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1、初中数学教材教法分析初中数学教材教法分析概率初步天津市静海县沿庄镇中学 刘 刚提提 纲纲一、初中阶段增加概率内容的意义一、初中阶段增加概率内容的意义二、整体感知概率二、整体感知概率三、教学目标及安排三、教学目标及安排四、相关概念解析四、相关概念解析五、难点分析及突破策略五、难点分析及突破策略六、概率的计算六、概率的计算七、典型题型七、典型题型八、几点建议八、几点建议 “对于生活中的大部分，最重要的问题对于生活中的大部分，最重要的问题实际上只是概率问题。你可以说几乎我们所实际上只是概率问题。你可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的，只有一小部掌握的所有知识都是不确定的，只有一小部分我们能确定
2、地了解。甚至数学科学本身，分我们能确定地了解。甚至数学科学本身，归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上，因此，整个人类建立在概率论的基础之上，因此，整个人类知识系统是与这一理论相联系的知识系统是与这一理论相联系的。”1919世纪法国著名数学家拉普拉斯语世纪法国著名数学家拉普拉斯语一、初中阶段增加概率的意义一、初中阶段增加概率的意义 改革背景：改革背景：在初中数学中加大统计的份量，增加概率的内容已成共在初中数学中加大统计的份量，增加概率的内容已成共识。回顾我国中学数学教育发展的历史，统计与概率是否识。回顾我国中学数学教育发展的历史，统计
3、与概率是否进入初中一直是中学数学教育界争论的焦点之一。统计内进入初中一直是中学数学教育界争论的焦点之一。统计内容在初中教材几进几出，虽然以前初中教材安排了统计的容在初中教材几进几出，虽然以前初中教材安排了统计的内容，但由于它只在初三出现，而且内容较少，要求不高，内容，但由于它只在初三出现，而且内容较少，要求不高，在初中实际教学中没有得到充分的重视。对统计与概率重在初中实际教学中没有得到充分的重视。对统计与概率重视不够是我国初中数学教材与发达国家中学教材的主要差视不够是我国初中数学教材与发达国家中学教材的主要差别之一。从最新的英国、美国、日本以及港、台地区的教别之一。从最新的英国、美国、日本以及
4、港、台地区的教材看，统计与概率是初中数学教学内容的重要组成部分，材看，统计与概率是初中数学教学内容的重要组成部分，大多数教材在初中的各个年级都有统计与概率的内容，而大多数教材在初中的各个年级都有统计与概率的内容，而且占有一定的比例。且占有一定的比例。一、初中阶段增加概率的意义一、初中阶段增加概率的意义 统计与概率内容的改革，对促进统计与概率内容的改革，对促进初中数学教学内容的现代化、结构的初中数学教学内容的现代化、结构的合理化，推动教育技术手段的现代化，合理化，推动教育技术手段的现代化，改进教师的教学方式和学生的学习方改进教师的教学方式和学生的学习方式等都有积极的作用。式等都有积极的作用。一、
5、初中阶段增加概率的意义一、初中阶段增加概率的意义1使初中数学内容结构更加合理使初中数学内容结构更加合理 老教材老教材（500课时）课时）代数（代数（258课时）课时）几何（几何（228课时）课时）统计（统计（14课时）课时）新教材新教材数与代数数与代数空间与图形空间与图形统计与概率统计与概率实践与综合应用实践与综合应用一、初中阶段增加概率的意义一、初中阶段增加概率的意义2、有利于信息技术的整合。、有利于信息技术的整合。统计与概率的内容中涉及大量的复杂数据的计算问题，统计与概率的内容中涉及大量的复杂数据的计算问题，使用计算器处理这些问题，能使学生感受到使用计算器的使用计算器处理这些问题，能使学生
6、感受到使用计算器的必要性。另外，大多数新型的科学计算器都设有统计功能，必要性。另外，大多数新型的科学计算器都设有统计功能，使用计算器进行统计运算更能体现计算器的快捷和方便。使用计算器进行统计运算更能体现计算器的快捷和方便。因此，统计与概率能真正推动计算器的普及。另外，增加因此，统计与概率能真正推动计算器的普及。另外，增加统计与概率的内容，有利于促进计算机的使用。计算机能统计与概率的内容，有利于促进计算机的使用。计算机能够提供大量的信息，可以通过计算机网络收集数据，利用够提供大量的信息，可以通过计算机网络收集数据，利用计算机软件绘制统计图表等，这些都为丰富统计与概率提计算机软件绘制统计图表等，这
7、些都为丰富统计与概率提供了大量资源，同时也使得计算机的作用更加突出。供了大量资源，同时也使得计算机的作用更加突出。一、初中阶段增加概率的意义一、初中阶段增加概率的意义3能有效地改变教师的教学方式和学生的学习方式。能有效地改变教师的教学方式和学生的学习方式。转变方式是学习统计与概率的内在要求。由于统计与转变方式是学习统计与概率的内在要求。由于统计与概率中存在着大量的活动，学生需要通过亲自参与活动来概率中存在着大量的活动，学生需要通过亲自参与活动来学习统计与概率的内容，掌握数据处理的方法。这些活动学习统计与概率的内容，掌握数据处理的方法。这些活动已有效地导致教师与学生地位的根本改变，促进了教师教已
8、有效地导致教师与学生地位的根本改变，促进了教师教学方法的改进和学生学习方式的改变。教师由知识的传授学方法的改进和学生学习方式的改变。教师由知识的传授者成为活动的组织者、引导者、合作者，学生由被动接受者成为活动的组织者、引导者、合作者，学生由被动接受知识的容器转变为活动学习的设计者、主持者、参与者；知识的容器转变为活动学习的设计者、主持者、参与者；传统的传授式教学已不能满足教学的需要，学生的学习方传统的传授式教学已不能满足教学的需要，学生的学习方式由被动接受变为主动探究。式由被动接受变为主动探究。二、整体感知概率二、整体感知概率（一）概率论的产生和发展（一）概率论的产生和发展 概率论产生于概率论
9、产生于17世纪，其产生背景与博彩业的发展有关世纪，其产生背景与博彩业的发展有关 问题的产生：问题的产生：甲、乙两人甲、乙两人“掷骰子掷骰子”赌博，他们约定，若甲首先掷赌博，他们约定，若甲首先掷出三次出三次“6 6点点”，或乙首先掷出三次，或乙首先掷出三次“4 4点点”就算赢了对方，就算赢了对方，赢家可获得全部赌金。当甲已经掷出了两次赢家可获得全部赌金。当甲已经掷出了两次“6 6点点”，乙已，乙已经掷出一次经掷出一次“4 4点点”时，赌博因故中断，那么两人应如何分时，赌博因故中断，那么两人应如何分配这些赌金？配这些赌金？二、整体感知概率二、整体感知概率（一）概率论的产生和发展（一）概率论的产生和
10、发展 对该问题的两种意见：对该问题的两种意见：一种意见认为，甲只需要再掷出一次一种意见认为，甲只需要再掷出一次“6 6点点”就能赢，而乙还需要就能赢，而乙还需要再掷出两次再掷出两次“4 4点点”才能赢，因此，甲、乙二人所分赌金的数额之比应才能赢，因此，甲、乙二人所分赌金的数额之比应该是该是2:12:1，即甲应分得全部赌金的，即甲应分得全部赌金的2/32/3，乙应分得全部赌金的，乙应分得全部赌金的1/31/3。另一种意见则认为，假设两人再各掷一次骰子，对甲来说只有两另一种意见则认为，假设两人再各掷一次骰子，对甲来说只有两种可能的结果：一种是甲未掷出种可能的结果：一种是甲未掷出“6 6点点”，这时
11、即使乙掷出，这时即使乙掷出“4 4点点”，两人也只是打了个平手，可以各自得全部赌金的两人也只是打了个平手，可以各自得全部赌金的1/21/2；另一种可能是甲；另一种可能是甲掷出掷出“6 6点点”，那么他可获得全部赌金，因此，甲分得全部赌金的，那么他可获得全部赌金，因此，甲分得全部赌金的1/21/2和全部赌金的可能性各占一半，他应该分得全部赌金的和全部赌金的可能性各占一半，他应该分得全部赌金的 ，即甲，即甲应分得全部赌金的应分得全部赌金的3/43/4，乙应该分得全部赌金的，乙应该分得全部赌金的1/41/4。二、整体感知概率二、整体感知概率（一）概率论的产生和发展（一）概率论的产生和发展 概率论发展
12、史上几位奠基人物概率论发展史上几位奠基人物:法国数学家帕斯卡法国数学家帕斯卡荷兰数学家惠更斯荷兰数学家惠更斯瑞士数学家伯努利瑞士数学家伯努利法国数学家棣莫弗法国数学家棣莫弗最早引发概率的研究最早引发概率的研究论赌博中的机会论赌博中的机会猜度术猜度术论抽签原理论抽签原理机会的学说机会的学说二、整体感知概率二、整体感知概率（一）概率论的产生和发展（一）概率论的产生和发展 概率论研究方法的特殊性：概率论研究方法的特殊性：第一第一、由于随机现象的统计规律是一种集体规律，必、由于随机现象的统计规律是一种集体规律，必须在大量同类随机现象中才能显现出来，所以，观察、试须在大量同类随机现象中才能显现出来，所以
13、，观察、试验、调查就是概率统计这门学科研究方法的基石。但是，验、调查就是概率统计这门学科研究方法的基石。但是，作为数学学科的一个分支，它依然具有本学科的定义、公作为数学学科的一个分支，它依然具有本学科的定义、公理、定理，这些定义、公理、定理来源于自然界的随机规理、定理，这些定义、公理、定理来源于自然界的随机规律，但这些定义、公理、定理是确定的，不存在任何随机律，但这些定义、公理、定理是确定的，不存在任何随机性。性。二、整体感知概率二、整体感知概率（一）概率论的产生和发展（一）概率论的产生和发展 概率论研究方法的特殊性：概率论研究方法的特殊性：第二第二、在研究概率统计中，使用的是、在研究概率统计
14、中，使用的是“由部分推断由部分推断全体全体”的统计推断方法，这是因为它研究的对象的统计推断方法，这是因为它研究的对象随随机现象的范围是很大的，在进行试验、观察的时候，往机现象的范围是很大的，在进行试验、观察的时候，往往不可能也不必要对于全部对象进行考查。但是对于部往不可能也不必要对于全部对象进行考查。但是对于部分资料所得出的一些结论，要在全体范围内推断这些结分资料所得出的一些结论，要在全体范围内推断这些结论的可靠性。论的可靠性。二、整体感知概率二、整体感知概率（一）概率论的产生和发展（一）概率论的产生和发展 概率论研究方法的特殊性：概率论研究方法的特殊性：第三第三、随机现象的随机性，是指试验、
15、调查之、随机现象的随机性，是指试验、调查之前来说的，而真正得出结果后，对于每一次试验，前来说的，而真正得出结果后，对于每一次试验，它只可能得到这些不确定结果中的某一种确定结果。它只可能得到这些不确定结果中的某一种确定结果。我们在研究这一现象时，应当注意在试验前能不能我们在研究这一现象时，应当注意在试验前能不能对这一现象找出它本身的内在规律。对这一现象找出它本身的内在规律。二、整体感知概率二、整体感知概率（一）概率论的产生和发展（一）概率论的产生和发展 概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性。随机
16、事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性。概率是随机事件发生的可能性的数量指标。在独立随概率是随机事件发生的可能性的数量指标。在独立随机事件中，如果某一事件在全部事件中出现的频率，在更机事件中，如果某一事件在全部事件中出现的频率，在更大的范围内比较明显地稳定在某一固定常数附近。就可以大的范围内比较明显地稳定在某一固定常数附近。就可以认为这个事件发生的概率为这个常数。认为这个事件发生的概率为这个常数。任何事件的概率值一定介于任何事件的概率值一定介于0 0和和1 1之间。之间。二、整体感知概率二、整体感知概率（一）概率论的产生和发展（一）概率论的产生和发展 有一类随机事件，它具有两个特点：第一，
17、只有有限个可能的结果；有一类随机事件，它具有两个特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，各个结果发生的可能性相同。具有这两个特点的随机现象叫做第二，各个结果发生的可能性相同。具有这两个特点的随机现象叫做“古典概型古典概型”（等可能概型）。（等可能概型）。在客观世界中，存在大量的随机现象，随机现象产生的结果构成了在客观世界中，存在大量的随机现象，随机现象产生的结果构成了随机事件。如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机事件。如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量随机变量。随机变量有有限和无限的区分，一般又根据变量的取值情况分成随机变量有有限和无限的区分，一般又根据变量的取值情况
18、分成离散型随机变量离散型随机变量和和非离散型随机变量非离散型随机变量。一切可能的取值能够按一定次。一切可能的取值能够按一定次序一一列举的随机变量，叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满序一一列举的随机变量，叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个区间，无法按次序一一列举，那么，这种随机变量就叫做非离了一个区间，无法按次序一一列举，那么，这种随机变量就叫做非离散型随机变量。散型随机变量。二、整体感知概率二、整体感知概率（二）新课程中概率内容的设置（二）新课程中概率内容的设置 数学新课程内容的四个领域数学新课程内容的四个领域:数与代数数与代数 空间与图形空间与图形 统计与概率统计与概率 实践与
19、综合应用实践与综合应用 二、整体感知概率二、整体感知概率（二）新课程中概率内容的设置（二）新课程中概率内容的设置 新课程三个学段中的概率内容：新课程三个学段中的概率内容：第一学段第一学段（13年级）年级）第二学段第二学段（46年级）年级）第三学段第三学段（79年级）年级）不确定现象不确定现象可可 能能 性性概概 率率三、教学目标及安排三、教学目标及安排（一）本章教学目标（一）本章教学目标 1、理解什么是必然发生的事件、不可能发生的事件，什么是随机、理解什么是必然发生的事件、不可能发生的事件，什么是随机事件；事件；2、在具体情境中了解概率的意义，体会概率是描述不确定现象发、在具体情境中了解概率的
20、意义，体会概率是描述不确定现象发生可能性大小的数学概念，理解概率的取值范围的意义；生可能性大小的数学概念，理解概率的取值范围的意义；3、能够运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的、能够运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率；概率；4、能够通过试验，获得事件发生的频率；知道大量重复试验时频、能够通过试验，获得事件发生的频率；知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值，理解频率与概率的区别与联系。率可作为事件发生概率的估计值，理解频率与概率的区别与联系。5、通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题；、通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题
21、；6、了解进行模拟试验的必要性，能根据问题的实际背景设计合理、了解进行模拟试验的必要性，能根据问题的实际背景设计合理的模拟试验。的模拟试验。三、教学目标及安排三、教学目标及安排（二）内容安排（二）内容安排 本章属于本章属于“统计与概率统计与概率”领域，对于该领域的内容，领域，对于该领域的内容，本套教科书共安排了四章，这四章采用统计和概率分开编本套教科书共安排了四章，这四章采用统计和概率分开编排的方式，前三章是统计，最后一章是概率，一方面，概排的方式，前三章是统计，最后一章是概率，一方面，概率与统计相对独立，另一方面概率又以统计为依托，本章率与统计相对独立，另一方面概率又以统计为依托，本章概率知
22、识的学习要以前三章的统计部分的知识为基础。概率知识的学习要以前三章的统计部分的知识为基础。本章的主要内容是随机事件的定义，概率的定义，计本章的主要内容是随机事件的定义，概率的定义，计算简单事件概率的方法，主要是列举法（包括列表法和树算简单事件概率的方法，主要是列举法（包括列表法和树形图法），利用频率估计概率，中心内容是体会随机观念形图法），利用频率估计概率，中心内容是体会随机观念和概率思想。和概率思想。三、教学目标及安排三、教学目标及安排（三）课时安排（三）课时安排 本章教学时间约需本章教学时间约需14课时，具体分配如下：课时，具体分配如下：22.1概率概率 4课时课时 22.2用列举法求概率
23、用列举法求概率 4课时课时 22.3利用频率估计概率利用频率估计概率 2课时课时 22.4课题学习课题学习 2课时课时 数学活动、小结数学活动、小结 2课时课时四、相关概念解析四、相关概念解析1、确定现象和随机现象、确定现象和随机现象 关心发生的可能性关心发生的可能性（概率）（概率）现现 象象（事（事 件）件）确定现象确定现象随机现象随机现象必然发生的必然发生的必然不发生的必然不发生的关心发生的条件关心发生的条件可能发生也可能发生也可能不发生的可能不发生的2、随机试验和随机事件、随机试验和随机事件 四、相关概念解析四、相关概念解析试验：试验：实验：实验：为了察看某事的结果或某物的性能而从事某种
24、活动。为了察看某事的结果或某物的性能而从事某种活动。为了检验某种科学理论或假设而进行某种操作或从为了检验某种科学理论或假设而进行某种操作或从事某种活动。事某种活动。四、相关概念解析四、相关概念解析2、随机试验和随机事件、随机试验和随机事件 概率试验的作用：概率试验的作用：第一、第一、通过概率试验，有助于学生体会随机现象的特点通过概率试验，有助于学生体会随机现象的特点 第二、第二、通过概率试验，可以估计一些随机事件的概率通过概率试验，可以估计一些随机事件的概率 第三、第三、通过概率试验，有助于学生澄清一些错误认识通过概率试验，有助于学生澄清一些错误认识 四、相关概念解析四、相关概念解析随机试验满
25、足下面的三个要求：随机试验满足下面的三个要求：2、随机试验和随机事件、随机试验和随机事件 （1）试验的基本结果是明确的）试验的基本结果是明确的.一次试验可能出现哪些一次试验可能出现哪些基本结果是事先可以明确的，所谓基本结果是指这样的一些基本结果是事先可以明确的，所谓基本结果是指这样的一些结果，在一次试验中，必定出现其中的一个，并且只出现一结果，在一次试验中，必定出现其中的一个，并且只出现一个，即在一次试验中两个不同的基本结果不能同时发生。个，即在一次试验中两个不同的基本结果不能同时发生。（2）试验结果的不确定性）试验结果的不确定性.一次试验出现什么结果，在一次试验出现什么结果，在试验之前无法预
26、言，即一次试验的结果是不确定的试验之前无法预言，即一次试验的结果是不确定的。（3）试验的可重复性）试验的可重复性.试验可以重复地进行，即试验的试验可以重复地进行，即试验的条件可以重复实现条件可以重复实现.四、相关概念解析四、相关概念解析2、随机试验和随机事件、随机试验和随机事件 研究随机现象的基本方法是随机试验研究随机现象的基本方法是随机试验.每每个随机现象都联系着一个随机试验，随机试个随机现象都联系着一个随机试验，随机试验的结果是不确定的，每种可能的结果称为验的结果是不确定的，每种可能的结果称为随机事件随机事件 四、相关概念解析四、相关概念解析2、随机试验和随机事件、随机试验和随机事件 随机
27、事件发生的可能性大小是可以比较的。随机事件发生的可能性大小是可以比较的。概率就是随机事件发生的可能性大小的数量表征概率就是随机事件发生的可能性大小的数量表征 注意：注意：概率作为随机事件发生的可能性大小的数量表征，概率作为随机事件发生的可能性大小的数量表征，是随机事件自身的固有的属性，它不依赖于人的主观认识，是随机事件自身的固有的属性，它不依赖于人的主观认识，而是在大量试验中表现出来。而是在大量试验中表现出来。四、相关概念解析四、相关概念解析3、等可能性、等可能性 简单的说就是各个结果发生的可能性大小相同。简单的说就是各个结果发生的可能性大小相同。具备以下两个特点的试验就是等可能性试验：具备以
28、下两个特点的试验就是等可能性试验：（1）一次试验中，可能出现的结果有限多个；）一次试验中，可能出现的结果有限多个；（2）一次试验中，各种结果发生的可能性相等。）一次试验中，各种结果发生的可能性相等。四、相关概念解析四、相关概念解析3、等可能性、等可能性 例如：例如：分别从标有分别从标有1,2,3,4,5号的号的5根纸签中随机地抽取根纸签中随机地抽取一根，抽出的签上的号码有一根，抽出的签上的号码有5种可能，即种可能，即1,2,3,4,5，由于，由于纸签的形状、大小相同，又是随机抽取的，所以我们可以认纸签的形状、大小相同，又是随机抽取的，所以我们可以认为，每个号被抽到的可能性相等。为，每个号被抽到
29、的可能性相等。又如：又如：掷一个骰子，向上的一面的点数有掷一个骰子，向上的一面的点数有6种可能，种可能，由于骰子的构造质地均匀，又是随机地抛出的，所以我由于骰子的构造质地均匀，又是随机地抛出的，所以我们可以断言，每种结果的可能性相等。们可以断言，每种结果的可能性相等。四、相关概念解析四、相关概念解析4、试验、事件和结果、试验、事件和结果 随机试验的一般结果称为随机事件，每个随机事件包随机试验的一般结果称为随机事件，每个随机事件包含若干个基本结果含若干个基本结果.它用这些基本结果来表示，其中每个基它用这些基本结果来表示，其中每个基本结果出现都导致这个随机事件发生本结果出现都导致这个随机事件发生
30、例如例如:掷一颗骰子掷一颗骰子“出现偶数点出现偶数点”是一个随机事件，它是一个随机事件，它包含包含“出现出现2点点”“出现出现4点点”“出现出现6点点”.无论出现无论出现2点、点、4点或点或6点，都是点，都是“出现偶数点出现偶数点”，都导致，都导致“出现偶数点出现偶数点”这一事件发生这一事件发生 四、相关概念解析四、相关概念解析4、试验、事件和结果、试验、事件和结果 试试 验验结果结果1结果结果2结果结果n结果结果c结果结果b结果结果a事件事件结果结果m四、相关概念解析四、相关概念解析4、试验、事件和结果、试验、事件和结果 例如：例如：掷一个骰子，观察向上的一面的点数，求下列事件的概率：掷一个
31、骰子，观察向上的一面的点数，求下列事件的概率：（1）点数为）点数为2；（；（2）点数为奇数；（）点数为奇数；（3）点数大于）点数大于2且小于且小于5.掷一个骰子，观察向上一面的点数掷一个骰子，观察向上一面的点数1试验试验事件事件点数为点数为2事件结果事件结果所有可能的结果所有可能的结果23456点数为奇数点数为奇数点数大于点数大于2且小于且小于5341352四、相关概念解析四、相关概念解析5、古典概型与几何概型、古典概型与几何概型（1 1）古典概型：）古典概型：如果随机试验如果随机试验E E具有下列性质：（具有下列性质：（1 1）E E的所有可能结果的所有可能结果（基本事件），只有有限多个；（
32、基本事件），只有有限多个；（2 2）E E的每一个可能结果的每一个可能结果（基本事件）发生的可能性大小相等。则称（基本事件）发生的可能性大小相等。则称E E为有限等可能型为有限等可能型随机试验或等可能概型。因为它是概率论发展初期的主要研随机试验或等可能概型。因为它是概率论发展初期的主要研究对象，所以它被称为古典概型。究对象，所以它被称为古典概型。对于古典概型对于古典概型E E，设它的所有可能结果是，设它的所有可能结果是n n个等可能的个等可能的情形，事件情形，事件A A包含其中的包含其中的m m个情形，则定义事件个情形，则定义事件A A的概率的概率P(A)P(A)为为P(A)=P(A)=四、相
33、关概念解析四、相关概念解析5、古典概型与几何概型、古典概型与几何概型（2 2）几何概型：）几何概型：如果随机试验如果随机试验E E是向一个可求面积的平面有界区域是向一个可求面积的平面有界区域S S内随意投掷一点内随意投掷一点M M，这时，这时S S中的每一落点中的每一落点e e是一个基本事件是一个基本事件“M M落在落在e e处处”，设点落在，设点落在S S内的任内的任何一个位置上的可能性大小均等，并且点何一个位置上的可能性大小均等，并且点M M落在任何一个可求面积的区域落在任何一个可求面积的区域A A（A A包含在包含在S S中）内的可能性大小，只与中）内的可能性大小，只与A A的面积成正比
34、，而与的面积成正比，而与A A的形状以的形状以及及A A在在S S内的位置无关，则称试验内的位置无关，则称试验E E为几何概型。为几何概型。由于由于S S内有无限多个点，点内有无限多个点，点M M落在落在S S内任意一点处的可能性都是相同内任意一点处的可能性都是相同的，因而几何概型是一种具有无限、等可能性质的随机试验。这时定义的，因而几何概型是一种具有无限、等可能性质的随机试验。这时定义点点M M落在落在A A内的概率内的概率P(A)=P(A)=，这个定义叫做概率的几何定义，它，这个定义叫做概率的几何定义，它可以看做是古典概率的推广。可以看做是古典概率的推广。五、难点分析及突破策略五、难点分析
35、及突破策略难点之难点之一：分析推测事件发生的可能性的大小一：分析推测事件发生的可能性的大小成因诊断：成因诊断：（1 1）事件发生的不确定性和可能性在学生生活和经验）事件发生的不确定性和可能性在学生生活和经验积累中有所感受，但往往是感性的、模糊的、无意识的，现积累中有所感受，但往往是感性的、模糊的、无意识的，现在开始力求精确，尽可能用数字说话，学生原有的知识经验在开始力求精确，尽可能用数字说话，学生原有的知识经验难以支撑，为认知同化造成困难难以支撑，为认知同化造成困难；（2 2）学生判断事件发生的可能性大小，还离不开自己）学生判断事件发生的可能性大小，还离不开自己的生活经验，往往带有感情色彩，错
36、误的经验与现实结论的生活经验，往往带有感情色彩，错误的经验与现实结论的冲突，排斥着新观念、新知识的建立，也会成为学生认的冲突，排斥着新观念、新知识的建立，也会成为学生认知顺应的障碍知顺应的障碍。五、难点分析及突破策略五、难点分析及突破策略难点之难点之一：分析推测事件发生的可能性的大小一：分析推测事件发生的可能性的大小突破突破对策：对策：（1 1）充分利用学生的生活经验和认知基础，用学生身边）充分利用学生的生活经验和认知基础，用学生身边的感兴趣的鲜活生动的问题情境作为教学素材，不惜时间的感兴趣的鲜活生动的问题情境作为教学素材，不惜时间让学生亲身经历，引导学生自己总结、分析，试着用自己让学生亲身经
37、历，引导学生自己总结、分析，试着用自己的语言表述，逼近定义，这样引出新概念容易被学生原认的语言表述，逼近定义，这样引出新概念容易被学生原认知结构所同化知结构所同化；（2 2）有针对性的提供一些带有情感色彩的问题，让学）有针对性的提供一些带有情感色彩的问题，让学生在交流、讨论甚至争议中澄清认识，体验客观事件发生在交流、讨论甚至争议中澄清认识，体验客观事件发生的可能性与个人的愿望无关生的可能性与个人的愿望无关；五、难点分析及突破策略五、难点分析及突破策略难点之难点之二：通过试验体会事件发生的等可能性及游戏的公平性二：通过试验体会事件发生的等可能性及游戏的公平性 成因诊断：成因诊断：（1 1）通过试
38、验体会事件发生的等可能性及游戏的公平性是建立）通过试验体会事件发生的等可能性及游戏的公平性是建立在大量重复试验的基础上，经过分析、比对，与学伴交流逐渐得出结在大量重复试验的基础上，经过分析、比对，与学伴交流逐渐得出结论，在试验中需要学生投入较多的精力，不厌其烦操作、收集、分析、论，在试验中需要学生投入较多的精力，不厌其烦操作、收集、分析、综合，需要全体同学都参与，集中大家的结果，这种学习的方式需要综合，需要全体同学都参与，集中大家的结果，这种学习的方式需要足够的耐心与细心，这与足够的耐心与细心，这与当前当前学生形象思维占主导、自制力差的心理学生形象思维占主导、自制力差的心理特点很不协调特点很不
39、协调；（2 2）学生零星的生活经验（例赢了一次游戏，中了一次奖等）学生零星的生活经验（例赢了一次游戏，中了一次奖等）中的错误积累排斥正确随机观念的建立中的错误积累排斥正确随机观念的建立；五、难点分析及突破策略五、难点分析及突破策略难点之难点之二：通过试验体会事件发生的等可能性及游戏的公平性二：通过试验体会事件发生的等可能性及游戏的公平性 突破策略突破策略：让学生动手操作，反复试验，亲身经历让学生动手操作，反复试验，亲身经历“猜测猜测试验并收集试验数据试验并收集试验数据分析试验结果分析试验结果”的活动过程，的活动过程，揣摩感悟，结合生活经验，参与游戏规则的制作或修订，揣摩感悟，结合生活经验，参与
40、游戏规则的制作或修订，逐步体会事件发生的等可能性及游戏的公平性逐步体会事件发生的等可能性及游戏的公平性 五、难点分析及突破策略五、难点分析及突破策略难点之难点之三：概率的计算三：概率的计算 成因诊断：成因诊断：（1 1）在学生的知识经验中虽然有了一些对事件发生的）在学生的知识经验中虽然有了一些对事件发生的可能性大小的体验，但那些都是感性的、粗线条的；现在可能性大小的体验，但那些都是感性的、粗线条的；现在遇到用具体的数刻画事件发生的可能性，要计算概率，要遇到用具体的数刻画事件发生的可能性，要计算概率，要用数字用数字“说话说话”，方法他们难适应，计算也感到没有头绪，方法他们难适应，计算也感到没有头
41、绪；（2 2）弄清某事件发生的可能结果数和所有事件发生的）弄清某事件发生的可能结果数和所有事件发生的结果数是计算概率的前提，对于较复杂的情形，学生思维结果数是计算概率的前提，对于较复杂的情形，学生思维的不缜密会出现统计遗漏或重复，失误影响着他们的学习的不缜密会出现统计遗漏或重复，失误影响着他们的学习信心信心 五、难点分析及突破策略五、难点分析及突破策略难点之难点之三：概率的计算三：概率的计算 突破策略突破策略：（1 1）针对学生的认知基础和思维特点，设计问题由简）针对学生的认知基础和思维特点，设计问题由简单到复杂，先易后难，让学生逐渐积累解题经验单到复杂，先易后难，让学生逐渐积累解题经验 （2
42、 2）对于复杂情形的事件，重视统计前的点拨和解）对于复杂情形的事件，重视统计前的点拨和解题中的题中的检检查查，减少失误的机会，增强学生的学习信心减少失误的机会，增强学生的学习信心 五、难点分析及突破策略五、难点分析及突破策略难点之难点之四：体会频率与概率的关系四：体会频率与概率的关系 成因诊断：成因诊断：（1 1）概率是定量刻画随机现象的数学模型，随机现象的结果事先无法预料，）概率是定量刻画随机现象的数学模型，随机现象的结果事先无法预料，“大量重复实验时频率可作为事件发生的概率的估计值大量重复实验时频率可作为事件发生的概率的估计值”的数学思想非常抽象、的数学思想非常抽象、高度概括，这对于初中学
43、生思维水平和知识经验无疑都存在很大的跳跃我们无高度概括，这对于初中学生思维水平和知识经验无疑都存在很大的跳跃我们无法象解方程那样设计题组有易到难，给学生搭几步台阶，只能在大量重复实验中法象解方程那样设计题组有易到难，给学生搭几步台阶，只能在大量重复实验中让学生体会、感悟但课堂教学时间是有限的，一个学生完成试验的次数不会很让学生体会、感悟但课堂教学时间是有限的，一个学生完成试验的次数不会很多，多人汇集试验数据一时也不会稳定于一个数值，这是学习内容与教学方法本多，多人汇集试验数据一时也不会稳定于一个数值，这是学习内容与教学方法本身的困难身的困难；（2 2）试验频率稳定于理论概率，它是用实验的方法估
44、计随机事件发生的概率）试验频率稳定于理论概率，它是用实验的方法估计随机事件发生的概率的基础但对于初中学生的知识结构，难以给出一个理论解释，只有借助于大量的基础但对于初中学生的知识结构，难以给出一个理论解释，只有借助于大量的重复实验进行感悟、体会、认可有时往往事与愿违，虽多次实验（相对的、的重复实验进行感悟、体会、认可有时往往事与愿违，虽多次实验（相对的、有限的，受课堂时间制约），频率仍不稳定，甚至偏差较大，教师难以解释清楚有限的，受课堂时间制约），频率仍不稳定，甚至偏差较大，教师难以解释清楚让学生信服，造成认知受阻让学生信服，造成认知受阻 五、难点分析及突破策略五、难点分析及突破策略难点之难点
45、之四：体会频率与概率的关系四：体会频率与概率的关系 突破策略突破策略：（1 1）选取学生熟悉的、感兴趣的问题情境，尽可能增加试验次数）选取学生熟悉的、感兴趣的问题情境，尽可能增加试验次数 （2 2）借助多媒体模拟实验辅助教学，使大量的重复性实验在课堂）借助多媒体模拟实验辅助教学，使大量的重复性实验在课堂短时间内快捷完成，使探究活动简洁精准，生动形象短时间内快捷完成，使探究活动简洁精准，生动形象 （3 3）注重学生的合作交流活动，鼓励学生积极主动的动手操作、）注重学生的合作交流活动，鼓励学生积极主动的动手操作、小组讨论，向学伴解释自己的想法，谦虚听取他人的意见，借助别人的小组讨论，向学伴解释自己
46、的想法，谦虚听取他人的意见，借助别人的试验成果，丰富完善学生的认知过程，在团队合作学习中去粗取精，形试验成果，丰富完善学生的认知过程，在团队合作学习中去粗取精，形成共识成共识 五、难点分析及突破策略五、难点分析及突破策略难点之难点之五：利用树状图和列表法求随机事件发生的概率五：利用树状图和列表法求随机事件发生的概率 成因诊断：成因诊断：用树状图和列表法求概率，各种结果出现的可能性务用树状图和列表法求概率，各种结果出现的可能性务必相同，并且在考虑所有可能的情况时，必须不重不漏必相同，并且在考虑所有可能的情况时，必须不重不漏但对于某些现实问题，原始状态未必恰好各结果机会均等，但对于某些现实问题，原
47、始状态未必恰好各结果机会均等，另外对于较为复杂的试验情形或不同的语言表述，也容易另外对于较为复杂的试验情形或不同的语言表述，也容易使学生出现疏忽遗漏学生的认知结构缺乏相应的经验，使学生出现疏忽遗漏学生的认知结构缺乏相应的经验，思维的不成熟和急于求成的心理特点往往思维的不成熟和急于求成的心理特点往往“想当然想当然”而出而出错，使得用树状图和列表法求概率成为学习的难点错，使得用树状图和列表法求概率成为学习的难点 五、难点分析及突破策略五、难点分析及突破策略难点之难点之五：利用树状图和列表法求随机事件发生的概率五：利用树状图和列表法求随机事件发生的概率 破解对策：破解对策：让学生经历两步试验的全过程
48、，真实列举结果的让学生经历两步试验的全过程，真实列举结果的各种可能，充分交流，相互评价，允许争议，消除错误各种可能，充分交流，相互评价，允许争议，消除错误认识，弥补思维欠缺，在反复训练中积累经验、树立信认识，弥补思维欠缺，在反复训练中积累经验、树立信心心 六、概率的计算六、概率的计算概率计算概率计算列举法列举法用频率估计概率用频率估计概率试验结果很少试验结果很少画树形图画树形图列列 表表直接列举直接列举两步试验两步试验三步及以上三步及以上结果无限或发生可能性不相等结果无限或发生可能性不相等六、概率的计算六、概率的计算列举法列举法 1、应用条件：必须是等可能事件、应用条件：必须是等可能事件(古典
49、概型古典概型)一次试验中，各种结果发生的可能性相等一次试验中，各种结果发生的可能性相等一次试验中，可能出现的结果有限多个一次试验中，可能出现的结果有限多个古典概型古典概型六、概率的计算六、概率的计算列举法列举法 2、计算公式：、计算公式：事件事件A发生的可能种数发生的可能种数试验的总共可能种数试验的总共可能种数六、概率的计算六、概率的计算3、类型、类型（1）、直接列举：）、直接列举：适用于试验结果不多的情况适用于试验结果不多的情况 例例1 1、掷一个骰子，观察向上的一面的点数，求下列事件、掷一个骰子，观察向上的一面的点数，求下列事件的概率：的概率：（1 1）点数为）点数为2 2；（；（2 2）
50、点数为奇数（）点数为奇数（3 3）点数大于）点数大于2 2且小于且小于5 5 列举法列举法 六、概率的计算六、概率的计算 例例3 3、把只有颜色不同的、把只有颜色不同的1 1个红球和个红球和2 2个白球装入一个不个白球装入一个不透明的口袋里搅匀，从中随机地一次摸出透明的口袋里搅匀，从中随机地一次摸出2 2个球，得个球，得1 1红球红球1 1白球的概率为白球的概率为 .列举法列举法 一一列举：红白一一列举：红白1 1；红白；红白2 2；白；白1 1白白2 2；例例2 2、掷两枚硬币，求下列事件的概率：、掷两枚硬币，求下列事件的概率：（1 1）两枚硬币全部正面朝上；（）两枚硬币全部正面朝上；（2