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1、专题8 正弦定理和余弦定理第一部分 近3年高考真题一、选择题1（2021全国高考真题（文）在中，已知，则（ ）A1BCD3【答案】D【解析】设，结合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故选：D.2（2021全国高考真题（理）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）ABCD【答案】A【解析】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A3（2020全国高考真题（文）在ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（ ）AB2C4D8【答案】C【解析】设故选：C4已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，则
2、C的方程为（ ）ABCD【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有在中，由余弦定理推论得在中，由余弦定理得，解得所求椭圆方程为，故选B法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有在和中，由余弦定理得，又互补，两式消去，得，解得所求椭圆方程为，故选B5.的内角的对边分别为，若的面积为，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由题可知所以由余弦定理所以故选C.二、填空题6（2020江苏高考真题）在ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是_【答案】或0【解析】三点共线，可设，即，若且，则三点共线，即，,，设，则，.根据余弦定理可得，解得，的长度为.当时，
3、 ，重合，此时的长度为，当时，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或.7.的内角的对边分别为.若，则的面积为_.【答案】【解析】由余弦定理得，所以，即解得（舍去）所以，8.在中，角所对的边分别为，的平分线交于点D，且，则的最小值为_【答案】9【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.9.的内角的对边分别为，已知，则的面积为_【答案】.【解析】因为，结合正弦定理可得，可得，因为，结合余弦定理，可得，所以为锐角，且，从而求得，所以的面积为，故答案是.三、解答题10（2021北京高考真题）已知在中，（1）求的大小；（2）在下列三个条件中选
4、择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度；周长为；面积为；【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析【解析】（1），则由正弦定理可得，解得；（2）若选择：由正弦定理结合（1）可得，与矛盾，故这样的不存在；若选择：由（1）可得，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，则周长，解得，则，由余弦定理可得边上的中线的长度为：；若选择：由（1）可得，即，则，解得，则由余弦定理可得边上的中线的长度为：.11（2021全国高考真题）记是内角，的对边分别为，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由题设，由正弦定理知：，即，又，得证.（2）
5、由题意知：，同理，整理得，又，整理得，解得或，由余弦定理知：，当时，不合题意；当时，；综上，.12（2020北京高考真题）在中，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：（）a的值：（）和的面积条件：；条件：注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分【答案】选择条件（）8（）, ；选择条件（）6（）, .【解析】选择条件（）（）由正弦定理得：选择条件（）由正弦定理得：（）13（2020江苏高考真题）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求的值；（2）在边BC上取一点D，使得，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由余弦定理得，所以.由正弦定理得.（2）由于
6、，所以.由于，所以，所以.所以.由于，所以.所以.14（2020全国高考真题（理）中，sin2Asin2Bsin2C=sinBsinC（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理可得：，.（2）由余弦定理得：，即.（当且仅当时取等号），解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为.15.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，由余弦定理，得，即.所以.（2）因为，由正弦定理，得，所以.从而，即，故.因为，所以，从而.因此.16.的
7、内角的对边分别为，已知（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围【答案】(1) ;(2).【解析】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又应用正弦定理，由三角形面积公式有：.又因,故，故.故的取值范围是17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（1）求A；（2）若，求sinC【答案】（1）；（2）.【解析】（1）即：由正弦定理可得： （2），由正弦定理得：又，整理可得： 解得：或因为所以，故.（2）法二：，由正弦定理得：又，整理可得：，即 由，所以.18.
8、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和的值.【答案】()；()，.【解析】（）在ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得又因为，可得B=（）在ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=由，可得因为ac，故因此， 所以， 第二部分 模拟训练1设，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】设，则，整理可得，故，在中，则，设原点到直线的距离为，则需满足，解得或.故选：C.2在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，的面积为，则（ ）ABCD【答案】A【解析】
9、，所以，由余弦定理可得： 得又由正弦定理可得：，所以，故选：A.3已知中，内角的对边分别为，若，且的面积为，则的值为（ ）ABCD【答案】A【解析】，解得，由余弦定理：，.故选：A.4希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学.特别是与“月牙形”有关的问题.如图所示.阴影郭分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，则该月牙形的面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】解析由已知可得，的外接圆半径为1.由题意，内侧圆弧为的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为，则弓形的面积为，外侧的圆弧以为直径，所以半圆的面积为，则月牙形的面积为.故选：
10、A5已知中，内角的对边分别为，且，则_.【答案】(或)【解析】根据余弦定理可知，所以原式，变形为，根据正弦定理边角互化，可知，又因为，则原式变形整理为,即，因为，所以（或）故答案为（或）6在ABC中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列.若，数列满足，前n项和为，_.【答案】【解析】， 由得，又a，b，c成等比数列知不是最大边，. 故答案为：7在中，角，的对边分别为，若，是锐角，且，则的面积为_【答案】【解析】由，得，又为三角形的内角，或，又，于是由余弦定理得即，解得，故.故答案为8已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角C的大小（2）若，且的面积为，求的周长【答案】（1）；（2）【解析】（1），.（2）由题意可得，联立可得，由余弦定理可得，此时周长为.9设函数.（1）求的最小正周期和值域；（2）在，角的对边长分别为，.若，求的面积.【答案】（1），值域为（2）【解析】（1），值域为.（2）由已知得，或或，由余弦定理得，即解得10设函数（1）当时，求函数的值域；（2）已知的内角、所对的边分别为、，且，求角的值【答案】（1）函数的值域为；（2）【解析】（1）， ，函数的值域为（2），即由正弦定理，