届高三数学上学期期中试题.doc-淘文阁

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1、北京市昌平区新学道临川学校2020届高三数学上学期期中试题一选择题（共12小题）1函数f（x）sinx+cosx的最小正周期是（）A2BCD2已知集合Ax|x1，Bx|3x1，则（）AABx|x0BABRCABx|x1DAB3记Sn为等差数列an的前n项和若a4+a524，S648，则an的公差为（）A1B2C4D84的值是（）AB1CD25函数f（x）在（，+）单调递减，且为奇函数若f（1）1，则满足1f（x2）1的x的取值范围是（）A2，2B1，1C0，4D1，36已知曲线C1：ycosx，C2：ysin（2x+），则下面结论正确的是（）A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，

2、再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C27 sin20cos10cos160sin10（）ABCD8设D为ABC所在平面内一点，则（）ABCD9设函数f（x），则f（2）+f（log212）（）A3B6C9D1210已知关于x的不等式axb0的解集是2，+），则关于x的不等式ax2+（3ab）x3b0的

3、解集是（）A（，3）（2，+）B（3，2）C（，2）（3，+）D（2，3）11已知点A（0，1），B（3，2），向量（4，3），则向量（）A（7，4）B（7，4）C（1，4）D（1，4）12等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A130B170C210D260二填空题（共4小题）13已知向量，的夹角为60，|2，|1，则|+2| 14若函数f（x）xln（x+）为偶函数，则a 15对任意的x0，函数的最大值是 16已知定义在R上的奇函数f（x），对任意x都满足f（x+2）f（4x），且当x0，3，f（x）log2（x+1），则f（2019）三解答题（共7小题

4、）17在ABC中，a3，bc2，cosB（）求b，c的值；（）求sin（B+C）的值18已知等差数列an的前n项和为Sn，a2+a882，S41S9（1）求数列an的通项公式；（2）求Sn的最大值19(文)Sn为数列an的前n项和，已知an0，an2+2an4Sn+3（I）求an的通项公式：（）设bn，求数列bn的前n项和19(理)如图，在四棱锥SABCD中，SA底面ABCD，ABCD是边长为1的正方形，且SA1，点M是SD的中点（1）求证：SCAM；（2）求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的大小20已知函数f（x）2，xR，其中（2cosx，sin2x），（cosx，1），（1）求f（x）

5、的最小正周期和单调减区间；（2）在ABC中，f（A）2，3，求ABC中的面积21设数列an的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有，证明an是等差数列22已知函数f（x）excosx（1）求f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）求证：f（x）在（，+）上仅有2个零点参考答案与试题解析一选择题（共12小题）1函数f（x）sinx+cosx的最小正周期是（）A2BCD【分析】把三角函数式整理变形，变为f（x）Asin（x+）的形式，再用周期公式求出周期，变形时先提出，式子中就出现两角和的正弦公式，公式逆用，得到结论【解答】解：f（x）sinx+cosx（，T2，故选：A【点评】本题关

7、a524，S648，则an的公差为（）A1B2C4D8【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出an的公差【解答】解：Sn为等差数列an的前n项和，a4+a524，S648，解得a12，d4，an的公差为4故选：C【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用4的值是（）AB1CD2【分析】根据，从而得到答案【解答】解：故选：A【点评】本题考查对数的运算性质5函数f（x）在（，+）单调递减，且为奇函数若f（1）1，则满足1f（x2）1的x的取值范围是（）A2，2B1，1C0，4D1，3【分析】由已知中函数

8、的单调性及奇偶性，可将不等式1f（x2）1化为1x21，解得答案【解答】解：函数f（x）为奇函数若f（1）1，则f（1）1，又函数f（x）在（，+）单调递减，1f（x2）1，f（1）f（x2）f（1），1x21，解得：x1，3，故选：D【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档6已知曲线C1：ycosx，C2：ysin（2x+），则下面结论正确的是（）A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各

9、点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数ycos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数ycos2（x+）cos（2x+）sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力7sin20cos10cos160sin10（）ABCD【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦

10、函数，化简求解即可【解答】解：sin20cos10cos160sin10sin20cos10+cos20sin10sin30故选：D【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查8设D为ABC所在平面内一点，则（）ABCD【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式【解答】解：由已知得到如图由；故选：A【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为9设函数f（x），则f（2）+f（log212）（）A3B6C9D12【分析】先求f（2）1+log2（2+2）1+23，再由对数恒等式，求得f（log212）6，进而得到所求和【解答】

11、解：函数f（x），即有f（2）1+log2（2+2）1+23，f（log212）126，则有f（2）+f（log212）3+69故选：C【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题10已知关于x的不等式axb0的解集是2，+），则关于x的不等式ax2+（3ab）x3b0的解集是（）A（，3）（2，+）B（3，2）C（，2）（3，+）D（2，3）【分析】由一元一次不等式求得b2a，且a0；由此化简二次不等式并求出解集【解答】解：由关于x的不等式axb0的解集是2，+），得b2a且a0，则关于x的不等式ax2+（3ab）x3b0可化为x2+x60，即（x+3）（x2）0，解得

12、：x3或x2，所求不等式的解集为：（，3）（2，+）故选：A【点评】本题考查了一元一次不等式的解法以及二次不等式的解法和应用问题，是基础题11已知点A（0，1），B（3，2），向量（4，3），则向量（）A（7，4）B（7，4）C（1，4）D（1，4）【分析】顺序求出有向线段，然后由求之【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到（3，1），向量（4，3），则向量（7，4）；故选：A【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒12等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A130B170C2

13、10D260【分析】利用等差数列的前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，用m表示出a1、d，进而求出s3m；或利用等差数列的性质，sm，s2msm，s3ms2m成等差数列进行求解【解答】解：解法1：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由题意得方程组，a1解得d，a1，s3m3ma1+d3m+210故选C解法2：设an为等差数列，sm，s2msm，s3ms2m成等差数列，即30，70，s3m100成等差数列，30+s3m100702，解得s3m210故选Ca1【点评】解法1为基本量法，思路简单，但计算复杂；解法2使用了等差数列的一个重要性质，即等差数列的前n项和为sn，则sn，s

14、2nsn，s3ns2n，成等差数列二填空题（共4小题）13已知向量，的夹角为60，|2，|1，则|+2|2【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60，且|2，|1，+4+422+421cos60+41212，|+2|2【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形+2；在OAC中，由余弦定理得|2，即|+2|2故答案为：2【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题14若函数f（x）xln（x+）为偶函数，则a1【分析】由题意可得，f（x）f（x），代入根据对数的运算性质即可求解【解答】解：f（x）xln（x+）为偶函

15、数，f（x）f（x），（x）ln（x+）xln（x+），ln（x+）ln（x+），ln（x+）+ln（x+）0，ln（+x）（x）0，lna0，a1故答案为：1【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题15对任意的x0，函数的最大值是【分析】根据题意，原函数的解析式可变形为y，令tx+3，（x0），则y，对于tx+3，（x0），由基本不等式分析可得其最小值，进而由反比例函数的性质分析可得y的最大值，即可得答案【解答】解：，令tx+3，（x0），则y，则t2+35，即t有最小值5，对于y，由t5，可得y，即y的最大值为，故答案为【点评】本题考查基本不等式的运用，在

16、解题中，可以用配凑法使其满足基本不等式成立的条件16已知定义在R上的奇函数f（x），对任意x都满足f（x+2）f（4x），且当x0，3，f（x）log2（x+1），则f（2019）2【分析】由已知求得函数的周期，再由x0，3时，f（x）log2（x+1）求解【解答】解：由f（x）为奇函数且f（x+2）f（4x），得f（6+x）f（x）f（x），f（12+x）f（6+x）f（x）f（x），则f（x）是以12为周期的周期函数，f（2019）f（12168+3）f（3）当x0，3，f（x）log2（x+1），f（2019）f（3）log242故答案为：2【点评】本题考查函数的奇偶性、周期性与对称性的

17、应用，是中档题三解答题（共7小题）17在ABC中，a3，bc2，cosB（）求b，c的值；（）求sin（B+C）的值【分析】（1）利用余弦定理可得b2a2+c22accosB，代入已知条件即可得到关于b的方程，解方程即可；（2）sin（B+C）sin（A）sinA，根据正弦定理可求出sinA【解答】解：（1）a3，bc2，cosB由余弦定理，得b2a2+c22accosB，b7，cb25；（2）在ABC中，cosB，sinB，由正弦定理有：，sinA，sin（B+C）sin（A）sinA【点评】本题考查了正弦定理余弦定理，属基础题18已知等差数列an的前n项和为Sn，a2+a882，S41S9

18、（1）求数列an的通项公式；（2）求Sn的最大值【分析】（1）根据公式S2n1（2n1）an，列方程求解即可（2）由Sn的表达式，根据二次函数的性质处理【解答】解：（1）a2+a8822a5，a541由S41S9得41a219a5a29，得：，解得d2（4分）故ana5+（n5）d41+2（n5）512n，由（1），得（10分）由二次函数的性质，当n25时Sn有最大值625（12分）【点评】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，属基础题19Sn为数列an的前n项和，已知an0，an2+2an4Sn+3（I）求an的通项公式：（）设bn，求数列bn的前n项和【分析】（I）根据数列的

19、递推关系，利用作差法即可求an的通项公式：（）求出bn，利用裂项法即可求数列bn的前n项和【解答】解：（I）由an2+2an4Sn+3，可知an+12+2an+14Sn+1+3两式相减得an+12an2+2（an+1an）4an+1，即2（an+1+an）an+12an2（an+1+an）（an+1an），an0，an+1an2，当n1时，a12+2a14a1+3，a11（舍）或a13，则an是首项为3，公差d2的等差数列，an的通项公式an3+2（n1）2n+1：（）an2n+1，bn（），数列bn的前n项和Tn（+）（）【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决

20、本题的关键20如图，在四棱锥SABCD中，SA底面ABCD，ABCD是边长为1的正方形，且SA1，点M是SD的中点（1）求证：SCAM；（2）求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的大小【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明SCAM（2）求出平面SAB的法向量和平面SCD的法向量，利用向量法能求出平面SAB与平面SCD所成锐二面角的大小【解答】解：（1）证明：在四棱锥SABCD中，SA底面ABCD，ABCD是边长为1的正方形，且SA1，点M是SD的中点以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，则S（0，0，1）

21、，C（1，1，0），A（0，0，0），M（0，），（1，1，1），（0，），0，SCAM解：（2）平面SAB的法向量（0，1，0），D（0，1，0），（1，1，1），（0，1，1），设平面SCD的法向量（x，y，z），则，取y1，得（0，1，1），设平面SAB与平面SCD所成锐二面角为，则cos，45平面SAB与平面SCD所成锐二面角的大小为45【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21已知函数f（x）2，xR，其中（2cosx，sin2x），（cosx，1），（1）求f（x）的最小正周期和单调减区间；（2

22、）在ABC中，f（A）2，3，求ABC中的面积【分析】（1）平面向量的数量积、三角函数图象的性质可得：f（x）4cos（2x+）+2，由T，则易得：f（x）的最小正周期为，单调减区间为：k，k，kZ；（2）由三角函数求值及三角形的面积公式可得：A，又3，所以|AB|AC|3，即SABC|AB|AC|sin，得解【解答】解：（1）因为（2cosx，sin2x），（cosx，1），所以f（x）24cos2x22cos2x2sin2x+24cos（2x+）+2，由T，由2k2x+2k+，解得：kxk，kZ故f（x）的最小正周期为，单调减区间为：k，k，kZ；（2）因为在ABC中，f（A）2，所以co

23、s（2A）1，所以2A+，即A，又3，所以|AB|AC|3，即|AB|AC|6，所以SABC|AB|AC|sin，故ABC中的面积为【点评】本题考查了平面向量的数量积、三角函数图象的性质及三角形的面积公式，属中档题22设数列an的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有，证明an是等差数列【分析】本小题考查等差数列的证明方法，数学归纳法及推理论证能力等差数列的证明是数列的常见题型，本题可用两种方法：一是用数学归纳法，适用于理科，因为只要能证明an的通项公式满足等差数列的通项公式ana1+（n1）d（nN），问题就可得证，这显然是与自然序号n有关的命题，故可以选择数学归纳法；二是数列用定义证明

24、，即证明anan1m（常数），利用已知前n项和，首先利用ansnsn1表示出an，然后可以计算anan1m证明之，【解答】证明：法一：令da2a1下面用数学归纳法证明ana1+（n1）d（nN）（1）当n1时上述等式为恒等式a1a1当n2时，a1+（21）da1+（a2a1）a2，等式成立（2）假设当nk（k2）时命题成立，aka1+（k1）d由题设，有Sk，Sk+1，又Sk+1Sk+ak+1（k+1）把aka1+（k1）d代入上式，得（k+1）（a1+ak+1）2ka1+k（k1）d+2ak+1整理得（k1）ak+1（k1）a1+k（k1）dk2，ak+1a1+kd即当nk+1时等式成立由（

25、1）和（2），等式对所有的自然数n成立，从而an是等差数列法二：当n2时，由题设，所以anSnSn1同理有an+1从而an+1ann（a1+an）+，整理得an+1ananan1a2a1从而an是等差数列【点评】等差数列的证明在高考中常见，是高考的重要题型，本题就是全国高考题等差数列的证明最常用的有两种方法：1用定义证明，即证明anan1m（常数），有时题目很简单，很快可求证，但有时则需要一定的变形技巧，这需要多做题，慢慢就会有感觉的，本题就有些复杂 2用等差数列的性质证明，即证明2anan1+an+1，此法不适用于本题，对于给出数列通项公式的证明，此法比较方便另外本题因为是与自然序号相关的命

26、题，所以法一运用了数学归纳法，尽管繁琐，但思路清晰23已知函数f（x）excosx（1）求f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）求证：f（x）在（，+）上仅有2个零点【分析】（1）f（0）0切点为（0，0）f（x）ex+sinx可得f（0）1，利用点斜式即可得出切线方程（2）f（x）ex+sinx分类讨论：x0时，利用导数研究其单调性可得f（x）0，函数f（x）在0，+）上只有一个零点0x（，0）时，f（x）ex+cosx0可得函数f（x）在x（，0）上单调递增，进而得出f（x）零点的个数【解答】解：（1）f（0）0切点为（0，0）f（x）ex+sinxf（0）1，f（x）在点（0，f

27、（0）处的切线方程为：y0x0，化为：xy0证明：（2）f（x）ex+sinxx0时，ex1，f（x）0，函数f（x）在0，+）上单调递增，而f（0）0，函数f（x）在0，+）上只有一个零点0x（，0）时，f（x）ex+cosx0函数f（x）在x（，0）上单调递增，而10，f（0）10，存在唯一实数x0（，0），使得f（x0）+sinx00，且函数f（x）在x（，x0）上单调递减，x（x0，0）上单调递增又0，f（x0）cosx0sinx0cosx00，f（0）0函数f（x）在x（，x0）上存在唯一零点，而在xx0，0）上无零点综上可得：f（x）在（，+）上仅有2个零点【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题

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