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1、第六节第六节 微分中值定理微分中值定理奈涡炙摧棵通且拢哆宵蠢瓶撬绢匈结辖窃峨您冶供蚁歹萝珊挚桨帐障郴央同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节本节要点本节要点 本节主要讨论在微分学中起着重要作用的几个中值定本节主要讨论在微分学中起着重要作用的几个中值定一、费马引理一、费马引理二、罗尔定理二、罗尔定理三、拉格朗日中值定理三、拉格朗日中值定理四、柯西中值定理四、柯西中值定理理理:唉换睁颐俄厨程篓教景吱屯秩蠕摇邑剿察革终位喘溉蔡嘴盾脏样柬窖划冒同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节一、费马引理一、费马引理 首先首先,让我们来观察这样一
2、个几何事实让我们来观察这样一个几何事实.如图所示如图所示:我们看到在曲线弧的最高点我们看到在曲线弧的最高点 或最低点处或最低点处的横坐标为的横坐标为 则有则有连续曲线弧连续曲线弧 是函数是函数 的图形的图形,如如果果曲线有水平切线曲线有水平切线.若记点若记点 中禽哭倚庙窟字河桨廷讯宿痊闷氖痕嚣蜂猩簿综但话咒齐冬牢煎样焙锻爪同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节 进一步观察进一步观察,当当 时时,又看到在曲线弧又看到在曲线弧 上上,至少有一点至少有一点 弧弧 在该点处的切线在该点处的切线 平行于弦平行于弦 由此启发我们考虑这样一个由此启发我们考虑这样一个又切线又
3、切线 的斜率是的斜率是 以以 记记 的横坐的横坐标标,则有则有理论上的问题理论上的问题:设设是否存在是否存在抨婴烙眺成背持克惰唁寒附墒郁离敌狮葡圾迹补秉芦晒谱辞苫锨谱傈娠募同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节使等式使等式成立？下面我们从理论上对这个问题进行讨论成立？下面我们从理论上对这个问题进行讨论.为讨论为讨论方便方便,先引入费马引理先引入费马引理,该引理本身在微分学中也很该引理本身在微分学中也很重重要要.灰泞绑抖蚂伞捶蜒雄碱随夷化这目糠玩索欺亨荔疹申豢汪叮尼仍拾宛胀汰同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节则则:或或证证:
4、不妨设不妨设 时时,有有引理（费马引理）引理（费马引理）设函数设函数 在点在点 的某邻域的某邻域内有定义并在内有定义并在 处可导处可导,若对任意的若对任意的 有有故当故当有有燎好坯毡据理膝拖屹周堵挺弹浩忧往俄慷镍享政黍混乌炼桌抹吱舜古试畸同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节当当 时时,当当 时时,由函数由函数 在点在点 处的可导性及极限的保号性处的可导性及极限的保号性,得得蕴牲裳著挟税蓑峡哭诌滥俩芽趴似杜提猪峨嘱害琶快宽流剥芹乓痹悼洲谷同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节由此得到由此得到 注注 通常称导数为零的点为函数的通
5、常称导数为零的点为函数的驻点驻点.该引理说明该引理说明:可导函数的极值点为驻点可导函数的极值点为驻点.准隆喳敦甩烂学踏真娱堪些等腺瘦遮鞋卡矫蕴颓佳副他雪径挝鳖妹蚁分榨同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节二、罗尔定理二、罗尔定理罗尔定理罗尔定理 设函数设函数 且且证证 因因 故故 必在必在 上取到最大值上取到最大值 与与最小值最小值 若若 有有若若 那么那么 与与 中至少有一个不等于中至少有一个不等于 不妨设不妨设 则存在则存在 使得使得措棋塑俗讶褒医尹晚沃轰芽吃驱那槐煤咳塞坏离苛楼妆敏蚊新纹斩僧便橙同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件
6、第二章第六节注注1 罗尔定理的几何意义罗尔定理的几何意义 因因 故故 由此存在由此存在注注2 罗尔定理的简单表达式罗尔定理的简单表达式使得使得 因因 存在存在,由费马引理由费马引理得得叼淖运介旁段夹谣破泌树楷谩屡江枫厅岗排护劈压坊乘矩栖柑蔚履初做疗同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节例例1 对函数对函数 在区间在区间 上验证罗上验证罗 尔定理的正确性尔定理的正确性.证证 在区间在区间 上上,函数函数 为初等函为初等函数因而连续数因而连续,可导可导.又又条件满足条件满足.因因故定理的结论成立故定理的结论成立.故定理故定理咎瘟还谋此侧倡沾裕辨朴酶庚蛋寂沧攀渝逆丢
7、撑盆卡德馏柞浙杨盅稻戳义同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节从而对函数从而对函数 及区间及区间 罗尔定理是正确的罗尔定理是正确的.耘灰役蛾肠比这揍膳泻曾鬼竟嘿警巍畔参逢判诈兴颗秤榜舍帽厅滴顿局六同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节例例2 设实数设实数 满足方程满足方程证明方程证明方程在区间在区间 中可解中可解.证证 令令实乘淘慰朝双渡腰窿昼指因衔田肯婆供渤莱墓惹岳盾肿都轩抑啡镜识绪肇同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节则则 且且蔷咬巨品勉翟揭摊漠施僳泥攒巡幕玲吕务熙感妥炉淋愁囊锑柜喳铣舵
8、心檀同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节所以由罗尔定理所以由罗尔定理,在区间在区间 中存在中存在 使得使得又又:故方程在所给区间中可解故方程在所给区间中可解.核病橡扣瞻惊睹购脾省畦邻离舱屯肆腋狱屁边胆通庙仙拄缝啼尚疤驱项油同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节三、拉格朗日中值定理三、拉格朗日中值定理证证 为引用罗尔定理为引用罗尔定理,构造函数构造函数拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 设函数设函数 那么至少存在一点那么至少存在一点 使得使得肯遁复瞬喻时板噎央躺阔深颧威蕊租撵觉招捣缝并陛蟹省驴墒己芽悲骡皮同济大学微积分第三版课件
9、第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节则则矗幽渝图黎筋垣案豆与以疤邓投逊泽莉称盲恃疡溯吧入泌灰跳手吧股把掳同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节或或即即且函数且函数 满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件,由此存在由此存在 使得使得征实钧妨释嘿避消盒节具揣茅操谬衔工超字逾鞋石蜂沟痞愈钧屎胸秃载亦同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节注注1 拉格朗日中值定理的几何描述拉格朗日中值定理的几何描述公式公式称为称为微分中值公式微分中值公式.注注2 当当 时时,上式仍然成立上式仍然成立,即即碎俊妻综容懈做娱绎睬愁倒眷寂亿洗湖氯蕉
10、术撤姐度火帖括潘球涩设截稀同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节 3.若若 在区间在区间 中点点可导中点点可导,当当 因而此式更好的给出了因变量的增量的近似刻画因而此式更好的给出了因变量的增量的近似刻画.时时,有有努椰浸浅浚谴戈淹幂肉嗣谈巢戌辈防讳味颓碉糊蕊盂枫淮刽最潮磊杯佛洞同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节例例3 设函数设函数形形,在同一平面上作出过点在同一平面上作出过点 的割线的割线,并作并作割线的斜率为割线的斜率为:为求切点的为求切点的 坐标坐标,求解方程求解方程:所以所以,割线方程割线方程:即即:相应的切线相应的
11、切线.画出曲线在画出曲线在 中的图中的图得得垄棍潞掏筑椅甭蹿棕锐霍森扰知忙咏饭任乞轴枫唁爷棉烬庄福坟揩绩稼遵同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节由此得相应切点坐标由此得相应切点坐标故而切线方程为故而切线方程为:唬邮尚篷医斤挫傈跺窍抹拿熄解萨得黍睹妮有茧巡洋依膊鳞佐恋难收娥棍同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节切线切线割线割线切点切点粗昏蛙爆树俗谗凰越脱蹭潮常词企菊跳羌忆凿镇慕劫盘疡贰彝亚毛虽刨脐同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节注意注意 微分中值定理给出的是微分中值定理给出的是“”的存
12、在性的存在性,而并没有而并没有指出它究竟取哪一个值指出它究竟取哪一个值.对不同的函数对不同的函数,对不同的区间对不同的区间,“”的取值可能是完全不同的的取值可能是完全不同的.这一点这一点,在讨论问题时在讨论问题时特特别要注意别要注意.邑座耐鳞动金娜殆耐缩搞遂雷蔚酋莆辆阎良椒抨阅存镜扳跪贼携员区说焙同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节 我们知道我们知道,若函数为常数若函数为常数,则其导数为零则其导数为零;作为该定理作为该定理在在 内是一个常数内是一个常数.定理定理 如果函数如果函数 在区间在区间 内的导数恒为零内的导数恒为零,那么那么 的应用的应用,我们导出如
13、下事实我们导出如下事实:若函数的导数恒为零若函数的导数恒为零,则则该该函数必为常数函数必为常数.证证 在区间在区间 内任取两点内任取两点 （不妨设（不妨设 ）,则由则由公式公式:丘坎怯牡邓救屑诉冈孵殊钦尼矢糖啪诬虾讲晌罚吞哪聚闽坍碍弱猴属庸缅同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节由条件知由条件知意性意性,得得 为常数为常数.由由 的任的任迅韵百桐拈龄悟咎砖马纸缴勺协峻汕衅踪蹄蒜卯康滥涝棺氮柯褂晕沂腺萄同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节因因因此因此例例4 证明证明:当当 时时,有有证证 取取 ,则在区间则在区间 中中,满满足
14、定理的条件足定理的条件,因而有因而有因而上式为因而上式为鸳时娜迹糟疼脂杯剑戊似卉棒孜溺萨毗剖瘫揣青咕例债嫌岂免毖悉钝理陌同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节代入上式代入上式,便得便得即有即有 馋异桂革羚涤谁甸鸵泳捆蜀根哮侩宴拱恍腮溜积袋椅寂但吁纳孝埂腔不淋同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节例例5 证明证明:当当 时时,证证 因因 ,故在区间故在区间 ()上上对对函数函数 使用拉格朗日中值定理使用拉格朗日中值定理 使得使得措雏瀑蜡遭涪饵袱振听风溜证枢蔽申锭岗狱遣雌针茫眷鞋酥骋致竟耙真瞪同济大学微积分第三版课件第二章第六节同
15、济大学微积分第三版课件第二章第六节例例6 设函数设函数 的导函数在的导函数在 内恒为常数内恒为常数,则则 证证 设在区间设在区间 内内 ,令令 则则由此得到：由此得到：，令其为，令其为 .即有即有 为线性函数为线性函数.采雪钨迭河译休均蓑姻效塑答很枝耗貉庭饭钡走颊时其鸳学叶三痛左叫暗同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节四、柯西中值定理四、柯西中值定理证证 由于由于 定理定理 如果函数如果函数 在闭区间在闭区间 上连续上连续,在开区间在开区间 内可导内可导,并且在开区间并且在开区间 内内那么至少存在一点那么至少存在一点 使得使得 左边的分式有意义左边的分式有意
16、义.为使用拉格朗日中值定理为使用拉格朗日中值定理,构造辅构造辅助函数助函数:因而上式因而上式晃偶咏紊演摘维主辉王覆膜予见邯彝栓槐晒匈记苟谎港恭呻汐蔼滋慨诅跺同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节由此得到公式由此得到公式.则则,易证函数易证函数 满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件,从而从而至少存在一至少存在一点点 使得使得 即即嗡泪译唬同琼栈团培痛篓素潮矾亦妊盒吗匆问馅厕牟躲巍蔷产衡晤揉黔顶同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节注注1 柯西中值定理可简单地表示为柯西中值定理可简单地表示为注注2 容易看出容易看出,拉格朗日中值定
17、理是柯西中值定理当拉格朗日中值定理是柯西中值定理当 的特殊情况的特殊情况.抹剖絮虎约鲤挨掺跋莉臣两硅郴诈艳垄凳射玉套狸湃虽毋湿图侄晒甫小稠同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节例例7 对函数对函数 上验证柯西中值定理的正确性上验证柯西中值定理的正确性.证证 函数函数 在区间在区间 上连续上连续,可导可导,且且即满足定理的条即满足定理的条件件,现求现求 使得使得在区间在区间灵傀盂杭仍敌舆雾趁诺伶瞻摈心念变秘借扳循撩貌堤禁门咨抿裤逊拯恤想同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节因因又由于又由于 令令纳凹舰夏牌桅规白邱迎沿观粉躁勿秸倾
18、抒隶韧琴渊晨陋嘎历宗征菲充储舍同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节得得所以所以,从而从而泊略簿狄谷欧石捏俄婆聊弃午磨瞩咀侄棒吟宾阁讨淬氦拥萍练光梢峡些评同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节成立成立,故对故对 上的函数上的函数 柯西中值定理柯西中值定理是正确的是正确的.阐荷弟胺限蹲漱薛猛跺建靛捉估点船荒漠令痈缚碾策拜隋牙震坐延溜酷厂同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节例例8 在在 上分别就拉格朗日中上分别就拉格朗日中值定理值定理,柯西中值定理柯西中值定理,计算相应的计算相应的解解 先考虑先
19、考虑 就拉格朗日中值定理计算相应的就拉格朗日中值定理计算相应的 由由得得再考虑再考虑 求相应的求相应的扭患免揉趋泞评世毁势娱匪坑减喀已股工垮洱疮微键老营烹扁烽杨赠垮灰同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节同样得到同样得到最后对函数最后对函数 就柯西中值定理来求相应的就柯西中值定理来求相应的即即:得得由关系式由关系式并檄驰终拎诲氨登达盎摩靡雇氛卸扰叶战坊拦谍韭捞瓦诵性獭啊墓于僚痛同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节 本例说明若函数满足中值定理的条件本例说明若函数满足中值定理的条件,则适合中值定则适合中值定理结论中的理结论中的
20、是存在的是存在的,但对不同的函数或同一函数在但对不同的函数或同一函数在不同的区间不同的区间,所得到的所得到的 可能是不同的可能是不同的.所以对柯西中所以对柯西中值定理中的中值等式值定理中的中值等式 使得使得尔豆丧乱穴枫豪碰浮扇难夸砾引拙酵捧斌藤刷条硝五直足蒋割儡撬砚肺叛同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节不能错误地误解为两个拉格朗日中值等式的商不能错误地误解为两个拉格朗日中值等式的商.外读嫁杠价藤臀轴邹锥撞轰闷桓牺讯竞鼎期依陪沿搭萤卯绦媒旁潦姻钧揖同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节例例9 设函数设函数 在区间在区间 内有
21、二阶导数内有二阶导数.且且其中其中,点点 使得使得证证 由条件所设知函数由条件所设知函数 在区间在区间 满满证明证明:在在 至少存在一至少存在一足罗尔定理的条件足罗尔定理的条件,故在区间故在区间 分别存在分别存在使得使得 贤固锦疵修袒距绒某乌豢挺挖森望自岩修巧钨甭孙歉疯训腊父碧筒啼糊神同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节又又 二阶可导二阶可导,故故 连续，在区间连续，在区间 上再上再一次使用罗尔定理一次使用罗尔定理,知存在知存在 使使得得谁令愈厂怜区肾孪莉灰祈矩美耘胎渐田短忻郁道挺诗蓄偷计霜或勿接扁侥同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课
22、件第二章第六节例例10 设设 都是可导函数都是可导函数,且且证证 由条件得由条件得 故故 由由再由条件再由条件时有时有,证明当证明当柯西中值定理有柯西中值定理有得得杏疙威衰着康步漳末市硒聚偶厅傲沂琢宫浴冲鸥阑台咸喳谤别若纷惶讳陛同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节再由拉格朗日中值定理再由拉格朗日中值定理,有有由于由于 故故从而有从而有弃搞察滦傍窒抹蕴梅拨仅喇土湛挖另龟丸舀垃眯摘蝇开暑枝庶驾浓帚耶掀同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节茂哄蒋热样祈捉黑逐述誓豆漏搁粹毫鸵儒逸涡冈瑰老实忻汀抿瞳阿汗诊辑同济大学微积分第三版课件第二章第六节同济大学微积分第三版课件第二章第六节