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1、12019 届高三第三阶段考试理科数学第卷（共 60 分）2019 届高三第三阶段考试理科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知P x|x2 4x 3 0,Q y|y 4 2x，则PQ（）A0,1)B0,2)C(1,2D(1,2)2.以下有关命题的说法错误的是()A.命题“若x2 x2 0，则x 1”的逆否命题为“若x 1，则x2 x2 0”B.“x2 x2 0”是“x
2、 1”成立的必要不充分条件C.对于命题p：x0R，使得x02 x01 0，则p:xR，均有x2 x1 0D.若p q为真命题，则p与q至少有一个为真命题3.已知i2018(mni)54i(m,nR)，则关于复数z mni的说法，正确的是（）A复数z的虚部为4Bz 41Cz 54iD复数z所对应的点位于复平面的第四象限4.在x 26展开式中，二项式系数的最大值为a，含x5项的系数为b，则ab（）A.53B.53C.35D.355.若任意xR都有 23cossinf xfxxx，则函数 f x的图象的对称轴方程为A.4xk，kZB.4xk，kZC.8xk，kZD.6xk，kZ6.函数sinxxye
3、ex的部分图像大致为ABCD7.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1 匹=40 尺，一丈=10 尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织 5 尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”2若一个月按 31 天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为na，则132931242830aaaaaaaa的值为（）A.165B.1615C.1629D.16318.若执行如右图所示的程序框图，输出S的值为 4，则判断框中应
4、填入的条件是（）A.18k B.17k C.16k D.15k 9.,R那么曲线2sincos22yx与22yx 4一定（）A.无公共点B.有且仅有一个公共点C.有且仅有两个公共点D.有三个以上公共点10已知点 F1、F2分别是椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点，A、B 是以 O（O 为坐标原点）为圆心、|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且F2AB 是正三角形，则此椭圆的离心率为（）A3B32C2 1D3 111.已知函数 213ln12444fxxxg xxbxx，若对任意10 2x，存在212x ，使 12f xg x，则实数b的取值范围是A.1728，B.1，C.
5、178，D.2，12.已知定义在(-,4)上的函数 f x与其导函数 fx满足14()()0 xxfxf x，若11211202xfxyefxy，则点,x y所在区域的面积为（）A.12B.6C.18D.9第第卷（共卷（共 9090 分）分）二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上）13已知平面向量ba,满足32|2|,1|,2|baba，则ba与的夹角为_14曲线xfxxxf)0(sin31)(3在点)0,0(处的切线斜率是.15.若正实数,m n满足2222114xxdxmn，则2log2mn的最小值为.16已知在
6、平面四边形ABCD中，2AB，2BC，ACCD，ACCD，则四边形ABCD面积的最大值为3三、解答题三、解答题（本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（满分 12 分）已知函数31()sincos()22f xxx xR.（）求函数()f x的最大值和最小值;（）设函数()f x在1,1上的图象与x轴的交点从左到右分别为MN、,图象的最高点为P,求PM 与PN的夹角的余弦.18.（满分 12 分）四棱锥ABCDE中，/EBDC，且EB 平面ABC，1EB，2DCBCABAC，F是棱AD
7、的中点.（1）证明：EF 平面ACD；（2）求二面角BAED的余弦值.19.（满分 12 分）近代统计学的发展起源于二十世纪初，它是在概率论的基础上发展起来的，统计性质的工作可以追溯到远古的“结绳记事”和二十四史中大量的关于我人口、钱粮、水文、天文、地震等资料的记录。近几年雾霾来袭，对某市该年 11 月份的天气情况进行统计,结果如下:表一日期123456789101112131415天气晴霾霾阴霾霾阴霾霾霾阴晴霾霾霾日期161718192021222324252627282930天气霾霾霾阴晴霾霾晴霾晴霾霾霾晴霾由于此种情况某市政府为减少雾霾于次年采取了全年限行的政策。下表是一个调査机构对比以
8、上两年 11 月份(该年不限行 30 天、次年限行 30 天共 60 天)的调查结果：表二不限行限行总计没有雾霾a有雾霾b总计303060(1)请由表一数据求 a,b，并求在该年 11 月份任取三天，估计该市至少有两天没有雾霾的概率；(2)请用统计学原理计算若没有没有 90%的把握认为雾霾与限行有关系，则限行时有多少天没有雾霾?(由于不能使用计算器，所以表中数据使用时四舍五入取整数四舍五入取整数)40.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.8282020（满分 12 分）已知椭圆222:122xyEaa的离心率63e，右焦点,0F c，过点2,0aAc的直线
9、交椭圆E于,P Q两点.（1）求椭圆E的方程；（2）若点P关于x轴的对称点为M，求证:,M F Q三点共线；（3）当FPQ面积最大时，求直线PQ的方程.21.（满分 12 分）已知2()bxf xex,曲线 xfy 与直线1 axy相切于点 1,1 f(I)求ba,的值；()证明：当0 x时，213cos4 sin0 xee xxxx；请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题共 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 l 经过点1,12P，倾斜角6，圆C的极坐标方程为2c
10、os4(1)写出直线 l 的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；(2)设l与圆C相交于,A B两点，求点P到,A B两点的距离之积23（本小题共 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数121)(xxxf(1)求关于x的不等式()2f x 的解集；(2)Rx，00 x，使得00)(xaxxf)0(a成立，求实数a的取值范围5参考答案：一.选择题：DDBBACBCBD CA二填空题：13.314.2115.216.310三解答题：17.解:31()()sincossin()226f xxxx(3 分),xR,1 sin()16x，函数()f x的最大值和最小值分别为11、.(5 分)()
11、解法 1:令()sin()06f xx得()6xkkZ.(6 分)1,1x,1566xx 或,15(,0)(,0)66MN、.(8 分)由sin()16x,且1,1x 得13x,1(,1)3P.(9 分)11(,1),(,1)22PMPN .(10 分)3cos,5PM PNPM PNPM PN .(12 分)解法 2:过点P作PAx轴于A,则|1,PA(6 分)由三角函数的性质知1|12MNT,2215|1()22PMPN,(8 分)由余弦定理得222|cos,2|PMPNMNPM PNPMPN =521345524.(12 分)解法 3：过点P作PAx轴于A,则|1,PA(6 分)由三角函
12、数的性质知1|12MNT,2215|1()22PMPN.(8 分)在Rt PAM中，|12 5cos|552PAMPAPM.(10 分)PA平分MPN,2coscos22cos1MPNMPAMPA22 532()155 .(12 分)18.解析：（1）取AC中点M，连接FM、BM，F是AD中点，/FMDC，且112FMDC.又因为/EBDC，/FMEB.又1EB，FMEB，四边形FMBE是平行四边形./EFBM，又BCABAC，ABC是等边三角形，BMAC，EB 平面ABC，/EBDC，CD 平面ABC，CDBM，BM 平面ACD，EF 平面ACD.(5 分)（2）取AC中点N，则ANBC，A
13、N平面BCD，以N为原点建立如图所示的直角坐标系.各点坐标为(0,0,3)A，(0,1,0)B，(0,1,0)C，(2,1,0)D，(1,1,0)E，13(1,)22F.6可得(0,1,3)BA ，(1,0,0)BE ，(1,1,3)EA ，(1,2,0)ED ；设平面ABE的法向量1111(,)nx y z，则1100n BAn BE 得111300yzx，取1(0,3,1)n，设平面ADE的法向量2222(,)nxyz，则2200nEAnED 得222223020 xyzxy，取2(2,1,3)n ，于是1233cos,3141 3n n 64，二面角BAED是钝角，因此，所求二面角的余弦
14、值就是64.（12 分）19.解:(1)根据题意知,a=10,b=30-10=20,（2 分）在该年 11 月份任取一天,估计该市没有雾霾的概率为202303P，（3 分）设事件 A 为事件“任取三天，至少有两天没有雾霾”2323331217()33327P ACC （5 分）该市至少有两天没有雾霾的概率为727。（6 分）(2)设限行时 x 天没有雾霾,则有雾霾为 30-x 天,代入公式22()3()()()()n adbcKab ad ac bd,（8 分）化简为:22144015000,0,30,xxxxN,(730)(350)0 xx,解得305073x,所以 5x16,且 xN+;（
15、11 分）所以若没有 90%的把握认为雾霾与限行有关系,则限行时有 516 天没有雾霾天气.（12 分）20.解：(1)由22663aaa，椭圆E的方程是22162xy.（2 分）7(2)由（1）可得3,0A，设直线PQ的方程为3xmy.由方程组221623xyxmy，得223630mymy，依题意22361230mm，得232m.设1122,P x yQ xy，则12123363,.33myyy ymm（4 分）1111222,0,2,2,FM xyMFx yFQxy 由12211212121222(1)(1)2()xyxymyyy mymy yyy 33362033mmmm 得,MFFQM
16、 F Q 三点共线.（7 分）方法二:设直线PQ的方程为3yk x.由方程组221623xyyk x，得222231182760kxk xk，依题意212 230k，得6633k.设1122,P x yQ xy，则2212121111222218276,2,0,2,2,3131kkxxx xFM xyMFx yFQxykk，由 12211221222323xyxyxk xxk x22121222182765212521203131kkkxxx xkkk，得,MFFQM F Q 三点共线.(3)由(2)可知:12123363,.33myyy ymm 232m 221212121222222211
17、1422212 231612123323FPQSAFyyyyyyy ymmmmm（9 分）8令2932tm，则2212212 29111111139,3922999FPQtSyytmttt，即26,6mm 时，FPQS最大，FPQS最大时直线PQ的方程为630 xy.12 分）21.解：（）f(x)ex2x由题设得 af(1)e2，a1f(1)e1b故 ae2，b0（4 分）（II）由（）得，f(x)exx2，下面证明：当 x0 时，f(x)(e2)x1设 g(x)f(x)(e2)x1，x0则 g(x)ex2x(e2)，设 h(x)g(x)，则 h(x)ex2，当 x(0，ln 2)时，h(x
18、)0，h(x)单调递减，当 x(ln 2，)时，h(x)0，h(x)单调递增又 h(0)3e0，h(1)0，0ln21，h(ln2)0，所以x0(0，1)，h(x0)0，所以当 x(0，x0)或 x(1，)时，g(x)0；当 x(x0，1)时，g(x)0，故 g(x)在(0，x0)和(1，)单调递增，在(x0，1)单调递减，又 g(0)g(1)0，所以 g(x)exx2(e2)x10因 x0，则ex(2e)x1xx（当且仅当 x1 时等号成立）（8 分）以下证明：当 x0 时，x4sin x3cosx令 p(x)x4sinx3cosx，则 p(x)14(3cosx1)(3cosx)2(cosx1)(cosx5)(3cosx)20，（当且仅当 x2k，kZ 时等号成立）所以 p(x)在(0，)单调递增，当 x0 时，p(x)x4sin x3cosxp(0)0，即 x4sinx3cosx由得当 x0 时，ex(2e)x1x4sinx3cosx，又 x(3cosx)0，故ex(2e)x1(3cosx)4xsinx0（12 分）22.（）tytxl2112321:,21)21()21(:22yxC（）将l代入C中：041212tt，4141PBPA.23.（）解集为320 xx.（）min00min)(xaxxf，a223，所以1690 a.