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1、第 一 章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算.I1.1.1 空间向量及其运算.11.1.2 空间向量基本定理.91.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系.151.2 空间向量在立体几何中的应用.241.2.1 空间中的点、直线与空间向量.241.2.2 空间中的平面与空间向量.311.2.3 直线与平面的夹角.371.2.4 二面角.441.2.5 空间中的距离.521.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其运算1.空间向量(1)定义：空间中既有大小又有方囱的量称为空间向量.(2)模(或长度)：向量的大小.(3)表示方法：几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A
2、终点为B的向量，记为 赢，模为I赢 I.字母表示法：可以用字母小 b,c,表示，模为，b,|c|,.2.几类特殊的向量(1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量,记作0.(2)单位向量：模等于L 的向量称为单位向量.(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量.(4)相反向量：方向相反，大小相笠的向量称为相反向量.(5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相坦1，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线壬任或重合.通常规定零向量与任意向量平行.(6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内,则称这些向量共面.思考：空间中任意两个向
3、量共面吗？空间中任意三个向量呢？提示 空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面.3.空间向量的线性运算类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算.图 2(1)如图 1,O B=O A+A B=a+b,&=O A-O C=a b.(2)如图 2,DA+D C+D D =.即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量.(3)给定一个实数人与任意一个空间向量a,则实数与空间向量a 相乘的运算称为数乘向量，记作/4其中：当2W 0且“W 0时，的模为而,而且的方向：(i)当 2 0 时，与 a 的方向相同；(i
4、i)当4 V 0 时，与a的方向相反.当2=0 或 a =0 时，z a=0.(4)空间向量的线性运算满足如下运算律：对于实数人与，向量a与。，有2 a+a=(4+)a；2(a +b)=2 a+劝.4.空间向量的数量积空间向量的夹角如 果 a,b)空间向量数量积的定义:已知两个非零向量a,b,则血c o s a,b)叫做a,h的数量积(或内积)，记作a-b.(3)数量积的几何意义向量的投影如图所示，过向量a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a 在向量上的投影a .数量积的几何意义：a 与 b的数量积等于。在 8上的投影的数量与b的长度的乘积，特别地，。与单位向量e 的数量积等于
5、。在 e 上的投影#的数量.规定零向量与任意向量的数量积为0.（4）空间向量数量积的性质:a Z a-6=0；a-a=a=(r-,仙I；(4)(z a)-Z =2(a Z )；。=布(交换律)；(a+b c=t r c+c(分 酉 己 律).重点题型一空间向量的概念及简单应用【例1】（1）下 列 说 法 中 正 确 的 是（）A.若|a|=|加，则a,5的长度相同，方向相同或相反B.若向量。是向量方的相反向量，则|a|=网C.空间向量的减法满足结合律D.在四边形A B C O中，一定 有 赢+俞=元B|a|=|Z|,说明a与方模长相等，但方向不确定.对于a的相反向量方=一。，故|。|=步|,从
6、 而B正确.只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不 具 有 油+而=就，只有平行四边形才能成立.故A、C、D均不正确.（2）如图所示，以长方体A B C D-A山C i D i的八个顶点的两点为始点和终点的向量试写出与靠是相等向量的所有向量；试写出筋1的相反向量；若A B=A O=2,4 4尸1,求向量启1的模.解 与向量赢是相等向量的（除它自身之外）有 益1,虎 及 万2I,共3个.向量筋i 的相反向量为启，屈B,G C,D j D.|A C 11=N|赢 F+1助 F+I A 4 1 I2=22+22+12=木=3.厂.规 W c75 法.1 .两个向量的模相等，则它们的长
7、度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件.2 .熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键.重点题型二空间向量的线性运算【例 2】(1)如图所示，在三棱柱A B C-4 8 c l 中，N是A i B 的中点，若3=a,CB=b,CC=c,则K=()A.；(。+8 c)B.g(a+b+c)C.Q+/C D.a+/(b+c)(2)如图，已 知 长 方 体 化 简 下 列 向 量 表 达 式，并在图中标出化简结果的向量.A B一函启+赢+危.(1)B 若 AB 中点为。，C N=C D+D N=a+b+c),
8、故选 B.解 A A -C B=A A -D A=A A +A D=A b .q+赢+成:=(屹+赢)+就=翁+就=启.向 量 前 二 启，如图所示：厂.规律c方法.1.首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即AiAz+Az/h+As/UH-An-An=AAf1.2.首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，O B+BC+cb+5E+EF+FG+GW+wb=0.重点题型三数量积的运算及应用 探究问题1.空间两个向量夹角定义的要点是什么？提示(1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹痢的定义与平面向量夹角的定义一样.(2)作空间两个向
9、量夹角时要把两个向量的起点放在一起.(3)两个空间向量的夹角是唯一的，且 a,b)=5，。.2.联想空间向量数量积的定义，如何求两个向量a,b 的夹角？如何求|。+方|?1 提示 借助c o s a,b)=而 丽，求向量a,方的夹角.借助|a+b|=)(a+i )2=+2 a 力+5 2 求模.【例 3】如图所示，已知正四面体QABC的棱长为1,点 E,P分 别 是 Q A,0C的中点.求下列向量的数量积：苏 历；(2)E F-C B；(3)(0 4+O B)(C A +C B).思路探究 根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以及两向量的夹角，注意充分结合正四面体的特征.解(1
10、)正四面体的棱长为1,则=0 A 8 为等边三角形，/A O B=6 0 ,于是：0 4-0 8=|0 4|dB|c o s 0 4,0B)1T=|O A|dB|c o s ZA O B=l X I Xc o s 6 0 =(2)由于E,尸分别是O A,OC的中点,所以E F于是济丽|无|c o s E F,CB)=g|以 H 函 c o s =|x I Xl Xc o s (AC,CB)=X 1 X 1 XCOS 120=14-(3)(O44-(9B)(CA+CB)=(OA+OB)(OA-OC+OB-OC)=(OA+OB)OA+OB-2OC)=dA2+dAOB-2dAOC+OBOA+OB2-
11、2OBOC,1 1,1,1=1+2X 5+5+12 X =1.母题探究1.（变条件，变结论）若 H为8C 的中点，其他条件不变，求 E”的长.解 由题意知砺=g(08+0C),OE=OA,：.EH=OH-OE=1 (OB+OC-OA),JO B+O C r+O+lO B O C-lO B O A-lO C O A),OB=OC=OA=.且 为，OC=60,(.OB,OA)=60,OC,OA)=60.OBOC=,OBOA=,OCOA=.：.|EW2=1 +H-1+2 x 1-2 X -2 X =1，即|西=坐，所以EH的长为喙.2.（变结论）求异面直线。”与 BE所成角的余弦值.1-2-1X-2
12、12-1-2-1X-21-4+-1-2X.J3 解 在A08 及30C 中，易知 BE=O H=,I 又BE，OA-OB,OH=OB+OQ,：.BEQH=OAOB+OAOC-jOB-OBOCL -、BEOH 2.cos(BE,O H)=-=一辛BEOH(Ti 2又异面直线所成角的范围为(0,可，故异面直线。”与3E所成角的余弦值为亍.规 法.1.在几何体中求空间向量的数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；(4)代入公式4力=网，cos(a,b)求
13、解.2.非零向量a与8共线的条件是“力=土加|.提醒：在求两个向量夹角时，要注意向量的方向.如本例中 译，CB)=AC,CB)=1 2 0,易错写成60。，为避免出错，应结合图形进行计算.1.1.2 空间向量基本定理1.共面向量定理如果两个向量。，8不共线，则向量a，儿c共面的充要条件是存在唯一的实数对(x,y),使 c=xa+yb.思 考1：平面向量基本定理中对于向量a与 有什么条件，在空间中能成立吗？提示 平面向量基本定理中要求向量a与万不共线，在空间中仍然成立.2 .空间向量基本定理如果空间中的三个向量a,b,c不共面,那么对空间中的任意一个向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使
14、得=x a +)历+z c.特别地，当a,b,c不共面时，可知x a+)力+z c=O时，x=y=z=O.3 .相关概念(1)线性组合：表达式油+z c一般称为向量a,b,c的线性组合或线性表达式.(2)基底：空间中不共面的三个向量a,5，c组成的集合(a,5，c ,常称为空间向量的一组基底.(3)基 向 量:基 底b,c 中a,b,c都称为基向量.(4)分解式：如果p=x a+W+z c,则 称x a+y A+z c为p在基底 a,b,c 下的分解式.思 考2：平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？提示 空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个
15、基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示.思 考3：基向量和基底一样吗？0能否作为基向量？提示 基底是指一个向量组，基向量是基底中的某一个向量，因为0与其他任意两个非零向量共面，所以0不能作为基向量.4.拓展：设。，A,B,。是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组 x，y,Z,使当且仅当 x+y+z=l 时，P,A,B,C四点共面.重点题型一向量共线问题【例1】如图所示，在正方体A B C 0-A 1 8 C Q中，E在上，且 址=2由”一 2 f厂在对角线AC上，且求证：E,F,3三点共线.证明 ikAB=a,AD=b,AAi=c.2 *VAiE=2EZ)i,AIF
16、=FC9 2 2 f.AE=ADf AF=-AC9 2 f 2 f 2 f J.AE=AD=b,AF=(AC-AA)=|(AB4-AD-A 4I).EF=:AiFAiE=-a b c=-abcj.22又 B=EA+4A+AB=?c+a=a?c,：.EF=EB.：.E,F,8 三点共线.规 律 1 _ 1【例 2】已知A,B,C 三点不共线，平面ABC外的一点M 满足OM=OA+w重点题型二共面定理及应用*1 OB+OC.判断向，M B,而 三个向量是否共面;(2)判断点M 是否在平面ABC内.解 易知而1+方b+0 b=3而，：.OA-dM=(dM-OB)+(dM-OC),：.M A=B M+
17、C M=-M B-M C,，向 量 而，M B,而共面.(2)由知向量而，M B,俄 共 面，三个向量的基线又有公共点M,A,B,C共面，即点M在平面A B C内.规律 方法.判断三个(或三个以上)向量共面的方法(1)应用空间向量共面定理，即其中一个向量能用另两个向量线性表示，通常应结合图形，选择其中某两个向量作为基向量，其他向量都用这两个基向量线性表示.(2)选择目标向量以外的一组基底，通过待定系数法，建立这三个向量的一个线性关系式.探究问题1.构成空间向量的基底唯一吗？是否共面？重点题型三基底的判断及应用 提示 不唯一，不共面.2 .空间向量的基底选定后，空间任一向量怎样用基底表示？1提示
18、 基底选定后，可以结合图形，利用三角形法则和平行四边形法则，寻求向量和基向量的关系，利用向量的线性运算将向量用基底表示出来.3 .用基底表示向量应注意哪些问题？提示(1)明确目标，向量表示过程中可能出现新的向量，要逐步拆分，都用基向量表示；(2)结合图形的几何性质，利用向量的线性运算；(3)只要基底选定，空间任一向量用基底表达的形式是唯一的.例3 (1)若 a,b,c是空间的一个基底，试判断 a+方，b+c,c+a能否作为该空间的一个基底.(2)如图，在三棱柱A 3 C-A 5 c中，已知AB=b,4 2=c，点M,N分别是BC,夕C的中点，试用基底 a,b,c表示向量A M,AN.AfAc
19、思路探究(1)判 断a+b,b+c,c+a是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底.(2)借助图形寻找待求向量与a,b,c的关系，利用向量运算进行分析，直至向量用a,方，c表示出来.解(1)假设a+，力+c,c+a共面.则存在实数2、使得a+A=%S+c)+(c+a),/a+6=zZ+/za+(A+/z)c.:a,b,c为基底，.*.a,b,c 不共面.二.，1=2,此方程组无解，.a+A,8+c,c+a不共面.0=2+./.a+b,b+c,c+a可以作为空间的一个基底.-A J -A(2)AM=AB+BM=AB+BC 1 A 1 =AB+BB+BO=AB+BB+AC-AB
20、)俞=启+热+前 1 =AA+AB+BC1 =a+b+(A,C,-AfBf)=a+h+；(c。)=a+*+；c.母题探究1.(变条件)若把本例3(2)中的后，=改 为 后&a,其他条件不变，则结果又是什么？解 AM=AB+BM 1 =AB+BCf=AB+ACAB)=b+(ab)=2a+2b-AN=AC+CN 1 =AC+CB=AC-BV=/（/必 一 箱）2.（变换条件、改变问法）如图所示，本例3（2）中增加条件“P 在线段A4,上，且AP=2PA,试用基底 a,b,c 表示向量加.C 解 MP=MC,+CA,+ArP1 *1 =B C-A C-A A 1 *1 =B B+B C)-A C-A
21、 A 1 1,1=6a-2b-2c-(-.规律 方法.用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.(3)下结论：利用空间向量的一个基底“，6c可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.提醒：基底中不能有零向量，因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量.1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系1.空间中向量的坐标一般地，如果空间向量的基底 e“e2，03中，e
22、,C2,63都是单位向量，而且这三个向量两两垂直,就称这组基底为单位正交基底,在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如 果p=x e i+y e 2+z e 3,则称有序实数组(x,y,z)为向量p的坐标，记作=(x,y,z).其中x,y,z都称为p的坐标分量.思 考1：若a=xe i+ye 2+ze 3,则a的坐标一定是(x,y,z)吗？提示 不一定，当ei,ei,e3是单位正交基底时，坐标是(x,y,z),否则不是.2.空间向量的运算与坐标的关系假设空间中两个向量a,8满 足a=(x”y i，z i),5=(X2，2，Z 2),则有以下结论:(1 )a+。=(为+必 y
23、i +y 2,z 1+z 2)；(2)若 u,o 是两个实数，(依 1+。尢2,y i+o y 2,z i+0 Z 2)；(3)。山=xX2-yV2-zZ2；(4)|a|=、后=、/后+M+z?；(5)当 a W O 且。W O 时，c o sa,ba*b_ _ _ _ _ _ _ X 1 X 2+Z 1 Z 21 a H I ,+济+2汽/4+y 9+z 3思考2：若向量盘=a,y,z),则点B的坐标一定是a,y,z)吗？提示 不一定，A点与原点重合时是，不重合时不是.3 .空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直1 2=笈1卫2=2”1，当。的Z 2=l每一个坐标分量都不为零时，有&=型=叁.
24、X亚一2|(2)a Z a Z =0,i y 2+z i Z 2 =0.4 .空间直角坐标系(1)在空间中任意选定一点0作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系x O y,然后过0作一条与边迂M垂直的数轴z轴.这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz.(2)在空间直角坐标系。孙z中，x轴、y轴、z轴是两两垂直的,它们都称为坐标轴，通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面.(3)z轴正方向的确定：在z轴的正半轴看X。)，平面，x轴的正半轴绕。点沿逆时轨方向旋转9 0。能与y轴的正半轴重合.(4)空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系。孙z时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与v轴
25、正方向夹角为1 3 5。(或4 5。),z轴与y轴(或x轴)垂直.(5)空间中一点的坐标：空间一点M的坐标可用有序实数组(x,y,z)来表示，有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，其中x叫做点M的横坐标(或无坐标),y叫做点M的纵坐标(或y坐标),z叫做点M的竖坐标(或z坐标).三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了个部分，每一部分都称为一个卦限，按逆时针方向，在坐标平面xOy的上方，分别是第I 卦限，第H卦限，第III卦限，第w 卦限，在平面X。)，的下方，分别是第v 卦限，第VI卦限，第vn卦限，第vm卦限，根据点的坐标的特征，第 I 卦限的点集用集合可表示为Mx,y
26、,z)W0,y0,z 0 .5.空间向量坐标的应用(1)点 P(x,y,z)到坐标原点。(0,0,0)的距离。尸(2)任 意 两 点 P1(X,y i,zi),P2(X 2，y i，Z2)间 的 距 离 PP-L X1)2+(P2 V)2+(Z2 Z子.【例 1】(1)如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABC77中，E,F,G 分别为棱重点题型一空间向量的坐标运算DD,DC,的中点，以 矗，A D,屹，为基底，求下列向量的坐标.AE,AG,AF；庠，EG,DG.(2)已知空间四点A,B,C,。的坐标分别是(T,2,l),(1,3,4),(0,1,4),1,2).若。=48,q=C D.求p+2
27、q；3p q；1 1 (1、解(1)A E=A O+O E=4D+m=A+W=0,1,9，1 (1AG=AB+BG=AB+AD=1,2，0-A-A-1 -A(AF=AA,+A,D,+D,F=AA,+AD+AB=,1,1命=#一 崩=(屹+A b+g赢)一(A b+；M)=；M+g赢=(g,o,g),EG=AG-AE=(赢+3时(AD+AAT 2?1 1 (1 )DG=AGAD=AB+ADAD=ABAD=l,-Oj.由于 A(1,2,1),8(1,3,4),C(0,一 1,4),0(2,一1,-2),所以。=赢=(2,1,3),q=CD=(2,0,-6).p+2q=(2,l,3)+2(2,0,6
28、)=(2,1,3)+(4,0,12)=(6,1,9);3pq=3(2,l,3)(2,0,6)=(6,3,9)(2,0,-6)=(4,3,15);(p2=|p|21|2=(22+12+32)(22+02+62)=-26.规律0法.用坐标表示空间向量的步骤充分观察图形特征根据图形特征建立空间直角坐标系综合利用向量的加减及数乘运算将所求向量用已知的基向量表示出来，确定坐标(2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算,最后进行数量积运算，先算括号里，后算括号外.提醒：空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用.重点题型二空间中点的坐标确定及
29、应用【例2】在 棱 长 为1的正方体ABCO-AIBIGOI中，E,尸分别是。、8。的中点，G在 棱CD上，且CG=(C,“为G G的中点，试建立适当的坐标系，写出E,F,G,的 坐 标.并 求GH的长度.解 建立如图所示的空间直角坐标系.点E在z轴上，它的x坐标，y坐标均为0,而E为。的中点,故其坐标为（0,0,由/作 FMJ_A。于M 点、FN上D C 于N 点、,由平面几何知 月 0=；,FN=g,则F 点坐标为g,1,0）.点G 在y 轴上，其x、z 坐标均为0,又G O=.故G 点坐标为（0,0）.由“作HK1.CG于K 点，由于“为 G G 的中点，故HK=g,C K=Z O7（7
30、 1、.DK=R,故 H 点坐标为（0,g,2J-4Y7GH=s-厂.规律 方法.1.建立空间直角坐标系时应遵循以下原则（1）让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；（2）充分利用几何图形的对称性.2.求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影（或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号），确定第三个坐标.3.利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤:探究问题1.空间向量的平行与垂直与平面向量的平行与垂直有什么关系？提示(1)类比平面向量平行、垂直：空间两个向量平行、垂直与平面两个向量平行、垂直的表达式不一样，但实质是一致的.(2)转
31、化：判定空间两直线平行或垂直只需判断两直线对应的方向向量是否平行或垂直.2.空间中三点共线的充栗条件是什么？提示 三个点A(x i,y,Z l),B(X2,”，Z2),C(X3,3,Z3)共线的充栗条件是犬3/1J 2 y i Z 2 Z Iy 3 y z3 zi简证：三个点A(x i,y i,z i),B(X2,y2,z i),C(xy,g,Z3)共线的充要条件为X A C,即向量诵与向量启共线，其坐标对应成比例，从 而 有 匚“=工 .X 3-X y 3 y Z3 zi【例 3】已知空间三点4一2,0,2),C(3,0,4),设。=赢，b=A C.(1)若|c|=3,c/B C.求 c；(
32、2)若痴r+Z 与我(一2万互相垂直，求 左.思路探究 先求a,b,再根据向量平行与垂直的充要条件列方程求解.解(1)因为病=(-2,-1,2),且 c 病，所以设c=2/=(-2%,一 九 2A),得 1，|=4(24)2+(-4)2+(22=3 囚=3,解得 2=1.即 c=(-2,1,2)或。=(2/，-2).(2)因为 a=A 3=(l,1,0),b=A C=(1,0,2),所以版+0=(%1,匕 2),ka-2 b=(k+29 k,-4).又因为(kz+J_(ki 2)，所以(&+)(26)=0.即仅一1,k,2)(A+2,k,4)=21+k 1 0=0.解得&=2 或 Z=故所求k
33、 的值为2 或一,.母题探究1 .(变条件)若将本例中uc/BCn改 为“C_LQ且皿，求 c.解。=赢=(1,1,0),Z =A C=(-1,0,2).设 c=(x,y,z).f%2+y2+z2=9,由题意得=A C=(-1,0,2).所以一=(攵+1,k,2),ka+2b=(k2,%,4).(ka A)_L(ka+2b),:.(ka。),(妨+2)=0,即(Z+l,k,-2)(左 一 2,左,4)=(2+1)/-2)+3 一8=0,解得攵=一2 或%=方.故所求k的值为-2或1.1.规律 方法.解决空间向量垂直、平行问题的思路(1)当有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标，例如，设向量a=
34、(x,y,z).(2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数，例如，已知。瓦 则引入参数人有。=肪，再转化为方程组求解.(3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的.重点题型四利用坐标运算解决夹角、距离问题【例4】如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-AIBIG A 中，E,尸分别是8。的中点，G在棱CO上，且C G=(C 0,H为CG的中点.(1)求证：E FA.BiC；(2)求E/与GG所成角的余弦值；(3)求尸”的长.思路探究 根据正方体的特殊性，可考虑建立空间直角坐标系，写出相关点及向量的坐标，套用数量积、夹角、模长公式即可.解(1)证明：如图所示，以。为坐标原点，建立空间直角坐标系
35、。砂Z,易知B,母=&i。)一(。，0 i 一？B?C=(0,1,0)-(1,1,1)=(-1,0,-i),一i i(nA EFB1C=2 X(-l )+2 X 0+-X(-1)=0,.,.EFB?C,即 E/C(2)由(1)易知3 b=(o,I，o|-(o,1,1)=(o,-i),球=&I，T，i/r%,V 3.|C i G|-4,EF-2，EF-G G=|x O+1x(X(1)=|,A c o s 前,G G =亘鱼=粤I 函|G G|即异面直线口与CG所成角的余弦值为暮.1(3)由(1)知.|西=即尸”的长为卑.厂.规律0法.通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在
36、坐标轴上,以便写出点的坐标.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.提醒：建立适当的坐标系能给解题带来方便.1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.1空 间中的点、直线与空间向量1.空间中的点与空间向量一般地，如果在空间中指定一点。，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量查唯一确定，此时，通常称为点p的位置向量.提醒：空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定.2.空间中的直线与空间向量一般地，如果/是空间中的一条直线，。是空间中的一个非零向量，且表示。的有向线段所在的直线与/平行或重合,则 称。为直线/
37、的一个方向向量.此 时，也称向量。与 直 线/当I，记 作2/.(1)如果A、B是直线/上两个不同的点，则。=赢，即为直线/的一个方向向量.思 考1:直 线/的方向向量唯一吗？直 线/的方向向量之间有怎样的关系？提示 直线/的方向向量不唯一，若。为直线的方向向量，则 加(%W0)也为直线/的方向向量，直线/的任意两个方向向量都平行.思 考2：空间中的直线/的位置由0能确定吗？提示 空间中直线/的位置可由。和直线上的一个点唯一确定.(2)如 果 S是 直 线 的 一 个 方 向 向量，V 2是直线/2的一个方向向量，则小02 0/1/2或与/2重合.3.空间中两条直线所成的角(1)设0 1、0
38、2分别是空间中直线/1，/2的方向向量，且/1与，2所成角的大小为仇则 8=初，3或 6=兀一01,次,所 以 sin 6=s i n 初，也,c os 6=|c o s(0 1,P2LA-7 1(2)(vi,V2)=2 /i-Lhvi-V2=0.4.异面直线与空间向量设 S，。2分别是空间中直线人与，2的方向向量.(1)若1与12异面，则V 1与V 2的关系为V 1与V 2不平行.(2)若 S与 6不平行，则:与/2的位置关系为相交或异面.提醒：“小与02不平行”是“/1与/2异面”的必要不充分条件.(3)若AW/1，B 0 2,则 人与办异面时，V,0 2，AB不共面.若 小，0 2，A8
39、不共面，则/1与6异面.提醒：”小，6,赢不共面”是与异面”的充要条件.(4)公垂线段：一般地，如果/i与/2是空间中两条异面直线，MG li，N Gb，M NM N L h.则称M N为(与/2的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离.提醒：空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一.【例 1】已知。是坐标原点，A,B,C 三点的坐标分别为A(3,4,0),8(2,5,5),C(0,3,5).重点题型一空间中点的位置确定(1)若 苏=3(赢一元)，求P 点的坐标；(2)若 P 是线段4 8 上的一点，且A P：PB=1：2,求 P 点的坐标.思路探究(1)由条
40、件先求出港，前 的 坐标，再利用向量的运算求P 点的坐标.(2)先把条件A P：PB=1：2 转化为向量关系，再运算.解(1)AB=(-1,1,5),A C=(-3,-1,5),-AC)=1(2,2,0)=(1,1,0),点的坐标为(1,1,0).(2)由P 是线段A3上的一点，且A P：PB=1：2,1 知 A P/P B.设点P 的坐标为(x,y,z),则AP=(x3,y4,z),PB=(2x,5 y,5z),故(x-3,y-4,z)=g(2x,5y,5z),x=y得j尸 子135z=z.C 1x3=2（2x）,即v y-4=2（5-y）,、z=g（5-z）,因 此P点 的 坐 标 为-y
41、,I）.1.规律c方法.此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，设出要求的点的坐标，利用已知条件得关于要求的点的坐标的方程或方程组求解即可.重点题型二利用向量法求异面直线的夹角（或余弦值）【例2】(1)若向量a=(x,4,5),b=(l,-2,2),且。与方的夹角的余弦值为叩,则 x=()A.3 B.-3 C.-11 D.3 或一11A .Z 2=x8+10=x+2,|a|=4？+41,|/|=l+4+4=3.啦 /,x a,b x+2,6 =c o s(，心=丽=3也2+4则 x+2 0,即 2,则方程整理得/+8 x 33=0,解得x=-11或x=3.x=11舍去，.*.x=3.(2)
42、如图，B C=2,原 点。是8 C的中点，点A的 坐 标 为 停 0),点。在平面)Oz 上，且 NBOC=90,ZDCB=30.求向量而的坐标；求A b 与正的夹角的余弦值.解 如图过。作。E _ L 3 C 于瓦则 DE=C D s in 3 0。=彳，1 1O E=O B-B D c o s 6 0 0=1 一=,二。的坐标为（0,g,又1,0）,，历=（0,一|,坐依题设有A点坐标为2，,BC=(0,2,0),则病与反:的夹角的余弦值:cos A D B C V T OAD-BC利用向量求异面直线所成角的步骤(1)确定空间两条直线的方向向量；(2)求两个向量夹角的余弦值；(3)确定线线
43、角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角.提醒：两异面直线夹角范围为(0,时刻注意两异面直线夹角的范围是解题的关键.探究问题1.直线的方向向量在确定直线时起到什么作用？重点题型三利用空间向量处理平行问题 提示(1)非零性：直线的方向向量是非零向量.(2)不唯一性：直线/的方向向量有无数多个，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量.(3)给定空间中的任一点A和非零向量a,就可以确定唯-条过点A且平行于向量a的直线.2.两条平行直线的方向向量有什么关系？提示 设直线/,根的方向向量分别为a,b,P I I/ma.【例 3】(1
44、)已知向量a=(2,4/0),8=(3,x,15)分别是直线hb 的方向向量，若/i h,则 x=.(2)如图所示，已知正方体A B C D-A i B G D i 的棱 长 为 2,E,尸分别是8 小，DD的中点，求证：尸 C平面A O E.(1)6 ：l/h,.存在实数%使得万=履,3=2左，x=4k,解得*=6.15=10Jt,(2)证明 如图所示，建立空间直南坐标系D x yz,则 有0(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),G(0,2,2),E(2,2,l),F(0,0,l).所 以 病i=(0,2,1),DA=(2,0,0),AE=(0,2,1),因为D4U平面AD E
45、,AEU 平面 AD E,且(0,2,1)=0 X(2,0,0)+1 X(0,2,1),即元 1=OXE1+1X 危，所以有EG U平面AOE或尸G平面AOE,又因为尸。何平面ADE,所以FG 平面AOE.母题探究1.(变问法)本例3(2)中G,H分别为AO,8 G的中点，求证：EGF”为平行四边形.证明 如图所示，建立空间直角坐标系.则 E(2,2,l),G(1,0,0),欧0,0,1),(122).所 以 寿=(一1,-2,-1),谕=(1,2,1).所 以 前=一 病，所以苒/*.显然EG与FH不重合，故EG/FH.又|寿|=4(-1)2 +(-2)2+(一1)2=加,|ra|=A/l2
46、+22+l2=V 6,：.EG=FH,二四边形EGFH为平行四边形.2.(变问法)本例3(2)条件不变，改为求平面AOE平面 证明 如图所示，建立空间 直 角 坐 标 系,则A(2,0,0),0(0,0,0),5 1(2,2,2),C i(0,2,2),E(2,2,l),尸(0,0,1),得5k=(2,2,1),由=(2,2,1),D A =(2,0,0),B?C i =(-2,0,0),所 以 防=屋1,=又相互不共面，所以 DEFBi,DA/BC,又 FBCBiCi=Bi,所以平面AOE平面BCF.厂.规 法.1.证两条直线平行可转化为证明两直线的方向向量平行.2 .用向量法证明线面平行：
47、一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内.3 .利用向量证明面面平行，可转化为证明线面平行.提醒：利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点.1.2.2空间中的平面与空间向量1.平面的法向量(1)如果a 是空间中的一个平面，是空间中的一个非零向量,且表示的有向线段所在的直线与平面a 垂直,则称为平面a 的一个法向量，此时也称与平面a垂直，记作_ L a.思考1：平面a 的法向量有多少个？它们之间什么关系？提示 无数个平行思考2：一个平面的
48、法向量与此平面共面的所有向量间有什么关系？提示 垂直(2)平面的法向量的性质如果直线/垂直于平面a,则直线/的任意一个方向向量都是平面a 的一个法向量.如果n是平面a 的一个法向量，则对任意的实数2 W 0,空间向量z n 也是平面a 的一个法向量，且平面a 的任意两个法向量都平行.如果为平面a 的一个法向量，A为平面a 上一个已知的点，则对于平面a 上任意一点8,向量A B 一定与向量垂直，即7 18=(),从而可知平面a 的位置可由和A唯一确定.(3)如果0是直线/的一个方向向量，是平面a 的一个法向量，则0 0山，n_ 1_0 台/a,或/Ua.(4)如果 1是平面a的一个法向量,“2是
49、平面a 2的一个法向量，则n_ L 2 0 ai L a 2,“2 0 a l a2 或 ai 与 a2 重合.2.三垂线定理及其逆定理(1)三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.(2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.提醒：定理中的已知直线必须是已知平面内的直线.重点题型一求平面的法向量【例1】如图，在四棱锥P-ABC。中，底 面A8C。为矩形，雨，平 面A8CD,E为尸。的中点，A8=AP=1,A D=试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.解 .在四棱
50、维P-ABCD中，底面ABCD为矩形,Q 4,平面 ABC。，E 为 PD 的中点、,AB=AP=1,AD=木,.以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，AP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0),C(l,0),o(o,S，0),m o,i),电,芈,以嘉=(0,坐,技 A C=(1,小,0),设平面ACE的法向量=(x,y,z),f-*A/3,1n-AE=-y+xz=0,叫 取 尸 一 小，得=(3,-y/3,3).危=+,)，=0,平 面ACE的一个法向量为=(3,一4，3).1.规 法.利用待定系数法求法向量的解题步骤 探究问题1.平面的法向量有何特点？提示 设向量