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1、有理数 一、有理数的分类 整数：正整数、0、负整数统称为整数；分数：正分数和负分数统称为分数；有理数：整数和分数统称为有理数；注意：0 既不是正数，也不是负数 二、数轴 三要素：原点、正方向、单位长度 1、包含三个内容：第一是数轴是一条直线，可以向两方无限延伸；第二是数轴的三要素原点、正方向、单位长度，缺一不可；第三是原点的选定、正方向的取向、单位长度的确定都是规定的，通常取向右为正方向 所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的不都是有理数 2、数轴的画法（1）画直线（一般画水平的）；（2）在直线上取一点定为原点“0”（在原点下方标上“0”）；（3）取原点向右的方向为正方向，并
2、用箭头表示出来；（4）选取适当的长度作为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示 1，2，3，4，从原点向左，每隔一个单位长度取一点依次表示为1，2，3，零用原点表示如图：三、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数（1）代数意义：只有符号不同的两个数叫互为相反数，其中一个数叫另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数零的相反数是零（2）几何意义：在数轴上的原点两旁，离原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数.（3）性质：互为相反数的和为 0，即 a b 0a、b 两数互为相反数.（4）符号：在一个数前面加“”号表示这个数的相反数，如数 a 的相反数是 a.强调：“只有符号不同的
3、两个数”中的“只有”指的是除了符号不同以外完全相同 不能理解为只要符号不同的两个数就是互为相反数 除零外的两个相反数在数轴上，位于原点的两侧，且到原点的距离相等，即一个正数的相反数是一个负数；一个负数的相反数是一个正数；0 的相反数仍是0 四、绝对值的意义：一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作|a|绝对值的几何意义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离.数 a 的绝对值记作|a|.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0.注意：取绝对值也是一种运算，运算符号是“|”，求一个数的绝对值，就是
4、根据性质去掉绝对值符号.五、绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0.绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或 0.如果若干个非负数的和为 0，那么这若干个非负数都必为 0.例如：若|a|b|c|0，则 a 0，b 0，c 0.任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5 符号是负号，绝对值是 5.非负数的绝对值等于它本身；非正数的绝对值等于它的相反数 正数 0负数（1）一个数的绝对值越大，表示这个数在数轴上表示的点离原点越远（2）两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的反而小 有理数大小比较小结：能化简的先化简,然后按照有
5、理数大小比较法则进行比较：异号两数比较大小，负数总是小于正数；两正数比较大小：绝对值大的数大于绝对值小的数；两负数比较大小：绝对值大的反而小；负数小于零；零小于正数.六、有理数的加法法则 1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3、互为相反数的两个数的和为 0；4、任何数同零相加都等于它本身 七、有理数加法运算律 1、交换律：a b b a；2、结合律：（a b）c a（b c）.1有理数的加减法可统一成加法 加减法统一成加法算式，按减法法则减去一个数可写成加上它们的相反数，这样便把加减法统一成
6、加法算式几个正数或负数的和称为代数和 2因为有理数加减法可统一成加法，所以在加减运算时，适当运用加法运算律，把正数与负数分别相加，可使运算简便但要注意交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换 3、有理数加减混合运算的方法和步骤（1）将有理数加减法统一成加法，然后省略括号和加号（2）运用加法法则、加法运算律进行简便运算 4、有理数加减混合运算的技巧方法（1）把正数、负数分别相加（2）把和为零或整数的分别相加（3）把整数、分数分别相加（4）把同分母的、易通分的分数分别相加 八、有理数的乘法法则（1）同号得正；（2）异号得负；（3）n 个数相乘，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶
7、数个时，积为正；（4）任何数同 0 相乘，都得 0；（5）互为倒数的两个数乘积为 1 九、有理数乘法的运算律(1)乘法交换律：两个数相乘,交换因数的位置,积不变.即：ab ba.(2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘或先把后两个数相乘，积不变.即：(ab)c a(bc).(3)分配律：一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.即：a(b c)ab ac.有理数的除法法则 除法是已知两个因数的积及其中一个因数，求另一个因数的运算.1、除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，可以表示成：a b=a，其中 b 0 2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相
8、除 0 除以任何不等于 0 的数都得 0 3、0 不能作除数 乘积为 1 的两个有理数互为倒数.正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0 没有倒数.注意：(1)0 没有倒数.(2)互为倒数的两数为同号.十、有理数的加减乘除混合运算 1、在带有括号的运算中，先算小括号，再算中括号，最后算大括号 2、在没有括号的不同级运算中，先算乘方再算乘除，最后算加减，注意运算律 3、合理运用运算律 合理运用运算律是提高有理数运算能力的基本保证，在运用时，首先要搞清楚各种运算律的名称和使用的方法.(1)加法交换律和结合律通常在加、减运算中同时使用，交换的目的在于结合，结合时一般是按正负结合，按相反数结合，总之，将
9、容易计算的数进行结合.(2)乘法交换律和结合律通常在乘、除运算中使用，交换的目的同样是为了结合，结合时一般将能约分的数结合.(3)分配律是乘法对加法的分配，它既可以正用(即 a(b c)ab ac)，也可以逆用(即 ab ac a(bc)，要特别注意除法对加法没有分配律，不要出现 12(4 3)12 4 12 3 3 4 7 的错误.4、含多重括号时，要注意灵活去括号，没必要墨守成规，总是先去小括号，再去中括号，最后去大括号，也可以先去大括号，再去小括号 有理数的加减乘除混合运算，应按照“先乘除，后加减”的顺序进行若有括号，则应先计算括号内的数 十一、有理数的乘方 一般地，n 个相同的因数 a
10、 相乘，即，记作 an，读作 a 的 n 次方 求 n 个相同的因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在 an 中，a 叫做底数，n 叫做指数，当 an 看作 a 的 n 次方的结果时，也可以读作 a 的 n 次幂.无限延伸第二是数轴的三要素原点正方向单位长度缺一不可第三是原点的选定正方向的取向单位长度的确定都是规定 直线一般画水平的在直线上取一点定为原点在原点下方标上取原点向右的方向为正方向并用箭头表示出来选取适当的 零用原点表示如图三相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数其中 幂的读法，关键是分清底数和指数如 24 读作“2 的四次方的相反数
11、”或“2 的四次幂的相反数”，不能读作“2 的四次方”或“2 的四次幂”.注意：一个数可以看作这个数本身的一次方，指数 1 通常省略不写 十二、乘方的性质 正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数 0 的任何正整数次幂都是 0.注意：负数的乘方，在书写时一定要把整个负数（连同负号）用小括号括起来，分数的乘方，在书写时，也应加小括号 如不加括号则表达的是另外一个意义.十三、有理数的混合运算的运算顺序 1、先乘方，再乘除，最后加减；2、同级运算，从左到右进行；3、如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行.注意：加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第
12、二级运算；乘方和开方(今后将会学到)叫做第三级运算。可以应用运算律，适当改变运算顺序，使运算简便 有理数的运算律：加法交换律：a b b a；加法结合律：(a b)c a(b c)；乘法交换律：ab ba；乘法结合律：(ab)c a(bc)；乘法分配律：a(b c)ab ac 有理数的混合运算的关键是运算的顺序，运算法则和性质，为此，必须进一步对加、减、乘、除、乘方运算法则和性质的理解与强化，熟练掌握，在此基础上对其运算顺序也应熟知，在运算过程中，始终遵循四个方面：一是运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算.为了提高运算适度，要灵活运用运算律，还要能创造条件利用运算律，如拆数，移动小
13、数点等，对于复杂的有理数运算，要善于观察，分析，类比与联想，从中找出规律，再运用运算律进行计算，至此，便可在有理数的混合运算中稳操胜劵 十四、科学记数法 1、把一个大于 10 的数表示成 a 10n 的形式（其中 a是整数数位只有一位的数，n 是正整数），叫科学记数法 2、近似数：接近真实数值的一个数 产生近似数的主要原因：“计算”产生近似数如除不尽，有圆周率参加计算的结果等等；用测量工具测出的量一般都是近似数，如长度、重量、时间等等；不容易得到，或不可能得到准确数时，只能得到近似数，如人口普查的结果，就只能是一个近似数；由于不必要知道准确数而产生近似数 3、有效数字：从一个数的从左边起第一个
14、不是 0 的数字起，到它的末位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字 对于用科学记数法表示的数 a 10n，规定它的有效数字就是 a 中的有效数字 在使用和确定近似数时要特别注意：（1）一个近似数的位数与精确度有关，不能随意添上或去掉末位的零（2）确定有效数字时一定要弄清起始位置和终止位置，初学时可分别做上记号，以免出错（3）求精确到某一位的近似值时，只需把下一位的数四舍五入，而不看后面各数位上的数的大小 整式 一、单项式：（1）由数与字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；（2）单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；（3）单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
15、二、多项式：（1）几个单项式的和叫做多项式；（2）多项式中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；（3）多项式里次数：最高项的次数，叫做多项式的次数.3、整式：单项式和多项式统称为整式.在多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项.注意：（1）判断几个单项式(或多项式中的项)是否是同类项有两个条件：所含字母相同；相同字母的指数分别相同，同时具备这两个条件者是同类项，二者缺一不可（2）同类项与系数无关，与字母的排列无关（3）常数项都是同类项 三、合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类无限延伸第二是数轴的三要素原点正方向单位长度缺
16、一不可第三是原点的选定正方向的取向单位长度的确定都是规定 直线一般画水平的在直线上取一点定为原点在原点下方标上取原点向右的方向为正方向并用箭头表示出来选取适当的 零用原点表示如图三相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数其中项.合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为结果的系数，字母和字母的指数不变 注意：只能把同类项合并成一项，不是同类项不能合并；如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为 0；只要不再有同类项，就是最后结果，结果可能是单项式，也可能是多项式 四、去括号 1、如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内每一项的符号与原
17、来的符号相同.2、如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内每一项的符号与原来的符号相反.3、（1）a（b c）=a b c；（2）a（b c）=abac.4、去多重括号 含有多重括号的多项式，去括号的一般方法是由内到外，即依次去掉小、中、大括号也可由外到内去括号：去大括号时，把中括号看成一项；去中括号时，把小括号看成一项；最后去小括号不论用哪种方法，都要边去括号边合并同类项 注意问题：1、要注意括号前面的符号，它是去括号后括号内各项是否变号的依据.2、去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉.3、要注意，括号前面是“”时，去掉括号后，括号内的各项均要改变符号，不能只改变括号内第一项或前几项的符
18、号，而忘记改变其余的符号.4、若括号前是数字因数时，应利用乘法分配律先将数与括号内的各项分别相乘再去括号，以免发生错误.5、遇到多层括号一般由里到外，逐层去括号，也可由外到里.数符号-的个数确定结果的符号.6、乘除法去括号法则的依据实际是乘法分配律中的一种 五、整式加减 计算整式的运算顺序是先去括号，再合并同类项.1、整式的加减，实质上就是去括号和合并同类项 整式加减运算的一般步骤是：（1）根据去括号法则去掉括号；（2）准确找出同类项，按照合并同类项法则合并同类项 2、求多项式的值时，一般先合并同类项，再求值 3、需要注意的几个问题 整式（既单项式和多项式）中，分母一律不能含有字母 不是字母，
19、而是一个数字，多项式相加（减）时，必须用括号把多项式括起来，才能进行计算 去括号时，要特别注意括号前面的因数 4、数学思想方法（1）整体思想：整体的思想方法就是将一些相互联系的量作为整体来处理的思维方法。它在代数式的化简与求值时是经常用到的（2）转化思想：就是要把所要解决的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题。在本章中，整式加减的实质是去括号，合并同类项。合并同类项是把同类项的系数相加减，而字母和字母的指数保持不变，因此，整式的加减最终要转化成数的加减来解决（3）数式通性思想：整式的加减是建立在数的运算的基础上的，数的运算性质对于式的运算也同样适用，这种数式通性的思想，可以帮助我们加深对整式加减的理解 无限延伸第二是数轴的三要素原点正方向单位长度缺一不可第三是原点的选定正方向的取向单位长度的确定都是规定 直线一般画水平的在直线上取一点定为原点在原点下方标上取原点向右的方向为正方向并用箭头表示出来选取适当的 零用原点表示如图三相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数其中