如图2，分别过E，F作BC的垂线，垂足分别为N，Q，过C作CDAB于D，tanBAC=BCAC=3，A=60，B=90B=30，过C作CDAB于D，ACD=90A=30，AC=4，AD=12AC=2，AB=2AC=8，BD=ABAD=6，BC=AB2AC2=43，CD=12BC=23，设DE=x，则
18、BE=6x，FNBC，EQBC，CNF=CQE=90，FNEQ，CFNCEQ，CFEF=12，CFCE=FNEQ=CNCQ=13，在直角EQB中，B=30，BE=6x，EQ=12BE=312x，BQ=BE2EQ2=3332x，CQ=BCBQ=3+32x，FN=13QE=116x，CN=13CQ=33+36x，BN=BCCN=113336x，DCB=90B=60，EFB=60，DCB=EFB，DCE+ECB=ECB+NBF，DCE=NBF，CDE=BNF=90，CDEBNF，DECD=FNBN，x23=116x113336x，解得x=12233，DE=xBDC；（2）连接OP， 过O作OEBC于
19、点E，连接OB,OC，BC=4，BE=EC=2，O恰好与l相切于点P，OPA=90，lAC，A=90，四边形POEA是矩形，AB=2，AE=PO=OC=4，在RtOEC中，OE=4222=23，OB=OC，OEBC，BOE=COE，2BPC=BOC，BPC=EOC，cosBPC=cosEOC=OEOC=234=32；（3）以BC为弦，作O切于直线AD，连接EO延长交BC于点F，连接OC，由（1）可知，当E在线段AD上运动时，在如图位置时BEC最大，ADBC，BCD=90，D=90，直线AD切于O，OED=90，四边形EDCF是矩形，EFBCED=FC=BF=FC，BE=EC，OEC=OEB，A
20、D=7米，BC=12米，CD=8米，FC=6,EF=8,ED=FC=4设OC=OE=x，则OF=8x，在RtOFC中，OF2+CF2=OC2即(8x)2+62=x2，解得x=254米OC=254米，OF=8254=74米，FOC=2OEC，BEC=2OECFOC=BECcosBEC=cosFOC=OFOC=74254=725答：摄像头E到达“鹰眼点”时的移动距离4米，“鹰眼值”cosBEC=72512（1）解：将A，B两点坐标直接代入解析式有ab+3=09a+3b+3=0，解得a=1，b=2，拋物线的解析式为y=x2+2x+3（2）解：法一：抛物线解析式为y=x2+2x+3=x12+4，M1,
21、4，把x=0代入y=x2+2x+3，得y=3，C0,3，B3,0，BC2=32+32=18，CM2=102+432=2，BM2=402+312=20，BC2+CM2=BM2，BCM=90，BM是CBM外接圆的直径，设BM的中点为F，圆心F2,2，C0,3，CF=EF，点F在CE垂直平分线上，即点F的纵坐标于CE中点的纵坐标相同E0,1，CE=2，过E作EHBC于H，OB=OC=3，BCE=45，BC=OC2+OB2=32，EH=CEsinHCE=2，CH=CEcosHCE=2，BH=22，在RtBEH中，tanCBE=EHBH=12；法二：设CBM外接圆与x轴的另一交点为D，同法一：可得BM是
22、CBM外接圆的直径，M1,4，CE=2，BDM=90D1，0，BD=2，DM=4，BD=CE，CBE=BMD，BM是直径，BDM=90，tanCBE=tanBMD=BDDM=12AC=12+32=10，BC=32，CE=2，BE=10，在RtAOC中，tanCAO=OCOA=3，在RtBOE中，tanOEB=OBOE=3tanOEB=tanCAB，CAB=OEB=ECB+CBE，又点N在射线AN上，CAN为锐角，要使得ACP与BCE相似，情况1：CAN=BCE=45，NAB=EBC，tanNAB=tanEBC=12，在RtOEA中，tanOAE=OTOA=12，T0，12，lAN：y=12x+
23、12，又ACP与BCE相似，ACPCEB或ACPCBEACAP=CEBC或ACAP=BCCE，10AP=232或10AP=322，AP=35或253，过点P作PQx轴于Q，tanPAQ=PQAQ=12，即AQ=2PQ，由勾股定理得AQ2+PQ2=AP2，4PQ2+PQ2=45或4PQ2+PQ2=209，解得PQ=3或PQ=23，当PQ=3时，AQ=6，则OQ=5，P5，3；当PQ=23时，AQ=43，则OQ=13，P13，23；情况2：CAN=CBE，NAB=ECB=45，tanNAB=tanECB=1，又ACP与BCE相似，ACPBCE或ACPBECACAP=BEBC或ACAP=BCBE，10AP=1032或10AP=3210AP=32或523，同理可得P2,3或23,53综上所述，点P的坐标为5,3或13,23或2,3或23,53（3）解：由（2）得抛物线对称轴为直线x=1，取点K1，1，KA=112+12=5，KC=12+132=6，KA=KC，KA2+KC2=AC2，KAC是等腰直角三角形，即AKC=90，当AQC=45时，点Q在以K为圆心，CK为半径的圆上，此时KQ=5，Q21，1+5，Q11，15，同理可得当取M1，2时，AMC是直角三角形，即AMC=90，AQC为锐角，且tanAQC1，45AQC90，15yQ1或2yQ1+5学科网（北京）股份有限公司