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1、章末复习一、向量的线性运算1.向量运算法则(或几何意义)向量的线性运算加法减法数乘(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0).(1)用k表示数量积ab；(2)求ab的最小值，并求出此时a与b的夹角的大小.解(1)由|kab|akb|，得(kab)23(akb)2，k2a22kabb23a26kab3k2b2.(k23)a28kab(13k2)b20.|a|1，|b|1，k238kab13k20，ab(k0).(2)ab2，当且仅当k1时等号成立，此时a与b的夹角的余弦值cos ，又0180，60.反思感悟数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题(1)设a(
2、x1，y1)，b(x2，y2)，abx1y2x2y10，abx1x2y1y20(a，b均为非零向量).(2)求向量的夹角和模的问题设a(x1，y1)，则|a|.两向量夹角的余弦值(0，a，b为非零向量)cos .跟踪训练2已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为 .答案解析由知0，即()()(1)22(1)32940，解得.三、余弦定理、正弦定理1.解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程.三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径)，解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积.2.解斜三
3、角形共包括四种类型：(1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边)；(2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)；(3)已知三边(先用余弦定理求角)；(4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数).3.借助解三角形，培养逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养.例3在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2BAC，向量m(3a，b)，n(2b，c)，mn.求A.解方法一2BAC，ABC，B，AC.mn，2b23ac，由正弦定理，得2sin2B3sin Asin C，即sin Asin C，sin Asin，s
4、inA，sin Acos Acos2A，cos A0或tan A，A或A.方法二2BAC，ABC，B，由余弦定理，得b2a2c22accos B，即b2a2c2ac.(*)mn，2b23ac，b2ac.将b2ac代入到(*)中，得2a25ac2c20，解得a2c或c2a.当a2c时，bc，cos A0，A；当c2a时，ba，cos A，A.综上，A或A.反思感悟通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a2Rsin A，a2b2c22abcos C等)，利用三角形变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在ABC中，sin Asin BAB；sin(AB)0
5、AB；sin 2Asin 2BAB或AB等.利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A，cos A等，通过代数变换.跟踪训练3在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求C的大小；(2)如果ab6，4，求c的值.解(1)由正弦定理，得，即tan C.又C(0，)，C.(2)|cos Cabcos C4，且cos Ccos ，ab8.由余弦定理，得c2a2b22abcos C(ab)22ab2abcos (ab)23ab623812.c2.1.已知平面向量(1,2)，(3,4)，则向量等于()A.(4，6) B.(4,6)C.(2，2) D.(2,2)答案C解析(1,2)(3,4
6、)(2，2)，故选C.2.设a(1,2)，b(1,1)，cakb.若bc，则实数k的值等于()A. B. C. D.答案A解析cakb(1k,2k)，又bc，所以1(1k)1(2k)0，解得k.3.如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若(，R)，则等于()A. B.C.1 D.1答案A解析由平面向量基本定理，化简() ，所以，即.4.已知向量a，b满足|a|1，b(t,2t)，ab与a垂直，则|ab|的最小值为()A. B.1 C. D.2答案B解析由题意知ab与a垂直，则(ab)a0，可得aba21.又由|ab|，所以当t1时，|ab|取得最小值1.5.ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cbcos Cccos B，且a1，B120，则b .答案解析cbcos Cccos B，由正弦定理可得sin Csin Bcos Ccos Bsin Csin(BC)sin A，ca1，B120，由余弦定理可得，b.