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1、第二章平面解析几何2.1 坐标法.22.2 直线及其方程.62.2.1 直线的倾斜角与斜率.62.2.2 直线的方程.112.2.3 两条直线的位置关系.162.2.4 点到直线的距离.222.3 圆及其方程.262.3.1 圆的标准方程.262.3.2 圆的一般方程.302.3.3 直线与圆的位置关系.342.3.4 圆与圆的位置关系.392.4 曲线与方程.432.5 椭圆及其方程.492.5.1 椭圆的标准方程.492.5.2 椭圆的几何性质.542.6 双曲线及其方程.592.6.1 双曲线的标准方程.592.6.2 双曲线的几何性质.652.7 抛物线及其方程.712.7.1 抛物线
2、的标准方程.712.7.2 抛物线的几何性质.772.8 直线与圆锥曲线的位置关系.832.1坐标法1 .平面直角坐标系中的基本公式(1)数轴上两点间的距离公式如果数轴上点A对 应 的 数 为 即 A的坐标为x i,记作出3),且 3(X 2),则向量油的坐标为X 2 X I,数轴上两点之间的距离公式从8=|赢|=改 2 刈.如 果 M(x)是线段A3的中点，则 疝=凝.数轴上的中 点 坐 标 公 式 =若 契.思考：数轴的概念是什么？数轴上的点与实数有怎样的关系？提示 给定了原点、单位长度和正方向的直线是数轴，数轴上的点与实数是一一 寸应的.(2)平面直角坐标系内两点之间的距离公式A(x i
3、,y i),B(X 2,*),-8=(3 2 尤 1,V2 y i),IA B I=IA 8 =、“X 2 尸+(y 2 y i,若 M(x,y)是线段AB的中点，则 启=凝，则直角坐标系内的中点坐标公式x=盘 芳,y i +y 2产 丁.2 .坐标法通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决问题的方法称为坐标法.【例 1】(1)若 点 P(x)位于点M(2),N(3)之间，求 x的取值范围；(2)试确定点A(a),8(份的位置关系.重点题型一数轴上的点与实数间的关系 解(1)由题意可知，点 M(2)位于点M 3)的 左 侧,且 点 P(x)位于点M(2),N(3
4、)之间，所以一2 x 3.(2)确定两点的位置关系，需要讨论实数a,8的大小关系：当a 泌 时，点 A(a)位于点8(。)的右侧;当a2+c2,故|AC|=|3D|.厂.规律c方法.利用坐标法解平面几何问题常见的步骤(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；(2)用坐标表示有关的量；(3)将几何关系转化为坐标运算；(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.2.2直线及其方程2.2.1 直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角(1)倾斜角的定义一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与X轴相交，将X轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为e,则称e为这条直线的倾
5、斜角.(2)当直线与x 轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为.(3)倾斜角a 的范围为2。，180。).2.直线的倾斜角与斜率一般地，如果A(xi,yi),8(X2,竺)是直线上/两个不同的点，直线/的倾斜角为0,则:(1)当 yi=y2 时(止匕时必有xi#x2),t an6=4.直线的法向量一般地，如果表示非零向量”的有向线段所在的直线与直线/垂直，则称向量。为/的一个法向量，记作思考5：如果”=(1,2)是直线/的一个方向向量，你能写出/的一个法向量吗？提示(2,1).重点题型一直线的倾斜角【例 1】设直线/过坐标原点，它的倾斜角为a,如果将/绕坐标原点按逆时针方向旋转45。，得到直线人
6、 那么/i的倾斜角为()A.a+45B.a-135C.135-aD.当(r Wa 135。时，倾斜角为a+45。；当 135。或6(180。时，倾斜角为a135。D 根据题意，画出图形，如图所示：因为0。W。18()。，显然 A,B,C未分类讨论，均不全面，不合题意.通过画图(如图所示)可知：当0 a 135,/1的倾斜角为a+45;当 135Wa 180 时，/i 的倾斜角为 45 +a180=a135.故选 D.1.规律c方法.求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角.(2)两点注意：当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0。，当直线与x轴垂直时，
7、倾斜角为9 0。.注意直线倾斜角的取值范围是0。或(/：180。.重点题型二 直线的斜率【例 2】如图所示，直 线 4，/2,/3都经过点尸(3,2),又 伍/2,/3分别经过点0(2,-1),Q(4,-2),0 3(-3,2).(1)试计算直线八，/2,/3的斜率；(2)若还存点。4(&3),试求直线PQ 4的斜率.思路探究 根据题意，分清直线过哪两个点，然后用斜率公式求解，要注意斜率不存在的情况.解(1)由已知得，直线/2,/3的斜率都存在.设它们的斜率分别为左，依，依.则由斜率公式得：k=二1=3 匕=-2=_4-2-3 5%4-3 攵 3=2-2-3-3=0.(2)当a=3 时，直 线
8、 P 0 4与 x轴垂直，此时其斜率不存在.3-2|当时，其斜率k=-a3 a31.规 法.1.求斜率时要注意斜率公式的适用范围，若给出直线上两个点的坐标，首先要观察横坐标是否相同，若相同，则斜率不存在；若不相同，则可使用斜率公式.若给出两个点的横坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分类的依据便是“两个横坐标是否相等”.2.由例题中图可以看出：(1)当直线的斜率为正时(，直线从左下方向右上方倾斜；(2)当直线的斜率为负时(，直线从左上方向右下方倾斜；(3)当直线的斜率为0时S),直线与九轴平行或重合.重点题型三斜率公式的应用 探究问题1.斜率公式女=坐二也中，分子与分母的顺序是否可以互换？
9、yi 与，为 与 X 2 的X I-X 顺序呢？提示 斜率公式中分子与分母的顺序不可互换，但y与yi和 x i 与及可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为=力二坐.X X 22 .你 能 证 明&-3,-5),3(1,3),C(5,1 1)三点在同一条直线上吗？提示 能.因为&-3,-5),5(1,3),C(5,ll),3-(5)1 13所以 z r=2,k B c-2 i-=2,所以乂B=ABC,且直线A B,有公共点8,所以A,B,C这三点在同一条直线上.【例 3】已知直线/过点加-1),N(2 m,1).(1)当m为何值时，直 线/的斜率是1?(2)当 机为何值时，直 线/的倾斜角为90。
10、？思路探究 求直线的斜率=直线的斜率公式.m-1 1 3 解(1)ZM N=,+_2?=1，解得机=1(2)/的倾斜角为90,即/平行于y 轴，所以加+1=2 而，得 m=1.母题探究1 .本例条件不变，试求直线/的倾斜角为锐角时实数机的取值范围.解 由题意知m 1 1加+1 2？，解 得 m 2),当 EWX I,W yi 时，则H1三:称为直线的两点式方程.(2)若直线/在x轴，y轴上的截距分别为a,b,且必W0,则方程彳+方=1称为直线的截距式方程.思考3：直线的两点式方程和截距式方程的应用范围分别是什么？提示 两点式表示的直线/不与坐标轴平行或重合，截距式表示的直线/不与坐标轴平行或重
11、合，且不过原点.3 .直线的一般式方程直线的一般式方程为A c+B y+C=0(A2+B M 0).重点题型一求直线的点斜式方程 例 I 写出下列直线的点斜式方程.(1)经过点Q,5),倾斜角为45。；(2)直线y=x+l 绕着其上一点尸(3,4)逆时针旋转90。后得直线I,求直线I的点斜式方程；(3)经过点。(一1,-1),且与x轴平行；(4)经过点。(1,1),且与x轴垂直.解(1)因为倾斜角为45。，所以斜率=t a n 45=1,所以直线的方程为y5=x2.(2)直线y=x+l 的斜率=1,所以倾斜角为45。.由题意知，直线/的倾斜角为1 3 5。，所以直线/的斜率/=t a n 1
12、3 5=1.所以直线的方程为y4=(x 3).(3)由题意知,直线的斜率A=t a n 0。=0,所以直线的点斜式方程为y(1)=0,即 y=-1.(4)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x=,该直线没有点斜式方程.厂.规律(方法.1 .求直线的点斜式方程的步骤：定点(x o,yo)f 定斜率左一写出方程yyo=4x-x o).2 .点 斜 式 方 程 yyo=Z(x x o)可表示过点P(x o,yo)的所有直线，但 x=x o 除外.例 2 根据条件写出下列直线的斜截式方程.重点题型二求直线的斜截式方程(1)斜率是3,在 y轴上的截距是一3.(2)倾斜角是6 0。，在 y轴上的截
13、距是5.(3)过点 A(1,-2),8(2,3).思路探究 先求直线的斜率，结合y轴上的截距可用斜截式方程求解.解(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y=3 x 3.(2).倾斜角是6 0。，.斜率=t a n 6(r=小，由 斜 截 式 可 得 方 程)=小%+5.3+2(3)斜率为攵=25 由点斜式得y 3=-5(x+2),化为斜截式,y=-5 x-7.厂.规律(方法.1.用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，要特别注意截距和距离的区别.2.直线的斜截式方程 =履+不仅形式简单，而且特点明显，Z 是直线的斜率,。是直线在y轴上的截距，只要确定了人和6的值，直线的
14、图象就一目了然.因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利 用k,b的几何意义进行判断.重点题型三 直线的两点式方程【例 3】在A A B C 中,A(3,2),8(5,-4),C(0,一2),(1)求 所 在 直 线 的 方 程；求 8C 边上的中线所在直线的方程.思路探究(1)由两点式直接求BC 所在直线的方程；(2)先 求 出 的 中 点，再由两点式求直线方程.解(l)T B C 边过两点 8(5,-4),C(0,-2),由两点式得 2)1(?4)=泊 即 2 x+5 y+10=0.故 BC 所在直线的方程为2x+5 y+10=0.(2)设的中点为 M(x o,y
15、o),5-牙-+O25xo-2-3又BC边上的中线经过点A(3,2).由 两 点 式 得 呈x一(-3)|-(-3)即 10 x+lly+8=0.故 边 上 的 中 线所在直线的方程为10 x+ll)，+8=0.厂.规律为法.1.由两点式求直线方程的步骤(1)设出直线所经过点的坐标.(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标.(3)由直线的两点式方程写出直线的方程.2.求直线的两点式方程的策略以及注意点当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程.重点题型四直线的一般式方程 探究问题1.平面直角坐标
16、系中的每一条直线都可以用一个关于尤，y的二元一次方程表示吗？为什么？提示 都可以，原因如下：7 T(1)直线和y轴相交于点(0,与时：此时倾斜角aW,直线的斜率攵存在.直线可表示成可转化为丘+(l)y+/?=0,这是关于x,y的二元一次方程.(2)直线和y轴平行(包含重合)时：此时倾斜角。=全 直线的斜率左不存在，不能用表示，而只能表示成x。=0,它可以认为是关于x,y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.2.每一个关于x,y的二元一次方程Ax+3y+C=0(A,8不同时为零)都能表示一条直线吗？为什么？提示 能表示一条直线，原因如下：当8 7 0时，方程+8)，+C=0可变形为y=一%一
17、星 它表示过点(0,一 斜 率 为 一 今 的 直 线.当 5=0 时，方程 Ax+8)，+C=0 变成 Ar+C=0.即=一亨，它表示与y轴平行或重合的一条直线.【例4】设直线/的方程为(a l)x+y 2a=0(a W R).若直线/不过第三象限，则a的取值范围为.思路探究 含有参数的一般式直线方程问题n化为直线方程的相应形式，根据实际情况求解.1,+8)把直线/化成斜截式，得y=(l a)x+a+2,因为直线/不过第三象1 a W O,限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴 上 的 截 距 大 于 等 于 零.即,、.a 十 230,解得所以a的取值范围为 1,4-0).母题探究1.
18、本例中若将方程改为 x+(a-Dy 2 a n t X a GR)”,其他条件不变，又如何求解？解 当1=0,即a=l时，直线为x=3,该直线不过第三象限，符合.(2)当一1 7 0,即时，直 线 化 为 斜 截 式 方 程 为X 因为直线,1一。1 a/不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零.即 彳11 a 0.试判断四边 形OPQR的形状.思路探究 利用直线方程的系数关系，或两直线间的斜率关系，判断两直线的位置关系.t0 解 由斜率公式得k o p=1 _0=/,2-(2+Q -t 2-0 j_kQ K=-2r-(l-2r)=I=t j k o K=2 I
19、t _ 2 k p Q=_2/._ j-7-所以 k o p=k Q R,k o R=k p Q,从 而。尸 QR,O R/PQ.所以四边形OP QR为平行四边形.又 k o p-k o R=1,所以 OP_LO R,故四边形OP QR为矩形.母题探究1.将本例中的四个点，改 为“(-4,3),8(2,5),C(6,3),0(-3,0),顺次连接A,B,C,。四点，试判断四边形ABC。的形状.解 由题意A,B,C,。四点在平面直角坐标系内的位置如图，b 皿*人*、-r 或/5-3 1 03 1 03由科率公式可行ZAB一。z 八一2,k cD Q J-A KAD一 z 八一一3,KBC2(4)
20、3 5 b 3-3(-4)3-5 j_=6 2=-2-所 以k AB=k cD,由图可知A 3与CO不重合，所以ABC D,由ZAOWABC,所以A。与 不 平 行.又因为 k AB-k AD=X(3)=1 ,所以ABLAO,故四边形ABC。为直角梯形.2.将 本 例 改 为“已知矩 形。P 0 R 中按逆时针顺序依次 为。(0,0),P(l,t),2(1-2 r,2+r),试求顶点R 的坐标.”解 因为OPQ/?为矩形，所 以 O Q 的中点也是P R 的中点，设砥龙，y),0+12/1+x2=2 则由中点坐标公式知,0+2+f t+y、-2-=三，x=-2t,解得：所以R 点的坐标是(一2
21、7,2).lj=2.1.规律(方法.1.利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤2.判定几何图形形状的注意点(1)在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜测其形状，以明确证明的目标.(2)证明两直线平行时，仅 仅 有k l=k 2 是 不 够 的,还要注意排除两直线重合的情况.(3)判断四边形形状，要依据四边形的特点，并且不会产生其他的情况.2.2.4点到直线的距离1.点到直线的距离(1)平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度.点P(xo,yo)到直线/：Ax+By+C=0的距离思考：点P(xo,冲)到直线/|：%=尤1的距离是多少？点P(xo,yo
22、)到直线/2：y=yi的距离为多少？提示box i|:伙)yi|.2.两条平行直线之间的距离(1)两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.(2)两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离.(3)两 条 平 行 直 线/i：A x+By+C=0与b：Ar+fiy+C2=0之 间 的 距 离d=/A2+B2重点题型一点到直线的距离【例1】求过点M-2,1)且与A(1,2),8(3,0)两点距离相等的直线的方程.解 当直线的斜率不存在时，直 线 为 尤=-2,它到A、8的距离不相等，故可设直线方程为yl=A(x+2),即依一y+2A+l=0.|T 2+2Z+l|+2 3+1
23、+i g-+i ，解得Z=0或k=.所求直线方程为)=1或x+2y=0.厂.规律(方法.点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可.(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x=a或 =乩 求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成4=|xo-a|或d=yo b.(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可.【例2】已知直线/i：2 x-7 8=0,/2：6%2叮-2 1=0,人与，2是否平行？若平行，求人与，2间的距离.重点题型二两条平行线间的距离 解/1的斜率为左=1
24、,/2的斜率 2=5=/因为=依，且/I与/2不重合，所 以hb,/2的方程可化为2 x-7 y-7=0,所 以1 与/2间的距离为d=|-8 +7|_ 1留+7 2小5V 5 35 3 ,厂.规律(方法.求两平行线间距离一般有两种方法(1)转化法：将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算.(2)公式法：直接用公式d=但要注意两直线方程中x,y的系数必须分别相同.IC1-C2I-/A2+B2重点题型三距离公式的综合应用 探究问题1.两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和8(
25、3,-1),并且各自绕着A,B旋转，如果两条平行直线间的距离为4.你能求出d的取值范围吗？提示 如图,显然有而|AB|=.(6+3)2+(2+1)2=3A/10.故所求的d的变化范围为(0,3，而.2.上述问题中，当d取最大值时，请求出两条直线的方程.提示 由上图可知，当d取最大值时，两 直 线 与 垂 直.而 瘀=6(一3)=?所求直线的斜率为-3.故所求的直线方程分别为y2=-3(x-6)和 y+l=-3(x+3),即 3x+y20=0 和 3x+y+10=0.【例3】在直线/：3xyl=O上求一点P,使 得 到44,1)和3(0,4)的距离之差最大.思路探究 点到直线的距离的最值问题可转
26、化为对称问题、共线问题.解 如图所示，设点8关于直线/的对称点B 的坐标为(a,h),则上Bb W=一又由于线段B B 的中点坐标为,且在直线/上，所 以3X5一 一 所以。+3/?-1 2=0.+2=0.即 3 a-b-6=0,y 1%4解得a=3,b=3,所 以（3,3）.于是A B 的 方 程 为 二 =口 即2龙+y-9=0.3 x y 1 =0,x=2,所以由 ,解得彳.2r+y9=0,1y=5.即直线/与A B 的交点坐标为(2,5).所以点P(2,5)为所求.母题探究在本例中,求到A(4,l)和C(3,4)的距离之和最小的P点的坐标？解 如图所示，设点C关于直线/的对称点为C,求
27、出点C 的坐标为(|,手所以A C 所在直线的方程为19x+17j-93=0,A C和/的交点坐标为传，引.故P点坐标为(斗，引为所求.厂.规律c方法.求最值问题的处理思路(1)利用对称转化为两点之间的距离问题.(2)利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离.(3)利用距离公式转化为一元二次函数的最值问题.2.3圆及其方程2.3.1圆的标准方程1 .圆的定义：平面内到一定点的距离等于定：氐的点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是圆的半径.确定一个圆的条件：(1)圆心；(2)半径.2 .方程(工一。)2 +0 一与2 =/(7 0)是 以 点 切 为 圆 心，二为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程
28、.3 .设 点 P到圆心的距离为d,圆的半径为r,则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内与/的大小关系d rd=rd r思考：若 点 P(x o,y o)在 圆 C:(x a)2+(y 6)2 上,需 要 满 足(油 一 份 2 =户，那么P在圆C 内和圆C 外又满足怎样的关系？提示 若点尸在圆C 内，则有(x oa)2+Cr o勿2 产.重点题型一直接法求圆的标准方程【例 1】根据下列条件，求圆的标准方程.(1)圆心在点C(2,1),且过点A(2,-2)；(2)已知一圆的圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点分别在无轴和y轴上.思路探究 只要确定圆心坐标和半径即可求得
29、圆的标准方程.解(1)所求圆的半径r=|C4|=/(2+2)2+(-2-l)2=5.又因为圆心为(一2,1),所以所求圆的方程为(x+2)2+(y 1)2=2 5.设此直径两端点分别为(a,0),(0,b),由于圆心坐标为(2,-3),所以a=4,b=-6,所以圆的半径尸=,(4-2)2+(0+3)2=行,从 而 所 求 圆 的 方 程 是。一2)2+。+3)2=1 3.厂.规律(方法.确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.重点题型二待定系数法求圆的标准方程【例2】求下列各圆的标准
30、方程.圆心在y=0上且过两点A(l,4),8(3,2)；(2)圆心在直线 x 2 y 3=0 上，且过点 A(2,3),8(2,-5).思路探究 由圆的标准方程(*一。)2 +。一2 =,可 知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a,b,r 三个参数.解(1)设圆心坐标为(a,b),半径为r,则所求圆的方程为(x a)2+(y 勿2 =户.,圆心在y=0上,故。=0,圆的方程为(X 0)2+.丫2 =户.又.该圆过A(l,4),8(3,2)两点,J(1 )2+1 6=r,，1(3-4+4=户，解得 a=-1,r2=2 0.二所求圆的方程为(x+l)2+y 2=2 0.(2)设所求圆的标准方
31、程为(X a)2+(yb)2=r2,f(2 a)2+(3/?)2=r,由条件知 (2 t z)2+(5/?)2=r,l a2 3=0,(a=,解得卜=-2,l r2=1 0.故所求圆的标准方程为(x+1 )2+。+2/=1 0.厂.规律C方法.S y待定系数法求圆的标准方程的一般步骤设方程(口一。)2 +。一3 2=户)一列方程组(由已知条件，建立关于久 氏r的方程组)一解方程组(解方程组，求出a、仇r)一得方程(将a、仇r代入所设方程，得所求圆的标准方程).重点题型三圆的标准方程的实际应用【例3】已 知某圆拱桥，当 水 面 距 拱 顶2米 时，水 面 宽12米，当 水 面 下 降1米 后，水
32、 面 宽 多 少 米？思 路 探 究 桥 是 圆 拱 桥，可 通 过 建 立 适 当 的 平 面 直 角 坐 标 系，求出圆拱桥所在圆 的标准方程，然后根据圆的对称性求水面宽度.解 以拱顶为坐标原点，以过拱 顶 且 与 圆 拱 相 切 的 直 线 为x轴，以过拱顶的竖直 直 线 为y轴 建 立 如 图 所 示 的 直 角 坐 标 系，则0(0,0),A(6,-2).设 圆 的 标 准 方 程 为(y+r)2=r(r 0).将A(6,2)的坐标 代 入 方 程 得r=10,.圆的标准方程为f+(y+10)2=100.当 水 面 下 降1米 后，可 设 点A(次,-3)(xo0).将A(加，一3)
33、代 入 圆 的 标 准 方 程，求 得 刈=用，.水面 下 降1米，水 面 宽 为2xo=2病 弋14.28(米).0.规律c方法.一解决圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面 探 究 问 题 1.若P(x,y)为 圆C:(x+l)2+y=a上任意一点，请求出P(x,y)到原点的距离的最大值和最小值.提示 原点到圆心C(1,0)的 距 离d=1,圆的半径为今 故圆上的点到坐标原1 3 1 1点的最大距离为1+=2，最小距离为1=.2.若P(x,y)是 圆C:(x3)2+y2=4上任意一点，请 求 出P(x,y)到直线x-y+1=0的距离的最大值和最小值.提示P(x,y)是 圆C上的任意一点，
34、而圆。的半径为2,圆心C(3,0),圆心C到直线x-y+l=0的距离d=13-0+11/l2+(I)22 y 2,所以点P到直线xy+l=0的距离的最大值为2&+2,最小值为2&-2.【例4】已知实数达y满足方程(%2)2+9=3.求的最大值和最小值.思路探究!的几何意义是圆上的点与原点构成直线的斜率，根据直线与圆相切求得.解 原方程表示以点(2,0)为圆心，以小为半径的圆，设即丁=，当直线 =履 与 圆 相 切 时，斜率上取最大值和最小值，此时写得=性=小，N片+1解得 k=心.故上的最大值为小，最小值为一小.X 母题探究1.在本例条件下，求yx的最大值和最小值.解 设 yx=/?,即 y=
35、x+b,1 2 0+方当y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时 g =V,即 b=一2 /.故yx的最大值为一2+，,最小值为一2一黄.2.在本例条件下，求f+y的最大值和最小值.解f+y?表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2,故(X2+V)ma x =(2+小/=7 +4小，(X2+V)min =(2 小 =7 4小.厂.规 法.与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型(1)形 如=三 形 式 的 最 值 问 题，可转化为过点(X，y)和伍，的动直线斜率的最值问题.(2)形 如/=以+
36、刀 S W 0)形式的最值问题，可转化为动直线丁=一+/截距的最值问题.(3)形如(x a)2+(y b)2形式的最值问题，可转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离的平方的最值问题.2.3.2圆的一般方程1 .圆的一般方程的概念当 力2+号 一4+0时,二元二次方程x2+y2+x+尸=0叫做圆的一般方程.2 .圆的一般方程对应的圆心和半径圆 的 一 般 方 程f+尸+。光+马+/=0(。2+2-4/0)表示的圆的圆心为 2)；半径长为今历2 +序 一4 F.3.对方程/+)2+DX+E)，+尸=0的说明方程条件图形x2+y2+D x+E y+F=0D2+E2-4 F 0表示以(一名为圆心，
37、以玄/。2 +炉 一4/为半径的圆思 考1：圆的标准方程与圆的一般方程有什么不同？提示 圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显.圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显.思 考2：求圆的一般方程实质上是求圆的一般方程中的哪些量？提示 只要求出一般方程中的。、E、1r圆的方程就确定了.思 考3：所有二元二次方程均表示圆吗？提示 不是，Ax2+Bxy+Cy2+D x+E y+F=0,只有在 A=CW 0,B=0 且 D2+E2-4 A F 0时才表示圆.重点题型一圆的一般方程的概念 例1 已 知 方 程/+产 一2。+3比+2(1 4/2+1 6/+9=0。e 1 1)所表
38、示的图形是圆.(1)求f的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点尸(3,4户)恒在所给圆内，求r的取值范围.解(1)已知方程可化为(一-3)2+()，+1 4产)2=+3)2+(1 4户)2 1 6-一9=-7 +6 7+1,由y=7 +6+1 0 得一;V r V l.(2)；r=N-7 J+6/+1 =Y -7(+)+与，1),.当/=,时，圆的面积最大，r ma x=y f 7-2 2所对应的圆的方程为(X 引 +()+鲁=与.(3)当且仅当 3 2+(4 产)2 2 +3)X 3+2(l 4 产)X 4 产+1 6 P+9 V 0,点 P 恒在圆内,3二8 产 一6 r
39、V 0,：.0 t.r.规律,2=16.2.已知直前Z X A BC的斜边为A8,且 A(l,0),8(3,0),请求出直角顶点。的轨迹方程.提示 设 A8的中点为。，由中点坐标公式得)(1,0),由直角三角形的性质知，C D=AB =2,由圆的定义知，动 点 C 的轨迹是以0(1,0)为圆心，以 2 为半径长的圆(由于A,B,C 三点不共线，所以应除去与x轴的交点).设 C(x,y),则直角顶点C 的轨迹方程为(x l)2+y 2=4(x W 3且 x W -l).【例 3】已知M(2,0),N(2,0),则 以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()A.x2+y2=4 B.X2/
40、=4C.%2+y Z=4(x W 2)D.x2y 2=4(x W 2)思路探究 直角边垂直。斜率相乘等于-1 0 转化为方程今检验.C 设P(x,y),由条件知P MLP N,且PM,P N的斜率肯定存在，故kMp-kNp=-1.即/+y2=4,又 当 P,M,N三点共线时，不能构成三角形，所 以 x#2,即所求轨迹方程为f+y 2=4(x W 2).母题探究过点A(8,0)的直线与圆f+y 2=4 交于点8,则AB 中点尸的轨迹方程为.(x-4)2+y2=l 设点尸的坐标为(x,y),点B为(x i,y i),由题意，结合中点坐标公式可得 x i=2x 8,y=2 y,i t(2x-8)2+
41、(2y)2=4,化简得(犬一4)2+丁=1,则A8中点P的轨迹方程为。-4)2+9=1.r.规律(方法.求与圆有关的轨迹的方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法：利用圆的几何性质列方程；(4)代入法：若动点P(x,y)依赖于某圆上的一个动点。(x i,y i)而运动，把x i,y用x,y表示，再将点。的坐标代入到已知圆的方程中得点P的轨迹方程.2.3.3 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系的判定(直线 A x+B)，+C=O,AB WO,圆(x a)2+。一份2=凡 ro)位置关系相交相切相离公共点个数幺个L个9个判定方法几何法
42、：设圆心到直线的距离W+)d r判定方法代数法：由A x+B y+C=Q 0/三0J 0,直线与圆有两个公共点.(2)当/?=2或 人=-2时，J=0,直线与圆只有一个公共点.(3)当2时，/V0方程组没有实数解，直线与圆没有公共点.法二：圆的半径r=小,圆心0(0,0)到 直 线 的 距 离 为4=金.当d V r,即一2 V A V 2时，圆与直线相交，有两个公共点.当d=r,b =2,即b=2或/?=2时，圆与直线相切，直线与圆只有一个公共点.当d r,网 2,即人 2时，圆与直线相离，圆与直线无公共点.厂.规律(方法.直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的
43、半径;的大小关系判断.(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.【例 2】过点A(4,-3)作 圆C：(x-3)2+C r-l)2=l的切线，求此切线的方程.重点题型二直线与圆相切的有关问题 思路探究 利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率，进而求出切线方程.解 因为(4-3)2+(3 1)2=1 7 1,所以点A在圆外.(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k,则切线方程为y+3=4 x 4).因为圆心C(3,l)到切线的距离等于半径，半
44、径 为1,所以)表 1,即 叶4尸衍，所以F+8攵+16=F+1,解得=一O所以切线方程为y+3=牛(x4),即 15x+8y-36=0.(2)若直线斜率不存在，圆心C(3,l)到直线x=4的距离也为1,这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x=4.综上，所求切线方程为15x+8y36=0或x=4.厂.规律 方法.过一点的圆的切线方程的求法(1)点在圆上时求过圆上一点(xo,yo)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率左，再 由垂直关系得切线的斜率为一由点斜式可得切线方程.如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程*=刈 或)=加.(2)点在圆外时几何法：设切线方程为 y一州=%(无一
45、四).由圆心到直线的距离等于半径，可求得上,也就得切线方程.代数法：设切线方程为yyo=Z(x比)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由/=0求出,可得切线方程.提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解.探究问题1.已知直线/与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？重点题型三直线截圆所得弦长问题 提 示 将 直 线 方 程 与 圆 的 方 程 联 立 解 出 交 点 坐 标，再 利 用AB =yl(X 2 x i)2+(y2 y)2 求 弦长.2.若 直 线 与 圆 相 交、圆 的 半 径 为 人 圆 心 到 直 线 的 距 离 为 d,如 何 求 弦 长？提 示 通 过
46、半 弦 长、弦 心 距、半 径 构 成 的 直 角 三 角 形，如 图 所 示，求 得 弦 长/=2-rd2.【例 3】直 线/经 过 点 P(5,5)并 且 与 圆 C：/+9=25相 交 截 得 的 弦 长 为 4 小，求/的 方 程.思路探究 设 出 点 斜 式 方 程，利 用 交 点 坐 标 法 或 利 用 八 弦心距及弦长的一半构成直角三角形可求.解 据 题 意 知 直 线/的 斜 率 存 在，设 直 线/的 方 程 为 y 5 =r 5),与 圆。相交于 A(x i,y i),B g yi),法一:联立方程组y 5 =A:(x 5),x2+y2=2 5.消去 y,得(S+l)f +
47、1 0 岚1 Z)x+2 5 Z(k2)=0.由幻 2-4(产+1)2 5%伏-2)0,解 得%0.又 X l+x 2l c+2 5 k(k-2)XX2=2+l由斜率公式，得 y iy 2=Z(x i及).AB =y(x i X 2)2+G i-y 2)2=(1 +F)(X 1 -X 2)2=/(l +2)(X 1+X 2)2 4 X 1 X 2 1 0 0 3(1 T)2_(d+1)22 5 k(k-2)4 F+l=4小.两 边 平 方，整 理 得 235 左+2=0,解 得 或 =2符合题意.故 直 线/的 方 程 为 x 2y+5=0或 2 x y 5=0.法二：如图所示，|。”|是圆心
48、到直线/的距离，是圆的半径，|A”|是弦长|A 3|的一半.在 Rt A H O 中，|。4|=5,AH=|A B|=1 x 4小=2小,则 I O H=y/O A2 AH2=下.1 5（1 外,V F+T解得或k=2.直线/的方程为x 2 y+5=0或2 x-j-5=0.母题探究(变条件)直线/经过点P(2,1)且被圆C：/+尸 一6工一2)1 5=0所截得的弦长最短，求此时直线/方程.解圆 的 方 程 为(x 3)2 +(y =2 5 ,圆 心C(3,l).因 为|C P|=/(3-2)24-(1 +1)2=y 5 r i+nd=+7 7|小一加+r2=|八一加(2)代数法：通过两圆方程组
49、成方程组的公共解的个数进行判断.圆c方 程!消元,圆C 2方程J 一 N 0=相 交/=00内切或元二次方程 处切/0 外离或思考：用代数法消元后若/V0成立，是否两圆相离？提示 相离或内含.【例1】已知圆G：+V一2 m*+4伊+加2 5=0,圆C 2：x2+y2+2 x 2 m y+重点题型一圆与圆位置关系的判定m2-3=0.(1)当m为何值时，圆 C i 与圆C 2 外切？(2)当圆C与圆C 2 内含时，求m的取值范围？思路探究 本题主要考查两圆的位置关系，关键将圆的方程表示为标准方程，然后再利用外切、内含的条件列出方程或不等式即可.解 对于圆G 与圆C 2 的方程，经配方后，有C i:
50、(X m)2+(y+2)2=9.C 2:(x+l)24-(y；7 7)2=4.，两圆的圆心 Ci(，n,-2),C2(-1,m),半径 n=3,n=2,且|C C 2|=1)2 +(Z+2)2.若圆。与圆C 2 相外切，则|。1。2|=八+底,即：(加+1)2 +(Z+2)2=5.解得m=5或m=2.(2)若圆。与圆C 2 内含，则O 0 C 1 C 2 1 V l 废一川=1,即:(/+1)2 +(，”+2)2 1 .解得一2 V mV 1.规律)2=(r0),由题知所求圆与圆x2+y2-2 x=0外切，则，(。-1)2+廿=r+1.又所求圆过点M的切线为直线x+小y=0,吟粤二S，=r.解