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1、2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【知识提炼知识提炼】1.1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设向量设向量a=(x=(x1 1，y y1 1)，b=(x=(x2 2，y y2 2)，a与与b的夹角为的夹角为.数量积数量积两个向量的数量积等于两个向量的数量积等于_即：即：ab=_=_向量垂直向量垂直ab_它们对应坐标的乘积的和它们对应坐标的乘积的和.x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0=02.2.与向量的模、夹角相关的三个重要公式与向量的模、夹角相关的三个重要公式(1)(1)向量
2、的模：设向量的模：设a=(x=(x，y)y)，则，则|a|=_.|=_.(2)(2)两点间的距离公式：若两点间的距离公式：若A(xA(x1 1，y y1 1)，B(xB(x2 2，y y2 2)，则，则|=|=_._.(3)(3)向量的夹角公式：设两非零向量向量的夹角公式：设两非零向量a=(x=(x1 1，y y1 1)，b=(x=(x2 2，y y2 2)，a与与b的夹角为的夹角为，则则cos=_.cos=_.【即时小测即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题.(1)(1)向量向量a=(x=(x1 1，y y1 1)，b=(x=(x2 2，y y2 2)的数量积仍是向量，其坐标为的数量积仍
3、是向量，其坐标为(x(x1 1x x2 2，y y1 1y y2 2)对吗？对吗？提示：提示：不对不对.向量向量a=(x=(x1 1，y y1 1)，b=(x=(x2 2，y y2 2)的数量积为实数，其值为的数量积为实数，其值为x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2.(2)(2)向量向量a=(x=(x1 1，y y1 1)，b=(x=(x2 2，y y2 2)，则向量，则向量a在向量在向量b方向上的投影能用方向上的投影能用a，b的坐标表示吗？的坐标表示吗？提示：提示：能能.向量向量a在向量在向量b方向上的投影为方向上的投影为|a|cos|cos(为向量为向量a与与b的的夹角夹角)
4、，而，而coscos=，所以，所以|a|cos|cos=2.2.已知已知a=(-3=(-3，4)4)，b=(5=(5，2)2)，则，则ab的值是的值是()A.23A.23B.7B.7C.-23C.-23D.-7D.-7【解析解析】选选D.D.由数量积的计算由数量积的计算公式，公式，ab=(-3=(-3，4)4)(5(5，2)=2)=-3-35+45+42=-7.2=-7.3.3.已知向量已知向量a=(x-5=(x-5，3)3)，b=(2=(2，x)x)，且，且ab，则由，则由x x的值构成的集合是的值构成的集合是()A.2A.2，33B.-1B.-1，66C.2C.2D.6D.6【解析解析】选
5、选C.C.因为因为a=(x-5=(x-5，3)3)，b=(2=(2，x)x)，又又ab，所以，所以ab=2(x-5)+3x=0=2(x-5)+3x=0，解得，解得x=2x=2，则由，则由x x的值构成的集合是的值构成的集合是2.2.4.4.已知已知a=(1=(1，)，b=(-2=(-2，0)0)，则，则|a+b|=_.|=_.【解析解析】因为因为a+b=(-1=(-1，)，所以所以|a+b|=|=答案：答案：2 25.5.a=(-4=(-4，3)3)，b=(1=(1，2)2)，则，则2|2|a|2 2-3-3ab=_.=_.【解析解析】因为因为a=(-4=(-4，3)3)，所以所以2|2|a|
6、2 2=ab=-4=-41+31+32=2.2=2.所以所以2|2|a|2 2-3-3ab=50-3=50-32=44.2=44.答案：答案：44 44【知识探究知识探究】知识点知识点1 1 平面向量数量积及模的表示平面向量数量积及模的表示观察如图所示内容，回答下列问题：观察如图所示内容，回答下列问题：问题问题1 1：向量的数量积的坐标公式适用于任何两个向量吗？：向量的数量积的坐标公式适用于任何两个向量吗？问题问题2 2：向量的模的坐标表示可以解决哪些问题？：向量的模的坐标表示可以解决哪些问题？【总结提升总结提升】1.1.数量积坐标表示的作用及记忆口诀数量积坐标表示的作用及记忆口诀(1)(1)
7、作用：数量积的坐标表示的实质是用向量的坐标计算数量积的一个公式；它实现了向量作用：数量积的坐标表示的实质是用向量的坐标计算数量积的一个公式；它实现了向量的数量积的运算与两向量的坐标的运算的转化，从而将它们联系起来的数量积的运算与两向量的坐标的运算的转化，从而将它们联系起来.(2)(2)记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和对应相乘计算和”.2.2.向量的模的坐标运算的实质向量的模的坐标运算的实质向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如离，如a=(x=(x，y)y)
8、，则在平面直角坐标系中，一定存在点，则在平面直角坐标系中，一定存在点A(xA(x，y)y)，使，使得得 =a=(x=(x，y)y)，所以，所以|=|=|a|=|=，即，即|a|为点为点A A到原点的距离到原点的距离.同样若同样若A(xA(x1 1，y y1 1)，B(xB(x2 2，y y2 2)，则，则 =(x=(x2 2-x-x1 1，y y2 2-y-y1 1)，所以，所以|=|=即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式.由由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算.知
9、识点知识点2 2 向量垂直、夹角余弦值的坐标表示向量垂直、夹角余弦值的坐标表示观察如图所示内容，回答下列问题：观察如图所示内容，回答下列问题：问题问题1 1：两个向量夹角公式的条件是什么？：两个向量夹角公式的条件是什么？问题问题2 2：两个向量的数量积和两个向量夹角的余弦值有何关系？：两个向量的数量积和两个向量夹角的余弦值有何关系？问题问题3 3：两个向量垂直条件与平行条件的运算有何区别？：两个向量垂直条件与平行条件的运算有何区别？【总结提升总结提升】1.1.向量垂直的坐标表示向量垂直的坐标表示(1)(1)记忆口诀和注意问题记忆口诀和注意问题注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平行的条件不要
10、混淆，注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平行的条件不要混淆，“abx x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0”=0”可可简记为简记为“对应相乘和为对应相乘和为0”0”；“abx x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0”=0”可简记为可简记为“交叉相乘差为交叉相乘差为0”.0”.(2)(2)可以解决的问题可以解决的问题应用公式可解决向量垂直，两条直线互相垂直等问题应用公式可解决向量垂直，两条直线互相垂直等问题.2.2.平面向量夹角的余弦公式的应用条件及使用策略平面向量夹角的余弦公式的应用条件及使用策略(1)(1)应用条件应用条件已知两个非零向量的坐标，可以利用该公式求
11、得夹角的余弦值已知两个非零向量的坐标，可以利用该公式求得夹角的余弦值.(2)(2)在不同表示形式下求向量夹角的策略在不同表示形式下求向量夹角的策略当当a，b是非坐标形式时，求是非坐标形式时，求a与与b的夹角，需求出的夹角，需求出ab，|a|和和|b|或直接得出它们之间的关或直接得出它们之间的关系系.若若a，b是坐标形式，则可直接利用公式是坐标形式，则可直接利用公式cos=cos=求解求解.【题型探究题型探究】类型一类型一 平面向量数量积的坐标运算平面向量数量积的坐标运算【典例典例】1.(20151.(2015三明高一检测三明高一检测)已知向量已知向量a=(2=(2，1)1)，b=(x=(x，2
12、)2)，且且ab=1=1，则，则x x的值为的值为()A.-A.-B.B.C.-1C.-1D.1D.12.2.已知向量已知向量a=(1=(1，3)3)，b=(2=(2，5)5)，c=(2=(2，1)1)，求，求(1)2(1)2a(b-a).).(2)(2)(a+2+2b)c.(3)(3)a(bc).).【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，利用哪个条件建立关于中，利用哪个条件建立关于x x的方程？的方程？提示：提示：根据根据ab=1=1建立关于建立关于x x的方程的方程.2.2.典例典例2 2中，向量数量积的运算满足哪些运算律？中，向量数量积的运算满足哪些运算律？提示：提示：向量数量积
13、的运算满足数乘结合律向量数量积的运算满足数乘结合律(a)b=(=(ab)=a(b)；满足分配律；满足分配律(a+b)c=ac+bc.【解析解析】1.1.选选A.A.因为因为a=(2=(2，1)1)，b=(x=(x，2)2)，所以，所以ab=2x+1=2x+12=12=1，解得解得x=-.x=-.2.(1)2.(1)方法一：方法一：2 2a=2(1=2(1，3)=(23)=(2，6)6)，b-a=(2=(2，5)-(15)-(1，3)=(13)=(1，2)2)，所以所以2 2a(b-a)=(2)=(2，6)6)(1(1，2)=22)=21+61+62=14.2=14.方法二：方法二：2 2a(b
14、-a)=2)=2ab-2-2a2 2=2(1=2(12+32+35)-2(1+9)=14.5)-2(1+9)=14.(2)(2)方法一：方法一：a+2+2b=(1=(1，3)+2(23)+2(2，5)=(15)=(1，3)+(43)+(4，10)=(510)=(5，13)13)，(a+2+2b)c=(5=(5，13)13)(2(2，1)=51)=52+132+131=23.1=23.方法二：方法二：(a+2+2b)c=ac+2+2bc=1=12+32+31+2(21+2(22+52+51)=23.1)=23.(3)(3)因为因为bc=2=22+52+51=91=9，所以所以a(bc)=9)=9
15、a=9(1=9(1，3)=(93)=(9，27).27).【方法技巧方法技巧】数量积运算的途径及注意点数量积运算的途径及注意点(1)(1)两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算算律将原式展开，再依据已知计算.(2)(2)注意点：对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，注意把握图形特征，并写出相应注意点：对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，注意把握图形特征，并写出相应点的坐标即可求解点的坐标即可求解.【变式训练变式训练】已知已知a=(2=(2，-1)
16、-1)，b=(3=(3，-2)-2)，则，则(3(3a-b)()(a-2-2b)=_.=_.【解析解析】因为因为ab=2=23+(-1)3+(-1)(-2)=8(-2)=8，a2 2=2=22 2+(-1)+(-1)2 2=5=5，b2 2=3=32 2+(-2)+(-2)2 2=13=13，所以所以(3(3a-b)(a-2-2b)=3)=3a2 2-7-7ab+2+2b2 2=3=35-75-78+28+213=-15.13=-15.答案：答案：-15-15【一题多解一题多解】本题还可以采用以下方法：本题还可以采用以下方法：因为因为a=(2=(2，-1)-1)，b=(3=(3，-2)-2)，
17、所以所以3 3a-b=(6=(6，-3)-(3-3)-(3，-2)=(3-2)=(3，-1)-1)，a-2-2b=(2=(2，-1)-(6-1)-(6，-4)=(-4-4)=(-4，3).3).所以所以(3(3a-b)(a-2-2b)=3)=3(-4)+(-1)(-4)+(-1)3 3=-15.=-15.答案：答案：-15-15类型二类型二 向量的模的问题向量的模的问题【典例典例】1.(20151.(2015石家庄高一检测石家庄高一检测)设设xRxR，向量，向量a=(x=(x，1)1)，b=(1=(1，-2)-2)，且且ab，则，则|a+b|=(|=()2.2.若向量若向量a的始点的始点A(-
18、2A(-2，4)4)，终点，终点B(2B(2，1)1)，求，求(1)(1)a的模的模.(2)(2)与向量与向量a平行的单位向量的坐标平行的单位向量的坐标.(3)(3)与向量与向量a垂直的单位向量的坐标垂直的单位向量的坐标.【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中如何求中如何求x x的值？向量的模的坐标表达式是什么？的值？向量的模的坐标表达式是什么？提示：提示：由由ab利用向量共线的坐标表示求利用向量共线的坐标表示求x x的值的值.向量向量a=(x=(x，y)y)的模为的模为|a|=|=2.2.典例典例2 2中与向量中与向量a平行的单位向量是什么？与向量平行的单位向量是什么？与向量a垂直的单
19、位向量可垂直的单位向量可以表示成什么？以表示成什么？提示：提示：与向量与向量a平行的单位向量是平行的单位向量是 ，与向量，与向量a垂直的单位向量可以垂直的单位向量可以表示为表示为ae=0.=0.【解析解析】1.1.选选B.B.因为因为a=(x=(x，1)1)，b=(1=(1，-2)-2)，且，且ab，所以所以-2x-1-2x-11=01=0，解得，解得x=-.x=-.所以所以 2.(1)2.(1)因为因为a=(2=(2，1)-(-21)-(-2，4)=(44)=(4，-3)-3)，所以，所以|a|=|=(2)(2)与向量与向量a平行的单位向量是平行的单位向量是 (4 (4，-3)-3)，即坐标
20、为，即坐标为或或(3)(3)与向量与向量a垂直的单位向量为垂直的单位向量为e=(x=(x，y)y)，则，则ae=4x-3y=0=4x-3y=0，所以，所以又因为又因为|e|=1|=1，所以，所以x x2 2+y+y2 2=1=1，联立，联立 解得解得 或或所以坐标为所以坐标为【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件变换条件)若将典例若将典例1 1中条件中条件“ab”变为变为“ab”，结论如何？，结论如何？【解析解析】因为因为ab，所以，所以ab=0=0，即，即x-2=0.x-2=0.所以所以x=2x=2，所以，所以a=(2=(2，1)1)，所以，所以a2 2=5.=5.又因为又因为b2 2=5
21、=5，所以所以 2.(2.(改变问法改变问法)若典例若典例1 1中条件不变，求中条件不变，求|2|2a-3-3b|的值？的值？【解析解析】2 2a-3-3b=(-1=(-1，2)-(32)-(3，-6)=(-4-6)=(-4，8)8)所以所以|2|2a-3-3b|=|=【方法技巧方法技巧】求向量的模的两种基本策略求向量的模的两种基本策略(1)(1)字母表示下的运算：利用字母表示下的运算：利用|a|2 2=a2 2将向量的模的运算转化为向量与将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题向量的数量积的问题.(2)(2)坐标表示下的运算：若坐标表示下的运算：若a=(x=(x，y)y)，aa=a2
22、2=x=x2 2+y+y2 2，于是有，于是有|a|=|=【补偿训练补偿训练】已知已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足满足(a-c)()(b-c)=0)=0，则，则|c|的最大值是的最大值是()A.1A.1B.2B.2C.C.D.D.【解析解析】因为因为|a|=|=|b|=1|=1，ab=0=0，展开，展开(a-c)(b-c)=0)=0后得后得|c|2 2=c(a+b)，由于，由于a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，故是平面内两个互相垂直的单位向量，故|a+b|=|=，设，设=，则，则|c|2 2=c(a+b)=|)=|c|a+b|co
23、s|cos，当当|c|0|0时，时，|c|=|=|a+b|cos=cos cos=cos ，故，故|c|的最大值是的最大值是 .类型三类型三 向量的夹角和垂直问题向量的夹角和垂直问题【典例典例】1.(20151.(2015长春高一检测长春高一检测)已知已知a=(1=(1，)，b=(+1=(+1，-1)-1)，则则a与与b的夹角为的夹角为_._.2.2.已知三个点已知三个点A A，B B，C C的坐标分别为的坐标分别为(3(3，-4)-4)、(6(6，-3)-3)、(5-m(5-m，-3-m)-3-m)，若若ABCABC为直角三角形，且为直角三角形，且A A为直角，实数为直角，实数m m的值为的
24、值为_._.3.3.已知已知|a|=1|=1，ab=，(a-b)()(a+b)=)=，求：，求：a与与b的夹角；的夹角；a-b与与a+b的夹角的余弦值的夹角的余弦值.【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，如何求中，如何求a与与b的夹角？的夹角？提示提示：利用利用cos=cos=2.2.典例典例2 2中中A A为直角得出什么样的结论？为直角得出什么样的结论？提示：提示：由由A A为直角，得出为直角，得出 即即3.3.典例典例3 3中解决本题的关键是什么？中解决本题的关键是什么？提示：提示：关键是求关键是求|b|，|a-b|和和|a+b|的值，然后运用夹角公式求解的值，然后运用夹角公式求解
25、【解析解析】1.1.由由a=(1=(1，)，b=(+1=(+1，-1)-1)，得，得ab=+1+=+1+(-1)=4(-1)=4，|a|=2|=2，|b|=2 .|=2 .设设a与与b的夹角为的夹角为，则，则cos=cos=又又00，所以，所以=.=.答案：答案：2.2.由已知，得由已知，得 =(3=(3，1)1)，=(2-m =(2-m，1-m)1-m)因为因为ABCABC为直角三角形，且为直角三角形，且A A为直角，为直角，所以所以 所以所以 =3(2-m)+(1-m)=0=3(2-m)+(1-m)=0，解得解得m=.m=.答案：答案：3.3.因为因为(a-b)(a+b)=|)=|a|2
26、2-|-|b|2 2=，又因为又因为|a|=1|=1，所以，所以|b|=|=设设a与与b的夹角为的夹角为，则，则cos=cos=所以所以=45=45.即即a与与b的夹角为的夹角为4545.因为因为(a-b)2 2=a2 2-2-2ab+b2 2=所以所以|a-b|=.|=.因为因为(a+b)2 2=a2 2+2+2ab+b2 2=所以所以|a+b|=|=设设a-b与与a+b的夹角为的夹角为，则则coscos=所以所以coscos=.=.即即(a-b)与与(a+b)的夹角的余弦值为的夹角的余弦值为 .【延伸探究延伸探究】典例典例2 2中若把条件中的中若把条件中的“A A为直角为直角”去掉，结果如
27、何？去掉，结果如何？【解析解析】由已知得由已知得 =(3=(3，1)1)，=(2-m=(2-m，1-m)1-m)，=(-1-m=(-1-m，-m)-m)，由由ABCABC为直角三角形，则当为直角三角形，则当A A为直角时，由原题得为直角时，由原题得m=.m=.当当B B为直角时，为直角时，则则 =3(-1-m)-m=0=3(-1-m)-m=0，得，得m=-.m=-.当当C C为直角时，为直角时，则则 =(2-m)(-1-m)+(1-m)(-m)=0=(2-m)(-1-m)+(1-m)(-m)=0，即即m m2 2-m-1=0-m-1=0，解得，解得m=m=综上知，当综上知，当ABCABC为直角
28、三角形时，为直角三角形时，m m的值为的值为【方法技巧方法技巧】解决向量夹角问题的方法及注意事项解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)(1)求解方法：先利用平面向量的坐标表示出这两个向量的数量积求解方法：先利用平面向量的坐标表示出这两个向量的数量积ab及及|a|b|，再由，再由cos=cos=直接求出直接求出cos.cos.(2)(2)注意事项：利用三角函数值注意事项：利用三角函数值cos cos 求求的值时，应注意角的值时，应注意角的取值的取值范围是范围是0180.0180.利用利用cos=cos=判断判断的值时，要注意的值时，要注意cos 0cos 0cos 0时，也有两种情况：一是时，也
29、有两种情况：一是是锐角，二是是锐角，二是为为0.0.【变式训练变式训练】(2014(2014湖北高考湖北高考)设向量设向量a=(3=(3，3)3)，b=(1=(1，-1)-1)，若，若(a+b)()(a-b)，则实数，则实数=_.=_.【解析解析】因为因为a+b=(3+=(3+，3-)3-)，a-b=(3-=(3-，3+)3+)，因为因为(a+b)()(a-b)，所以所以(3+)(3-)+(3-)(3+)=0(3+)(3-)+(3-)(3+)=0，解得解得=3.3.答案：答案：3 3【误区警示误区警示】解题时要明确知道解题时要明确知道(a+b)()(a-b)的充要条件是的充要条件是(a+b)(
30、)(a-b)=0)=0，不要，不要与向量平行的充要条件弄混与向量平行的充要条件弄混.【补偿训练补偿训练】1.1.a，b为平面向量，已知为平面向量，已知a=(4=(4，3)3)，2 2a+b=(3=(3，18)18)，则，则a，b夹角的余弦值等于夹角的余弦值等于()【解析解析】选选C.C.设设b=(x=(x，y)y)，a，b的夹角为的夹角为，则，则2 2a+b=(8+x=(8+x，6+y)6+y)=(3=(3，18)18)，解得，解得x=-5x=-5，y=12y=12，故故b=(-5=(-5，12).12).由由cos=cos=2.2.已知已知A(2A(2，1)1)，B(3B(3，2)2)，C(
31、-1C(-1，5)5)，求证，求证ABCABC是锐角三角形是锐角三角形.【解题指南解题指南】ABCABC是锐角三角形，即三个内角都是锐角，分别求出相应向量夹角的余弦值，是锐角三角形，即三个内角都是锐角，分别求出相应向量夹角的余弦值，确定该三角形三个内角的余弦值均大于确定该三角形三个内角的余弦值均大于0 0即可即可.【证明证明】由条件得由条件得 =(1=(1，1)1)，=(-4=(-4，3)3)，=(3=(3，-4)-4)，因为因为 =-4+3=-10=-4+3=-10cosAPB0，及，及APB0APB0.(2)(2)要求要求 的值，只需由的值，只需由 及及 求出求出P P，Q Q两点的坐标两
32、点的坐标.【规范解答规范解答】(1)(1)因为因为P(xP(x，x-1)x-1)，(2)(2)因为四边形因为四边形ABPQABPQ为菱形，为菱形，【题后悟道题后悟道】1.1.注意函数与方程思想的应用注意函数与方程思想的应用解答向量坐标运算问题时，要注意函数、方程有关知识的应用解答向量坐标运算问题时，要注意函数、方程有关知识的应用.如本如本例中，例中，=2x =2x2 2-2x+2=2(x-2x+2=2(x2 2-x+1)-x+1)，可以用二次函数的知识求最值，可以用二次函数的知识求最值.解方程解方程(x+1)(x-2)-(x-1)x=0(x+1)(x-2)-(x-1)x=0，可以判断两个向量是否共线，可以判断两个向量是否共线.2.2.重视向量及其运算的几何意义的应用重视向量及其运算的几何意义的应用在解答向量问题时，恰当利用向量及其运算的几何意义可以达到建立在解答向量问题时，恰当利用向量及其运算的几何意义可以达到建立向量模型解题的目的向量模型解题的目的.如本例中，由四边形如本例中，由四边形ABPQABPQ为菱形，可推为菱形，可推