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1、其中定理1(泰勒中值定理)若函数f(x)在x0点的某邻域U(x0)内具有直到n+1 阶连续导数,则当x取U(x0)内任何值时,f(x)可按(xx0)的方幂展开为f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+(在x0与x之间)+Rn(x)公式(1)称为函数 f(x)在x0处的泰勒公式.(1)Rn(x)称为拉格朗日(Lagrange)余项.泰勒系数 k=0,1,2,n是唯一的.一、泰勒公式定义 如果函数f(x)在x0的某邻域内是存在任意阶导数,则幂级数称为函数f(x)在x0处的泰勒级数.=f(x0)+f(x0)(xx0)二、泰勒级数称为函数 f(x)的麦克劳林级数.sin x=x(,+).(1x1)
2、=1+x+x2+xn+定理2 f(x)在x0点的泰勒级数在UR(x0)内收敛于f(x)在UR(x0)内,Rn(x)0.x(,+).1,收敛区间为:(1,1).1 0,收敛区间为:1,1.1x17.7 初等函数的幂级数展开式一、直接法(泰勒级数法)二、间接法三、常见函数的幂级数展开式步骤:(1)求 f(n)(x),n=0,1,2,(2)计算 an,n=0,1,2,(4)讨论?并求出其收敛区间.(3)写出幂级数利用泰勒公式或麦克劳林公式将f(x)展开为幂级数若为0,则幂级数在此收敛区间内等于函数 f(x);若不为0,则幂级数虽然收敛,但它的和不是 f(x).一、直接法(泰勒级数法)解例1 将 f(
3、x)=e x 在展开成 x的幂级数.因 f(n)(x)=e x,n=1,2,3,f(n)(0)=e 0=1,于是 f(x)=e x 在x=0 的麦克劳林级数为:其中0 1=0,所以 e x=1+x+x+.收敛区间为:(,+)二项展开式+nxn 1+x n(1+x)n=1+nx+(1+x)=1+x+?解例3 将 f(x)=(1+x)展开成 x的幂级数.n=0,1,2,f(n)(0)=(1)(2)(n+1)=1,得(1+x)(n)=(1)(2)(n+1)(1+x)(n),注意:当x=1时,级数的收敛性与 的取值有关.1,收敛区间为:(1,1).1 0,收敛区间为:1,1.所以(1+x)的泰勒级数的
4、收敛区间是(1,1),x(1,1)(1+x)=1+x+牛顿二项式展开式二、间接展开法 根据唯一性,利用常见展开式、等比级数的和及幂级数的性质等,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.当=1时,x(1,1).=1x+x2 x3+(1)nxn+解例6 将 f(x)=cosx 展开成 x的幂级数.因(sin x)=cosx,又 x(,+).x(,+).对上式逐项求导得解例10 将函数 展开成 x的幂级数.因为x(,+).所以x(,+).解例5 将下列函数展开成 x的幂级数.(1)x(1,1).=1x+x2 x3+(1)nxn+因为(2)arctan x(1)以x2 代
5、替上式中的 x,=1x 2+x4 x6+(1)nx2n+x(1,1).(2)因0 xarctan x对上式逐项积分0 x(1)nt 2n x 1,1.arctan xarctan x当x=1时,为交错级数,收敛,当x=1时,为交错级数,收敛,所以,arctan 1=解例1*将函数ln(1+x)展开成 x的幂级数.x(1,1).=1x+x2 x3+(1)nxn+因为又0 xln(1+x)对上式逐项积分0 x(1)nt n x(1,1.ln(1+x)当x=1时,为发散,当x=1时,为交错级数,收敛,所以,ln(1+x)ln 2=例7 将函数f(x)=展开x 的幂级数.解 因为 x(,+).x(,+
6、).以 代替上式中的 x,解例2*将函数 展开成 x的幂级数.因为x(,+).所以x(,+).四则运算因为 x(,+).所以 x(,+).解例8 将函数sin 2 x 展开成 x的幂级数.又解例11 将函数 分别在x=0 和x=2 处展开成幂级数.因为 x(1,1).所以(1)由得收敛区间为:x(5,5).(2)由得收敛区间为:x(1,5).x(1,1).解例9 将函数 展开成x幂级数.x(1,1).x(2,2).收敛区间为:x(1,1).解例12 将函数ln x 展开成(x1)的幂级数.x(1,1.因为而ln x=ln(1+x 1)得收敛区间为:x(0,2.由1 x 11,解例3*将函数展开成 x 的幂级数.()x(1,1x(1,1).x 1,1)解2例3*将函数展开成 x 的幂级数.0 x f(x)=对上式逐项积分得因 f(0)=0,x(1,1).x(1,1).x(1,1.x(,+).1 几何级数2345三、常用已知和函数的幂级数x(,+).x(,+).x(1,1).x 1,1.四、小结1.如何求函数的泰勒级数;2.泰勒级数收敛于函数的条件;3.函数展开成泰勒级数的方法.x(1,1).x(,+).x(,+).x(,+).x(1,1.x(1,1).3.常见函数的幂级数展开式