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1、专题17.3 微元法一选择题1.质量为40 kg的物体，在一个水平外力作用下，沿直径为40 m的水平圆形轨道匀速运动一周，若物体与轨道间动摩擦因数为0.5，水平外力在此过程中做功为A0 B. 2.5104 J C. 1.25104 J D. 0.5104 J【参考答案】B2（2013安徽）由消防水龙带的喷嘴喷出水的流量是0.28m3/min，水离开喷口时的速度大小为16m/s，方向与水平面夹角为60度，在最高处正好到达着火位置，忽略空气阻力，则空中水柱的高度和水量分别是（重力加速度g取10m/s2）A28.8m，1.1210-2m3 B28.8m，0.672m3C38.4m，1.2910-2m
2、3 D38.4m，0.776m3【参考答案】A【名师解析】消防水龙带的喷嘴水平喷水，选取喷嘴处的水（微元）作为研究对象，微元做斜抛运动。将喷出水流速度分解为水平方向和竖直方向，则竖直方向的分速度vy=vsin60=16 m/s =24m/s；由可得水柱可以上升的最大高度h=28.8m；水柱上升时间为=2.4s。题述流量Q=0.28m3/min=0.0047 m3/s，则在空中的水量V=Qt=0.0047 m3/s 2.4s=1.1210-2m3，所以选项A正确。3. 已知点电荷Q电场中的电势公式为=k，式中r为到场源点电荷Q的距离。两半径分别为r1和r2(r1r2)的同心球面上，各均匀带电Q1
3、和Q2，则在球面内部距离球心r处的电势为Ak(+) Bk(+) Ck(+) Dk(+)【参考答案】D 4如图所示，半径为R的圆环均匀带电，电荷线密度为，圆心在O点，过圆心与环面垂直的轴线上有P点，PO=r。以无穷远处为电势零点，则P点的电势为 A B C D【参考答案】B 二计算题1从地面上以初速度v0竖直向上抛出一质量为m的木球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比关系，木球运动的速率随时间变化规律如图所示，t1时刻到达最高点，再落回地面，落地时速率为v1，且落地前木球已经做匀速运动。求：（1）木球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功；（2）木球抛出瞬间的加速度大小；（3）木球上升的最
4、大高度H。【名师解析】（1）由动能定理得Wf=mv12-mv02，克服空气阻力做功W=- Wf=mv02-mv12。（2）空气阻力f=kv ，落地前匀速运动，则mgkv1=0 ，设刚抛出时加速度大小为a0，则mg+kv0=ma0 解得：a0=(1+)g。（3）设上升时加速度为a，由牛顿第二定律，-(mg+kv)=ma ，解得：a=-g-v。取极短t时间，速度变化v，有：v =at=-gt -vt。又vt = h，所以v =-gt -h。对上升全程，v = -gt -h。因v =0-v0=- v0，t =t1，h=H，所以：v0=g t1+H解得：H= (v0-g t1)。【点评】根据速度图象的
5、面积表示位移，图中曲边三角形v0Ot1的面积表示球上升的最大高度H。2半径为R的光滑球固定在水平桌面上，有一质量为M的圆环状均匀弹性绳圈，原长为R，且弹性绳圈的劲度系数为k，将弹性绳圈从球的正上方轻放到球上，使弹性绳圈水平停留在平衡位置上，如图所示，若平衡时弹性绳圈长为，求弹性绳圈的劲度系数k. 【名师解析】由于整个弹性绳圈的大小不能忽略不计，且具有质量，所以弹性绳圈不能看成质点，所以应将弹性绳圈分割成许多小段，其中每一小段m两端受的拉力就是弹性绳圈内部的弹力F.。在弹性绳圈上任取一小段质量为m作为研究对象，进行受力分析。但是m受的力不在同一平面内，可以从一个合适的角度观察。.选取一个合适的平
6、面进行受力分析，这样可以看清楚各个力之间的关系。.从正面和上面观察，分别画出正视图和俯视图，如图乙和图甲。 二力的合力与T平衡.即 现在弹性绳圈的半径为 所以sin=，=45，tan=1， 因此T=， 联立、得，解得弹性绳圈的张力为： 设弹性绳圈的伸长量为x 则 所以绳圈的劲度系数为：。3.如图所示，电量Q均匀分布在半径R的圆环上，求在圆环轴线上距圆心O点为x=R处的P点的电场强度。 4如图所示，两根平行放置在绝缘地面上的光滑金属框架。框架的左端接有一电容量为C的电容器。框架上放置有一质量为m，长为L的金属棒，与框架接触良好无摩擦。磁感应强度为B的匀强磁场竖直向下，与框架平面相垂直，开始时电容
7、器不带电。现作用于金属棒上一恒力F，使金属棒自静止起向右加速运动，求：（1）金属棒中电流为I时的加速度。（2）金属棒位移s时的速度。 【名师解析】（1）当金属棒中电流为I时，所受的向左的安培力F安=BIL，由牛顿第二定律，F-F安=ma，解得：a=。 由Q=CU得Q=CU，式中U是极短时间内电压的增量。电压U的增量等于产生的感应电动势E的增量，即：U=E=Blv，说明电压的增量取决于速度的增量v。根据加速度的定义a=，联立上述各式解得： a=。式中m、F、C、B、L都是恒量，说明金属棒加速运动的加速度恒定不变，即金属棒做匀加速直线运动。由v2=2as解得金属棒运动位移s时的速度为v=。5.如图
8、所示，两块很薄的金属板之间用金属杆固定起来使其平行正对，两个金属板完全相同、且竖直放置，金属杆粗细均匀、且处于水平状态。已知两个金属板所组成的电容器的电容为C，两个金属板之间的间距为d，两个金属板和金属杆的总质量为m。整个空间存在一个水平向里的匀强磁场，匀强磁场的磁感应强度为B，磁场方向垂直金属杆，且和金属板平行。现在使整个装置从静止开始在该磁场中释放。重力加速度大小为g。 (1)推导出电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；(2)推导出金属棒的速度大小随时间变化的关系。(3)若所有电阻不计，求整个装置从静止开始在该磁场中下落h高度时两个金属板之间产生的电场储存的电场能。 （2）设在时
9、间间隔（t，t+t）内流经金属棒的电荷量为Q，金属棒受到的安培力为F，有：F=Bid i= Q也是平行板电容器在时间间隔（t，t+t）内增加的电荷量，由式得：Q= CBdv v为金属棒的速度变化量，有：a= 对金属棒，有：mg-F=ma 以上联合求解得：a= 因为加速度a为常数，所以该装置在磁场中做初速度为零的匀加速直线运动。金属棒的速度v=at=t。 6（2013全国）如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为，间距为L。导轨上端接有一平行板电容器，电容为C。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨
10、垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求： （1）电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；（2）金属棒的速度大小随时间变化的关系。【名师解析】（1）设金属棒下滑的速度大小为v，则感应电动势为E=BLv。平行板电容器两极板之间的电势差为：U=E，设此时电容器极板上积累的电荷量为Q，由电容定义有C=Q/U，联立式解得：Q=CBLv。 金属棒所受到的摩擦力方向斜向上，大小为f2=N，式中，N是金属棒对于导轨的正压力的大小，有：N=mgcos， 金属棒在时刻t的加速度方向沿斜面向下，设其大小为a，根据牛顿第二定律有mgsin- f1- f2=ma 联立至式解得 a=g。由式及题设可知，金属棒做初速度为零的匀加速运动，t时刻金属棒的速度大小为：v=at=gt。