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1、第三章第三章 变量之间的关系（复习课）变量之间的关系（复习课）北师大版数学七年级下册北师大版数学七年级下册 丰富的现实情境变量及其关系利用变量之间的关系解决问题、进行预测 变量表示方法自变量因变量变量之间的关系探索变量之间的关系列表法关系式图像法知 识 回 顾变量变量自变量自变量因变量因变量常量常量区区别别先发生变化或先发生变化或自主发生变化自主发生变化的量的量后发生变化或后发生变化或随着自变量的随着自变量的变化而发生变变化而发生变化的量化的量始终不变的始终不变的量量列表法优点优点：直观而精确地呈现一些具体的对应值缺点：缺点：不能全面地反映两个变量之间的关系，典型例题-表格例1一名同学在用弹簧
2、做实验，在弹簧上挂不同质量的物体后，弹簧的长度就会发生变化，实验数据如下表：所挂物体的质量/千克012345弹簧的长度/cm1212.51313.51414.5(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)弹簧不挂物体时的长度是多少？如果用x表示弹性限度内物体的质量，用y表示弹簧的长度，那么随着x的变化，y的变化趋势如何？(3)如果此时弹簧最大挂重量为15千克，你能预测当挂重为10千克时，弹簧的长度是多少？反应了反应了所挂物体的质量与弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量与弹簧的长度之间的关系，期中期中所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度为因所挂物体的质量是自变量，弹簧的
3、长度为因变量变量12cm；随着；随着x逐渐增加，逐渐增加，y逐渐变大逐渐变大100.55cm；12+5=17cm答：当所挂物体的质量为答：当所挂物体的质量为10kg时，弹簧长度为时，弹簧长度为17cm1用表格表示的变量间关系用表格表示的变量间关系用表格表示两个变量，一般第一栏表示自变量，第用表格表示两个变量，一般第一栏表示自变量，第二栏表示因变量，要仔细观察数据二栏表示因变量，要仔细观察数据变化趋势变化趋势和和变化幅度变化幅度，可以发现表格中因变量随自变量的变化存在一定的规，可以发现表格中因变量随自变量的变化存在一定的规律，或增加或减少或呈现规律性的起伏变化，从而利用律，或增加或减少或呈现规律
4、性的起伏变化，从而利用变化趋势变化趋势对结果作出预测对结果作出预测总 结 反 思下表中的数据呈现了某地区入学儿童的变化趋势下表中的数据呈现了某地区入学儿童的变化趋势年份（x）2006 2007 2008 入学人数（y）2520 2330 2140 1.1.上表中上表中 是自变量是自变量,是因变量是因变量2.2.你预计该地区从你预计该地区从 年起入学儿童的人数年起入学儿童的人数在在1600人左右人左右跟 踪 训 练由表中的数据可知由表中的数据可知,每年的入学儿童人数都比上每年的入学儿童人数都比上一年减少一年减少190人人,由题意可列式子由题意可列式子(2520-1600)1905,进而可求出答案
5、进而可求出答案2006+5=2011年份年份入学人数入学人数2011关系式法优点优点:表示变量之间的内在联系且简洁明了，便于分析计算缺点缺点：计算繁琐，不能呈现数据变化趋势例2如图：将边长为20cm的正方形纸片的四个角截去相同的小正方形，然后将截好的材料围成一个无盖的长方体。(1)在以上问题中，若设截去的小正方形的边长是xcm，围成的无盖长方体的体积是ycm3,则y与x之间的关系式是_(2)若小正方形的边长是5cm，那么长方体的体积是多少cm3？y=x(20-2x)2y=x(20-2x)2当x=5时，y=5(20-2x5)2=500 答：长方体的体积为500cm3 典型例题-关系式例2如图：将
6、边长为20cm的正方形纸片的四个角截去相同的小正方形，然后将截好的材料围成一个无盖的长方体。(3)根据以上关系式填下表：x/cm123456789y/cm3(4)当x在什么范围变化时，y随x的增大而增大，当x在什么范围变化时，y随x的增大而减小？y=x(20-2x)2324512588576500384252 128362用关系式表示的变量间关系用关系式表示的变量间关系 列关系式的关键是写出一个含有自变量和因变量的等式，列关系式的关键是写出一个含有自变量和因变量的等式，将将表示因变量的字母单独写在等号的左边，右边为含有自变量的表示因变量的字母单独写在等号的左边，右边为含有自变量的代数式代数式，
7、同时注意自变量必须在题目允许的范围内取值，同时注意自变量必须在题目允许的范围内取值 总 结 反 思变量的求值方法：变量的求值方法：已知自变量，利用关系式求因变量的值，实际上就是求代数式已知自变量，利用关系式求因变量的值，实际上就是求代数式的值；已知因变量，利用关系式求自变量的值，实际上就是求的值；已知因变量，利用关系式求自变量的值，实际上就是求方程的根方程的根注意：在一些实际问题中，自变量只能取某个范围注意：在一些实际问题中，自变量只能取某个范围内的值内的值油箱中存油油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出流速为升，油从油箱中均匀流出流速为0.2升升/分钟，则油箱中剩余油量分钟，则油箱中剩余油量
8、Q（升）与流出时间（升）与流出时间t（分钟）的关系式是（分钟）的关系式是 跟 踪 训 练根据油的流速和时间根据油的流速和时间t的关系，可得到流出油量是的关系，可得到流出油量是0.2t；然后根据然后根据“剩油量剩油量=存油量存油量-流出油量流出油量”列出关系式，列出关系式，将得到的关系式为将得到的关系式为Q=20-0.2t.Q=20-0.2t.图像法优点优点：直观反映变量的变化趋势缺点缺点：数值不具体，且要取近似值，误差大例3小红与小兰从学校出发到距学校5千米的书店买书，下图反应了她们两人离开学校的路程与时间的关系。根据图形尝试解决你们提出的问题。(1)小红与小兰谁先出发？谁先达到？312450
9、102030405060t/分钟s/千米实线-小兰虚线-小红 (2)描述小兰离开学校的路程与时间的变化关系。(3)小兰前20分钟的速度和最后10分钟的速度是多少？怎样从图像上直观地反映速度的大小？(4)小红与小兰从学校到书店的平均速度各是多少？典型例题-图像答：小兰先出发，两人同时到达答：小兰先出发，两人同时到达0-20分钟分钟 行走了行走了2千米千米20-50分钟分钟 静止不动静止不动50-60分钟分钟 行走了行走了3千米千米第第2课时折线型图象课时折线型图象路程路程-时间图象的意义时间图象的意义代表物体匀速运动代表物体匀速运动代表物体停止代表物体停止代表物体反向运动直到回到原地代表物体反向
10、运动直到回到原地总 结 反 思【归纳总结归纳总结】在路程与时间的关系图象中，线段在路程与时间的关系图象中，线段(或射线或射线)与横轴所与横轴所夹的锐角越大，速度越快；线段夹的锐角越大，速度越快；线段(或射线或射线)与横轴所夹的锐角越小，与横轴所夹的锐角越小，速度越慢速度越慢总 结 反 思第第2课时折线型图象课时折线型图象速度速度-时间图象的意义时间图象的意义 代表物体从代表物体从0 0开始加速运动开始加速运动代表物体匀速运动代表物体匀速运动代表物体减速运动到停止代表物体减速运动到停止【归纳总结归纳总结】在速度与时间的关系图象中，线段的倾斜程度表示速在速度与时间的关系图象中，线段的倾斜程度表示速
11、度变化的快慢，线段的倾斜程度越平缓，速度变化越慢；线段的倾斜度变化的快慢，线段的倾斜程度越平缓，速度变化越慢；线段的倾斜程度越陡，速度变化越快程度越陡，速度变化越快 1.某天早晨，小强从家出发，以V1的速度前往学校，途中在一饮食店吃早点，之后以V2的速度向学校行进，V1V2，下面的图象中表示小强从家到学校的时间t(min)与路程s(km)之间的关系是（）t(min)s(km)学校t(min)s(km)学校t(min)s(km)学校t(min)s(km)学校（）（）（)（）A跟 踪 训 练2.2.甲乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从甲乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A
12、A地到地到B B地，地，乙驾车从乙驾车从B B地到地到A A地，他们分别以不同的速度匀速行驶。已知甲先出地，他们分别以不同的速度匀速行驶。已知甲先出发发6 6分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y y（千米）（千米）与甲出发的时间与甲出发的时间x x（分）之间的关系如图所示，回答下列问题：（分）之间的关系如图所示，回答下列问题：跟 踪 训 练（1 1）ABAB两地之间的距离为两地之间的距离为_ （2）甲骑自行车的速度为）甲骑自行车的速度为_乙驾车行驶的速度为乙驾车行驶的速度为_ （3）当乙到达终点）当乙到达终点A A时，甲还需时，甲还需多少分钟到达终点多少分钟到达终点B B地？地？由纵坐标看出由纵坐标看出 AB 两地的距离是两地的距离是16千米，千米，甲的速度是甲的速度是16 千米千米/分钟，分钟，设乙的速度是设乙的速度是x千米千米/分钟，由题意，得分钟，由题意，得 解得解得x=千米千米/分钟分钟（3）当乙到达终点）当乙到达终点A A时，甲还时，甲还需多少分钟到达终点需多少分钟到达终点B B地？地？乙从乙从B站到达站到达 A 站一共需要站一共需要 分钟，分钟，从乙出发后甲到达从乙出发后甲到达 B 站需站需 分钟，分钟，当乙到达终点当乙到达终点 A 时，甲还需时，甲还需 90-12=78 分钟到达终点分钟到达终点 B